函数的奇偶性及其几何意义

教学过程：

（一）函数的奇偶性定义

1．偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：

○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则

－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（三）典型例题

1．判断函数的奇偶性

例1．（例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例2．（习题1．3 B组每1题）

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

2．利用函数的奇偶性补全函数的图象

规律：偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

3．函数的奇偶性与单调性的关系

例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

★知识拓宽：

奇偶性的应用：

例1.已知21

)2()(22++--+=x x b a x x f 是]1,[-b a 上的偶函数，求)b a (f -

的值。

例2．已知函数211)(x a

x x f ---=是奇函数，求a 的值

例3.已知函数1)(2++=bx x x f 为R 上的偶函数，求b 的值

想一想：若e dx cx bx ax x f ++++=234)(为奇函数，则e d c b a ,,,,

满足什么关系

奇偶性与单调性综合

例 1. 定义在()3,3-上的奇函数)(x f 为减函数,对于任意实数a ,总有0)()(2>+a f a f ,求a 的取值范围.

例2、已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞

时，()(1f x x =+，

则()f x 的解析式为

例3、设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当

0,5x ∈时,

()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <

例4、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,求)2(f 的值.

例5、已知函数21()ax f x bx c

+=+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .

归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

★作业布置：

1、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）

.A ()()f x f x ⋅-是奇函数 .B ()()f x f x ⋅-是奇函数

.C ()()f x f x +-是偶函数 .D ()()f x f x --是偶函数

2、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于

.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对

3、函数)0)(()122

1()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f

.A 是奇函数 .B 是偶函数

.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数

4、已知1

()21x f x m =++为奇函数，则(1)f -的值为

5、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______

6、已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +-1()2004f +1

()2005f +的值；

7、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0

8、已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时， 4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =

9、若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1

()()1f x g x x +=-，则()f x = ，

()g x =

10、已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=

11、设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a =

12、定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x m

x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____

13、判断下列函数的奇偶性：

○1 122)(2

++=x x

x x f ； ○2⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,

0<≥x x

○3 x x x f 2)(3-= ； ○4 a x f =)( （R x ∈）