常用函数图像及常用导数部分用图 2
高中数学讲义：函数的图像
函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线特点：两点确定一条直线信息点：与坐标轴的交点（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。
函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点（3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-¥+¥U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。
渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x ®+¥，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x ®+¥（或-¥）时，()f x ®常数C ，则称直线y C =为函数()f x 的水平渐近线例如：2x y = 当x ®+¥时，y ®+¥，故在x 轴正方向不存在渐近线 当x ®-¥时，0y ®，故在x 轴负方向存在渐近线0y =（3）竖直渐近线的判定：首先()f x 在x a =处无定义，且当x a ®时，()f x ®+¥（或-¥），那么称x a =为()f x 的竖直渐近线例如：2log y x =在0x =处无定义，当0x ®时，()f x ®-¥，所以0x =为2log y x =的一条渐近线。
第二章 第五节 函数的图像
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[考题范例] (2011· 天津高考)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b＞1.
设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝ )
f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( A．(－1,1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(1,2] B．(－2，－1]∪(1,2] D．[－2，－1]
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[巧妙运用] 依题意可得
x2－2，－1≤x≤2， f(x)＝ x－1，x＜－1或x＞2，
作出其示意图如图所示． 由数形结合知， 实数c需有1＜c≤2或－2＜c≤－1.
答案：B
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[题后悟道] 解答本题利用了数形结合思想，属于“以形助数”，是 指把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思
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3．(2011· 沈阳六校联考)函数y＝2x－x2的图像大致是(
)
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解析：画出函数y＝2x，y＝x2的图像可知两个函数图像 有三个交点，所以函数y＝2x－x2的图像与x轴有三个
交点，故排除B、C；当x很小时2x－x2<0，排除D.
答案： A
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[冲关锦囊] “看图说话”常用的方法有 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像
答案： B
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4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图像，只需 把函数y＝2x的图像上所有的点向______平移______ 个单位长度． 答案：右 3
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5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的
取值范围是________．
解析：由题意知，a＝|x|＋x
2x，x≥0， 令y＝|x|＋x＝ 0，x＜0，
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α si nα-cosα -tgα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
八年级函数ppt课件ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中，可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如，在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时，可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数，可以更全面地理解和解决这类问题。
04
CATALOGUE
二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大（ 小）值的概念，如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型，明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大（小）值问 题的常用方法，如导数法 、不等式法等，并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念，如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中，有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时，速率与时间成反比关系。因此，可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时，可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ，因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质，并举例说明。
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
一些常用函数的曲线图及应用简说
一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ϖϖωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
专题07导数的几何意义及其应用2
一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即.2．函数f (x )的导函数 称函数为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦专题07 导数的几何意义及其应用复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、导数的几何意义1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线（1）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． （2）曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 3．几类重要的切线方程(1)y ＝x －1是曲线y ＝l n x 的切线，y ＝x 是曲线y ＝l n (x ＋1)的切线，…，y ＝x ＋n 是曲线y ＝l n (x ＋n ＋1)的切线，如图1.(2)y ＝x ＋1与y ＝e x 是曲线y ＝e x 的切线，如图2. (3)y ＝x 是曲线y ＝si n x 与y ＝t an x 的切线，如图3.(4)y ＝x －1是曲线y ＝x 2－x ，y ＝x l n x 及y ＝1－1x 的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如l n x ≤x －1，x ＋1≤e x 等．四、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y ＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．熟记以下结论： (1) 211()'x x=-； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 题型一 导数的概念【典例2】（2023下·高二课时练习）已知物体运动的速度与时间之间的关系是：()222v t t t =++，则在时间1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．题型二：导数的运算【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三 曲线切线的斜率、倾斜角问题【典例5】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）3π,π4⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎭⎣⎭3π,π4⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎭⎣⎭题型四 求在曲线上一点的切线方程（斜率）在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（【典例8】 【规律方法】以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． 题型五 求过一点的切线方程（斜率）(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线1l 的方程； (2)求过原点O 与曲线()y f x =相切的直线2l 的方程. 【规律方法】如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f (x 0)，y 1－y 0x 1－x 0＝f ′(x 0)，得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 题型六 与切线的平行直线问题ln x 的图象在且12l l ⊥，则（ ）A ．121=x xB ．12x x +的最小值为2C ．12,l l 在y 轴上的截距之差为2D ．12,l l 在y 轴上的截距之积可能为1-【规律总结】1.解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.2.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 题型九 求切点坐标【典例17】（2023·高二课时练习）曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为 ．【典例18】（2023上·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知曲线24y x =-的一条切线的斜率是4-，则切点的坐标为 ． 【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 题型十 切点坐标相关问题【典例19】（2023下·高二课时练习）若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为210x y -+=，则（ ）A ．()00f x '>B ．()00f x '<C ．()00f x '=D ．()0f x '不存在题型十一 切线条数与参数关系【典例21】（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题． 题型十二 切线条数与参数范围【典例23】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【典例24】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考期中）若过点(),0P t 可以作曲线()1e x y x =-的两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，则t 的取值范围是 . 题型十三 根据导数的几何意义求参数的值【典例25】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数()()1e x f x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【典例28】（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数()2ln 1f x x x =+-，则()f x 在1x =处的切线与坐求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围． （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．一、选择题：为（ ）A ．e 10x y ++=B ．e 10x y -+=C ．e 10x y +-=D ．e 10x y --=3．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，A ．1.0005B ．1.0001C ．1.005D ．1.0014．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点,P Q 分别是函数()()234,2ln f x x g x x x =-=-图6．（2022下·湖南邵阳·高三湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）P 为抛物线C ：24x y =准线上的一点，P A ，PB 为C 的两条切线， ()11,A x y ，()22,B x y 为切点，Q 为线段AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）四、解答题：10．（2022上·山东临沂·高二统考期末）已知函数()()2e x x x f a =+，且()01f '=.(1)求a 的值；(2)求与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程.11．（2023下·高二课时练习）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，求a 的值．12．（2022上·山西忻州·高一校考期末）已知曲线()3f x x x =－，求(1)曲线在点()1,0-处的切线方程； (2)曲线过点()1,0-的切线方程；(3)曲线平行于直线1110x y -+=的切线方程.。
高三数学二轮复习 2.1函数的图象与性质课件
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法 贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题．在近几 年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每 年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应 用题和综合题是高考命题的新趋势．
高考热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性和函数的图像．以二次函数、分 段函数、对数函数等为载体的题目在近几年中时有出 现．②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通 过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解 决问题，是考查的热点．③考查运用函数的思想来观察问 题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基 本数学思想．④以导数为工具研究函数的单调性，进而研 究最值、极值，使可研究的函数大大增加．近几年导数的 工具性体现得越来越明显．
判定单调性往往要借助定义域和奇偶性，方法主要有定义 法、图像法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意 x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝ f(x)的一个周期．
周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图像及其解析式相 关联出现．注意从代数变换角度分析．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的 函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(减)函 数．反映在图像上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数， 则图像在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x) 在给定区间(a，b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则称f(x)在区间 (a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．