欧氏空间1
欧氏空间
1 0
5 3 1 0 15
《线性代数与解析几何》 第四章 n维向量
第十七讲
4.5 欧氏空间
(几何空间的推广)
本节在实数域内讨论问题
16
本节主要内容
1. 欧氏空间的概念 2. 规范正交基 3.Schmidt正交化 4. 正交矩阵
17
引言
空间的推广： 几何空间R3 n维实向量空间Rn
度量性质的推广: R3中: 长度夹角内积 Rn中: 内积长度夹角
( )2
+ .
24
3.夹角: 设 ∈, Rn 0, 0
称 arc cos ( , ) , 0
为 与 的夹角. 4.正交: 当(,)=0 时,称 与 正交.
记为⊥ .
因为零向量与任何向量的内积为零.
规定: ∈Rn,必有 0⊥ .
25
4.5.2 规范正交基(自然基的推广)
1.正交向量组:两两正交的非零实向量构 成的向量组称为正交向量组.
正交向量组有一个非常重要的性质.
26
2.正交向量组 线性无关
证 设,2,,m是正交向量组, 若 k1+k22++kmm= 0 两边同i 作内积 (k1++kmm , i ) = 0 即 k1(,i )+k2(2, i )++km(m, i ) = 0 当ij 时(i ,j ) = , 有 ki (i ,i ) = 0 又i 0, 则(i ,i ),从而ki , i =1,2,,m 故 ,2,,m 线性无关.
(, ) a12 a22 L an2
单位向量:长度为1的向量.
20
要推广几何空间中向量夹角的概念, 必须先证明下面著名的不等式.
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
欧氏空间几何意义
欧氏空间几何意义
摘要：
1.欧氏空间的定义与特点
2.欧氏空间在几何中的意义
3.欧氏空间与其他空间的关系
4.欧氏空间在实际应用中的例子
5.总结
正文：
欧氏空间，又称欧几里得空间，是最基本的几何空间之一。
它是由欧几里得创立的，并在其著作《几何原本》中进行了详细阐述。
欧氏空间是指一个具有以下性质的空间：在其中，直线是唯一的折线，所有的直线都可以通过平移相互重合，而且任意两个直线之间存在且仅存在一个公共点。
欧氏空间在几何中的意义深远。
首先，它为我们理解空间中的点、线、面等基本元素提供了理论基础。
其次，欧氏空间中的公理和定理为我们研究空间中的问题提供了丰富的工具。
例如，欧几里得证明了平面上的直线段可以无限延长，但在三维空间中，直线段却有长度。
这个发现引发了数学家们对更高维空间的研究。
欧氏空间与其他空间，如切比雪夫空间、黎曼空间等，有着密切的关系。
切比雪夫空间是一种非欧几里得空间，在其中，直线可以有不同的斜率，从而使得空间中的几何形状与我们熟悉的欧氏空间中的不同。
黎曼空间则是一种弯曲的空间，它的几何性质与欧氏空间有很大的区别。
欧氏空间在实际应用中也有着广泛的例子。
例如，在物理学中，欧氏空间是描述物体运动的基本框架。
在计算机图形学中，欧氏空间是建模和渲染三维场景的基础。
甚至在日常生活中，我们对于空间的认识，如长度、面积和体积的测量，也都离不开欧氏空间的理论支持。
总的来说，欧氏空间是几何学的基础，它不仅为我们理解空间提供了理论框架，而且在实际应用中也发挥着重要作用。
欧氏空间
欧氏空间在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。
因此有必要在线性空间中引入度量的概念。
而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。
在线性空间中引入内积以后就成为欧氏空间。
一、定义与基本性质【定义1】设V 是实数域R 上的一个线性空间，如果在V 上定义一个二元实函数，记作()βα,，称为内积。
如果它有以下性质：1. ()()αββα,,=2. ()()βαβα,,k k =3. ()()()γβγαγβα,,,+=+4. ()0,≥αα，当且仅当0=α时，()0,=αα这里γβα,,是V 中任意向量，k 是任意实数，就称线性空间V 对内积()βα,构成一个欧几里得空间，简称欧氏空间。
注：1. 二元函数意为对V 中任意向量βα,，有唯一的实数对应 2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧氏空间不同 例：设V 是一个n 维实线性空间，在V 中取定一组基。
设A 是一个正定矩阵，定义V 的内积如下：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n y y y x x x21212121εεεβεεεα ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n y y y A x x x2121,βα由于A 为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。
因此，V 对内积()βα,构成一个欧氏空间。
3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。
因此，与性质2.及3.相对应的有：.2'()()βαβα,,k k = .3'()()()γαβαγβα,,,+=+进一步的，在欧氏空间V 中，对任意向量s 21,,,ααα ；t21,,,βββ 及任意实数s 21,,,k k k ；t 21,,,l l l ，都有()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛s i tj jiji tj jj si i i l k l k 1111,,βαβα【定义2】由()0,≥αα，设α是欧氏空间中的一个向量，非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
一一般欧氏空间中的正交变换
xn n yn n ,
由 1, 2, , n 为标准正交基，有
n
( , ) xi yi
i 1
§9.4 正交变换
n
又 A( j )
j1
由于 A(1), A( 2 ), , A( n )为标准正交基，得
n
A( ), A( ) xi yi
二、n 维欧氏空间中的正交变换
1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基
不变的线性变换．
1).若 A 是 n 维欧氏空间V的正交变换，1, 2, , n
是V的标准正交基，则 A(1), A( 2 ), , A( n ) 也是V
的标准正交基.
事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质
即有，
i 1
A( ), A( ) (, )
故 A 是正交变换．
§9.4 正交变换
2. n 维欧氏空间V中的线性变换 A是正交变换
A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
证明：" " 设 1, 2 , , n 为V的标准正交基，且
A 1,2, ,n A1, A2, , A n 1,2, ,n A
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类： 设 n 维欧氏空间V中的线性变换 A 在标准正交基
1, 2 , , n 下的矩阵是正交矩阵A，则 A 1.
1）如果 A 1, 则称 A为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1, 则称 A 为第二类的．
§9.4 正交变换
即， A( ) 2 2 两边开方得， A( ) , V ,
2) 1) : 若 A 保持向量长度不变，则对 , V
有， A( ), A( ) ( , ),
(1)
A( ), A( ) ( , ),
第一节n维欧氏空间
第一章 预备知识第一节 n 维欧氏空间1．向量空间所谓数域上的向量空间是指一个交换群V ，其元素称为向量，群的运算记为加法，并且定义了数F F λ∈与向量v V ∈的乘法v λ，满足以下条件：(1) ()v v v λµλµ+=+；(2) ()()v v λµλµ=；(3) 121()v v v v 2λλλ+=+；(4) ，其中1v v =,F λµ∈，12,,v v v V ∈。
如果在V 中存在个元素n 1,,n δδ"，使得V 中任意一个元素v 都能够表示成1,,n δδ"的线性组合111nni n i i v λδλδλδ==++=∑"i F λ，∈， 并且这样的表达式是唯一的，则称{}i δ为空间V 的一个基底，基底{}i δ中元素的个数与基底的选择无关，称为域上的向量空间V 的维数。
n F 注：以后讨论中。
F =\例子：n 维欧氏空间。
n \2．维欧氏向量空间n 假定V 是维向量空间，若在V 上给定一个对称的、正定的双线性函数，即它满足下列条件：n ,:V V ×<>→\(1) ；1212,,,v v v v v v v <+>=<>+<>(2) 1212,,v v v v λλ<>=<>>；(3) ；1221,,v v v v <>=<(4) 且等号只在,0v v <>≥0v =时成立，其中12,,,v v v V λ∈\∈，则称(,,)V <>为维欧氏向量空间。
满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记成n ,<> 1212,v v v v ⋅=<>设(,为n 维欧氏向量空间，则在V 上能够取基底{,)V <>}i δ，使得1,,,0,.i j ij i j i j δδδ=⎧<>==⎨≠⎩这样的基底称为V 中的单位正交基底。
工程数学第五章_1 欧氏空间
∧
f
s cos( f , s )
第五章
工
程
数
学
定义1 定义1
设a,
b∈R3, ∈
∧
记 a 与b 的夹角为 ( a,b )
∧
为向量a 内积( 称数 a b cos(a , b ) 为向量 与b 的内积 数量 积 ), 记为 a ·b , 即
a ⋅ b = a b cos(a , b )
∧
(1)
第五章
所以
a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
(2)
第五章
工 因为
程
数
学
a ⋅b , 所以 cos(a, b) = | a |⋅|b|
∧
a⋅a=x12+y12+z12 ,
a 的长度
a = a ⋅ a,
∧
a ⋅b a 与 b 的夹角 (a, b) = arccos a b
(a, b≠0)
第五章
工
程
数
学
a 与 b 线性相关 ⇔ a + tb = 0 ⇔ (a + tb, a + tb)=0 ⇔ ∆=0
⇔ ( a, b) = a b
综合(1), (2) 定理证毕
第五章
工
程
数
学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义5 定义5 向量a, b 之间的夹角 夹角定义为 夹角
( a, b ) (a, b) = arccos a b
β 的内积 记为 α, β ) , 即 的内积. 记为(
(α, β)= x1 y1 + x2 y2+ …+ xn yn (3)
第五章
欧氏空间的知识点总结
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
线性代数-欧氏空间
, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称
1-CH4-d1d2欧氏空间及内积标准正交基(经济类)
例2 在R3中,向量 与 如图所示
2
3
求:两向量的内积
解: , cos(, )
3 2cos =3 3
3 上页 下页 返回9
一、向量的内积-- 3、向量的夹角
例3:
已 知向量
3
与向量
2
内积为2,且
计算内积: ,2
解: 由内积的性质 得:
,2
1
,
2
1
1 , 2
, 2
1
2
1
,
, 1 ,
1
2 , ,
1
1
1
,
2 , 1
1
1
,
=0
12
,
11
11
同理可验证;
,
1
3
0
, 0
3
2
所以向量组 , , 是正交的
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2
3
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例4 已知R 3中的一组基为
1
1
1
1
1
2
0
1
1
3
1
0
求R 3的一个与基1，2， 3等价的标准正交基。
3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体全等； 5.整体大于部分。 五条公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同 侧的两个内角和小于180°,则这两条直线经延长后在这一侧一定相 交。
2
1 2 1 2 0
0
0
0
1
=E
2
1
2
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧式空间的定义简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间) ，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
一欧氏空间的同构
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
( ), ( ) ( ( )), ( ( ))
( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
dimV dimV ' .
§ 同构
3)
( ), ( ) ( , ),
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
二、同构的基本性质
1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射，则 也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则
dimV dimV ' .
证：
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ①反身性；②对称性；③传递性. ① 单位变换 IV是欧氏空间V到自身的同构映射.
1 ② 若欧氏空间V到V'的同构映射是 ，则 是
欧氏空间V'到V的同构映射. 事实上， 首先是线性空间的同构映射. 其次，对 , V ' , 有
( , ) ( 1 ( )), ( 1 ( )) 1 ( ), 1 ( )
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构
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欧氏空间1
1．在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。
2．设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη∀∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明：
（1） σ是V 上的正交变换；
（2） V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤
3．已知矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，
（1）求A 的逆；
（2）求A 的初等因子；
（3）求A 的若当标准形。
4．设A 是可逆的n 阶方阵，求证：存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ，使得A=UT ；并且这个表达式是唯一的。
5．证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值1。
6．设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证：如果A 保持内积不变，即对于n
R 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=，那么，它一定是线性的，而且是正交的。
7．设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组，满足
,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>，表示内积，试证存在正交变换,
A 使,1,,.i i A i m αβ==
8．设
f 是n 维欧氏空间V 的对称变换（即f 是V 的线性变换，且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=），证明：f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。
9．设n
R 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10．在欧氏空间n
R 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 .
11。
已知[][][]2121
32121
21,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交
基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .
12．对给定的n 阶实满秩矩阵A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解QR 分解,即找
出一个正交矩阵Q 与一个三角矩阵R,使得A=QR 并对矩阵A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡312122201,求其QR 分解. 13．正交矩阵的实特征值为1，-1.
14． 如果12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的线性无关的向量组，那么，存在一个向量ξ使得(,)1,1,2,,.i i n αξ==
15．已知实对称矩阵422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求正交矩阵P 使得T P AP 成为对角矩阵。
16．设V 是n 维欧氏空间，内积记为(,)αβ，又设T 是V 的一个正交变换，记
12{|},{|},V V T V T V αααααα=∈==-∈试证明：
（1）12,V V 都是V 的子空间；（2）12V V V =⊕。
17．设12,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间，且1V 的维数小于2V 的维数。
证明：2V 中必有一非零向量正交于1V 中的一切向量。
18．
设10010,2,30A x y Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝，则向量y 的长度_____.y = 19．设125,,,e e e 是5维的Euclid 空间5R 的一组标准正交基，1123(,,)V L ααα=，其
中12321243125,,45e e e e e e e e ααα=+=-++=-+，求1V 的一组标准正交基。
20．设4R 是具有通常内积的欧氏空间，W 是4
R 的子空间.
（1） 如W 是下列方程组 12341241
23423033
220290x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩ 的解空间，求W ＝？W 在4R 的正交补?W ⊥
=
（2）求W 和W ⊥的标准正交基
21．设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,W W 是V 的子空间且12{0}W W ⋂=
（1） 如(,),(,)i W i 分别是1W 与2W 上的内积，证明：存在V 上的内积(,)满足
(,)(,),1,2
i W i i == （2） 满足（1）中的内积(,)是否唯一，为什么？
22．证明题 在欧氏空间V 中两个向量,αβ的距离定义为αβ-的长度αβ-，记为(,)d αβ，证明：
（1） 当αβ≠时，(,)0d αβ>
（2） (,)(,)d d αββα=
（3） 对任意向量,(,)(,)(,)r V d d r d r αβα∈≤+
23．设V 是n 维欧氏空间，n ≥3, 给定非零向量V α∈，令
::2V V αβαφββααα
→- 证明：（1）αφ是正交变换
（2）如果123,,,,n αααα 是正交基，则存在不全为零实数12,,n k k k 使得1212n n k k k αααφφφ+++ 是V 上的恒等变换。