液体运动的流场理论

有涡流 0 无涡流 0
区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动
o
o
无涡的圆周运动
.
有涡的圆周运动
高等数学定理：设开区域G是一个单连通域，函 数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数 (x，y) 的全微分的充要条件是等式
dx
.
旋转运动，绕y轴方向旋转角速
度为 yd2 dtd1 2(u zx u xxz)
液体质点 运动的基 本形式
位置平移 ux，uy，uz
x
ux x
线变形
y
u y y
线变形速率
z
uz z
角变形
边线偏转
x
1 (uz 2 y
uy z
)度
角
y
1(ux 2 z
uz x
)
变 形
z
1 (uy 2 x
ux ) y
ax
dux dt
ux t
ux x
dxux dt y
dyux dt z
dzux dt t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
uy x
dxuy dt y
dyuy dt z
dzuy dt t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
duz dt
uz t
uz x
dxuz dt y
dyuz dt z
本章主要内容
流速与加速度 流线迹线及其微分方程 液体质点运动的基本形式 无涡流与有涡流 液体运动的连续性方程式 实际液体运动微分方程式
.
结束
流速、加速度
欧拉法
ux fx (x(t), y(t), z(t),t) uy fy (x(t), y(t), z(t),t) uz fz (x(t), y(t), z(t),t)
ux uy uz 迹线的微分方程式 返回
液体质点运动的基本形式
z S
uz
uy
P ux
O y
R dz
uz
uz x
dx
du yy
u y x
dx
dx
Q
ux
ux x
dx
x
.
z 位置平移， ux，uz
S
R
线变形， u x d x d t
x
边线偏转，d
ux dzdt z
ux dt
dz uz dzdt z
uy z
)0
y
1(ux 2 z
uz)0 x
即有
z
1(uy 2 x
ux ) 0 y
流速势函数
uz uy y z ux uz z x uy ux x y
必存在一个函数 (x, y, z) ，可记为
d(x ,y ,z ) x d x y d y . zd z u x d x u y d y u z d z
ux V cos
例题2：有一液流，已知 u y V s i n 试分析该液体运动是有涡
uz 0
流还是无涡流？若为无涡流，求出流速势函数。
解：同前计算，该液体质点绕自身无旋转运动，即为无涡流。
d ( x ,y ) u x d x u y d y V c o sd x V s i n d y
dx
dy dz
α
积分得 y(tan)xC
Qux 0,uy 0,uz 0 所以液体质点无线变形。 x y z
Q x 1 2 ( u y z u z y ) 0 ,y 1 2 ( u z x u x z ) 0 ,z 1 2 ( u x y u y x ) 0 无角变形
dzuz dt t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
速时
度位
度变
变
加
加
.
速
返回
流线、迹线及其微分方程
流线z——是指某一u 瞬时，在流
场中绘出d的s 一条光u滑z 曲线，其
上所有各点的d速x 度向u量x 都与该
曲线相O切。dz dy uy
x
y
cos dx ux
ds u
cos dy uy
ds u
P Q y x
在G内恒成立。
如果
P y
Q x
，则有
d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
d ( x , y ) P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
P Q y x
z
d
d
d uz dt x
P
Q
角变形——使两边线的偏转
角相等，即 d d
uz
uz z
dz
S
ux
ux z
dz
uz P ux
uz
uz x
dxuz z
dz
dd
d d2 dd
R
ux
ux x
dxux z
dz
2 绕y轴方向直角边的变形角
uz
uz x
dx
速度为yd2 dtd1 2(uzxu xz)
Q
ux
ux x
.
前进
பைடு நூலகம்
分析水流的模型
流束理论——把液体运动看作是一股流
束，其误差用动能修正系数、动量修正系 数等进行修正。该方法将液体看作是一元 流动，只考虑沿流束轴线方向上的运动， 而忽略各轴线垂直方向的运动。
流场理论——把液体看作是充满一定空
间而由无数液体质点组成的连续介质运 动。不同时刻，流场中每个液体质点都 有它一定的空间位置、流速、压强等， 研究液体运动规律就是求解流场中这些 运动要素的变化情况。该方法将液体运 动看作是三. 元流动。
cos dz uz
ds u
ds dx u ux ds dy u uy
ds dz u uz
dx dy dz ds ux uy uz u
流线的微分方程式 .
迹线——是指某液体质
点在运动过程中，不同 时刻所流经的空间点所 连成的线。
dx uxdt
dy uydt
dz uzdt
dx dy dz dt
Q x 1 2 ( u y z u z y ) 0 ,y 1 2 ( u z x u x z ) 0 ,z 1 2 ( u x y u y x ) 0无旋转
所以该流动为恒定平面直线均匀. 流，液体质点无变形运动。 返回
无涡流与有涡流
按液体质点本身有无旋转
P R z x
.
Q R z y
P Q y x
P R z x
Q R z y
d ( x , y , z ) P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
无涡流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，所以有
x
1(uz 2 y
速
旋转运动
.
x
1 (uz 2 y
uy z
)
旋
y
1(ux 2 z
uz x
)
转 角
z
1 (uy 2 x
ux y
)
速 度
ux V cos
例题1：有一液流，已知 u y V s i n 试分析液体运动的特征。
uz 0
解：由所给流速条件可知，流速与时间无关，
故液流为恒定流，流线与迹线重合。
流线方程式为 VcosVsin 0