2012第四章时变电磁场
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chapter 04时变电磁场
矢量位和标量位的方程
①
②
关于动态位和达朗贝尔方程的讨论
引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解：
原因：1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2、矢量位方向与电流方向相同； 从达朗贝尔方程可知：电荷是产生标量位的源，电流是产生矢 量位的源 动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的
坡印廷定理的物理意义 设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可 能通过边界 流出，或因对V中电荷做功而消耗，即 流出能量 减少量 = 流出量 + 消耗量
d - wdV dt V
Σ
S dΣ
V
J EdV
n
E, H
V
坡印廷矢量
量流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量. 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）
jwt jwt Re[(e x E xm e y E ym ez E zm )e ] Re[ Em e ] e E e E e E Em D Re[ D e j t ] x xm y ym z zm m jt e ] H Re[ H e j t ] J Re[ J m m j t jt Re[ me ] B Re[ Bm e ]
求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量
kE 0 2 ez cos 2 ( t kz )
0
0
1 T (3) S av 0 E (t ) H (t )dt T 2 kE0 T ez cos 2 ( t kz )dt 0T 0
第4章 时变电磁场
⇒ ∇× H =
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
第四章 时变场
图 变化的磁场产生感应电场
三、全电流定律
H dl JdS I l S H dl JdS i
l S1
H dl
l
JdS 0
S2
为了解决这个矛盾，麦克斯韦把电容 器里的电流称之为位移电流，位移电 流和传导电流统称为全电流。
动态位函数 （动态位）
二、达朗贝尔方程
H J
D
t D B A A E t
A
2
A
2
A t
2
t
2
J ( A ) t
1 （ BH) H t 2 t D t H J B
D 1 （ D E) E E ( H J ) t 2 t 1 B （ B H ) H E E t 2 t
d dt
B
S
பைடு நூலகம்
t
dS
感生电动势，是变压器工作的原理，又称为变压器电势
图4.1.2 感生电动势
（2）、回路切割磁力线，磁场不变
d dt ( v B) dl
l
动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势
图4.1.2
动生电动势
（3） 磁场随时间变化，回路切割磁力线
( v B )dl
l
B
s
( v B )dS
S
t B t
第四章时变电磁场-工程电磁场导论-冯慈章课件
电磁感应定律 磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭 合曲线。 磁通连续性原理
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的 磁场以涡旋的形式产生电场)。 高斯定律
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D l H dl S (J t ) dS B l E dl S t dS
ห้องสมุดไป่ตู้ 0
矢量恒等式
( H ) 0
所以
Stokes’ theorem
H J
l H dl S J dS
D l H dl S (J t ) dS
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( H ) 0 D 所以 H J t
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A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
由 H J 由
经 整 理 后 ，
D t
A A J ( ) t t 1
得
A ( ) t 2A 2 A J ( A) （1） 2 t t 2 （2） A t 定义A 的散度 A 洛仑兹条件 t 2A 2 A J 2 t 达朗贝尔方程 2 A (Dalangbaier Eguation) t
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量 正弦电磁场 分界面上衔接条件 动态位A ,
达朗贝尔方程
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电磁辐射、传输线及波导
4.1 电磁感应定律和全电流定律
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law 4.1.1 电磁感应定律（Faraday’s Law）
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
工程电磁场导论-第四章 时变电磁场
H y z
d
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) A / m2
2. 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前 三章类同，应用积分形式的基本方程：
法向分量
lD dS q
电场的切向分量 lB dS 0
布，不存在电流，则在分界面处的边界条件为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
折射定律
n
B1
1 1,1
2
B2
2,2
tg1
B1t B1n
1H1t
B1n
tg 2
B2t B2n
2 H 2t
H2n
tg1 1 tg2 2
n
D1
3 1,1
4
D2
2,2
tg3
D1t D1n
1E1t
dt
S t
称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。
感生电动势
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2）磁场不变，回路运动切割磁力线
f qv B
E f vB
e dm
q (ν B) dl
dt
l
称动生电动势，是发电机工
作原理，亦称发电机电势。
若B均匀，且l、B、v三
者垂直，则
动生电动势
e Blv
② 遵循麦克斯韦方程； ③ 电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。
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法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学 家和化学家.他创造性地提出场的 思想，磁场这一名称是法拉第最 早引入的.他是电磁理论的创始人 之一，于1831年发现电磁感应现 象，后又相继发现电解定律，物
第4章 时变电磁场 1PPT课件
电的磁磁场H 感都应J能定产律D 生：t 电麦场克lH 。斯d 韦l第二S(方J 程，D t)表d明S电全荷电和流定变律化
磁通连E续性原B理：表E明d磁l 场是无B 源场dS, 磁电力磁线感总应是定律闭
合曲线。 t
l
S t
：旋表的明形B 电式 荷 产0以 生发 电散 场的)。方SB式d产S生电0场 (变磁化通的连磁续场性以原涡理
2 t A
（2）
定义A 的散度 A 洛仑兹条件
t
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第四章
2 A
2A t 2
J
2
2
t 2
时变电磁场
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Equation)
说明 确定了 A的值，与 BA共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2AJ
2/
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
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第四章
时变电磁场
若激励源是时变电流源时
A(x,y,z,t)
J(x,y,z,tr) vdV （无反射）
4πV
r
达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取
决于 (tr/v) 时刻的激励源。又称 A， 为滞后
位（Retarded Potential）。
电磁波是以有限速度 v 1 传播的， 光
也是一种电磁波。
当场源不随时间变化时， A， 蜕变为恒定
场中的位函数（拉普拉斯方程或泊松方程）。
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第四章
时变电磁场
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
Poynting Theorem and Poynting Vector
第4章 时变电磁场(精简版)
r r r r E ( x, y , z , t ) = ex Ex ( x, y , z, t ) + ey Ey ( x, y, z, t ) + ez Ez ( x, y, z , t )
E x ( x, y , z , t ) = E xm ( x, y , z ) cos[ωt + φ x ( x , y , z )] = Re[ E xme j (ωt +ϕx ) ] E y ( x , y , z , t ) = E ym ( x, y , z ) cos[ωt + φ y ( x , y , z)] = Re[ E yme
v H
NJUT
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o
v v
v u
x
单位时间 穿过 闭合面S进入 体积V 的电磁 场能量
单位时间体积V 内变为焦耳热的 电磁能量
体积V 内单位 时间电场 能量 和磁场能 量的 增加
说明：(1） S
为时t 间t的函数，表示瞬时 功率流 密度； 的大小：单位时 间内通 过垂直 于能量传输方 向 的单位面积的能量(功率流密 度)； 的方向：电磁 能量传 播方向 。
11
南京工业大学通信工程系
Ñ ∫
S
r r r J2 ∂W (E × H) ⋅ dS = −∫ dV − V γ ∂t
12
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v v v ∂W J2 −Ñ ∫ S (E× H) ⋅ dS = ∫V γ dV + ∂t
坡印亭定理
r r r 定义坡印亭矢量 S = E × H W/m2
v E
NJUT
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NJUT
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NJUT
通信：利用电磁波进行信息的传输和通信 雷达：利用电磁波进行目标的探测和测距
电动力学教程 第4章 时变电磁场
实振幅 初相
利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学 运算简化：
E x ( x, y , z, t ) Re[ E xm ( x, y , z )e j [t x ( x , y , z )] ] Re[ E xme jx e jt ] e jt ] Re[ E
xm
e jωt ] Ey ( x,y,z,t) Re[ E ym
*
式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质 中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第
二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时
间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时 间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率 a P in - E H dS
H E μ t 4 E 0
2
E H ε t
H 代入(2)式 H με 2 0 t 再利用矢量恒等式和 (3)式 2 2 H H H H 可得到 2 H 2 的无 H με 2 0 t 波源 动空 同样地，(2)式两边取旋度后可得 方间 程电 2 磁 E 2 E με 2 0 场 t
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
S
另一方面，根据Poynting矢量的定义，单 位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为 P S dA
A
利用复数来描述时谐电磁场场量，可使数学 运算简化：
E x ( x, y , z, t ) Re[ E xm ( x, y , z )e j [t x ( x , y , z )] ] Re[ E xme jx e jt ] e jt ] Re[ E
xm
e jωt ] Ey ( x,y,z,t) Re[ E ym
*
式中右边第一项就是焦耳定理的积分式，代表体积Ｖ的介质 中所消耗的功率，即单位时间体积Ｖ中消耗的电磁能量；第
二项中的积分是体积Ｖ中的电磁能量，因此该项代表单位时
间体积Ｖ中增加的电磁能量。故等式右边实际上代表单位时 间内，经边界Ｓ流入体积Ｖ的总的电磁能量，即流入功率 a P in - E H dS
H E μ t 4 E 0
2
E H ε t
H 代入(2)式 H με 2 0 t 再利用矢量恒等式和 (3)式 2 2 H H H H 可得到 2 H 2 的无 H με 2 0 t 波源 动空 同样地，(2)式两边取旋度后可得 方间 程电 2 磁 E 2 E με 2 0 场 t
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
S
另一方面，根据Poynting矢量的定义，单 位时间流过任意曲面A的能量(i.e.功率)为 P S dA
A
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
第四章 时变电磁场
物理意义： 物理意义
r E
O
r H
能流密度矢量
r S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 r S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
r S
5
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 在导体为理想导体的情况下， 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传 为有限值时， 输的功率；（ 输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体 表面进入每单位长度内导体的功率。 表面进入每单位长度内导体的功率。
17
例4.5.2 已知电场强度复矢量
r r & Em (z) = ex jExm cos(kz z)
其中k 为实常数。 其中 z和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 解
r r E(z, t) = Re[ex jExm cos(kz z)ejωt ]
π j(ωt + ) r = Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ] π r = ex Exm cos(kz z)cos(ωt + ) 2 r = −ex Exm cos(kz z)sin(ωt)
r r A(r , t) = A cos[ωt +φ(r )] 0
式中的A0为振幅、φ(r )为与坐标有关的相位因子。 式中的 为振幅、 为与坐标有关的相位因子。 利用三角公式 其中
复振幅
实数表示法或 瞬时表示法
r
r r r j[ωt +φ (r )] & (r )ejωt ] A(r , t) = Re{ A e } = Re[A 0
r E
O
r H
能流密度矢量
r S 的方向 —— 电磁能量传输的方向 r S 的大小 —— 通过垂直于能量传输方
向的单位面积的电磁功率
r S
5
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其 间填充均匀的理想介质。 间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过 在导体为理想导体的情况下， 的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传 为有限值时， 输的功率；（ 输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体 表面进入每单位长度内导体的功率。 表面进入每单位长度内导体的功率。
17
例4.5.2 已知电场强度复矢量
r r & Em (z) = ex jExm cos(kz z)
其中k 为实常数。 其中 z和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 解
r r E(z, t) = Re[ex jExm cos(kz z)ejωt ]
π j(ωt + ) r = Re[ex Exm cos(kz z)e 2 ] π r = ex Exm cos(kz z)cos(ωt + ) 2 r = −ex Exm cos(kz z)sin(ωt)
r r A(r , t) = A cos[ωt +φ(r )] 0
式中的A0为振幅、φ(r )为与坐标有关的相位因子。 式中的 为振幅、 为与坐标有关的相位因子。 利用三角公式 其中
复振幅
实数表示法或 瞬时表示法
r
r r r j[ωt +φ (r )] & (r )ejωt ] A(r , t) = Re{ A e } = Re[A 0
第4章 时变电磁场
引入洛伦兹规范条件， 引入洛伦兹规范条件，则方程简化为
2 2 ∂ϕ ρ ∇ ϕ − µε 2 = − ε ∂t v 2 v v 2 ∇ A − µε ∂ A = − µ J 2 ∂t
达朗贝尔方程
从达朗贝尔方程可以看出： 从达朗贝尔方程可以看出：
v v v v v v ϕ (r , t )的源是ρ (r , t )，A(r , t )的源是J (r , t )
建立波动方程的意义：通过解波动方程， 建立波动方程的意义 ： 通过解波动方程 ， 可以求出 空间中电场场量和磁场场量的分布情况。 空间中电场场量和磁场场量的分布情况 。 但需要注 意的是： 意的是 ： 只有少数特殊情况可以通过直接求解波动 方程求解。 方程求解。
4.2 电磁场的位函数
4.2.1 矢量位和标量位
v v v (2) S (t ) = E (t ) × H (t ) v v kE0 = −ey E0 cos(ω t − kz ) × ex cos (ω t − kz )
kE0 2 v = ez cos 2 (ω t − kz )
ωµ 0
ωµ 0
v v 1 Tv 1 T v S av = ∫ S (t )dt = ∫ E (t ) × H (t )dt T 0 T 0 v 时间t无关。 注： S av 与时间t无关。
三、例题 已知无源的自由空间中， 例1：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度 v v 为 E = e E cos(ω t − kz ) (V / m)
一、坡印廷定理 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系 电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
v v v v v ∂D ∇ (E × H ) ∇× H = J + v v v v ∂t ⇒ H ∇ × E − E ∇ × H v v v v ∂B v ∂B v v v ∂D ∇× E = − = − H ∂t − E J − E ∂t ∂t v v v v v ∂B v ∂D v v ⇒ ∇ (E × H ) = −H −E −E J ∂t ∂t
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。
本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。
在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。
例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
第四篇时变电磁场
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
26
4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
27
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
时谐电磁场的概念
如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化， 则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一 定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
位函数的微分方程
D E
H
B
8
H
J
D
B
J
E
t
B A
E
A
t
t
A
J
(
A
)
t t
A ( A) 2 A
2 A
2A t 2
J
(
A
t
)
A
0
t
2
A
2 t
H
(
E )
t
(
H)
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
若为导电媒质，结果如何？
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
电磁场理论
第 4 章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
第四章 时变电磁场
∂ϕ µε = −∇ ⋅ A = 0, ϕ = C ∂t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
µ
∂A E = −∇ϕ − = −exωAm cos(ωt − kz ) ∂t
23
坡印廷矢量的瞬时值为：
S (t ) = E (t ) × H (t ) k = [−exωAm cos(ωt − kz )] × − e y Am cos(ωt − kz ) µ ωk 2 = ez Am cos(ωt − kz )
20
单位W/m2 单位
波的传播方向
21
22
例题 已知时变电磁场中矢量位
A = ex Am sin(ωt − kz ) ， 其中
Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 是常数， 是常数 求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 解：
∂Ax B = ∇ × A = ey = −e y kAm cos(ωt − kz ) ∂t k H = −e y Am cos(ωt − kz )
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∂ (∇ × A) ∇× E = − ∂t ∂A ∇× E + = 0 ∂t ∇ × (∇M ) = 0
{
8
注意： 注意： 这里的矢量位及标量位均是时间 空间函数 时间、 函数。 这里的矢量位及标量位均是时间、空间函数。当它 们与时间无关时，矢量位、 们与时间无关时，矢量位、标量位和场量之间的关系与 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位 矢量磁位， 静态场完全相同，因此矢量位又称为矢量磁位，标量位 又称为标量电位 标量电位。 又称为标量电位。
ab =| a | | b | e a | a | j (α − β ) = e b |b|
电磁场与电磁波课件之时变电磁场
无源空间中的波动方程 无源空间中的波动方程 空间中的
∂2E ∇ 2 E − µε 2 = 0 ∂t
矢量位 标量位
∂2 H ∇ 2 H − µε =0 2 ∂t
∇× A = B
E+ ∂A = −∇ϕ ∂t
P173 2. 标量位与矢量位 已知 ∇ ⋅ B = 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度 即
B = ∇× A
称为电磁场的矢量位 式中 A 称为电磁场的矢量位
将上式代入式 ∇ × E = − 即
∂ ∂B 中，得 ∇ × E = − (∇ × A) ∂t ∂t
∂A ∂A =0 ∇× E + ∂t
∂ϕ ∂t
洛伦兹条件
根据位函数定义式及麦克斯韦方程， 根据位函数定义式及麦克斯韦方程，得 麦克斯韦方程
∂2 A ∂ϕ ∇ × ∇ × A = µ J − µε 2 + ∇ ∂t ∂t ∂A ρ + ∇ ⋅ ∇ϕ = − ∇ ⋅ ε ∂t
P175 达朗贝尔方程
∂2E ∇ × (∇ × E ) + µε 2 = 0 ∂t
∂E ∇× H = ε ∂t
∂2E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t ∂t
2
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
∇⋅E ≡ 0
∂2 E ∇ 2 E − µε 2 = 0 ∂t
同理
无源空间中 无源空间中E 的波动方程
∂A 无旋场 矢量场 E + 的梯度来表示 为无旋场。可以用一个标量场 φ的梯度来表示 ∂t ∂A 即 E+ = −∇ϕ 称为电磁场的标量位 式中 φ称为电磁场的标量位 称为电磁场的 ∂t
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E ex Exm c os(t z) ey E ym sin(t z)
E
ey E0
sin(z ) c os(t
d
x)
E ex E0 sin(z) c os(t )
等,首先表达式要符合波动方程,其次另一个场量要客观存在,才 能彼此相互激励（注意导体边界的影响）
E ex Em c os(t z),
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性
麦克斯韦方程组
波动方程
无源区的波动方程
在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒
质，则有
2E
2E t 2
0
2H
2H t 2
0
电磁波动方程
推证
H
Ε
Ε
t
H
t
H Ε
0 0
同理可得 问题
2E
2E t 2
t B
t
B 0
D
均匀无耗媒 质远场区
H
E
t
E
H
t
H
0
E
0
本章首先引入麦克斯韦方程组的解耦形式： 波动方程（注意具体条件），探讨验证时 变场各种可能的解的结构，提出平面波的 波场结构（TEM波，TE波，TM波,注意习 题4.2的通解表达）
提出时变场的为位函数与场源的关系：达 朗贝尔方程（用于8.2节点电流辐射源的 辐射场推导，习题4.12有关）
4.2 电磁场的位函数
问题的提出：对于有源区域的辐射场，波动方程 将是非齐次的，无法直接应用。有源区域的辐射 场求解需要借助于位函数，特别是矢磁位函数。
讨论内容
位函数的定义、作用 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B 0
Ε
B
A
t t
只规定旋度，散度
B A 没有规定
(Ε
A)
0
t
E
A
t
线性媒质有源区域如何求解？：
H J E
t
E H
t
•B 0
•D
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（( A、,)）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
E H ,一个场量已知，转换另一个场量 当然首先要突破一个场量的求解
S AV
1 T
T (E H ) • dt 物理意义，具体计算
0
本章重要的基本结果：
*例4.3.1（电磁波传播的途径是介质而不是导体）
*习题4.3,4.1，4.4等，平面电磁波的波场结构不可 能是 纵波，可以是TEM、TE、TM、驻波等结 构,TE/TM传播需要一定的频率条件
其次对于表达方程要明确如何展开和取舍 （只限于直角坐标系下的平面波，球面波 等结构通过其他途径整理）
10
2 Ex x 2
2 Ex y 2
2 Ex z 2
2 Ex t 2
0
2Ey x 2
E y y 2
2Ey z 2
2Ey t 2
0
有 取 舍 的
2 Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位
消化对应的习题
波动方程的两个基本用途: *波动方程配合对应的麦氏方程组探讨可能的波 场结构（只有平面波能有较简便的展开形式）
*用波动方程确定波参数及其传播条件
12
场量作为时间和空间的函数有许多可能的形式,如:
E ex Em c os(t x)
E ex Em c os(t z)
E ey Em c os[t ( x z)]
引入能流密度矢量，整理有耗媒质远场区的 能量守恒关系：坡印廷定理以及时变场的 唯一性定理，回答电磁能流的传播途径 （例4.3.1）
引入场量的复数形式，在复数形式下改写有 关方程，提出复介电系数和复磁导率的概 念，定义复功率（复数形式下具有压缩表 达，统一方程，简化计算等优点)
本章中有两个重要的计算类型
2 Ex z 2
2 Ex t 2
0 2 2
0
此TEM横电磁波的波参数对任何频率都成立
E
ey E0
sin(z ) cos(t
d
x)
2Ey x 2
2Ey z 2
2Ey t 2
0 2 ( )2 2
d
0
2 ( )2 尺寸一定时存在截止
d
频率, 频率足够高才能传播
*习题4.2 均匀平面波的通解结构
*习题4.12 点电流源的辐射场（推导来自第八章）
第一次课要点：
*了解波动方程（具体什么条件）下时变场的常见 波场结构
*整理达朗贝尔方程，推导电偶极子的矢磁位和辐 射场
4.1 波动方程（条件、作用）
问题的提出
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系
对TE、TM横电磁波的波参数需要一定的条件才能 成为传播项，与TEM波截然不同
讨论习题4.1~4.4，注意习题4.2均匀平面波的通解 表达（用波动方程的复数形式亥姆霍斯方程来论证）
思考：
*损耗媒质无源区域的波动方程是什么形式？与无 耗媒质远场区比较，解的结构有什么变化？
*无耗媒质有源区域的波动方程是什么形式？（见 习题4.5）
2 Ez
t 2
0
可 能
2H x x 2
2H x y 2
2H x z 2
2H x t 2
0
2H y x 2
H y y 22 H z 2 H z 2 H z 0
x 2
y 2
z 2
t 2
再其次，要掌握如何用波动方程结合对应的 麦氏方程组，验证可能的波场结构，准确 判别平面波的波型（TEM,TE,TM,驻波等)
0
H
(
E )
t
( H )
2H
2H t 2
2 H
2H
0
t 2
什么条件下的产物？
若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？
还有没有其他形式？ 有何应用？
对于波动方程，首先要了解其某种具体形式存 在的条件，式4.1.5，4.1.6继承的麦氏方程组 本身的条件的同时，牺牲了场量相互制约的 关系，符合波动方程的时变场的解只是麦氏 方程组的解的必有条件，而不是充分条件
本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场
本章概述：本章是时变场的导论。
第二章中麦克斯韦方程组和边界条件已经交 代的时变场的场源形式（包括激励源，媒 质（均匀或不均匀）中的感应源，边界上 的感应源。
H
J
D
E