欧氏空间1

欧氏空间1

1．在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。

2．设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη∀∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明：

（1） σ是V 上的正交变换；

（2） V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤

3．已知矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭

，

（1）求A 的逆；

（2）求A 的初等因子；

（3）求A 的若当标准形。

4．设A 是可逆的n 阶方阵，求证：存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ，使得A=UT ；并且这个表达式是唯一的。

5．证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值1。

6．设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证：如果A 保持内积不变，即对于n

R 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=，那么，它一定是线性的，而且是正交的。 7．设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组，满足

,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>，表示内积，试证存在正交变换,

A 使,1,,.i i A i m αβ==

8．设

f 是n 维欧氏空间V 的对称变换（即f 是V 的线性变换，且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=），证明：f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。

9．设n

R 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10．在欧氏空间n

R 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 .

11。已知[][][]2121

32121

21,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交

基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .

12．对给定的n 阶实满秩矩阵A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解QR 分解,即找

出一个正交矩阵Q 与一个三角矩阵R,使得A=QR 并对矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡312122201,求其QR 分解. 13．正交矩阵的实特征值为1，-1.

14． 如果12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的线性无关的向量组，那么，存在一个向量ξ使得(,)1,1,2,,.i i n αξ==

15．已知实对称矩阵422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，求正交矩阵P 使得T P AP 成为对角矩阵。

16．设V 是n 维欧氏空间，内积记为(,)αβ，又设T 是V 的一个正交变换，记

12{|},{|},V V T V T V αααααα=∈==-∈试证明：

（1）12,V V 都是V 的子空间；（2）12V V V =⊕。

17．设12,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间，且1V 的维数小于2V 的维数。证明：2V 中必有一非零向量正交于1V 中的一切向量。

18．

设10010,2,30A x y Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝，则向量y 的长度_____.y = 19．设125,,,e e e 是5维的Euclid 空间5R 的一组标准正交基，1123(,,)V L ααα=，其

中12321243125,,45e e e e e e e e ααα=+=-++=-+，求1V 的一组标准正交基。

20．设4R 是具有通常内积的欧氏空间，W 是4

R 的子空间.

（1） 如W 是下列方程组 12341241

23423033

220290x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩ 的解空间，求W ＝？W 在4R 的正交补?W ⊥

=

（2）求W 和W ⊥的标准正交基

21．设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,W W 是V 的子空间且12{0}W W ⋂=

（1） 如(,),(,)i W i 分别是1W 与2W 上的内积，证明：存在V 上的内积(,)满足

(,)(,),1,2

i W i i == （2） 满足（1）中的内积(,)是否唯一，为什么？

22．证明题 在欧氏空间V 中两个向量,αβ的距离定义为αβ-的长度αβ-，记为(,)d αβ，证明：

（1） 当αβ≠时，(,)0d αβ>

（2） (,)(,)d d αββα=

（3） 对任意向量,(,)(,)(,)r V d d r d r αβα∈≤+

23．设V 是n 维欧氏空间，n ≥3, 给定非零向量V α∈，令

::2V V αβαφββααα

→- 证明：（1）αφ是正交变换

（2）如果123,,,,n αααα 是正交基，则存在不全为零实数12,,n k k k 使得1212n n k k k αααφφφ+++ 是V 上的恒等变换。