热力学统计物理 第八章 课件剖析

e
kTC趋于1。
临界温度TC由下式定出
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
ekTC 1
令x=ε/kTC，上式可表为
由积分
2
h3
2mkTC 3/2
x1/2dx n
0 ex 1
x1/2dx
0 ex 1 2 2.612
可得对于给定的粒子数密度n，临界温度TC为
TC
2
2.612 2/3
➢ 玻色系统
将α、β和y看作已知参量，系统的平均总粒子数
N
l
al
l
l
e l 1
引入一个函数，名为巨配分函数，定义为
l
1 e l l
取对数得
l
l
ln l ln 1 e l
l
由此系统的平均总粒子数可通过lnΞ表示为
N ln
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，
有能级εl均有
l
e kT 1
以ε0表示粒子的最低能级，这个要求也可以表达为
ε0 > μ
即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的 能量。如果取最低能级为能量的零点，即ε0 =0，则有
μ< 0
化学势μ由公式
1
V
l
l
l
N n V
e kT 1
确定，为温度T和粒子数密度n=N/V的函数。
由此可知，在TC以下n0与n具有相同的量级，n0随温度的变
化如图。
这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。TC 称为凝聚温度。凝聚在ε0的粒子集合称为玻色凝聚体。
凝聚体不但能量、动量为零（对压强无贡献），由于 凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。
在T<TC时理想玻色气体的内能是处在能级ε>0的粒子
U
l
l al
l
ll
e l 1
可将U通过lnΞ表示为
U ln
外界对系统的广义作用力Y是∂εl/∂y的统计平均值
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
可将Y通过lnΞ表示为
Y 1 ln
y
此式的一个重要特例是
p 1 ln
V
由上面平均总粒子数、内能、广义力的表达式可得
已取极限μ→-0。
首先计算上式中的第二项。令x=ε/kT，得
n 0
2
h3
2m 3/2
1/2d
0 l
ekT 1
2
h3
2mkT 3/2
0
x1/ 2 dx ex 1
T
n
TC
3/ 2
将此式代回上式得，温度为T 时处在最低能级ε=0的粒子数
密度
n0 (T )
n 1
T TC
3/ 2
T TC
3/ 2
此式指出，在T<TC时理想玻色气体的CV与T3/2成正比，到
T=TC时CV达到极大值CV =1.925Nk，高温时应趋于经典值
3Nk/2。
将临界温度TC的表达式改写为
n
h
2 mkTC
3
n3
2.612
满足此式时原子的热波长大于原子的平均间距，量子统计
关联起着决定性作用。故而此式是理想玻色气体出现凝聚
1 dU Ydy dN dS
T 上两式 比较可知
1 ,
kT
kT
所以
dS
kd
ln
ln
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ln
积分得
S
k
ln
ln
ln
=k ln + N U
将前面lnΞ的表达式代入上式，并与第6.7节公式
ln = l al ln l al al ln al l ln l l
比较，得
S = klnΩ 此式就是熟知的玻尔兹曼关系，它给出熵与微观状态数的 关系。
➢ 费米系统
对于费米系统，只要将巨配分函数改为
其对数为
l
1+e l l
l
l
ln l ln 1+el
l
则前面得到的所有热力学量的统计表达式完全适用。
┣
如果知道粒子的能级和简并度，并将
ln
2
mk
n2/3
温度低于TC时会出现什么现象？
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
e kT 1
1
V
l
l
l
N n V
e kT 1
在T<TC时，应有
n0
(T
)
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
e kT 1
其中第一项n0(T)是温度为T时处在能级ε=0的粒子数密度，
第二项是处在激发能级ε>0的粒子数密度nε>0。在第二项中
与上面熵的表达式比较，可得巨热力势J与巨配分函数的 关系
J = -kTlnΞ
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度 为T、体积为V。
假设粒子的自旋为零，根据玻色分布，处在能级εl的
粒子数为
al
l
l
e kT 1
显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。这要求对所
能量的统计平均值
2V
U h3
2m 3/2
3/2d
0 e /kT 1
2V
h3
2m 3/2
kT
5/2
x3/2dx 0 ex 1
其中x=ε/kT。将积分求出，并将临界温度TC的表达式代入， 得
3/ 2
U
0.770NkT
T
TC
定容热容为
CV
U T
V
5U 2T
1.925Nk
l ln 1 e l
的求和计算出来，就可以l求得巨配分函数的对数作为α、β、
y的函数，进而可求得理想玻色（费米）系统的基本热力
学函数，从而确定系统的全部平衡性质。
lnΞ是以α、β、y（对简单系统即T、V、μ）为自然变
量的特性函数。
在第3.2节中讲过，以T、V、μ为自然变量的特性函数 是巨热力势
J U TS N
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式
由第7.2节可知，非简并条件可以表达为
e
V N
2 mkT
h2
3/ 2
1
或
nλ3<< 1
满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是由玻色子还 是费米子构成，都可以用玻尔兹曼分布处理。
不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻 色分布或费米分布处理。
εl和ωl都与温度无关，在粒子数密度n给定的情形下， 温度愈低，μ值必然愈高（|μ|愈小）。
利用第6.2节公式
D d
2V
h3
2m 3/2 1/2d
将上式的求和用积分代替，可将之表达为
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
e kT 1
化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界
温度TC时，μ将趋于-0。这时，
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
注意lnΞ是α、β、y的函数，其全微分为
d ln = ln d + ln d + ln dy
y
故有
dU
Ydy
dN
d
ln
ln
ln
此式指出β是
dU
Ydy
dN的积分因子。在热力学中
讲过，对于开系，dU Ydy dN 有积分因子1/T，使