高等数学极限存在准则两个重要极限
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
当
时,
当
时,
lim
n
xn
a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn
a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
n2 2
lim
n
1
1
n2
1
lim n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限
从而有
= lim ( t +
t +
-1 t (t +1) t +1
)
1) t +1 = lim (1 + t t +
= lim [(1 + 1)t (1 + 1)] = e t t
故
1) x lim (1 + x x
n1 = 1 + 1! n
xn+1 = 1 + 1 +
1 (1 - 1 ) + 1 (1 - 1 )(1 - 2 ) + 2! n+1 3! n+1 n+1
大 大
1 + ( n+1)! (1 - n1 1)(1 - n2 1)(1 - nn 1) + + +
正
比较可知
首页
xn xn+1 ( n = 1, 2 , )
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a
由条件(2) e 0 N 0 当nN 时 有 |yn-a|e 及|zn-a|e 即有 a-eyna+e a-ezna+e 由条件(1) 有 a-eynxnzna+e 即 |xn-a|e 这就证明了 lim xn =a 简要证明
6.lim(1 + x ) =
x 0 1 x
1 x 5.lim(1 - ) = x x
1 x x 0
e
-1
;
e;
7.lim(1 - x ) = e -1 .
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高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
1.7极限存在准则 两个重要极限
一、夹逼准则
准则1、如果数列{xn}，{yn}及{zn}满足下列条件： (1) yn xn zn (n 1,2,3 );
(2) lim n
yn
a, lim n
zn
a;
注：P36
那么数列{xn}的极限存在，且
lim
n
xn
a
例1：求
lim (
n
n
2
1 n 1
n2
2 n2
1.lim sin x 1 证明: x0 x
1
0.75
x
0.5
0.25
0 x /2
-15
-10
-5 -0.25
-0.5
5
10
15
sin x x tan x
1 x tan x sin x sin x
1 sin x sin x cos x x tan x
cosx sin x 1 x
x0
lim sin x 1 x0 x
1.特点:(1)正弦内、分母都趋向于零； (2)sin后形式和分母相同。
判断下列极限运算能否使用第一重要极限？
lim sin x ? x x
lim sin 2x ? x0 x
sin 1 lim x ? x 1
x
lim x ? x0 sin x
lim sin x 1 lim x 1
3.lim (1 1 )x5 x 2x
2.lim (1 1 )2x x 3x
4.lim x 1x x x 1
注：碰到幂指函数，常用第二个重要极限求解，方 法是凑指数。
练习：P42 2,3
注：对含有三角函数的 0 型极限，常用第一个重要极
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。
它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。
极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。
它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。
1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。
具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。
Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。
根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。
2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。
具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。
单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。
根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。
这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。
在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。
总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。
Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
极限存在准则-两个重要极限公式
2
举例2
使用公式2计算 lim(x→1) (x² - 1) / (x - 1)
重要极限公式的意义和应用
这两个重要极限公式不仅帮助我们更容易地计算函数的极限值，还能在实际 问题中应用。了解这些公式将使我们更精确地理解和解决数学和科学中的难 题。
例子
计算极限 lim(x→2) [3x + 2x²]
重要极限公式2: 复合函数的极限等于 函数内外极限的复合
1 公式说明
当我们计算复合函数的极限时，可以将外部函数的极限值与内部函数的极限值进行复合 计算。
2 例子
计算极限 lim(x→0) sin(x) / x
重要极限公式的应用
1
举例1使用公式1计算 lim(x→) [2x + 5x²]
极限存在准则-两个重要 极限公式
本节介绍两个重要的极限公式，能够帮助我们计算函数的极限值。第一个公 式是两个函数的极限的和等于函数和的极限，第二个公式是复合函数的极限 等于函数内外极限的复合。
重要极限公式1: 函数极限的和等于和 的极限
公式说明
当我们计算两个函数在某一点的极限值时，可以将两个函数的极限分别计算，然后将其结果 相加。
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
高等数学上册04极限存在准则与两个重要极限
(2)limsinx(0), x0sinx
(3)limxcotx, (4)lim1co2sx,
x0
x0 xsinx
x
(5)limnsin ,
n
n
答案1； ： ； 1； 2；x 2
3、计算下列极限：
(1)
l
i
m1
1
xx
,
x0
1
(4)
lim
x
1s
in1 x
,
x x
(2)lim12x1x, x0
n1
显x n 然 1x n , xn是单调;递增的
xn112 1! n 1! 111 2 2n 11
1 3 2n1 3,
x是有界 ; 的 n
ln im xn 存在 .
记为 lim (11)ne n n
(e2 .71 8 ) 28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当x1时, 有 [x ] x [x ] 1 ,
(1 1)[x ] (1 1 )x (1 1)[x ] 1 ,
高等数学上册04极限存在准则与两个重要极
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn, yn及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n1,2,3) (2)ln im yn a, ln im zn a, 那末数列xn的极限存在, 且ln im xn a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
t1
lim (11)xe x x
令t 1, x
lim (1x)1 xlim (11)te.
x 0
t t
1
lim (1x)x e
x0
例4 求lim(11)x. x x
解
高等数学1.7 极限存在准则 两个重要极限
一、准则 I
准则 I： 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件：
( ynxnzn(n=1，2，3，…)，
lim (2) lim yn=a，n zn=a，
n
lim 那么数列{xn }的极限存在，且 x n=a ． n
．
例8
sin x ． x x tan x 求 lim ． x0 x 1 - cos x 例 2 求 lim ． 2 x 0 x
求 lim
5 求 lim
6
7
7 x + 5x - 3 3x 2 - 2 x - 1 求 lim ． x 2 x 3 - x 2 + 5 2x 3 - x 2 + 5 求 lim ． 2 x 3 x - 2 x - 1
例2 求lim
1 - cos x ． 2 x 0 x
2
解
x sin x 2 x sin 2 sin 1 1 1 - cos x 2 2 = lim 2 = lim lim = lim x0 x0 x2 2 x 0 1 2 2 x 0 x x2 2 2 1 2 1 = 1 = ． 2 2
n
根据准则II，数列{x n}必有极限． 这个极限我们用e 来表示．即
lim 1 + n 1 =e ． n
n
e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ···．
还可证明
1 lim1 + =e ． x x
x
第二个重要极限： lim1 + x
准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：
极限存在准则两个重要极限
极限存在准则两个重要极限在极限存在准则中，有两个特别重要的极限存在定理，分别是柯西收敛准则和夹逼定理。
柯西收敛准则是极限存在定理中的一个基本定理。
它是由法国数学家柯西于19世纪初发现的，用来判定一个数列是否收敛。
柯西收敛准则的核心思想是，如果一个数列在无穷项的情况下，其任意两项之差都可以变得很小，那么这个数列是收敛的。
具体来说，柯西收敛准则可以分为两个条件：1.必要条件：如果对于任意给定的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n和m都大于N时，an - am，< ε，那么数列{an}是收敛的。
2.充分条件：如果数列{an}具有柯西序列的性质，即对于任意给定的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n和m都大于N时，an - am，< ε，则该数列一定是收敛的。
夹逼定理又称为挤压定理，是另一个极限存在定理。
它主要用于计算和证明无穷序列和函数的极限存在。
夹逼定理的核心思想是，如果一个函数在一些点的两侧有两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在并且相等，那么原始函数在该点处的极限也存在，并且等于这两个函数的共同极限。
具体来说，夹逼定理可以表达为以下三个条件：1.设函数f(x)，g(x)，h(x)在点a的一些去心邻域内有定义，并且对于这个去心邻域内的任意x，有g(x)≤f(x)≤h(x)。
2.如果lim(x→a)g(x) = L，并且lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x)存在，并且等于L。
3.夹逼定理对于数列也成立，即如果数列{an}满足对于所有的n，有gn ≤ an ≤ hn，并且lim(n→∞)gn = L，并且lim(n→∞)hn = L，则lim(n→∞)an存在，并且等于L。
柯西收敛准则和夹逼定理是极限存在准则中非常重要的定理，它们在数学分析中有着广泛的应用。
通过这两个定理，我们可以更加准确地计算和证明函数的极限存在，并建立起更为完善和严谨的数学分析体系。
高等数学 第二章 极限和导数2-6极限存在准则 两个重要极限
所以 lim ( 3 n +
n→ ∞
1 9n )n
= 9.
2 例2 求 lim x x ， 其 中 [ x ]是 不 超 过 x 的 x→ 0 最 大 整 数. 2 2 2 解Q ( x ≠ 0) −1< ≤ x x x 2 o 1 当x > 0时， 2 − x < x x ≤ 2 ( x > 0)
x2 )2 = → 0, ( x → 0) 2
∴
x→ 0+
lim ( 1 − cos x ) = 0
即
x→ 0
lim cos x = 1
sin x lim =1 x→ 0 x
例5 解
1 − cos 2 x . 求 lim x → 0 x sin x
0 型 0
2 1 − cos 2 x 2 sin x lim = lim x → 0 x sin x x → 0 x sin x
n→ ∞
lim x n = a ( ≤ M )
a
(单调减少有下界 单调减少有下界) 单调减少有下界
n→ ∞
lim x n = b ( ≥ m )
( 证明略 )
b
准 则 I I ′ ( 单 调 有 界 准 则) 若 f ( x ) 是 ( a , b )内 的 单调有界函数，
则 lim f ( x )与 lim f ( x ) 都 存 在 。
2 lim x = 2 x→ 0− x
故 2 lim x = 2 . x→ 0 x
x → x0 − f ( x0 )
lim f ( x ) = A ⇔ = f
+ ( x0 )
2 −1< x
2 2 ≤ x x
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x
x
[lim(1
3x )3
]6
x
[lim(1
x
2
)
x 2
]4
e6 e4
x
x
e2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
x 2 )2
1 2
12
2
2
1. 2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e (e 2.71828)
n
n
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1 1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
例4 求 lim(1 1 )x .
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
思考题解答
1
lim 3x 9x
x
1 x
lim 9x x
1 x
1 3x
1 x
1
9
lim 1 x
1 3x
3x
3xx
9
e0
9
练习题
一、填空题:
1、 lim sinx _________ .
x0 x
2、
sin 2x lim
__________ .
x0 sin 3 x
3、 lim arccot x __________.
x0
x
4、 lim x cot 3x __________ . x0
5、 lim sin x __________ . x 2x
1
6、 lim(1 x) x _________ . x0
7、 lim(1 x )2x _________ . x x
8、 lim(1 1 ) x _________ .
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin2 x 2( x )2 x 2 , 22 2
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
1
5、lim(1 2n 3n )n n
三、利用极限存在准则证明数列
2, 2 2, 2 2 2 ,......的极限存在，并求 出该极限 .
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
第六节 极限存在准则 两个重要极限
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ′称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,来自n2 n n2 1n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x0
)(或
x
M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
x
x
x
(1
1 1
) x
1.
x
e
例5 求 lim(3 x)2x . x 2 x
解1
原式 lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4 e2 .
x
x2
x2
解2
原式=
[(1
3
)
x 3
]6
lim x [(1
x
2
)
x 2
]4
x
lim[(1
3x )3
]6
x
lim[(1
x
2
)
x 2
]4
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2 sin 2
原式 lim x0
x2
x 2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
1 2
sin lim( x0 x
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13
.
C
二、两个重要极限
B
(1) lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
练习题答案
一、1、 ； 5、0；
2、2 ； 3
6、e ；
二、1、2；