三角函数线及其应用 ppt课件
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人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
x OA
作三角函数线的步骤: 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
(1)以圆点为圆心画出单位圆，作出角的终边;
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则：
有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线,
与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则：
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
T
(Ⅱ)
AT y tan, 有向线段AT叫角α的正切线
x
特别注意：正切线必须是： 以A为始点、T为终点
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P
可以看出：正切线在第一三象限为正，第二四终边象限(Ⅲ为)负.
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
1
Ax
y=－1
T
4
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例
写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 2
的角α的集合.
|2k
6
＜α≤
2k 2 ，或
3
2k 4 ≤α＜ 2k 11 ，k Z
3
6
x1 x 3
2
2
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
6
,2k
不查表，比较大小。
（２）cos 2
九年级三角函数复习课件PPT (共19张PPT)
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
二.特殊角的三角函数值
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
锐角的三角函数值 有何变化规律呢？
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系： （1）三边关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理） （2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
1 2 (1) sin 45 tan60 2 cos30. 2 2
1 2 6 tan 30 3 sin 60 2 cos 45 . 2 2
2 0 0 0
B
A
则a= 2 5.如果 ，∠B=
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
60° ，∠A= 30°.
解：（１）
D
AD AD cos∠DAC ＝ 在Rt △ABD和△ACD中，tanB= ， AC BD AD AD 因为tanB=cos∠DAC，所以 ＝ BD AC 故 BD=AC
1.若
2 sin 2 0 ，则锐角α= 45°
2.若 tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80° 3.计算：
视线 铅 直 线
仰角
水平线
俯角
视线
2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示. 坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母i表
h
l
h 示，则 i tan l
h 坡度通常写成 i tan 的形式. l
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
二.特殊角的三角函数值
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
锐角的三角函数值 有何变化规律呢？
三.解直角三角形
1.什么叫解直角三角形？
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系： （1）三边关系： a 2 b 2 c 2 （勾股定理） （2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
1 2 (1) sin 45 tan60 2 cos30. 2 2
1 2 6 tan 30 3 sin 60 2 cos 45 . 2 2
2 0 0 0
B
A
则a= 2 5.如果 ，∠B=
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
60° ，∠A= 30°.
解：（１）
D
AD AD cos∠DAC ＝ 在Rt △ABD和△ACD中，tanB= ， AC BD AD AD 因为tanB=cos∠DAC，所以 ＝ BD AC 故 BD=AC
1.若
2 sin 2 0 ，则锐角α= 45°
2.若 tan( 20） 3 0 ，则锐角α= 80° 3.计算：
视线 铅 直 线
仰角
水平线
俯角
视线
2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示. 坡度（坡比）：坡面的铅 直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母i表
h
l
h 示，则 i tan l
h 坡度通常写成 i tan 的形式. l
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
三角函数的几何表示——三角函数线ppt 人教课标版
练习2.
若 sin θ cos θ 0 , 则 θ 在 _____ .
B
A . 第一、二象限 B . 第一、三象
C . 第一、四象限 D . 第二、四象
本节课探究：
角是一个几何概念，同时角的大小也具 有数量特征.我们从数的观点定义了三 角函数，如果能从图形上找出三角函数 的几何意义，就能实现数与形的完美统 一.
sin y |MP | MP
cos x |OM | OM
M
y
O
x
P （x ，y ）
思考3：由上分析可知，当角α为第一、三 象限角时，sinα、cosα可分别用有向线 段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα， 那么当角α为第二、四象限角时，你能检 验这个表示正确吗？
y
y x
y tan AT x
T
A M
O
TA xP Nhomakorabea思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y P O A x T P O A T x y
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 tanα=AT.
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
P
P
p p p s i n < <ta n 4 4 4
O
x
当角α 的终边在x轴上时，角α 的正切线 是一个点；当角α 的终边在y轴上时，角 α 的正切线不存在.
三角函数线 把有向线段MP、OM、AT叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.
步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长 线)交于T．
九年级三角函数复习课件PPT(共19张PPT)
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 cos A 1 3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
8.如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发， 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
谢 谢！
让我们共同进步
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
线
俯角
水平线
视线
2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
《三角函数线》说课课件-PPT课件
练习1、作出下列各角的正弦线、余 弦线、正切线：
（1）π/3 （2）5 π
（3）-2 π/3 （4）- π/6 （5） π/2 （6） π
• 此题是一个基本题，要求学生独立 完成，尽管在提问（4）中已经涉及 A点变化问题，估计学生仍会有A点 随角α的变化而变化的情况，老师加
以引导，使学生走出这一误区，实 现知识目标C。
B、难点：三角函数线的应用
三角函数线可以看做是解三角函数 题的一种工具，所以本节课通过例 题、练习等途径，力图使难点得到 突破。
二、教学方法
本课采用：“自学辅导”和“启发探究 式”教学法，它符合辩证唯物主义内因和 外因相互作用的观点，符合教学论的主导 作用与学生主体作用相统一的原则，使学 生在获得感性知识的同时，为掌握理性知 识创造条件，从而培养学生的创新能力和 实践能力。
小结：（5分钟）
学生自结，教师补充，一结 知识，二结方法。
结束语：
本节课学习了三角函数的另一种定 义——三角函数线，利用三角函数线的 直观性，我们可以很方便地解决三角函 数的很多性质，那么它究竟有多大能力 呢，请同学们抱着极强的求知欲望往后 学习。
这样做的目的是：“承上启下、留下悬念”激 发学生的求知欲望，有利于养成课前预习的 习惯。
练习二、根据图象回答下列问题：
1、（口答）当角α的终边分别位于x 轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、 y轴负半轴时，角α的正弦、余弦、 正切值是多少？
2、根据（1）的结论，求出正弦、余 弦、正切函数的值域。
此题和练习一异曲同工，但涉
及了角在坐标轴上时的特殊情况， 引导学生不仅掌握事物的一般性， 更要熟悉事物的特殊性，求定义域 和值域，略高于课本要求，实现知 识目标D和能力目标A和C。
《三角函数线》说课课件-PPT课件_OK
的综合素质。
Hale Waihona Puke 8（3）思想目标： 培养学生的数形结合思想。
9
（4）美育目标： 使学生体会到数转化为形所带 来的美感。
10
3、教学的重点和难点：
A、重点：三角函数线的定义。
为了突出重点，教学中突出以下几 个环节：
一是抓住三角函数的代数定义和几 何定义密切性，强调三角函数线是 三角函数的另一种定义。
（3）、角的三角函数值与终边上点P的位置
是否有关？
16
这个环节有以下作用：
（1）、巩固上节课的学习成果； （2）、为本节课的学习做好铺垫。
17
接着让学生自主学习教材有关内 容，通过教师走动辅导让学生在“阅 读、思考、讨论、总结”后，教师进 行做图演示，让学生回答问题： 连接
连接
18
（1）什么叫做有向线段？它和线段有何异同？
4
2、教学目标：
（1）知识目标： A、理解“有向线段”的定义，掌握有向 线段和线段的异同； B、 理解三角函数线的定义； C、会画出任意角的三角函数线； D、能根据三角函数线写出终边落在坐标
轴 上的角的三角函数值；
E、能根据三角函数线总结出三角函数值 随
5
角度变化的规律。
之所以定这样一个目标层次，因为：有向 线段是定义三角函数线的前提，理解三角函数的 定义是其应用的最起码要求，画出三角函数线， 是为了通过数与形的转化，以几何的方法来解决 代数问题，培养学生空间想象能力，知识的迁移 能力 及多向思维能力，之所以安排D、E两个知识 目标，期望所学内容源于教材而又高于教材。知 识目标由低到高符合学生的认知规律，符合数学 大纲的要求，也符合素质教育的要求。
21
练习二、根据图象回答下列问题：
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
高中数学 必修4《三角函数线及其应用》课件
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3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线 段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线 段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
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4．利用三角函数线解三角不等式的方法 正 弦 、 对于 sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是 余 弦 型 寻求恰当的点，只需作直线 y＝b 或 x＝a 与单位圆相交， 不 等 式 连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方 的解法 向即可确定相应的范围 正切型
P(x , y)
y 因为tan = x=AT，所以AT是角的正切线．
A
x
P(x , y)
T
图 示 ：
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三角函数线 把有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
作三角函数线的步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与角的终边(或反向延长线)交于点T．
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2．若 a＝sin 4，b＝cos 4，则 a，b 的大 小关系为
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3．设π4＜α＜π2，试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度．如 果π2＜α＜34π，上述长度关系又如何？
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[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜34π时， 角 α 的正弦线为 M′P′，余弦线为 OM′，正切线为 AT′，显然在长度上， AT′＞M′P′＞OM′.
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想一想： 有向线段OM， MO， AT， TA ，MP， AO的符号是怎样的？
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线 段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线 段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．
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4．利用三角函数线解三角不等式的方法 正 弦 、 对于 sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是 余 弦 型 寻求恰当的点，只需作直线 y＝b 或 x＝a 与单位圆相交， 不 等 式 连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方 的解法 向即可确定相应的范围 正切型
P(x , y)
y 因为tan = x=AT，所以AT是角的正切线．
A
x
P(x , y)
T
图 示 ：
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三角函数线 把有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
作三角函数线的步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P．
⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过点A(1, 0)作x轴的垂线与角的终边(或反向延长线)交于点T．
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2．若 a＝sin 4，b＝cos 4，则 a，b 的大 小关系为
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3．设π4＜α＜π2，试比较角 α 的正弦线、余弦线和正切线的长度．如 果π2＜α＜34π，上述长度关系又如何？
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[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，AT＞MP＞OM；当π2＜α＜34π时， 角 α 的正弦线为 M′P′，余弦线为 OM′，正切线为 AT′，显然在长度上， AT′＞M′P′＞OM′.
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想一想： 有向线段OM， MO， AT， TA ，MP， AO的符号是怎样的？
三角函数线的作法_图文_图文
三角函数线的作法_图文_图文.ppt
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
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图示
新知探究
题型探究
感悟提升
MP OM
AT
新知探究
题型探究
感悟提升
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
新知探究
题型探究
感悟提升
互动探究
解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z
.
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题型探究
感悟提升
方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终
边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度
和正负．
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
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题型探究
感悟提升
类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】
分别作出2π和4π的正弦线、余弦线和正切线， 35
ห้องสมุดไป่ตู้
并比较
sin
2π和 3
sin45π，cos
探究点1 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确 定的？
提示 有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为正 ，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相同时 符号为正，反向时符号为负．
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题型探究
感悟提升
探究点2 如何作三角函数线？
提示 三角函数线的作法：①作正弦线、余弦 线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线．
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题型探究
感悟提升
【活学活用1】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小 ．解 先把两角化成 0°～360°间的角的三角函数．
sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在单位圆中，分别作出 sin 75°和 sin 146° 的正弦线 M2P2，M1P1(如图)． ∵M1P1<M2P2， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
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题型探究
感悟提升
在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 的长度为 α·OP＝α. 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 即12OA·MP<12α·OA<12OA·AT， 即 sin α<α<tan α. [题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
第2课时 三角函数线及其应用
【课标要求】 1．了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点) 3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)
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感悟提升
1．三角函数的定义域
新知导学
函数
定义域
y＝sin α
R
y＝cos α
R
y＝tan α
α∈Rα≠2π＋kπ，k∈Z
温馨提示：当 α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上
任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义．
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题型探究
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2．三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方 向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角 函数值的绝对值．
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3．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________． 解析 sin θ≥0，如图利用三角函数线可得 2kπ≤θ≤2kπ＋π，k ∈Z.
答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
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类型二 利用三角函数线解不等式 【例 2】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值 范围．
(1)sin θ≥ 23；(2)－12≤cos θ< 23.
[思路探索] 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角
在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范
围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
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1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列 说法正确的是( )． A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确． 答案 D
θ2kπ＋π3≤θ≤2kπ＋23π，k∈Z
.
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[规律方法] 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角 不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的 范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．
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【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.
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MP OM
AT
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温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
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解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z
.
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方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终
边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度
和正负．
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[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
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类型一 利用三角函数线比较大小
【例 1】
分别作出2π和4π的正弦线、余弦线和正切线， 35
ห้องสมุดไป่ตู้
并比较
sin
2π和 3
sin45π，cos
探究点1 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确 定的？
提示 有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为正 ，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相同时 符号为正，反向时符号为负．
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探究点2 如何作三角函数线？
提示 三角函数线的作法：①作正弦线、余弦 线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线．
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【活学活用1】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小 ．解 先把两角化成 0°～360°间的角的三角函数．
sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°， sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°. 在单位圆中，分别作出 sin 75°和 sin 146° 的正弦线 M2P2，M1P1(如图)． ∵M1P1<M2P2， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．
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在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 的长度为 α·OP＝α. 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 即12OA·MP<12α·OA<12OA·AT， 即 sin α<α<tan α. [题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
第2课时 三角函数线及其应用
【课标要求】 1．了解三角函数线的意义． 2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点) 3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)
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1．三角函数的定义域
新知导学
函数
定义域
y＝sin α
R
y＝cos α
R
y＝tan α
α∈Rα≠2π＋kπ，k∈Z
温馨提示：当 α＝π2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上
任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义．
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2．三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方 向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角 函数值的绝对值．
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3．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________． 解析 sin θ≥0，如图利用三角函数线可得 2kπ≤θ≤2kπ＋π，k ∈Z.
答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
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类型二 利用三角函数线解不等式 【例 2】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值 范围．
(1)sin θ≥ 23；(2)－12≤cos θ< 23.
[思路探索] 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角
在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范
围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
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感悟提升
1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列 说法正确的是( )． A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确． 答案 D
θ2kπ＋π3≤θ≤2kπ＋23π，k∈Z
.
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[规律方法] 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角 不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的 范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．
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【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.