液体运动的流场理论
液体运动的流束理论
液体运动的流束理论本章先建立液体运动的基本概念,然后依据流束理论,从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。
1、描述液体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性，所以这种方法又称为“质点系法”。
欧拉法，以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做“流场法”。
2、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，即“运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关”。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。
3、迹线与流线迹线，拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况而引出的，是指某一液体质点在运动过程中不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线，欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出的，是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
流线具有瞬时性（对于非恒定流来说，其图形会随时间变化），迹线没有瞬时性；流线与迹线都具有族线。
流线的基本特性：1恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变；2恒定流时液体质点运动的流线与迹线相重合；3流线不能相交。
4、流管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速流管：在水流中任意一微分面积dA ，通过该面积的周界上的每一个点均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。
微小流束：充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
微小流束性质：1微小流束内外液体不会发生交换；2恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将会随时间而改变；3横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。
总流：任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。
流体力学第2章流体运动学基本概念
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
水力学基本概念
目录绪论：1第一章：水静力学1第二章：液体运动的流束理论3第三章：液流形态及水头损失3第四章：有压管中的恒定流5第五章：明渠恒定均匀流5第六章：明渠恒定非均匀流6第七章：水跃7第八章：堰流及闸空出流8第九章：泄水建筑物下游的水流衔接与消能9第十一章：明渠非恒定流10第十二章：液体运动的流场理论10第十三章：边界层理论11第十四章：恒定平面势流11第十五章：渗流12第十六章：河渠挟沙水流理论基础12第十七章：高速水流12绪论：1 水力学定义：水力学是研究液体处于平衡状态和机械运动状态下的力学规律，并探讨利用这些规律解决工程实际问题的一门学科。
b5E2RGbCAP2 理想液体：易流动的，绝对不可压缩，不能膨胀，没有粘滞性，也没有表面张力特性的连续介质。
3 粘滞性：当液体处在运动状态时，若液体质点之间存在着相对运动，则质点见要产生内摩擦力抵抗其相对运动，这种性质称为液体的粘滞性。
可视为液体抗剪切变形的特性。
<没有考虑粘滞性是理想液体和实际液体的最主要差别）p1EanqFDPw4 动力粘度：简称粘度，面积为1m2并相距1m的两层流体，以1m/s做相对运动所产生的内摩擦力。
5 连续介质：假设液体是一种连续充满其所占空间毫无空隙的连续体。
6 研究水力学的三种基本方法：理论分析，科学实验，数值计算。
第一章：水静力学要点：<1）静水压强、压强的量测及表示方法；<2）等压面的应用；<3）压力体及曲面上静水总压力的计算方法。
DXDiTa9E3d7 静水压强的两个特性：1）静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面2）任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
RTCrpUDGiT8 等压面：1）在平衡液体中等压面即是等势面2）等压面与质量力正交3）等压面不能相交4）绝对静止等压面是水平面5）两种互不相混的静止液体的分界面必为等压面6）不同液体的交界面也是等压面5PCzVD7HxA9 静水压强的计算公式：p=p0+10 绕中心轴作等角速度旋转的液体：11 绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为绝对压强。
流体运动流场理论
x
u2 ()
2
ux t
ux
ux x
x c1et t 1
y c2et t 1
因为t =0时x=a，y=b，可求得c1=a+1，c2=b+1，代入上式，即得迹线方程
x (a 1)et t 1
y (b 1)et t 1
12
x (a 1)et t 1
y (b 1)et t 1
(2) 将t=0时x=-1，y=-1代入迹线方程，得a＝-1，b=-1。因此，经过点A(-1,-1) 的迹线方程为：
12341 12 23 34 41 bv0 0 bv0 0 0 可见 12341 与b无关，故任意大小矩形周线的 0
同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。据 斯托克斯定理，均匀平行流为无旋流动。
21
22
12.5 液体运动的连续性方程
质量守恒定律
液体运动
连续介质的连续运动
2
二、欧拉法
研究对象：各种运动要素的分布场
任意时刻t通过流场中任意点M（x，y，z）的 液体质点的流速为
u u(x, y, x,t)
u在各坐标轴上的投影可表示为
ux ux (x, y, z, t)
uy uy (x, y, z, t)
uz
uz (x,
y,
z,
t
)
(12.1)
流速u随时间的变化率: u ≠ du
第12章流体运动的流场理论
1
12.1 流速、加速度
描述液体运动的两种方法： 拉格朗日法和欧拉法
一、拉格朗日法 质点系法
研究对象：液体质点
任意质点的空间位置可表示为
x x(a, b, c, t) y y(a, b, c, t)
《雷诺输运定理》课件
对于非牛顿流体，由于其流动 特性与牛顿流体不同，因此雷 诺输运定理的适用性可能有限
。
改进方向
发展更精确的数值模 拟方法，以模拟流体 的微观运动特性。
深入研究流体的微观 运动特性，以更好地 理解其宏观流动特性 。
结合其他理论或模型 ，如湍流模型或非牛 顿流模型，以提高预 测精度。
06
雷诺输运定理的发展前景
粒子追踪
通过跟踪流场中粒子的运 动轨迹，分析流体的输运 性质。
温度场测量
在流体中设置温度传感器 ，测量温度分布，分析热 量的输运过程。
结果分析
数据对比
将实验数据与理论结果进行对比，分析误差来 源。
适用性分析
分析雷诺输运定理在不同流动条件下的适用范 围和局限性。
改进建议
根据实验结果，提出对理论模型的改进意见，提高理论预测的准确性。
05
雷诺输运定理的局限性
适用范围
雷诺输运定理适用于连续流动的流体，如气体和 液体。
对于非连续流动的流体，如颗粒流或泥浆流，雷 诺输运定理可能不适用。
在高雷诺数流动中，雷诺输运定理的适用性可能 受到限制。
误差分析
由于雷诺输运定理基于宏观平 均流动特性，因此可能无法准 确描述流体的微观运动特性。
在复杂流动中，如湍流或分 离流，雷诺输运定理的误差
雷诺输运定理揭示了流体运动的本质特征，包括流体的流动规律、速度场的变化、质量守恒、动量守 恒和能量守恒等。这些特征对于理解和分析流体运动的特性、流动现象和流体动力系统的行为具有重 要意义。
雷诺输运定理的应用领域
总结词
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用，如航空航天 、气象学、环境科学等。
详细描述
雷诺输运定理在多个领域都有广泛应用。在航空航天 领域，该定理用于分析和预测流体动力学问题，如飞 行器的气动性能和飞行稳定性。在气象学领域，雷诺 输运定理用于描述大气中各种气象要素的分布和变化 。在环境科学领域，该定理用于研究流体运动对污染 物扩散、水质变化等环境问题的影响。此外，雷诺输 运定理还在水利工程、交通运输和工业生产等领域得 到广泛应用。
水流运动的基本原理
第三章水流运动的基本原理上一章已阐述了有关水静力学的基本概念、基本理论及其应用。
但在自然界或许多工程实际问题中，液体多处于运动状态。
只有对运动状态的液体进行深入地分析研究才能得出液体运动规律的一般原理。
因此，从本章开始将转入有关水流运动问题的讨论。
实际工程中的水流尽管千差万别，变化万千，但理论和实践都证明，它们必须遵循物质机械运动的普遍规律，如在物理学或理论力学中已学习过的质量守恒定律、动能定理和动量定理等。
本章作为水流运动问题的开端，重点介绍描述液体运动的方法和有关水流运动的基本概念，讨论并建立一元恒定流的连续性方程、能量方程、动量方程和动量矩方程。
至于如何应用这些规律解决具体边界条件特定形式的水流运动，如管流、明渠水流、堰闸水流等将在以后各章中分别讨论。
本章是水力学的理论核心内容，它将为以后各章的学习打下良好的基础。
第一节描述水流运动的两种方法一、描述水流运动的两种方法水流运动时，表征液体运动的各种物理量称为运动要素，常遇到的运动要素有流速、压强、加速度、切应力、液体的密度和容重等。
这些运动要素随着时间和空间位置不断发生变化。
水力学中研究水流运动通常采用两种方法，即迹线法和流线法。
（一）迹线法迹线法又叫拉格朗日（Lagrange）法，就是像物理学中研究固体运动那样，把液体中单个质点作为研究对象，通过对每个水流质点运动轨迹的研究来获得整个液体运动的规律。
运用迹线法研究液体运动实质上与研究一般固体力学方法相同，所以也称为质点系法。
（二）流线法流线法又叫欧拉（Euler）法，就是把充满液体质点的固定空间作为研究对象，不再跟踪每个质点，而是把注意力集中在考察分析水流中的水质点在通过固定空间点时的运动要素的变化情况，来获得整个液体运动的规律。
水流运动时在同一时刻每个质点都占据一个空间点，只要搞清楚每个空间点上运动要素随时间的变化规律，就可以了解整个水流的运动规律了。
由于流线法是以流动的空间作为研究对象，而且通常把液体流动所占据的空间称为流场。
(完整版)第二章液体运动的流束理论
pdA p dpdA dG cos dm a
其中， dm dAds
cos dz
ds
a du du ds du u dt ds dt ds
z p u2 C
2g
28
z p u2 C
2g
或
z1
p1
u12 2g
z2
p2 u22
2g
理想液体恒定元流的能量方程
29
二、实际液体恒定元流的能量方程
恒定流的运动要素仅随空间位置变化，不随时间 变化。 例子：库水位不变时，引水隧洞中的水流。
5
2、非恒定流 流场中空间点的运动要素随时间变化的水流。 非恒定流的运动要素是时间和空间的函数。 实际水流严格上讲均为非恒定流。
6
二、流线、迹线 1、迹线 单个液体质点在空间的运动轨迹。 2、流线 某时刻在流场中绘制的一条光滑曲线。曲线上各 点切线的方向代表了同一时刻处于该点处的液体 质点的运动方向。
1、均匀流
流速的大小、方向沿流动方向（空间）都不变 的流动。
明渠均匀流
管道均匀流
31
均匀流特性 ①所有流线为相互平行的直线。
推论：过水断面为平面。 ②同一流线上各点流速相同。
推论：过水断面平均流速沿程不变。 注：不同流线上流速不一定相同。
7
3、流线的基本特性 对恒定流，流线形状不随时间变化，流线与 迹线重合；对非恒定流，流线只具有瞬时性， 流线与迹线不重合。 同一时刻，流场中的各条流线不相交。 流线为光滑的曲线。
8
流线分布的疏密程度反映流速的大小。流线 密的地方则流速大，流线疏的地方流速小。
1
2
9
溢流坝流线
10
三、 微小流束、总流 1、流管 在流场中，通过一个封闭线的周边上所有流线 围成的一个管状曲面。
流体力学3-3-4流体运动学
流体运动学的应用领域和发展趋势
能源
风力发电、水力发电等领域涉及到流体运动学的知识 ，用于提高能源转换效率和稳定性。
环境
流体运动学在气候变化研究、污染物扩散等领域有广 泛应用。
流体运动学的应用领域和发展趋势
1 2 3
跨学科融合
流体运动学与数学、物理、工程学等多个学科的 交叉融合，推动流体力学理论的创新与发展。
流体机械工作原理
泵的工作原理
通过叶轮旋转产生的离心力将流体吸入，在 叶轮出口处将流体以更高的压力排出。
风机的原理
利用叶轮旋转产生的空气动力学效应，将机 械能转换为空气的压力能和动能。
流体动力学在交通工程中的应用
要点一
车辆空气动力学
要点二
道路排水设计
车辆的外形设计、车速等都会影响空气对车辆的作用力， 进而影响车辆的行驶稳定性、燃油经济性等。
加强跨学科合作与交流是推动流体运动学发展的重要途径。
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流体力学3-3-4流体运动学
• 流体运动学概述 • 流体运动的分类与描述 • 流体运动的物理性质 • 流体动力学方程 • 流体运动的实例分析 • 总结与展望
01
流体运动学概述
流体运动学的定义与重要性
定义
流体运动学是研究流体运动的学科， 主要关注流体速度、方向和加速度等 物理量的变化规律。
重要性
层流与湍流
层流
流体在运动过程中，流层之间互不掺混，呈规则的层次流动 。
湍流
流体在运动过程中，流层之间相互掺混，流动呈现无规则的 紊乱状态。
定常流动与非定常流动
定常流动
流体在运动过程中，流场参数不随时 间变化而变化的流动。
非定常流动
第三章流束理论
EXIT
渐变流和急变流
通常边界近于平行直线时水流往往是渐变流。管道转弯、断
面突扩或收缩和水工建筑物等引起水面突变时水流为急变流。
EXIT
3.3 恒定总流的连续性方程
液流运动过程中遵循质量守恒定律，连续性方程是质量守恒 定律的一种特殊方式。
不可压缩实际液体恒定流微小流束的能量方
u12 2g
=
z2
+
p2
g
+
u22 2g
+ hw'
各项乘以 ρgdQ，并分别在总流的两个过水断面 A1 及 A2 上积 分得：
Q
(z1
+
p1 ρg
) ρgdQ
+
u12 ρgdQ = Q 2g
Q
(z2
+
p2 ρg
)
ρgdQ
+
u22 ρgdQ + Q 2g
EXIT
令质点 M 在 t0 时刻的空间坐标为 (a, b, c)，任意时刻 t 的空 间坐标为 (x, y, z)，则有：
x = x(a,b, c,t) 运动轨迹 y = y(a,b, c,t)
z = z(a,b, c,t)
质点速度
ux uy uz
= x t
= y t
= z t
= = =
x(a,b, c,t)
同一液体质点， 经过时间 dt 从某 一空间点移动到 另一点，质点的 流速和空间位置 (x, y, z) 都是时间 t 的函数。
ax
=
du x dt
=
ux t
+ ux
3工程流体力学 第三章流体运动学基础
个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续16）
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上，液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意：水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程，其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面，它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续10）
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t； v= -y+t；w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解：由流线的微分方程：
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续5）
因为u不随t变，所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线，流管（续6）
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时，质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解：由迹线的微分方程：
dx d y dz dt u vw
u=x+t；v=-y+t；w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1)：C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t，得迹线方程： x+y = -2
流体力学(流体运动学)
u x = u x ( x, y , z , t )
u y = u y ( x, y , z , t )
p = p ( x, y, z, t)
u z = u z ( x, y , z , t )
实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课 程主要研究恒定流动问题。
二、迹线和流线
1、迹线 、
三、一维、二维、三维流动 一维、二维、
流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素 与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流 、三维流。 一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量 有关，这种流动称为一维流动。即
u = u ( x, t)
之为二维流动。
p = p ( x, t )
随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和 则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度， 称为位变加速度（迁移加速度）。
同理可得：
ay =
duy dt
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z az = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法 拉格朗日法。 拉格朗日法 表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量 拉格朗日变量。 （ ， ， ） 拉格朗日变量 流体质点的速度为
∂x (a , b, c, t ) ux = ∂t ∂y ( a , b, c, t ) uy = ∂t ∂z (a , b, c, t ) uz = ∂t
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第九章 流场理论
9.4 无涡流与有涡流
无涡流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，应满足：
x
=
1 2
uz y
−
u y z
=
0
y
=
1 2
ux z
−
uz x
=
0
z
=
1 2
u y x
−
ux y
=
0
9.4 无涡流与有涡流
根据无涡流定义，有
uz = uy ; ux = uz ; uy = ux y z z x x y
假定流场中存在函数 (x, y, z,t) ，且满足：
9.1 流速和加速度
探索液体运动规律有流束理论和流场理论两种不同的途径。
流束理论：将液体看作是一元流动，只考虑沿流束轴线方向的 运动，而忽略与轴线垂直方向的横向运动，建立运动要素断面 平均值之间的关系。
当需要研究水流的内部结构，了解水流的流速分布时，流束理 论不能解决。如：
分析河道中水流的流态、污染物迁移扩散与河道冲淤变化等， 需要了解流动区域内的流速分布。
x
=
1 2
uz y
−
u y z
z
=
1 2
u y x
−
ux y
第九章 流场理论
本章主要内容： 9.1 流速和加速度 9.2 流线和迹线的微分方程 9.3 液体质点运动的基本形式 9.4 无涡流与有涡流 9.5 恒定平面势流 9.6 液体运动的连续性方程 9.7 理想液体的运动微分方程 9.8 实际液体的运动微分方程
别为：
x方向
ux x
dxdt
=
ux
；
同理
dxdt x
y方向
uy dydt
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有涡流 0 无涡流 0
区分液体质点的有旋运动与迹线为圆周的旋转运动
o
o
无涡的圆周运动
.
有涡的圆周运动
高等数学定理：设开区域G是一个单连通域，函 数P(x，y)、Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数， 则P(x，y)dx+Q(x，y)dy在G内为某一函数 (x，y) 的全微分的充要条件是等式
dx
.
旋转运动，绕y轴方向旋转角速
度为 yd2 dtd1 2(u zx u xxz)
液体质点 运动的基 本形式
位置平移 ux，uy，uz
x
ux x
线变形
y
u y y
线变形速率
z
uz z
角变形
边线偏转
x
1 (uz 2 y
uy z
)度
角
y
1(ux 2 z
uz x
)
变 形
z
1 (uy 2 x
ux ) y
ax
dux dt
ux t
ux x
dxux dt y
dyux dt z
dzux dt t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
uy t
uy x
dxuy dt y
dyuy dt z
dzuy dt t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
duz dt
uz t
uz x
dxuz dt y
dyuz dt z
本章主要内容
流速与加速度 流线迹线及其微分方程 液体质点运动的基本形式 无涡流与有涡流 液体运动的连续性方程式 实际液体运动微分方程式
.
结束
流速、加速度
欧拉法
ux fx (x(t), y(t), z(t),t) uy fy (x(t), y(t), z(t),t) uz fz (x(t), y(t), z(t),t)
ux uy uz 迹线的微分方程式 返回
液体质点运动的基本形式
z S
uz
uy
P ux
O y
R dz
uz
uz x
dx
du yy
u y x
dx
dx
Q
ux
ux x
dx
x
.
z 位置平移， ux，uz
S
R
线变形， u x d x d t
x
边线偏转，d
ux dzdt z
ux dt
dz uz dzdt z
uy z
)0
y
1(ux 2 z
uz)0 x
即有
z
1(uy 2 x
ux ) 0 y
流速势函数
uz uy y z ux uz z x uy ux x y
必存在一个函数 (x, y, z) ，可记为
d(x ,y ,z ) x d x y d y . zd z u x d x u y d y u z d z
ux V cos
例题2：有一液流，已知 u y V s i n 试分析该液体运动是有涡
uz 0
流还是无涡流？若为无涡流，求出流速势函数。
解：同前计算，该液体质点绕自身无旋转运动，即为无涡流。
d ( x ,y ) u x d x u y d y V c o sd x V s i n d y
dx
dy dz
α
积分得 y(tan)xC
Qux 0,uy 0,uz 0 所以液体质点无线变形。 x y z
Q x 1 2 ( u y z u z y ) 0 ,y 1 2 ( u z x u x z ) 0 ,z 1 2 ( u x y u y x ) 0 无角变形
dzuz dt t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
速时
度位
度变
变
加
加
.
速
返回
流线、迹线及其微分方程
流线z——是指某一u 瞬时，在流
场中绘出d的s 一条光u滑z 曲线，其
上所有各点的d速x 度向u量x 都与该
曲线相O切。dz dy uy
x
y
cos dx ux
ds u
cos dy uy
ds u
P Q y x
在G内恒成立。
如果
P y
Q x
，则有
d ( x ,y ) P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
d ( x , y ) P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
P Q y x
z
d
d
d uz dt x
P
Q
角变形——使两边线的偏转
角相等，即 d d
uz
uz z
dz
S
ux
ux z
dz
uz P ux
uz
uz x
dxuz z
dz
dd
d d2 dd
R
ux
ux x
dxux z
dz
2 绕y轴方向直角边的变形角
uz
uz x
dx
速度为yd2 dtd1 2(uzxu xz)
Q
ux
ux x
.
前进
பைடு நூலகம்
分析水流的模型
流束理论——把液体运动看作是一股流
束，其误差用动能修正系数、动量修正系 数等进行修正。该方法将液体看作是一元 流动，只考虑沿流束轴线方向上的运动， 而忽略各轴线垂直方向的运动。
流场理论——把液体看作是充满一定空
间而由无数液体质点组成的连续介质运 动。不同时刻，流场中每个液体质点都 有它一定的空间位置、流速、压强等， 研究液体运动规律就是求解流场中这些 运动要素的变化情况。该方法将液体运 动看作是三. 元流动。
cos dz uz
ds u
ds dx u ux ds dy u uy
ds dz u uz
dx dy dz ds ux uy uz u
流线的微分方程式 .
迹线——是指某液体质
点在运动过程中，不同 时刻所流经的空间点所 连成的线。
dx uxdt
dy uydt
dz uzdt
dx dy dz dt
Q x 1 2 ( u y z u z y ) 0 ,y 1 2 ( u z x u x z ) 0 ,z 1 2 ( u x y u y x ) 0无旋转
所以该流动为恒定平面直线均匀. 流，液体质点无变形运动。 返回
无涡流与有涡流
按液体质点本身有无旋转
P R z x
.
Q R z y
P Q y x
P R z x
Q R z y
d ( x , y , z ) P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
无涡流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，所以有
x
1(uz 2 y
速
旋转运动
.
x
1 (uz 2 y
uy z
)
旋
y
1(ux 2 z
uz x
)
转 角
z
1 (uy 2 x
ux y
)
速 度
ux V cos
例题1：有一液流，已知 u y V s i n 试分析液体运动的特征。
uz 0
解：由所给流速条件可知，流速与时间无关，
故液流为恒定流，流线与迹线重合。
流线方程式为 VcosVsin 0