14.2 通路、回路(simple)
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定理14.5 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj（vivj）存 在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路。 推论 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路。 定理14.6在一个n阶图中，若存在vi到自身的回路，则从 vi到自身存在长度小于等于n的回路。 推论 在一个n阶图中，若存在vi到自身的简单回路，则 从vi到自身存在长度小于等于n的初级回路。
14.3 图的连通性
首先讨论无向图的连通性。 定义14.12（连通） 在一个无向图G=<V，E> 中，如果顶点u，v之间存在通路，则称u，v是连通 的（connected），记作uv。vV，规定vv。 由连通的定义可以定义如下的无向图中顶点之 间的连通关系: ={<u,v>|u,vV∧u与v之间有通路} 显然是自反的、对称的、传递的，所以是V 上的等价关系。
思考题 （1）n阶非连通的简单图的边数最多有多少
条？最少呢？P289/P292-6(2)
（2）证明：若无向图G中恰有两个奇度顶点，
这两个奇度顶点必然连通。P291/P293-39
下面讨论有向图的连通性 定义14.20在一个有向图D=<V，E>中，如 果顶点u，v之间存在通路，则称u可达v，记作 u→v。 规定任意的顶点总是可达自身的，即uV， u→u。 若u→v且v→u，则称u与v是相互可达的， 记作uv，规定uu。
定义14.13（无向连通图） 若无向图G是平凡图或G中的任何两个顶点都 是连通的，则称G是连通图（connected graph）， 否 则 称 G 为 非 连 通 图 或 分 离 图 （ disconnected graph）。 例：完全图Kn（n1）为连通图， 零图Nn（n2）都是分离图。
例
（1）
（2）
（3）
（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
强连通图和单向连通图的判别定理 定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中 存在经过每个顶点至少一次的回路。 定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的通路。
（1） （2） 图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
有向图有三种不同类型的连通图 定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D中， 如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图 (weakly connected graph )。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u 至少成立其一 ，则称D是单向连通图 （unilateral connected graph ）。 如果对于任意的两个顶点u，v，均有uv， 则称D是强连通图（strongly connected graph ）。 说明：强连通图一定是单向连通图，单向连 通图一定是弱连通图。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
注意 （1）在无向图中，环和平行边构成的回路分别是长 度为1和2的初级回路（圈）。 （2）在有向图中，环和两条方向相反边（对称边） 构成的回路分别是长度为1和2的初级回路（圈）。
思考：在简单无(有)向图中，圈的长度至少为多长？ 在简单无向图中，圈的长度至少为3 在简单有向图中，圈的长度至少为2
通路、回路的性质
定义14.14（连通分支） 设无向图G=<V，E>，V关于顶点之间的连 通关系的商集V/={V1,V2,…,Vk}，Vi 为等价类， 称Vi的导出子图G[Vi]（i=1,2,…,k）为G的连通分 支（connected component），连通分支数k常记 为p(G)。 或 若无向图G由若干彼此不连通的子图组成， 而每个子图是连通的，称这些子图为G的连通分 支。 显然若G为连通图，则p(G)=1； 若G为非连通图，则p(G)2； Nn（n2）的连通分支为p(G)=n
有边重复出现的通路称为复杂通路；有边重复出 现的回路称为复杂回路。 若通路中无边重复，则称该通路为简单通路；无 边重复的回路称为简单回路。 若通路中无边重复且无顶点重复，则称该通路为 初级通路或路径（path）；无边重复且无顶点重复的回 路称为初级回路或圈（cycle）。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称 为偶圈。 易见 （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之 不真。 （2）通路、回路是图的子图。
二部图
K3,3
K2,3
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向 图G是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
例 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解： 长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
例 无向完全图K3 的顶点依次标定为a，b，c。在同构意 义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。 解：在同构意义下，K3只有一个长度为3的圈。 在定义意义下，不同起点的圈是不同的，顶点间排 列顺序不同的圈也是不同的，因此K3中共有６个不同的 长为３的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac。
14.2 通路、回路
通路与回路是图论中两个重要而又基本的概念 本节所述定义一般说来既适合无向图，也适合有 向图，否则将加以说明或分开定义。
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中 顶点和边的交替序列 Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1 和vi 是ei 的 端点（在G是有向图时，要求vi-1 是ei 的始点，vi 是ei的终点），则称Г为从v0到vn的一条通路或链 （chain）。 v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit） 说明 （1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示 通路或回路
14.3 图的连通性
首先讨论无向图的连通性。 定义14.12（连通） 在一个无向图G=<V，E> 中，如果顶点u，v之间存在通路，则称u，v是连通 的（connected），记作uv。vV，规定vv。 由连通的定义可以定义如下的无向图中顶点之 间的连通关系: ={<u,v>|u,vV∧u与v之间有通路} 显然是自反的、对称的、传递的，所以是V 上的等价关系。
思考题 （1）n阶非连通的简单图的边数最多有多少
条？最少呢？P289/P292-6(2)
（2）证明：若无向图G中恰有两个奇度顶点，
这两个奇度顶点必然连通。P291/P293-39
下面讨论有向图的连通性 定义14.20在一个有向图D=<V，E>中，如 果顶点u，v之间存在通路，则称u可达v，记作 u→v。 规定任意的顶点总是可达自身的，即uV， u→u。 若u→v且v→u，则称u与v是相互可达的， 记作uv，规定uu。
定义14.13（无向连通图） 若无向图G是平凡图或G中的任何两个顶点都 是连通的，则称G是连通图（connected graph）， 否 则 称 G 为 非 连 通 图 或 分 离 图 （ disconnected graph）。 例：完全图Kn（n1）为连通图， 零图Nn（n2）都是分离图。
例
（1）
（2）
（3）
（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
强连通图和单向连通图的判别定理 定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中 存在经过每个顶点至少一次的回路。 定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的通路。
（1） （2） 图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
有向图有三种不同类型的连通图 定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D中， 如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图 (weakly connected graph )。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u 至少成立其一 ，则称D是单向连通图 （unilateral connected graph ）。 如果对于任意的两个顶点u，v，均有uv， 则称D是强连通图（strongly connected graph ）。 说明：强连通图一定是单向连通图，单向连 通图一定是弱连通图。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
注意 （1）在无向图中，环和平行边构成的回路分别是长 度为1和2的初级回路（圈）。 （2）在有向图中，环和两条方向相反边（对称边） 构成的回路分别是长度为1和2的初级回路（圈）。
思考：在简单无(有)向图中，圈的长度至少为多长？ 在简单无向图中，圈的长度至少为3 在简单有向图中，圈的长度至少为2
通路、回路的性质
定义14.14（连通分支） 设无向图G=<V，E>，V关于顶点之间的连 通关系的商集V/={V1,V2,…,Vk}，Vi 为等价类， 称Vi的导出子图G[Vi]（i=1,2,…,k）为G的连通分 支（connected component），连通分支数k常记 为p(G)。 或 若无向图G由若干彼此不连通的子图组成， 而每个子图是连通的，称这些子图为G的连通分 支。 显然若G为连通图，则p(G)=1； 若G为非连通图，则p(G)2； Nn（n2）的连通分支为p(G)=n
有边重复出现的通路称为复杂通路；有边重复出 现的回路称为复杂回路。 若通路中无边重复，则称该通路为简单通路；无 边重复的回路称为简单回路。 若通路中无边重复且无顶点重复，则称该通路为 初级通路或路径（path）；无边重复且无顶点重复的回 路称为初级回路或圈（cycle）。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称 为偶圈。 易见 （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之 不真。 （2）通路、回路是图的子图。
二部图
K3,3
K2,3
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向 图G是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
例 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解： 长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
例 无向完全图K3 的顶点依次标定为a，b，c。在同构意 义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。 解：在同构意义下，K3只有一个长度为3的圈。 在定义意义下，不同起点的圈是不同的，顶点间排 列顺序不同的圈也是不同的，因此K3中共有６个不同的 长为３的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac。
14.2 通路、回路
通路与回路是图论中两个重要而又基本的概念 本节所述定义一般说来既适合无向图，也适合有 向图，否则将加以说明或分开定义。
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中 顶点和边的交替序列 Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1 和vi 是ei 的 端点（在G是有向图时，要求vi-1 是ei 的始点，vi 是ei的终点），则称Г为从v0到vn的一条通路或链 （chain）。 v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit） 说明 （1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示 通路或回路