2.3向量的坐标表示和空间向量的基本定理-北师大版高中数学选择2-1课件

e3
e1
O e2
x
A(x,y,z) y
z
解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5 A1
所以C1为(3,2,5)
D1
从而
AC1 (3,2,5) 3i 2 j 5k (2)因为点D1为(3,0,5)
所以AD1 (3,0,5)
(A) O
D
x
B1 C1
By C
设a xi y j zk, 那么 a i (xi y j zk) i xi i y j i zk i 由于i i | i |2 1, 而i j,i j 0同理k i 0 所以a i x同理a j y, a k z
| CA1 | cos( A1CB) | CB | 1
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
使 a 1e1 2e2
说明： (1)不共线的向量e1, e2 叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
，1 .
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
15
17 | BE1 | 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
16 15 . 17 17 17
44
例 2 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1 中点，求证： EF DA1
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
oj
x
在空间中，能得出类似的结论:
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
B( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2.两个向量夹角公式
这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称
为xOy平面、 yOz平面和 xOz平面．
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四 指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转
90o 指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.
我们也称这样的坐标系为右手系．
说明:
☆本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系.
当b 与三个坐标平面都不平行时， a // b a1 a2 a3 b1 b2 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
三、应用举例
例1．已知 a (2, 3,5), b (3,1, 4) 求a b, a b,| a |,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1) a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9) | a | 22 (3)2 52 38 8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk. OQ xi y j.
OP OQ zk xi y j zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk.
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
空间向量运算 的坐标表示
空间直角坐标系 z
从空间某一个定点O引三条
互相垂直且有相同单位长度的
数轴，这样就建立了空间直角
坐标系O-xyz．
O
y
x 点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
z
(3) 任一向量 a 都可以沿两个不共线的方向（e1, e2 的
方向）分解成两个向量（1e1, 2e2）和的形式；
(4)基底给定时,分解形式唯一.
例题讲解
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OP OM MP 1 OA 2 MN
,
3
, 1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
d A,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
D1F1
z
A1B1 ，求
4
Leabharlann Baidu
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
所以
EF
DA1
(
1 2
,
1 2
,
1) 2
(1
,
0
, 1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
例 3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E 、F
分别是 BB1 、CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证明: 设正方体的棱长为1,
z
D1
我们把a i x, a j y, a k z分别称为 向量a在x轴, y轴, z轴正方向上的投影. 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
一般地, 若b0为b的单位向量, 称a b0 | a | cos a,b 为向量a在向量b上的投影.
例2.如图,已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1,求
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
复习： 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a
a xi y j
又A D A E = A , D1F 平面ADE.
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
C1
DA i, DC j, DD1 k.
A1
建立如图的空间直角坐标系
B1
则 AD
(1, 0, 0),
D1F
(0, 1
1 2
, 1),
AAAEDD DD11FFD1F((0.,11又,, 012,A)0E)(0 (,012,(,20,,11),112) 0).,
0.
A
x
AE
D
E F
B
D1F .
Cy
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
一、向量的直角坐标运算
设a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 则 a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
已知 a (x, y, z),则 a x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1) 、
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
4空间向量平行和垂直的条件
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ( R)
a (a1, a2 , a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a, b都不是零向量)
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
i, j, k上的分向量。
pP
k
iO j
y
Q
这种分解我们把它叫做空间向 x 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向
D 1 F 1
C 1 立空间直角坐标系 O xyz ，则
A 1
D O
A
E 1B 1
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
C B
y
BE1
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1
.
1
,
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
,
x
DF1
0 ,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 2 (3) (3)1 5 (4) 29
三、应用举例
例2 已知A(3 , 3 , 1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； A
解：设 M (x , y , z) 是 AB 的中点，则
M
B
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
(1)向量CA1在CB上的投影; 解 : (1)向量CA1在CB上的投影; | CA1 | cos A1CB | CB | 1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1
例2.如图,已知单位正方体 A1
ABCD-A1B1C1D1,求
D
(2)BC是单位向量,且垂直于平面 A
ABB1 A1 , 求向量CA1在BC上的投影. 解 : (2)向量CA1在BC上的投影为
O
23
1 OA 2 (ON OM )
M
23
1 6
OA
2 3
1 2
(OB
OC)
A
Q P
C
1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23