1.3.1.第二课时_函数的最大(小)值

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高中数学 1.3.1.2 第2课时函数的最大值、最小值课件新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
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1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
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2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的最大值为 2，求 a 的值．解析：首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性：设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
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2．二次函数的最值二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线，当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2，当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大值为________．解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)，在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
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②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

第一章 1.3 1.3.1 第二课时函数的最大(小)值

(1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M ； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
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2．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ；
(2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M .
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3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a的值是________．解析：a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2； a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.
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解：设销售价为 x 元/瓶(3≤x≤4)，则根据题意(销售量等于进货 4－x 量)，正好当月销售完的进货量为 ×40＋400(瓶)，即 400(9 0.05 －2x)瓶．此时所得的利润为 f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)， 15 根据函数性质，当 x＝时，f(x)取得最大值 450. 4 15 这时进货量为 400(9－2x)＝400(9－2× )＝600(瓶)． 4 15 答：销售价定为每瓶元，并且从工厂购进 600 瓶时，才可获 4 得最大利润 450 元．
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[活学活用] 1 在题设条件不变的情况下，求 f(x)在[ ，2]上的最值． 3
1 1 解：设 x1x2∈[ ，1]，并且 x1<x2，同理可证 f(x1)>f(x2)，即 f(x)在[ ， 3 3 1]上是减函数． 1 结合例题可知，函数 f(x)在[ ，1]上单调递减，在(1,2)上单调递增． 3 ∴当 x＝1 时，f(x)取得最小值 f(1)＝2； 1 1 10 5 1 10 又 f( )＝＋3＝ >f(2)＝，∴f(x)在[ ，2]上的最大值为，最小 3 3 3 2 3 3 值为 2.

高中数学1.3.1函数的最大(小)值(2)教学设计新人教A版必修1

1.3.1 (2)函数的最大(小)值(教学设计)教学目的：(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义；(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大(小)值及其几何意义. 教学难点：禾U用函数的单调性求函数的最大(小)值. 教学过程：一、复习回顾，新课引入1、用定义证明函数的单调性：取值T作差T变形T定号T下结论2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：①说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；②指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征?(1) f(x)2x 3(2) f (x) 2x 3 x [ 1,2](3) f(x)x2 2x 1(4) f(x) x22x 1 x [ 2,2]二、师生互新课讲解：动，(一)函数最大(小)值定义1 .最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为1 , 如果存在实数M满足：(1)对于任意的x€ I，都有f(x) < M;(2)存在x o € I，使得f(x 0)= M那么，称M是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value).思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值(Minimum Value )的定义.设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x I，都有f(x) M ;(2)存在x0I，使得f(x0) M .那么，我们称M是函数y f (x)的最小值(minimum value).①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在X。

€ I，使得f(x 0) = M ;②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x€ I，都有f(x) < M(f(x) > M> .2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值(2)利用图象求函数的最大(小)值(3)禾U用函数单调性的判断函数的最大(小)值1) 如果函数y=f(x)在区间［a , b］上单调递增，在区间［b , c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);2) 如果函数y=f(x)在区间［a , b］上单调递减，在区间［b , c］上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最小值f(b); (二)典型例题例1.(课本P30例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.解一：(顶点法)；解二：(配方法)y=-4.9 (x-1.5 ) +29.0252说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值.变式训练1:如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x,面积为y,试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？2例2 :(课本P31例4)求函数y 在区间［2，6］上的最大值和最小值.x 1分析：函数单调性求最值。

【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3.1单调性与最大(小)值第2课时(含答案解析)

第 2 课时函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减，则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝－ 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3，联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数，当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。

2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第1章 1.3.1 第2课时函数的最大(小)值 Word版含解析

第2课时函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题．1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( ) A ．有最大值12，最小值－1 B ．有最大值12，无最小值 C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域．【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x≥12x －1，x<1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．【自主解答】设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x1－x 2－4x2＝x 1－x 2＋错误!＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x1x2＝(x 1－x 2)x1x2－4x1x2＝错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数．同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；【导学号：97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝错误!.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴错误!＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x≤6，x ∈N－3x2＋68x －115，6<x≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元．当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∵R (x )＝错误! ∴f (x )＝R (x )－G (x ) ＝错误!(2)当x ＞5时，函数f (x )递减， ∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值．【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a ＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝错误!＝错误!.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。

人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第一章 1.3 1.3.1 第二课时

第一章1.3 1.3.1第二课时函数的最大值、最小值课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标| 1．函数y ＝－|x |在R 上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．无最大值，有最小值0 C ．既无最大值，又无最小值 D ．以上都不对解析：选A 因为函数y ＝－|x |的图象如图所示，所以函数y ＝－|x |在R 上有最大值0，无最小值．2．函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32 C ．2D ．3解析：选B 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．函数y ＝⎩⎨⎧x ＋3，x ＜1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 当x ＜1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y ＜4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：选C 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上的值域为________．解析：∵函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝3＋1＝4，f (x )max ＝f (4)＝4＋ 2. 答案：[4,4＋ 2 ]7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，且f (－3)＝m ，f (－1)＝n ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．解析：由f (a )－f (b )a －b>0知f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－3，－1]上的最大值为f (－1)＝n .答案：n8．函数f (x )＝x －1的最小值是________．解析：设x ＝t ，t ≥0，所以f (t )＝t 2－1，t ≥0. 所以f (x )＝x 2－1，x ≥0，因为f (x )＝x 2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为－1.即f (x )＝x －1的最小值是－1. 答案：－19．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由(x －1)2＋2＝3，得x ＝0或x ＝2.作出函数图象如图所示，由图象知，m 的取值范围是1≤m ≤2.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎨⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30,54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．‖层级二‖|应试能力达标|1．函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选C 画出y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的图象．由图象知，值域为[－1，＋∞)．2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设该公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x ∈N )，则在乙地销售(15－x )辆，公司获得利润为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.故当x ＝9或10时，L 取得最大值120万元．3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C 要求函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域，只需求t ＝－x 2＋4x (x ∈[0,4])的值域即可．设二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4(x ∈[0,4])，所以f (x )的值域是[0,4]．因为t ＝f (x )，所以t 的值域是[0,2]，－t 的值域是[－2,0]．故函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是[0,2]．故选C.4．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选B f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]．由最小值为1知m ≥2.又最大值为5，f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4.故选B.5．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：66．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图象，如图所示．根据min{x ＋2,10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x ＞4，所以函数f (x )的图象应为图中的实线部分．解方程x ＋2＝10－x 得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点为(4,6)．观察图象知，f (x )的最大值为图象最高点的纵坐标，即f (x )的最大值为6.答案：67．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：208．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.由Ruize收集整理。

高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法）师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

3.1.2 第2课时函数的最大(小)值课件【共29张PPT】

值为 2，故选 B. 答案：B
3．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，
则 f(x)的最大值为
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：因为 f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线 x＝2.
所以 f(x)在[0,1]上单调递增．
[对点练清] 1．用长度为 24 m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要
使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.
解析：设隔墙长度为 x m，场地面积为 S m2，则 S＝x·24－2 4x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以当 x＝3 时，S 有最大值．答案：3
2．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． [提醒] (1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[对点练清]
1．下列函数在[1,4]上最大值为 3 的是
解析：因为 f(x)＝12x2－2x＋3 在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞) 上单调递增．则当 0<m<2 时，ff0m＝＝31，，此时无解；当 2≤m≤4 时，在 x＝2 处有最小值 1，在 x＝0 或 x＝4 处有最大值 3，此时条件成立；当 m>4 时，最大值必大于 f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数 m 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4]

高中数学人教版A版必修一课件：第一章《集合与函数概念》 1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值

(1) 解析
作出函数 f(x) 的图象 ( 如图 ) ．由图象可知，当 x ＝±1
时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0
(2)解
任取 2≤x1<x2≤5，
x1 x2 则 f(x1)＝，f(x2)＝， x1－1 x2－1 x1－x2 x2 x1 f(x2)－f(x1)＝－＝， x2－1 x1－1 x2－1x1－1 ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)． x ∴f(x)＝在区间[2,5] 上是单调减函数． x－1 2 5 5 ∴f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝4. 2－1 5－1
解
(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x，
1 2 － x ＋300x－20 0000≤x≤400，从而 f(x)＝ 2 60 000－100xx＞400. 1 (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－2(x－300)2＋25 000； ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000，当 x＞400 时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．
规律方法
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景” 译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析

1.3.1 第二课时函数的最大(小)值 _1

3.函数 y= 1 在区间[2,3]上的最小值为( B ) x 1
(A)2
(B) 1 2
(C) 1 3
(D)- 1 2
解析:函数 y= 1 在区间[2,3]上是减函数,故当 x=3 时,ymin= 1 = 1 .
x 1
31 2
4.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为
;最
(2)求函数f(x)在[-3,0]上的最大值与最小值; (3)求函数的值域.
(2)解:由(1)知函数f(x)在(-∞,1]上是增函数, 所以函数f(x)在[-3,0]上是增函数, 因此函数f(x)=1- 1在x [-3,0]上有最小值f(-3)=-1,最大值f(0)=0. (3)解:由(1)知函数的定义域为(-∞,1],且函数f(x)=1- 在1定x 义域上是增函数, 所以f(x)≤f(1)=1, 即函数f(x)的值域为(-∞,1].
题型三二次函数的最值【例3】求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值g(a)和最小值h(a).
解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a. (1)当a<0时,由图(1)可知,
f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.
(2)当0≤a<1时,由图(2)可知,
2
= x1x2 2x1 x2 2 x1x2 2x2 x1 2 = 3 x1 x2 ,
x1 2 x2 2
x1 2 x2 2
因为 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, 即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2),

教学课件：第2课时-函数的最大(小)值

提供决策依据。
股票价格波动问题
要点一
股票价格波动问题
股票市场是经济发展的晴雨表，股票价格的波动反映了市场的供求关系和投资者的预期。利用函数最大(小)值的概念，可以对股票价格进行预测，为投资者提供决策依据。
要点二
解决方案
在股票价格波动问题中，可以通过技术分析、基本面分析等方法建立数学模型。通过分析历史数据、研究市场动态等手段，可以预测股票价格的走势，为投资者提供投资建议。同时，也要注意风险控制，避免过度投机带来的损失。
教学课件第2课时-函数的最大(小)值
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目录
• 函数最大(小)值的概念 • 求函数最大(小)值的方法 • 函数最大(小)值的应用 • 函数最大(小)值的实际案例 • 总结与思考
01ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数最大(小)值的概念
定义与性质
定义
函数在某区间内的最大(小)值是指该区间内函数值不超过任何其他值的数。
学性能。
在工程设计中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，结构的稳定性是至关重要的。通过求解结构的应力函数，可以得到结构的最大承载力和最小刚度，从而优化结构设计。
VS
控制系统设计
在控制系统中，系统的稳定性和响应速度是关键因素。通过求解控制系统的传递函数，可以得到系统的最大带宽或最小相位裕量，从而优化控制系统的性能。
03
函数最大(小)值的应用
在经济中的应用
生产成本最低化
在生产过程中，企业希望通过合理安排生产计划，使得生产成本最低。这可以通过求解生产函数的最小值来实现，从而找到最优的生产规模和生产方式。
利润最大化
在市场经济中，企业追求利润最大化。通过求解收益函数关于成本的导数，可以得到利润最大化的条件，从而制定出最优的定价策略和销售策略。

高中数学 1.3.1.2函数的最大(小)值课件新人教A版必修1

精选ppt
2．仿照函数最大值的定义，请你给出函数y＝f(x)最小值的定义________________________________________________ ______________________________________________________ _________________________________________.
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(3)一个函数一定存在值域，但不一定存在最值(当值域是开区间时)，最值是值域为闭区间时的端点值．
3．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a， b]上有最大值f(b)，最小值f(a)． (2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a， b]上有最大值f(a)，最小值f(b)．
第一章集合与函数概念
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1.3 函数的基本性质
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1．3.1 单调性与最大(小)值
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第二课时函数的最大(小)值
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识夯实基础
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学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值.
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【解】设1≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2＋x42＝(x1－x2)1－x14x2. 又∵x1<x2，∴x1－x2<0. 当1≤x1<x2≤2时，1－x14x2<0. f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[1,2]上是减函数；当2<x1<x2≤3时，1－x14x2>0，

高中数学1.3函数的基本性质1.3.1第2课时函数的最大值、最小值优化练习新人教A版必修1

1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值[课时作业] [A 组基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x <－1；2x －1，－1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－a 2＋6a ＋9＝－7，fb ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0.答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在(0，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36.答案：369．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2x 1＋x 2＋＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a . 当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧27－10a a ，2－a 2－5≤a ＜，27＋10a a <－[B 组能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值C ．有最小值12，最大值54D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y 在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A. 答案：A2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2.(1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0，∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－4<m <－2，f＝1＋m ＋4≤0，f＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1.答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y 24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283.故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。

第一章1.3.1 第二课时函数的最大(小)值

为________．
答案：1
1 2
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图象法求函数的最值
[例 1] 如图为函数 y＝f(x)，x∈ [－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以当 x＝3 时，函数 y＝f(x)取得最大值，即 ymax＝3；当 x＝－1.5 时，函数 y＝f(x)取得最小值，即 ymin＝－2.
条件数 M 满足：对于任意的 x∈I，都有
f(x) ≤ M
f(x) ≥ M
存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最大值
称
M
是函数
y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最纵坐标
高
点的 f(x)图象上最
低点的纵坐标
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[点睛] 函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，
是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值． (2)函数的最小值一定比最大值小．
结束
(× ) (√)
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2.函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
针对的是整个定义域． (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函

1.3.1.第二课时_函数的最大(小)值

高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

第一章 1.3 1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值

高中数学1.3.1函数的最大(小)值(2)教学设计新人教A版必修1

【创新设计】高中数学(人教版必修一)配套练习：1.3.1单调性与最大(小)值第2课时(含答案解析)

2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第1章 1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值 Word版含解析

人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.3 1.3.1 第二课时