随机试验与随机事件
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概
率
论
篇
第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其分布
第三章 随机变量的数字特征 第四章 大数定律与中心极限定理
第一章 随机事件与概率
随机试验与随机事件
频率与概率 等可能概型、几何概率 概率空间* 条件概率 事件的独立性
综 合 练 习
基 本 要 求
1．理解随机事件的概念，了解样本空间的概 念，掌握事件之间的关系与运算。 2．理解事件频率的概念，了解概率的统计定 义，理解概率的公理化定义。 3．理解概率的古典定义及计算简单古典概率、 了解几何概率。 4．掌握概率的基本性质，并熟练应用。 5．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定 理、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式，会用这些 公式进行概率的计算。 6．理解事件的独立性的概念，会用事件的独 立性进行乘积事件的概率计算。
五. 事件及其运算关系
e 若记 ：样本空间， ：不可能事件， ：基 ，An 为随机事件。则 本事件， A， B ， A1，A2，
有事件之间的运算关系如下： （1）包含关系：记作A B ，
（2）相等关系： 记作 A B ， 即 A B 且B A ； （3）和事件：记作A B ， A or B or both
Random Experiments and Random Events
随机试验 随机事件 样本空间
Sample Space
集与事件及其运算
事件之间的关系及运算
一. 随机试验
Random Experiments
E1： 掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况。 E2： 一射手射击，直到击中为止，观察射击情况； E3： 从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。
Exp1-4 向某一目标射击一发炮弹，观察落点的 分布情况，写出这一随机试验的样本空间 。
SOL ：假定平面上已建立了坐标系，目标所在区域 记为 G ，则样本空间 =（ x，y） （ | x，y） G 。
样本空间中的样本点是由试 需要指出的是： Aim 验目的所决定的。 （ 1 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察出现的 4， ， 18 } ； ={ 3， 点数之和，
重 点 与 难 点
重 点
1．随机事件及事件间的运算关系。 2．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用. 3．乘法定理及条件概率公式。 4．事件的独立性及其应用。
难
点
1．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。 2．古典概率的计算及条件概率、全概率公式和 贝叶斯(bayes)公式的应用。
§1.1 随机试验与随机事件
集，交集为 At { | At 对至少一个 At , t T成立}
tT tT
At { | At , t T同时成立 }
显然， s T As
tT
At
As
tT
At
3、差与余：
A 称 A B { | A同时 B} 为集
A3 表示：“只出现一次正面”，即
则 A1 A2 {HH，HT，TT } ； A1 A2 {HH } e1 ； A1 A2 = A1 A2 = e2 ；
A3 {HT，TH} ˆ e2 e3
由于 A2 A3 ，故 A2 与 A3 互不相容，
又由于 A2 A3 ， 所以 A2 与A3 互逆。
AB 显然 A B A ， A B B 。一般简记 A B 为
。
若 AB ，称A 与 B 不相交；若 AB ， 称 A B 为直和，记作 A B 。
类似的可定义任意有限个、可列无穷个和 任意无穷多个集的和与交。
t T ，有一 设T 为一指标集，对每一个指标 t T 之和 个Ω 的子集 At 与之对应，定义所有At ，
={ HH，HT，TH，TT } ˆ {e1，e2，e3，e4 }
Exp1-2 记录某电话交换台在一分钟内收到 的呼叫次数，写出样本空间 。
SOL百度文库：
={0，1，2，3, }
Exp1-3 在一批灯泡中任取一只测其寿命，样 本空间为 = t | t 0, t R ，而寿命小于 5 可表示为 A = t | 0 t 5。 小时为一随机事件，
例
投掷一枚骰子，观察可能出现的点数
1. 事件A：出现的点数为奇数 2. 事件B：出现的点数小于4； 3. 事件 e1 :出现1点 4. 事件 ei :出现的点数为i(i=2,3,4,5,6) 当事件 e1 , e3或 e5 发生时，A发生，即
A { e1,e3,e5}.
不可能再分的事件； 基本事件：
事件 ei 和事件A：出现的点数为奇数
需要指出的是
无论是必然事件、随机事件还是不可 能事件，都是相对“一定条件”而言的。 条件发生变化，事件的性质也发生变化。 例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数 之和为 3 点”及“出现的点数之和大于 3 若同时抛掷 4 颗骰子， 点”，都是随机事件。
“出现的点数之和为 3 点”， 则是不可能事件了；
（1 ）试验可以在相同条件下重复进行； （ 2 ）每次试验的可能结果不止一个，但能 事先明确试验的所有可能结果； （ 3 ）进行一次试验之前，不能确定哪一个 结果会出现。 具有以上三个特征的试验叫做随机试验。 E 表示。 简称为试验，用记号
二. 随机事件 Random Events
随机试验中的每一个可能结果称为随机事件 （简称为事件）， 常用大写字母 A，B，C 等表示。
} 表示某一集合。 性质，常以 { | 具有的性质
不含任何元素的集合称为空集，常以
表
Ω 示。规定以后讨论的集合永远是某一给定集合 Ω 的子集合，称这一集合 为全体元素组成的空 Ω 可看作 间，Ω 本身和空集 的子集。
是A 的元素，则 Ω 的一个子集，若 设A 是 不是 A 的 可记为 A ，读作 属于A 。若 A 。 元素，则可记为 A ，读作 不属于 A 的 1 、包含与相等关系：记作 A B （若集
与集
A 但不属于 B 的元素构 B 的差，表示由所有属于 Ω Ω B 为 B 的余， 成的集合。若A 为空间 ，称 Ω B B 记为 ，表示 中所有不属于 的元素构成的集 B { | B} 合，即 A B 显然，集 与集 互为余集 AB ，
A B Ω 。
4 、性质
（1 ） A A ；
元素均属于集B ）； 若 A B 与B A 同时成立， 则称 A 等于B ，记作 A B 。 A 2、和与交：称 A B { A或 B} 为集
与集 B 的和，显然 A A B ；B A B ； 称 A B { A同时 B} 为集 A 与集 B 的交，
i 1
n
无限多个事件的积事件记作
A1 A2 An ˆ Ai
i 1
Both A and B
（5 ）对立事件（余事件）： Complement 事件 B 的对立事件记作B ， 表示事件B 不发生；
（6）差事件：事件 A 与事件B 的差事件记作
A B ，表示事件 A 发生而事件B 不发生；
A B AB
Mutually exclusive （7）互不相容（互斥）：
若 AB ，则称事件A 与 事件B 互不相容；
2， ) ， 若 i j，Ai A j (i、j 1， ，An 为两两互不相容的。 则称 A1，A2，
（8 ）若 AB 且 A B ，则称事件A 与事 即 A = B ， B =A 。 件 B 互逆，
事件 分类
由基本事件复合而成的事件。 复合事件：
必然事件: 一定发生的事件, 记作 。 不可能事件: 一定不发生的事件, 记作 。
投掷一枚硬币的基本事件: e 2 :T e1 ：H 投掷两枚硬币的基本事件: e3 : TH e1 : HH e 2 : HT
e 4 : TT
投掷一枚骰子的基本事件和复合事件
有限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1 n
无限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1
AB ）， （4）积事件：记作A B (简记为
ˆ Ai 有限个事件的积事件记作 A1 A2 An
（2 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察六点出 现的次数， ={ 0， 1， 2， 3 }。
以上两例，同是抛掷一颗骰子 3 次，由于试 验目的不同，其样本空间也就不一样。
§1.1
22
四、集与事件及其运算
所谓集合是指具有某种性质， 并可以互相区 别的事物（或元素）组成的总体简称集，常以大 写字母 A，B ，C , 等表示，组成集合的元素常 以 或 1 , 2 , 等表示。 为了明确元素所具有的
（9）摩根定理（对偶原理）：
A B A B
A B A B
（10）运算规律(交换律，结合律，分配律) 参照集合的运算
Exp 1-5 上例 1-1 讨论续： 记A1 表示：“第一次出现正面”，即
A1 {HH，HT} ˆ e1 e2
A2 表示：“两次出现同一面”，即
A2 {HH，TT} ˆ e1 e4
结论：两事件互逆必互不相容，反之不然。
需要指出的是：熟练掌握事件间的运算关 系是正确计算随机事件的概率之基础。在研究 实际问题时，往往需要考虑试验结果中各种可 能的事件，而这些事件通常是相互关联的。研 究事件之间的关系，进而研究这些事件的概率 之间的关系，就能够利用简单事件的概率去推 算较复杂事件的概率。因此应当善于把某些复 杂事件表示为若干个简单事件的和或积。要实 现这一点，除正确理解事件间关系及运算外， 还必须对具体问题进行具体分析。
而“出现的点数之和大于 3 点”则是必然事件了。 为了以后讨论问题方便， 通常将必然事件和 不可能事件看成是特殊的随机事件。
基本事件：记为e； 复合事件：记为A、B等； 随机事件 必然事件：记为 ； 特殊事件 不可能事件：记为。
三. 样本空间 Sample Space
样本空间: 由试验所有可能结果构成的集合称为样 本空间，通常用符号 表示，中的每个元 素称为样本点。 基本事件: 只包含一个样本点的事件称为基本事 件
Exp 1-1 将一枚硬币连掷两次，写出这一 随机试验的样本空间。 Solution
SOL ： 记正面为H , 反面为T , 为样本空间， 则
（2 ） A B A B ；
（3 ） At
tT tT
At
；
tT
At
tT
At
；
（ 4 ） A B AB ； A B A BA
注：（ 3 ）一般称为对偶律，常用公式为
A B A B A B A B
6 、单调集列
若集列{ An , n 1} 具有性质： 对每个 n 1 ， An An 1 （或 An An 1 ），则 称 { An , n 1} 不减的（不增的），统称为单调集列。
率
论
篇
第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其分布
第三章 随机变量的数字特征 第四章 大数定律与中心极限定理
第一章 随机事件与概率
随机试验与随机事件
频率与概率 等可能概型、几何概率 概率空间* 条件概率 事件的独立性
综 合 练 习
基 本 要 求
1．理解随机事件的概念，了解样本空间的概 念，掌握事件之间的关系与运算。 2．理解事件频率的概念，了解概率的统计定 义，理解概率的公理化定义。 3．理解概率的古典定义及计算简单古典概率、 了解几何概率。 4．掌握概率的基本性质，并熟练应用。 5．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定 理、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式，会用这些 公式进行概率的计算。 6．理解事件的独立性的概念，会用事件的独 立性进行乘积事件的概率计算。
五. 事件及其运算关系
e 若记 ：样本空间， ：不可能事件， ：基 ，An 为随机事件。则 本事件， A， B ， A1，A2，
有事件之间的运算关系如下： （1）包含关系：记作A B ，
（2）相等关系： 记作 A B ， 即 A B 且B A ； （3）和事件：记作A B ， A or B or both
Random Experiments and Random Events
随机试验 随机事件 样本空间
Sample Space
集与事件及其运算
事件之间的关系及运算
一. 随机试验
Random Experiments
E1： 掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况。 E2： 一射手射击，直到击中为止，观察射击情况； E3： 从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。
Exp1-4 向某一目标射击一发炮弹，观察落点的 分布情况，写出这一随机试验的样本空间 。
SOL ：假定平面上已建立了坐标系，目标所在区域 记为 G ，则样本空间 =（ x，y） （ | x，y） G 。
样本空间中的样本点是由试 需要指出的是： Aim 验目的所决定的。 （ 1 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察出现的 4， ， 18 } ； ={ 3， 点数之和，
重 点 与 难 点
重 点
1．随机事件及事件间的运算关系。 2．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用. 3．乘法定理及条件概率公式。 4．事件的独立性及其应用。
难
点
1．概率的公理化定义及概率的基本性质的应用。 2．古典概率的计算及条件概率、全概率公式和 贝叶斯(bayes)公式的应用。
§1.1 随机试验与随机事件
集，交集为 At { | At 对至少一个 At , t T成立}
tT tT
At { | At , t T同时成立 }
显然， s T As
tT
At
As
tT
At
3、差与余：
A 称 A B { | A同时 B} 为集
A3 表示：“只出现一次正面”，即
则 A1 A2 {HH，HT，TT } ； A1 A2 {HH } e1 ； A1 A2 = A1 A2 = e2 ；
A3 {HT，TH} ˆ e2 e3
由于 A2 A3 ，故 A2 与 A3 互不相容，
又由于 A2 A3 ， 所以 A2 与A3 互逆。
AB 显然 A B A ， A B B 。一般简记 A B 为
。
若 AB ，称A 与 B 不相交；若 AB ， 称 A B 为直和，记作 A B 。
类似的可定义任意有限个、可列无穷个和 任意无穷多个集的和与交。
t T ，有一 设T 为一指标集，对每一个指标 t T 之和 个Ω 的子集 At 与之对应，定义所有At ，
={ HH，HT，TH，TT } ˆ {e1，e2，e3，e4 }
Exp1-2 记录某电话交换台在一分钟内收到 的呼叫次数，写出样本空间 。
SOL百度文库：
={0，1，2，3, }
Exp1-3 在一批灯泡中任取一只测其寿命，样 本空间为 = t | t 0, t R ，而寿命小于 5 可表示为 A = t | 0 t 5。 小时为一随机事件，
例
投掷一枚骰子，观察可能出现的点数
1. 事件A：出现的点数为奇数 2. 事件B：出现的点数小于4； 3. 事件 e1 :出现1点 4. 事件 ei :出现的点数为i(i=2,3,4,5,6) 当事件 e1 , e3或 e5 发生时，A发生，即
A { e1,e3,e5}.
不可能再分的事件； 基本事件：
事件 ei 和事件A：出现的点数为奇数
需要指出的是
无论是必然事件、随机事件还是不可 能事件，都是相对“一定条件”而言的。 条件发生变化，事件的性质也发生变化。 例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数 之和为 3 点”及“出现的点数之和大于 3 若同时抛掷 4 颗骰子， 点”，都是随机事件。
“出现的点数之和为 3 点”， 则是不可能事件了；
（1 ）试验可以在相同条件下重复进行； （ 2 ）每次试验的可能结果不止一个，但能 事先明确试验的所有可能结果； （ 3 ）进行一次试验之前，不能确定哪一个 结果会出现。 具有以上三个特征的试验叫做随机试验。 E 表示。 简称为试验，用记号
二. 随机事件 Random Events
随机试验中的每一个可能结果称为随机事件 （简称为事件）， 常用大写字母 A，B，C 等表示。
} 表示某一集合。 性质，常以 { | 具有的性质
不含任何元素的集合称为空集，常以
表
Ω 示。规定以后讨论的集合永远是某一给定集合 Ω 的子集合，称这一集合 为全体元素组成的空 Ω 可看作 间，Ω 本身和空集 的子集。
是A 的元素，则 Ω 的一个子集，若 设A 是 不是 A 的 可记为 A ，读作 属于A 。若 A 。 元素，则可记为 A ，读作 不属于 A 的 1 、包含与相等关系：记作 A B （若集
与集
A 但不属于 B 的元素构 B 的差，表示由所有属于 Ω Ω B 为 B 的余， 成的集合。若A 为空间 ，称 Ω B B 记为 ，表示 中所有不属于 的元素构成的集 B { | B} 合，即 A B 显然，集 与集 互为余集 AB ，
A B Ω 。
4 、性质
（1 ） A A ；
元素均属于集B ）； 若 A B 与B A 同时成立， 则称 A 等于B ，记作 A B 。 A 2、和与交：称 A B { A或 B} 为集
与集 B 的和，显然 A A B ；B A B ； 称 A B { A同时 B} 为集 A 与集 B 的交，
i 1
n
无限多个事件的积事件记作
A1 A2 An ˆ Ai
i 1
Both A and B
（5 ）对立事件（余事件）： Complement 事件 B 的对立事件记作B ， 表示事件B 不发生；
（6）差事件：事件 A 与事件B 的差事件记作
A B ，表示事件 A 发生而事件B 不发生；
A B AB
Mutually exclusive （7）互不相容（互斥）：
若 AB ，则称事件A 与 事件B 互不相容；
2， ) ， 若 i j，Ai A j (i、j 1， ，An 为两两互不相容的。 则称 A1，A2，
（8 ）若 AB 且 A B ，则称事件A 与事 即 A = B ， B =A 。 件 B 互逆，
事件 分类
由基本事件复合而成的事件。 复合事件：
必然事件: 一定发生的事件, 记作 。 不可能事件: 一定不发生的事件, 记作 。
投掷一枚硬币的基本事件: e 2 :T e1 ：H 投掷两枚硬币的基本事件: e3 : TH e1 : HH e 2 : HT
e 4 : TT
投掷一枚骰子的基本事件和复合事件
有限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1 n
无限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1
AB ）， （4）积事件：记作A B (简记为
ˆ Ai 有限个事件的积事件记作 A1 A2 An
（2 ）将一骰子连续抛掷 3 次，观察六点出 现的次数， ={ 0， 1， 2， 3 }。
以上两例，同是抛掷一颗骰子 3 次，由于试 验目的不同，其样本空间也就不一样。
§1.1
22
四、集与事件及其运算
所谓集合是指具有某种性质， 并可以互相区 别的事物（或元素）组成的总体简称集，常以大 写字母 A，B ，C , 等表示，组成集合的元素常 以 或 1 , 2 , 等表示。 为了明确元素所具有的
（9）摩根定理（对偶原理）：
A B A B
A B A B
（10）运算规律(交换律，结合律，分配律) 参照集合的运算
Exp 1-5 上例 1-1 讨论续： 记A1 表示：“第一次出现正面”，即
A1 {HH，HT} ˆ e1 e2
A2 表示：“两次出现同一面”，即
A2 {HH，TT} ˆ e1 e4
结论：两事件互逆必互不相容，反之不然。
需要指出的是：熟练掌握事件间的运算关 系是正确计算随机事件的概率之基础。在研究 实际问题时，往往需要考虑试验结果中各种可 能的事件，而这些事件通常是相互关联的。研 究事件之间的关系，进而研究这些事件的概率 之间的关系，就能够利用简单事件的概率去推 算较复杂事件的概率。因此应当善于把某些复 杂事件表示为若干个简单事件的和或积。要实 现这一点，除正确理解事件间关系及运算外， 还必须对具体问题进行具体分析。
而“出现的点数之和大于 3 点”则是必然事件了。 为了以后讨论问题方便， 通常将必然事件和 不可能事件看成是特殊的随机事件。
基本事件：记为e； 复合事件：记为A、B等； 随机事件 必然事件：记为 ； 特殊事件 不可能事件：记为。
三. 样本空间 Sample Space
样本空间: 由试验所有可能结果构成的集合称为样 本空间，通常用符号 表示，中的每个元 素称为样本点。 基本事件: 只包含一个样本点的事件称为基本事 件
Exp 1-1 将一枚硬币连掷两次，写出这一 随机试验的样本空间。 Solution
SOL ： 记正面为H , 反面为T , 为样本空间， 则
（2 ） A B A B ；
（3 ） At
tT tT
At
；
tT
At
tT
At
；
（ 4 ） A B AB ； A B A BA
注：（ 3 ）一般称为对偶律，常用公式为
A B A B A B A B
6 、单调集列
若集列{ An , n 1} 具有性质： 对每个 n 1 ， An An 1 （或 An An 1 ），则 称 { An , n 1} 不减的（不增的），统称为单调集列。