3.7 质点系动量定理和质心运动定理
质心系动量定理
质心系动量定理
质心系动量定理，是在物理学中常常使用的一个定理，它是描述一个系统动量守恒的定理。
在物理学中，质心系是一个非常有用的概念，它可以帮助我们更好地理解物体的运动状态。
首先，让我们来了解一下什么是质心。
质心是一个物体所有质点的平均位置，它是一个重要的物理量。
在物理学中，我们经常使用质心来描述一个物体的运动状态。
接下来，我们来了解一下什么是动量。
动量是一个物体的运动状态的量度，它是一个矢量量。
在物理学中，我们使用动量来描述一个物体的运动状态。
在物理学中，质心系动量定理是指：在一个封闭系统中，系统质心的速度等于系统所有质点动量之和除以系统总质量。
这个定理可以用来证明一个系统的动量守恒。
举个例子来说，假设有两个质点A和B，它们的质量分别为m1和m2，速度分别为v1和v2。
那么这个系统的总质量为
m1+m2，总动量为m1v1+m2v2。
根据质心系动量定理，这个系统的质心速度为(m1v1+m2v2)/(m1+m2)。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更加复杂的系统，但是质心系动量定理的原理是一样的：系统质心的速度等于系统所有质点动量之和除以系统总质量。
总之，质心系动量定理是一个非常重要的物理定理，在物理学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们更好地理解物体的运动状态，并且可以用来证明一个系统的动量守恒。
质点动力学-动量及动量定理 (2)
用于桌面的压力，等于
已落到桌面上的绳重力
x
的三倍。
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时 间内将有质量为dx（Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率为：
o
dx dx dP dt dt dt
x
一维运动可用
标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的
动量守恒。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多） 可近似认为动量守恒。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
略去二阶小量，两端除dt
对系统利用动量定理
d d m ( m v ) u F d t d t
dm u 为尾气推力。 dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，如火箭之类喷射问题，
变质量问题
变质量问题的处理方法
(1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式
dP v2 ax dt
F xg N ( l x ) g
X
F xg
根据动量定理，得到
F a
xg
N
x
O
dP 3 ax F xg dt F xg 3 xa
( l x ) g
变质量问题
例 2 ：列车在平直铁轨上装煤 , 列车空载时质量为 m0, 煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度 v2保持不 变,求机车的牵引力。
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
大学物理力学：1.5 从质点到质点系统、质心、 质心运动定理
dP
F外 dt
m1
F2
F1
F 外dt＝d P 微分形式 F3
m2
t2 t1
F外dt＝
P2 P1
d
P
P
积分形式
m3
17
二、质点系的动量守恒定律
当F外
0时，d P dt
0 ，P
常矢量
pi mi vi 常矢量
i
i
一个质点系所受的合外力为零时，
说明 这一质点系的总动量就保持不变。
t2
Fdt
t1
单位：Ns 量纲：MLT－1
三、动量定理 将力的作用过程与效果〔动量变化〕 联系在一起
10
I
t2
Fdt
t1
F
dP
dt
dP Fdt
P2
dP
t2
Fdt
P1
t1
P2
P1
I＝
t2
t1
Fdt
I Fdt＝P 在坐标下可有分量表达式
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增 量。这个结论称为动量定理。
dt
x
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F ρ v2 M v2 而v2 2gx F 2Mgx / L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg = Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
16
2.2 动量守恒定律
一、质点系的动量定理 质点系（内力、外力）
以F外和P表示系统的合外力和总动量，则：
此半圆形铁丝的质心。
y
解：选如图坐标系，取长为dl 的铁丝，质量为dm，以λ表示
质量线密度，dm= dl。分析得
质心应在y轴上。
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
质点系质心运动定律
3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
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例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
dm dl
xc 0 , yc 2R /
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选择进入下一节 §2-0 教学基本要求 §2-1 质点系的内力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 动能 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
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质心的加速度为
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1
m2a2
m1 m2
d v1 d t d v2 dt
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2
R 0
R2 y2 d y2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
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三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
mi ri mi
m1r1 m2r2 mnrn m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc
大学物理 动量守恒定律 质心运动定理
mi vi 2 mi vi1
i 1 i 1
质点间的作用力是相互的，满足牛顿第三定律
f ji 0
n n 1 i 1 j 1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
8
t2
t1
n n ( Fi外 )dt mi vi 2 mi v i1 n i 1 i 1 i 1
1 n zc m i z i m i 1
对质量连续分布的物体：
xdm xc m
说明
ydm yc m
zdm zc m
对密度均匀、形状对称的物体，其质心在 其几何中心．
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
1
力的累积效应 一、质点的动量定理 动量
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
p mv
动量为矢量，方向与速度的方向相同。 单位：
kg m / s
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
F ma d(mv) dp dv F a dt dt dt Fdt dp d (mv)
n 1 t2 t1 ( Fi外 f ji )dt i 1 j 1 n mi vi 2 mi vi1 n i 1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
7
t2
t1
n n 1 t2 ( Fi 外 )dt ( f ji )dt n i 1 t1 i 1 j 1 n n
3-7质心动量角动量定理
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y （x1，y1）
o
x2
x
mx1 mx2 x1 x2 xc 3m 3
my1 y1 yc 3m 3
例 ：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为 dy 的 薄圆盘为质量微元。
Y
dy
i
2. 增加了考虑问题的方法
（1）人在船上行走； （2）动量守恒定律体现在质心速度不变.
3. 如果外力
F外＝0 ，则 ac 0 ， 质心参考系是
个惯性系；反之，质心参考系是个非惯性系 ， 各质点都受到一个惯性力 F惯＝－mi ac .
例: 一船浮于静水中，船长 5 米，质量为 m。 一个质量亦为 m 的人从船尾走到船头，不计水 和空气的阻力，则在此过程中船将（A）不动（B）
质心在距球心3R/8处。
例：设有一质量为 2m的弹丸,从地面斜 抛出去,它飞行在最 高点处爆炸成质量 相等的两个碎片，
2m m O C m x
其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出， 它们同时落地．问第二个碎片落地点在何处?
解 选弹丸为一系 统，爆炸前、后质心 运动轨迹不变．建立 图示坐标系，
2m O m1
mi r i
i
xc yc zc
mi xi
i
m mi yi
i
m
m mi zi
i
连续分布质点系: r c
M
rdm m
xc yc zc
m xdm
M ydm M zdm M
分立质点系:
rc
m r
i i
i
质点的动量定理
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
t t
t
F dt m v (t t ) m v (t ) p p
i 1 i i 1 i i i 1 i i
t t t
N
N
0
定义： I
F dt
i 1 i
外力的冲量和
i
2
ac
F
i i
m r
m
N i
N
i i
应用：
i i
质心速度:
drC vC dt
2
m v
m
N i
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）
F 0 ，自然界如没摩擦力
质心加速度: aC d rC dt 2
m a
m
i i
的情形设想……
4
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
iz i
z
p0 z
23
例4.2.2-1质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有
m 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物 体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v2 。已知各
一质量为 接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平 外力的冲量。 解：对 m0 和
m构成的系统应用质点系动量定理：
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
16
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点系动量定理
质点系运动定理
与守恒定律 质心动量定理 质点系动量守恒 质心系下质点系动量
17
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
质心质心运动定理
第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。
质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。
质心与质心运动定理
m v02 l
uuv v0
v N
o
x dx
F
m l
v0 2
x l
mg
抛手榴弹的过程： Y
C
O
X
v F矢量和
MavC
二、质心系
F
Mac
M
dvc dt
M
d 2rc dt 2
dMvc dt
dpc dt
质心的速度：
vc
drc dt
d dt
i
miri
mi
i
mi
dri dt
M
mivi
i
M
质心的加速度： i
ac
d vc dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
m1(x1 x1) m2 (x2 x2 )
d
m1 m1 m2
l
0.8(m)
y
x1
x1
o x2 x2
cb d
cb
x
例：长为l总质量为m的柔软绳索放在水平台面上，
用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，
求当提起高度为x时手的提力 （ x < l ） 。
v
x
F
uuv v0
v
x
N dx
o
解法一：利用单个物体的动量定理
)
M
d2rc dt 2
M
avc
d Pc dt
即
v F矢量和
MavC称作
质心运动定理
vv
其中质心
v rc
m1 r1
m加2 r权2 平均值
m1 m2
v
uv uv
F矢量和 F1 F 2
推广：对n个质点组成的系统
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质心质心运动定理
可知
yC 0
取宽度为dx的面积元，设薄板每单位
面积的质量为，则此面积元的质量
为
dm 2xdx
xc
xdm
a/ 2 2 x2dx
0
2a
M
1 a2
3
2
例2：确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标
Y
由对称性知： xC 0
dy
已知薄圆盘的质心位于 圆心，取厚度为dy的薄圆盘 为质量微元。
zC z d m / m 体分布 d m dV
质心与重心（center of gravity）是两个不同的概
念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的
作用点，质心与重心的位置不一定重合。
思考：重合条件？
例1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心
位置。
解：取坐标轴如图，根据对称性分析
一、质心
质心（center of mass）是与质量分布有关的一个代表 点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
Y
质心具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
C
O 抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
m1, m2 , , mi , ，mN
相遇时有： x1 x2 xC
质心定义可得
xc
m2 x20 m1x10 m1 m2
两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的 质心相遇。
例3 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l 。问他 们将在何处相遇？
解：把两个小孩和绳看作 一个系统，水平方向不受 外力，故质心是静止的。 任取两个小孩连线上一点
3.7 质点系动量定理和质心运动定理
yc =
m1 y1 + m2 y2 m1 + m2
m2
y m3 x
1 × ( −1) + 2 × ( −1) + 3 × 1 =0 3+ 2+1 1 × ( −2) + 2 × 1 + 3 × 2 yc = =1 3+ 2+1
*C O
质心在图中的 * 处.
m1
2. 质心运动定理
y
m2
v m ri i
m2
O
m1 y
y
求链条下落速度v与 之间的关系 之间的关系． 求链条下落速度 与y之间的关系．设各处摩 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开． 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系 则F
ex
m2
O
ex
= m1 g = λyg
r r (2) I = Fdt 是过程量 积分效果 → 动量改变 . 是过程量,积分效果 ∫
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点， 牛顿第二定律只适于质点 点又适于质点系. 点又适于质点系 (4)动量定理只适用于惯性系 对非惯性系，还应 动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系， 动量定理只适用于惯性系 计入惯性力的冲量. 计入惯性力的冲量
r r r 到达车厢前一瞬间， 到达车厢前一瞬间，煤的速度 v = v 0 i + 2 gh j 到达车厢后速度为零. 到达车厢后速度为零 r r r 质点系动量的改变量 ∆p = −( m0 v 0 i + m0 2 gh j ) r r ′ 单位时间内车厢对煤的冲量 F N 1 ⋅ 1 = ∆ p
质点系的动量定理和质心运动定理
(2)
I
Fdt
是过程量,积分效果 动量改变 .
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 点又适于质点系.
(4)动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应 计入惯性力的冲量.
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第三章 动量 牛顿运动定律
(5)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量
式求解, 如 x 轴分量式
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点
距离与质点质量成反比.
动画演示
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第三章 动量 牛顿运动定律
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为 m1 1单位 m2 2单位和 m3 3单位，位置坐标各为 m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )求质心坐标.
3 W 3 m d d 2 tr 2 c 3 m d d t2 2m r A m 3 m r B m r D
a A a B a D 3 g
a A,a B,a D表示各运动员质心的加速度.将上式投影
aBx
6gsin3 5
00
aBy5 4g5 6gco3s 03g
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成 30，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的
质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员
出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.
A
B
D
aA
aB
aD
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第三章 动量 牛顿运动定律
[解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表 示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动 员质量，根据质心运动定理，
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r r (2) I = Fdt 是过程量 积分效果 → 动量改变 . 是过程量,积分效果 ∫
(3)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质 牛顿第二定律只适于质点， 牛顿第二定律只适于质点 点又适于质点系. 点又适于质点系 (4)动量定理只适用于惯性系 对非惯性系，还应 动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系， 动量定理只适用于惯性系 计入惯性力的冲量. 计入惯性力的冲量
v v ex v dI = F dt = dp
t1 p1
微分形式 积分形式
v v t2 v p2 v v v ex I = ∫ F dt = ∫ v dp = p2 − p1
质点系的动量定理：质点系受到的合外力的冲量等于质 质点系的动量定理： 点系（ 动量的增量。 点系（总）动量的增量。
几点说明
(1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 只有外力对体系的总动量变化有贡献， 只有外力对体系的总动量变化有贡献 体系的总动量变化没有贡献， 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的. 系内部的分配是有作用的
(5)动量定理是矢量式 应用时可用沿坐标轴的分量 动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的 动量定理是矢量式 应用时可用沿坐标轴的分量 式求解, 如 x 轴分量式 求解
∑ Fix
i
=
d( ∑ p ix ) dt
∫ t0 (∑ Fix )dt = p x − p0 x i
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量. 即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量 也可采用作图法，按几何关系 余弦定理 余弦定理、 也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理 作图法 求解. 等)求解 求解
∑
i
m ——总质量 总质量. 总质量
质点系中存在一个特殊点C 质点系中存在一个特殊点 ， 令
r rc =
∑
r m i ri m
质心). 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心 由上式所确定的空间点称质点系的质量中心 质心 在直角坐标系质心坐标为
xc
∑ mi x i =
m
yc
∑ mi y i =
r r r 到达车厢前一瞬间， 到达车厢前一瞬间，煤的速度 v = v 0 i + 2 gh j 到达车厢后速度为零. 到达车厢后速度为零 r r r 质点系动量的改变量 ∆p = −( m0 v 0 i + m0 2 gh j ) r r ′ 单位时间内车厢对煤的冲量 F N 1 ⋅ 1 = ∆ p
dm = ρvSdt
r r dm喷出前后动量改变量为 dp = ρvSdt ⋅ v 喷出前后动量改变量为
由动量定理
r r r dp = ρ vS v = F dt
r F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx = ρSv 2
向下 向上
ρ Sv 2 火箭所受推力， 火箭所受推力，也等于
r [例题 如图表示传送带以水平速度 v 0 将煤卸入静止车 例题2]如图表示传送带以水平速度 例题 厢内。 的煤卸出， 厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶
板上C点的运动 板上 点的运动 轨迹是抛物线 c c c
c c c c
其余点的运动=随 点的平动+绕 点的 点的平动 点的转动 其余点的运动 随C点的平动 绕C点的转动
[例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题5]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样 例题
i
二 质点系的动量定理
v ex v ex F = ∑ Fi =
i
v dpi ∑
i
dt
v d v dp = ∑ pi = dt i dt
质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。 质点系所受的合外力等于质点系动量对时间的变化率。 这个规律称为质点系的动量定理（微分形式） 这个规律称为质点系的动量定理（微分形式）。
r r r r r FN = FN1 + FN 2 = m0 v0 i + m0 ( gt + 2 gh ) j
一柔软链条长为l， 例3 一柔软链条长为 ， 单位长度的质量为λ，链条放 在有一小孔的桌上， 在有一小孔的桌上，链条一 端由小孔稍伸下， 端由小孔稍伸下，其余部分 堆在小孔周围． 堆在小孔周围．由于某种扰 链条因自身重量开始落下. 动,链条因自身重量开始落下.
v v ex dvC v F = m' = m'aC dt
作用在系统上的合外力等于系统的总 质量乘以质心的加速度——质心运动定律 质量乘以质心的加速度 质心运动定律
i =1
v v ex dvC v F = m' = m'aC dt
质心的行为与一个质点相同. 质心的行为与一个质点相同 在动力学上,质心是整个 注： 在动力学上 质心是整个 质点系的代表点， 质点系的代表点，质心的运动 只决定于系统的外力， 只决定于系统的外力，内力不 影响质心的运动. 影响质心的运动
t
区分外力和 区分外力和内力 外力 注意 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量. 动量，但不能改变系统的总动量
[例题 火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物 例题1]火箭沿直线匀速飞行 例题 火箭沿直线匀速飞行， 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭 的密度为ρ 喷口截面积为 ，喷气速度 相对于火箭 的速度)为 求火箭所受推力. 的速度 为 v ，求火箭所受推力 [解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系 解 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系. dt 时间内喷出气体质量
g ∫ y d y = ∫ yv d( yv)
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy = ( yv) 3 2
2 v = gy 3
1
2
三 质心运动定理
1. 质心
质点系动量定理 而
∑
i
r r dri vi = dt
r r d Fi = (∑ m i vi ) dt
有
∑
i
r r d2 F i = 2 ( ∑ m i ri ) dt r 2 r d ∑ m i ri ) Fi = m 2 ( m dt
部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的， 部与车厢底板高度差为 ，开始时车厢是空的，不考虑 煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力. 煤堆高度的改变 求煤对车厢的作用力 O y
x
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建 解 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系， 立直角坐标系Oxy. 立直角坐标系
v rC =
v ∑ mi ri
i =1
n
v r2
v rC
c
v r1 m1
x
o
z
m'
n
v v m′rC = ∑ mi ri
i =1
v v m' rC = ∑ mi ri
i =1
n
求一阶导数， 上式两边对时间 t 求一阶导数，得
v v n drC dri m' = ∑ mi dt dt i =1
n i =1
m1 y
y
由质点系动量定理得
又
F dt = dp dp = λ d( yv)
∴ λ yg d t = λ d( yv )
d( yv ) yg = dt
d( yv ) yg = dt
d( yv ) y gdy = ydy = yv d( yv ) dt dt
2
m2
O
两边同乘以 yd y 则
m1 y
y
v ex v in dpi Fi + Fi = dt
对整个质点系， 对整个质点系，有：
v ex v in ∑ Fi + ∑ Fi =
i i
v ∑ dpi
i
dt
二 质点系的动量定理
v ex v in ∑ Fi + ∑ Fi =
i i
v ∑ dpi
i
dt
左侧第一项是对质点系中各质点受到的外力求和，为系 左侧第一项是对质点系中各质点受到的外力求和， 统所受的合外力： 统所受的合外力：
[例题 一质点系包括三质点，质量为 m1 = 1单位 例题4] 一质点系包括三质点， 例题
m 2 = 2单位 和 m 3 = 3单位 ，位置坐标各为
m1 ( −1,−2), m 2 ( −1,1)和m 3 (1,2) 求质心坐标 求质心坐标.
[解] 质心坐标 解
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
v v v m' vC = ∑ mi vi = ∑ Pi
n
v 求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得 m'aC =
i =1
v d( ∑ Pi )
n i =1
dt
v n n v dPi ex = ∑ Fi in （因质点系内 ∑ Fi = 0 ）
m
zc
∑ mi z i =
m
对由两个质点组成的质点系， 对由两个质点组成的质点系，有
m1 x1 + m2 x2 xc = m1 + m2
m1 y1 + m2 y2 yc = m1 + m2
x 2 − xc m1 = xc − x1 m 2
y2 − yc m1 = yc − y1 m 2
质心必位于m 的连线上， 质心必位于 1与m2的连线上，且质心与各质点 距离与质点质量成反比. 距离与质点质量成反比
3. 说明： 说明：
(1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 质心不是质点位矢的平均值 因与m有关，所以是动力学概念 因与 有关，所以是动力学概念. 有关 推论：质量均匀分布的物体， 推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几 何中心. 何中心 (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 质心的位矢与坐标原点的选取有关， 质心的位矢与坐标原点的选取有关 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关 (3) 质心与重心的区别 质心是质点系全部质量和动量的集中点 是质点系全部质量和动量的集中点； 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点 重心是重力的合力的作用点. 是重力的合力的作用点 质心的意义比重心的意义更广泛更基本. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本