高中数学-3.2.3直线的一般式方程-新人教A版必修2PPT课件
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3.2.3 直线的一般式方程 课件(22张PPT)高中数学必修2(人教版A版)
问题探究
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
1)当B ≠0时,方程可变形为: C 它表示过点(0, B ) ,斜率为
A B
的直线.
x C A
2)当B=0时,由于 A,B不同时为零,必有A ≠0,方程可化为: 它表示一条与x轴垂直的直线.
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
(其中A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
问题1：直线方程的一般式Ax+By+C=0与 其他几种特殊形式相比，它有什么优点？ 问题2：一般式Ax+By+C=0中系数A,B,C几 何意义？ 问题3：直线Ax+By+C=0，当AB<0,BC<0时， 此直线不通过的象限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
§3.2.3
直线的一般式方程
复习回顾
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.存在
适合斜率存在
斜截式 y = kx + b
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 y2 y1 x2 x1
x y 截距式 1a, b 0 a b
A2 x B2 y C2 0
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
布置作业：
P99(练习)1,2； p100（习题）A组 2,10,11； B组2
适合与坐标轴不垂直 适合与坐标轴不垂直， 且不过原点
复习回顾
2. 几种特殊的直线的方程
①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程： x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程： y= y1
高中数学 3.23.2.3直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
(2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
栏
解析：解法一：(1)由题意，所求直线斜率为－34，过点 A(2,2)，
目 链 接
则所求方程为 y－2＝－43(x－2)，即 3x＋4y－14＝0.
(2)由题意，所求直线斜率为43，过点 A(2,2)，则所求直线方 程为 y－2＝43(x－2)，即 4x－3y－2＝0.
目 链
接
3．清楚直线与二元一次方程的对应关系，能由直线的一
般式转化为所需要的其他直线形式(xíngshì)．
第三页，共31页。
栏 目 链 接
第四页，共31页。
基础
梳理
(1)在平面直角坐标系中，任何一条直线
都可以用一个关于 x，y 的_二__元_一__次__方程表示．
栏 目
链
接
(2)每个关于 x，y 的二元一次方程都表示
栏
目
解析：斜截式：y＝32x＋3；
链 接
截距式：－x2＋3y＝1.
第八页，共31页。
自测 自评
1．直线x3＋4y＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－43x＋4
B．y＝－43(x－3)
栏
目
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
链 接
答案：C
第九页，共31页。
自测 自评
2．若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A，B 应
链 接
－y－1－55＝x2－－－－11.
化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.
第十七页，共31页。
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为－x3＋－y1＝1，
化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.
栏
目
链
点评：这类题目求解的关键是选准合适的方程形式， 接
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.3 直线的一般式方程
答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 直线一般式的性质
例1 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_－__53_____. 解析 令y＝0，
2m－6 则 x＝m2－2m－3，
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
a－2 a＋1，
在y轴上的截距为a－2，
∵ aa－＋21≥0， a－2≤0，
得a<－1或a＝2.
解析答案
类型二 判断两条直线的位置关系
例2 判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0； 解 直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0， 由题意知－22＝－33≠44， ∴l1∥l2.
人教A版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》课件(共32张PPT)
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出 y C ，则 b C
B
B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C ，则 a C
A
A
研究过一元二次方程与直线方程的联系后，我们 就能从几何的角度看一个一元二次方程，即一个一 元二次方程表示一条直线。一元二次方程的每个解 可以看成直角坐标系中直线上一点的坐标。
y
解：设直线为Ax+By+C=0，
3
x ∵直线过点（0，3）代入直线方程
O
得3B= -C， B= －C/3。
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A,y= -C/B 由三角形面积为6得 C2 12
AB
∴A=±C/4 ∴方程为 C x C y C 0
43
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0。
3.2.3 直线的一般式方程
教学目标
知识与能力
➢明确直线方程一般式的形式特征。 ➢会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率 和截距。 ➢会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
过程与方法
➢学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感态度与价值观
➢认识事物之间的普遍联系与相互转化。 ➢用联系的观点看问题。
4、若方程 mx (m2 m)y 1 0 表示一条直线，则 实数m的取值范围是___m_≠_0_____. 5、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3， 则m的值是__-6________.
6、利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并 且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。
例一
已知直线经过点P（3,-1），斜率为 2 ，求直线的点
令x=0，解出 y C ，则 b C
B
B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C ，则 a C
A
A
研究过一元二次方程与直线方程的联系后，我们 就能从几何的角度看一个一元二次方程，即一个一 元二次方程表示一条直线。一元二次方程的每个解 可以看成直角坐标系中直线上一点的坐标。
y
解：设直线为Ax+By+C=0，
3
x ∵直线过点（0，3）代入直线方程
O
得3B= -C， B= －C/3。
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A,y= -C/B 由三角形面积为6得 C2 12
AB
∴A=±C/4 ∴方程为 C x C y C 0
43
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0。
3.2.3 直线的一般式方程
教学目标
知识与能力
➢明确直线方程一般式的形式特征。 ➢会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率 和截距。 ➢会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
过程与方法
➢学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感态度与价值观
➢认识事物之间的普遍联系与相互转化。 ➢用联系的观点看问题。
4、若方程 mx (m2 m)y 1 0 表示一条直线，则 实数m的取值范围是___m_≠_0_____. 5、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3， 则m的值是__-6________.
6、利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并 且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。
例一
已知直线经过点P（3,-1），斜率为 2 ，求直线的点
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
高中数学人教A版 必修2第三章3.2.3《直线方程的一般式》课件(22张ppt)
任意直线l，在其上任取一点 p0 (x0 , y0 )
当直线l的斜率存在时
yy0k(xx0)
kx(1)yy0kx00①
当直线l的斜率不存在时
xx0
x0yx00
②
结论：方程①②都是二元一次方程，任何直线的方程都可以写 成关于ｘ，ｙ的二元一次方程 Ax+By+C=0,
（其中A、B不同时为0）的形式.
思考3 每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不 同时为0）都表示一条直线吗？分几种情况讨论？
跟踪练习 根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程． (1)斜率为2，且在y轴上的截距为1； (2)经过点P1(－2,1)，P2(3,2)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为3、－5； (4)经过点P(4,－3)，且垂直于x轴．
【解】 (1)由题意知，直线的斜截式方程为 y＝2x＋1，化为 一般式方程为 2x－y＋1＝0． (2)由题意知，直线的两点式方程为y－1＝x＋2，化为一般式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成关于x,y的二元一次方程：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0的形式。
思考2 任意一条直线都能写成形如Ax+By+C=0（A、B不 同时为0）的统一形式吗？
两方面含义： (1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程； (2)以二元一次方程的解为坐标的点构成一条直线.
2.直线方程的一般式与特殊式的互化. 注意B=0
3.数形结合的思想、分类讨论的思想、特殊与一般的 转化
模板直线的一般式方程ppt课件-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版.ppt
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A.、.分割B.. 不同时为0。
10
形成新知
直线方程一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成
Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.
A（- 6,0），B(0，3),过A、B两点作直线即得（如图）
.y B
.
A
O
x
..分割..
19
跟踪训练
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角
为450，则m的值是
（ B）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为 3，则m的值是_____-_6____
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
相交
k1 k2
..分割..
A1B2 A2B1 0
28
..分割..
29
课堂小结
（1）直线方程的一般形式，可以表示任何 一条直线
（2）几种直线方程的互化
（3）根据不同的已知条件利用相应直线方程 求出其解析式
..分割..
30
..分割..
31
名称 已知条件
标准方程Βιβλιοθήκη 使用范围斜率k和y轴
斜截式 上的截距b
y kx b
不包括y轴及平行 于y轴的直线
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y
人教A版必修二高二数学教学课件：3.2.3直线的一般式方程.pptx
不垂直于x、 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b
x y 1
不垂直于x、y 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1_=2(_x-2)________
23． ．过过点点((22,,11))，，斜斜率率为不存0的在直的线直方线程的是方__程y=1__是_____x=__2 _________
0
(x6)A≠0，B≠0;
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
，
4 3
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数
为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，
含y项、常数项顺序排列.
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
高中数学3.2.3《直线的一般式方程》课件(新人教A版必修2)
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
§3.2.3直线的一般式方程
温复故知习新 回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.y. B.来自AOx
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
§3.2.3直线的一般式方程
温复故知习新 回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.y. B.来自AOx
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程课件人教A版
-8-
3.2.3
1 2
直线的一般式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.直线方程的五种形式及比较 剖析:如下表所示.
名称 方程 一般 y-y0=k(x-x0) 点 情况 斜 斜截 式 y=kx+b 式 y-y1 一般 y2 -y1 x-x1 两 情况 = x2 -x1 点 式 截距 x y + =1 式 a b 常数的几何意义 适用条件 (x0,y0)是直线上的 直线不垂直 一个定点,k 是斜率 于 x 轴 k 是斜率,b 是直线 直线不垂直 在 y 轴上的截距 于x轴 (x1,y1),(x2,y2)是直线 直线不垂直 上的两个定点 于 x 轴和 y 轴 a,b 分别是直线在 x 直线不垂直 轴、y 轴上的两个非 于 x 轴和 y 轴, 零截距 且不过原点
-10-
3.2.3
题型一
直线的一般式方程
题型二 题型三 题型四
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 选择适当的形式写出直线的方程
【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率是 3, 且经过点������(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 直线2x+y+4=0的斜率k= 答案:-2
.
-6-
3.2.3
1 2
直线的一般式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.直线方程的一般式与其他形式的互化 剖析:一般式化斜截式的步骤: (1)移项,By=-Ax-C;
【人教A版】高中数学必修二：3.2.3《直线的一般式方程》ppt课件.pptx
合）的.当 B 0 时,方程 Ax By C 0 可变形为 y A x C ,因此只需确定 A , C 两个
BB
BB
比值即能确定直线; 当 B 0 时,方程 Ax By C 0 可变形为 x C ,因此只需再确定 A
C 的值即可. A
规律:无论哪种形式的直线方程, 都必须有两个确定的条件,就能 确定直线,反之亦然.
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3直线的一般式方程
[设计问题、创设情境]
问题1:我们前面学习了直线的几种形式的方程，它们分别 是什么形式？ 这些方程中都有几个未知数，为什么？ 这些方程的共同特征是什么？
四种；点斜式、斜截式、两点式、截距式;两个 x 和 y ，因为直线的方程是描述直线上任意
一点的坐标 (x, y) 的方程；都是关于 x 和 y 的二元一次方程.
方程和直线能联系起来是谁的“功劳”？
直角坐标系
[变练演编、深化提高] 变式训练： (1)直线 l 过点 P(6,3) ,且它在 x 轴上的截距是它 在 y 轴上截距的 3 倍,求直线 l 的方程. (2)设 P0 (x0 , y0 ) 是直线 Ax By C 0 （其中 A, B 不同时为 0 ）上一点. 证明:这条直线的方程可以写成 A(x x0 ) B( y y0 ) 0 . (1) x 3y 3 0 或 x 2 y 0 . (2)证明:因为点 P0 (x0 , y0 ) 是直线 Ax By C 0 上一点,所以 Ax0 By0 C 0 ,
(1)两个；一般式。
(2)通过直角坐标系使得二元一次方程 Ax By C 0 的每一组解 (x, y) 与直线上的每一
个点有了一一对应的关系；数形结合；应该可以.
问题 2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程 为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)， 在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程． 解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式， 得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在 的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55））， 整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.
人教A版必修二第三章3.2.3直线的一般式方程(共20张PPT)
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
3、求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6 的直线方程.
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式 斜截式
两点坐标
两点式 点斜式
yy0k(xx0)
y kxb
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
yy0k(xx0)
x y 1 ab
不垂直于x、y 轴，且不过原 点的直线
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
yy1k(xx1) ykxb
k x ( 1 )yy1 k1 x 0
k x(1)yb0
y y1 xx1
y2 y1 x2 x1 ( y 2 y 1 ) x ( x 1 x 2 ) y x 1 ( y 1 y 2 ) y 1 ( x 2 x 1 ) 0
两个截距 化成一般式
截距式
x y 1 ab
Ax+By+C=0
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x (4) B=0 , A≠0, C=0
(5) C=0，A、B不同时为0
例 例2 . :已 知 直 线 经 过 点 A (6 , 4 ),斜 率 为 4 ,
求直线的点斜式和一式般方程. 3 解: 点斜式方 :y 程 4式 4(x为 6)
A1 B1 C1 A2 B2 C2
(B 10,B20,)
l1与l2重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l1与l2平行
A1 B1 A2 B2
l1与l2相交
(2)当l1 l2时，上述方程系 联数 系有 ？何
3、求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6 的直线方程.
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式 斜截式
两点坐标
两点式 点斜式
yy0k(xx0)
y kxb
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
yy0k(xx0)
x y 1 ab
不垂直于x、y 轴，且不过原 点的直线
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
yy1k(xx1) ykxb
k x ( 1 )yy1 k1 x 0
k x(1)yb0
y y1 xx1
y2 y1 x2 x1 ( y 2 y 1 ) x ( x 1 x 2 ) y x 1 ( y 1 y 2 ) y 1 ( x 2 x 1 ) 0
两个截距 化成一般式
截距式
x y 1 ab
Ax+By+C=0
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
o
x (4) B=0 , A≠0, C=0
(5) C=0，A、B不同时为0
例 例2 . :已 知 直 线 经 过 点 A (6 , 4 ),斜 率 为 4 ,
求直线的点斜式和一式般方程. 3 解: 点斜式方 :y 程 4式 4(x为 6)
A1 B1 C1 A2 B2 C2
(B 10,B20,)
l1与l2重合
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l1与l2平行
A1 B1 A2 B2
l1与l2相交
(2)当l1 l2时，上述方程系 联数 系有 ？何
高考数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
解析答案
12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
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解析答案
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3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.
(教师参考)高中数学 3.2.3 直线的一般式方程课件1 新人教A版必修2
2019/1/17
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：
4 1.过点A(6,-4),斜率为- ; 3 4 y+4=- (x-6)4x+3y-12=0 3
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
y+2 x-3 = x+y-1=0 -4+2 5-3
3 3.在x轴,y轴上的截距分别是 ,-3; 2 x y 1 2x-y-3=0 3 3 2
2019/1/17
总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)任一关于x,y的二元一次方程都表示一条直 线.
2019/1/17
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式
2019/1/17
例2 把直线 化成斜截式，求出 直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
思考：若已知直线 的截距．
l
2019/1/17
2.二元一次方程的系数和常数项对直线 的位置的影响
2019/1/17
探究：在方程 Ax By C 0中， 1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行 ； 2.当 A 0，B 0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直；
3.当
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，
(a 1) 0 当且仅当 a 2 0
(a 1) 0 或 ，∴ a -1 a 2 0
人教版高中数学必修2(A版) 3.2.3 直线的一般式方程 PPT课件
§3.2.3直线的一般式方程
复习引入
1、写出前面学过的直线方程的各种不同形式， 并指出其局限性：
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 形式 限制条件
复习引入
2、 问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其 局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可 以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特 征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x、y的二元一次方程）
新课讲授
1、 探究直线和二元一次方程的关系：
问题二①：平面内任意一条直线是否都可以用形如 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的方程来表示？
结论：在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用 二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
新课讲授
问题二②：方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 是否可以表示平面内任意一条直线？
例题精讲
4 例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程。
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的 系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列。
例题精讲
例6、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
则直线PB的方程是(
A.2y-x-4=0
)
B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0Leabharlann D.2x+y-7=0
3、设直线的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）直线在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1。
复习引入
1、写出前面学过的直线方程的各种不同形式， 并指出其局限性：
直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 形式 限制条件
复习引入
2、 问题一：上述四种直线方程的表示形式都有其 局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可 以表示平面中的所有直线？ 提 示：上述四种形式的直线方程有何共同特 征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x、y的二元一次方程）
新课讲授
1、 探究直线和二元一次方程的关系：
问题二①：平面内任意一条直线是否都可以用形如 Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的方程来表示？
结论：在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用 二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。
新课讲授
问题二②：方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0） 是否可以表示平面内任意一条直线？
例题精讲
4 例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程。
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的 系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列。
例题精讲
例6、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出 直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
则直线PB的方程是(
A.2y-x-4=0
)
B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0Leabharlann D.2x+y-7=0
3、设直线的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1）直线在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1。
高中数学(人教A版)必修二课件：3.2.3直线的一般式方程
法二：由题意可设所求的直线方程为 x－2y＋C＝0． 因为所求的直线过点(－2，1)， 所以－2－2×1＋C＝0． 所以 C＝4． 即所求的直线方程为 x－2y＋4＝0．
答案：x－2y＋4＝0
探究点 1 直线的一般式方程 根据下列条件分别写出直线的方程， 并化为一般式方 程． (1)斜率是 3，且经过点 A(5，3)． (2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2． (3)经过 A(－1，5)，B(2，－1)两点． (4)在 x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1．
Ax＋By＋C＝ 一般式直于 x 轴 ③C＝0 表示的直线 过原点
对任何直线 都适用
判断正误(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．( √ ) (2) 任 何 一 条 直 线 的 一 般 式 方 程 都 能 与 其 他 四 种 形 式 互 化．( × ) (3)对于二元一次方程 Ax＋By＋C＝0，当 A＝0，B≠0 时， 方程表示垂直于 x 轴的直线．( × )
直线方程的五种形式的对比 名称 方程的形式 常数的几何意义 (x1，y1)是直线上 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 一定点，k 是斜 率 k 是斜率， b 是直 斜截式 y＝kx＋b 线在 y 轴上的截 距 不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴 适用范围
名称
方程的形式 y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 (x2≠x1，y2≠y1) x y ＋ ＝1 a b (ab≠0)
经过两点 P(2，0)与(0，－3)的直线的一般式方程是( A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y＋1＝0 C．3x－2y－6＝0 D．3x＋2y＋6＝0
)
答案：C
直线 x＋ 3y＋2＝0 的倾斜角是( A．30° C．120°
人教A版高中数学必修二课件3.2.3 直线的一般式方程2
所以直线 l 的方程为: x + y =1,即 3x-2y+12=0. 4 6
答案:3x-2y+12=0
即时训练1-2:(202X·江苏江阴市高一期中)直线l过点A(2,2),且与直线
x+2y+3=0垂直,则直线l的方程为
.
解析:直线 x+2y+3=0 的斜率为- 1 , 2
直线 l 与直线 x+2y+3=0 垂直, 可得直线 l 的斜率为 2, 又直线 l 过点 A(2,2),可得 直线 l 的方程为 y-2=2(x-2), 即为 2x-y-2=0. 答案:2x-y-2=0
将点A(-1,3)代入,可得m=7,
所以所求直线的方程为x-2y+7=0. 答案:x-2y+7=0
4.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则
m=
.
解析:线段AB的中点为(1,1),则m+3-5=0,即m=2. 答案:2
[例3] 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(1)证明:将直线 l 的方程整理为
y- 3 =a(x- 1 ),所以 l 过定点 A( 1 , 3 ),
5
5
55
而点 A( 1 , 3 )在第一象限, 55
故不论 a 为何值,直线 l 恒过第一象限.
(2)为使直线经过第一、第三、第四象限,求a的取值范围.
时为
0),则
l1∥l2⇔
A1B2
B1C2
A2B1 B2C1
0, 0或A1C2
A2C1
0.
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0; (2)一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0(m≠C),垂
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15
变式训练2:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3.
证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得
17
l1 : y
2
x
; 4
l2
:y
1 2
x
5 2
;
l3
:
y
2x
1 2
.
k1
k2
1 2
k 3 2 ,
当m
0时, l1的斜率k1
m 2
, 在y轴上的截距b1
4.
l2的斜率k 2
1 m
, 在y轴上的截距b 2
3. m
l1 //l2 ,k1 k 2 ,且b1 b2 (否则两直线重合).
即 m 1 ,且 4 3 ,m 2.
2m
m
综上知,当m 2时, l1与l2互相平行.
-
13
(2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;
一2般.对式于.直线Ax+By+C=0.当B≠0时,其斜率为______BA ____,在y 轴上的截距为_____CB____;当B=0时,在x轴上的截距为 ______C_A ______;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为 ______ CA______､________ _CB ___.
-
3
第三章 直线与方程
第二节 直线的方程
直线的一般式方程
-
1
自学导引 1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程.
-
2
课前热身
1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这 条直线的关于x、y的二_元__一__次__方__程___;任何关于x、y的二元一
次方程都表示_____一__条__直__线___.方程 __A_x_+_B_y_+__C_=_0_(其__中__A_､_B__不_同__时__为__零__) ____叫做直线方程的
k 1 k 3 1 , l1 l3 . -
16
题型三 综合问题
例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总 过某一定点. 分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是 说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的系 数为0,解方程组得出定点坐标.
名师讲解 直线和二元一次方程的关系 因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.
(1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成 y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式 Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.
-
4
(2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方程可写成x=x1, 与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A､ B不同时为0).
-
8
画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通 常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x 轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l, 如下图.
-
9
变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程.
-
10
解:(1)x-y+2=0(或y=x+2); (2)x+y-1=0(或y=-x+1); (3)x+3y-3=0(或y=- 1 x+1); (4)x+2y+2=0(或y=- 3 1 x-1).
-
17
证明:方法1:把原方程变形得 (x+2y-1)m-(x+y-5)=0, 此式对于m的任意实数都成立, ∴ x+2y-1=0,
x+y-5=0. ∴ x=9,
y=-4. 即直线过定点(9,-4).
-
18
方法2:取m=1,得y=-4, 取m=,得x=9. 把点(9,-4)代入直线方程,右边=(m-1)×9+(2m-1)(-4)=m-5= 右边.所以不论m取什么实数,点(9,-4)总在直线上,故该直线过 定点(9,-4).
-
7
典例剖析
题型一 直线与方程
例1:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距, 并画图.
3 解:将直线l的方程3x+5y-15=0写成y=- 5 x+3,
因此,直线l的斜率k=- 3 .
5
在方程3x+5y-15=0中,当x=0时,y=3;当y=0时,x=5.所以,直 线l在y轴上的截距为3,在x轴上的截距为5.
-
19
变式训练3:直线l在y轴上的截距为2,且与直线l1:x+3y-2=0垂 直,求l的方程.
-
5
所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这 条直线的关于x,y的二元一次方程. 反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗? 二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,① 其中A､B不同时为0.
(1)当B≠0时,方程①可化为y=- A x C ,它表示斜率为 y轴上截距为 的C 直线(斜截式方B 程).B
当m≠0时,若l1⊥l2,则有
m ( 1 ) 1, 2m
时m不存在. 综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直.
-
14
规律技巧:对于两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.有 以下结论:(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2B2C1≠0). (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. (3)l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2B2C1=0).
2
-
11
题型二 直线平行与垂直
例2:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m 为何值时: (1)两直线互相平行; (2)两直线互相垂直. 分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0 和m≠0讨论解答.
-
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解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0, 显然l1与l2不平行;
A在,
B
B
-
6
(2)当B=0时,由于A､B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为 x=- C , 它表示一条与y轴平行或重合的直线.
A
(3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线. 所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都 表示一条直线. 综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程 是一一对应的. 由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直 线的一般式方程.