平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何入门(12)- 答案
平面几何入门（12）叶中豪（老封）知识要点几何作图是平面几何四大部分之一。
学习几何作图必须先学会作比较简单、经常应用的图形，即学会基本作图，它们是解较复杂作图题的依据和基础。
熟练地运用基本作图方法，还能有利于确实正确的证题思路，帮助证题。
基本作图（1）作已知线段的垂直平分线。
（2）把已知线段n等分。
（3）作已知角的平分线。
（4）作一角等于已经角。
（5）过已知点作已知直线的垂线和平行线。
（6）利用三角形全等法则构作三角形。
注：边边角也允许，有两解两已。
解作图题的步骤1．解作图题一般应先“审题”，弄清题中的已知条件和求作的图形，画出草图，标上字母进行分析，找出作图方法；然后按照题目的要求结合草图写出已知、求作；再认真画出求作的图形，并写出作法。
2．较复杂的三角形作图问题，大都归结为首先作出最简单的“奠基三角形”，并在此基础上完成全部作图。
三角形奠基法根据题中的已知条件，通过分析找出一个能够直接作图的三角形，以奠定全部作图的基础。
数学鉴赏几何三大问题大约在二千四百多年前，在古希腊盛传着下列三大作图问题：（1）立方倍积问题——求作一立方体，使它的体积是一已知立方体的体积的两倍。
（2）三等分角问题——把一个已知角三等分。
（3）化圆为方问题——求作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积。
这三个作图题是著名的古典难题。
人们一开始就试图寻求这三大问题的正面解答，但一直未能获得成功。
十九世纪中叶，法国数学家伽罗瓦在他死后的确1846年发表的论文里，证明了五次以上的代数方程一般不具有代数解（即高次方程的根一般不能通过关于方程的系数的根式来表示），并提出了伽罗瓦理论。
应用伽罗瓦理论可以证明，这三大问题是不能用尺规给出解答的。
这样，几何三大问题也就彻底解决了。
例题和习题1．已知三角形的两边及其中一边上的中线，作三角形。
2．已知一边和这边上的中线和高，作三角形。
3．已知斜边及两直角边的差，求作直角三角形。
4．已知一边，另一边上的高和中线，求作三角形。
平面几何入门(16)-答案1
平面几何入门（16）叶中豪（老封）例题和习题1. 在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 中点，直线MN 交AB 于P 、交AC 于Q 。
求证：AP ＝AQ 。
解法一：如图取BC 中点L ，连接ML 、NL 。
因为LM 是❒BEC 的中位线，所以LM=1/2CE同理，LN=1/2BD 又BD=CE ，所以LM=LN ，所以∠qml=∠PNL又因为LN ∥BD ，∠APQ=∠PNL （内错角），LM ∥AC ，∠AQP=∠QML所以，∠APQ=∠AQP,即AP=AQ解法二：取DE 中点L ，连LM ，LN 。
与解法一类似。
2. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取BD ，在AC 的延长线上取CE ，使BD ＝CE 。
求证：BC 平分线段DE 。
解法一： 过D 做DF ∥AE ，因为❒ABC 是等腰三角形，所以❒DBF 也是等腰❒，即DF=BD=CE 。
在❒DFM 和❒ECM 中，DF=CE ，∠DMF=∠EMC(对顶角), ∠DFM=∠MCE （内错角），❒DFM ≅ ❒ECM ，则DM=EM解法二：过E 做EF ∥AB 与BC 延长线交于F ，证明与解法一类似，证明❒BMD ≅ ❒FME解法三：过D 、E 做BC 的垂线，交BC 和BC 延长线于G 、H Rt ❒DBG ≅ Rt ❒ECH （AAS ）所以DG=EH 又Rt ❒DMG ≅ Rt ❒EHM （AAS ）所以DM=EM解法四：过D 做DF ∥BC 交AC 于F 。
因为AB=AC ，所以FC=BD=CE ，即CM 是❒EDF 的中位线，所以M 是DE 的中点。
解法五：过E 做EF ∥BC 交AB 延长线于F与解法四类似，BM 是❒DEF 的中位线3. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过点M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F 。
叶中豪平面几何讲座2
1、一道有趣的新编题设D、E、F是△ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心，在DI、EI、FI的延长线上分别截取IA'＝IB'＝IC'＝R（外接圆半径）。
求证：AA'＝BB'＝CC'＝OI；且直线AA'、BB'、CC'共点于外接圆上一点P，P关于△ABC的Simson线恰垂直于OI。
2、大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。
（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆）呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证：如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成△DEF。
取△DEF的内心I。
易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1共线。
得∠PA1I ＝90°。
同理∠PB1I＝∠PC1I＝90°。
故A1、B1、C1、P、I五点共圆。
证毕评注：《近代欧氏几何学》第7章§207定理（曼海姆）：“如图，设△DEF是△ABC的内接三角形，△DEF关于△ABC的Miquel点为M。
设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。
”取P为△ABC的内心，并改换△DEF作为立足点，即可得到原题。
3、垂极点研究已知△ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A′、B′、C′；再自A′、B′、C′分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。
这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三角形正交的一种退化情形。
（其中退化三角形就是A′B′C′）所共点X，可称为△ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见《近代欧氏几何学》§406。
垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly 等人广泛研究。
叶中豪平面几何讲座1.
5．如图，设D
BC中垂线上的
射影为E、Hc。
求证：HaE 6．三角形ABC、F，AD和⊙Ｉ
相交于M，AB于G。求证：CD＝
7．给定△ABC。点D、E在直线AB上，顺次为D、A、B、E，AD＝AC，BE=BC。∠A、∠B的平分线分别交BC、AC于P、Q，交△ABC外接圆于M和N。A与△BME外心的联线及B与△AND外心的联线交于点X。求证：CX ⊥PQ。（09012901.gsp
例题和习题
1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。求证：∠AMD＝∠CMD。（09010703.gsp
）
2．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。
求证：(AC+BC2＝4DL ×EF。（09011003.gsp
）
8．矩形ABCD中，AB
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分别交AB于F、E。求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。（09013001.gsp
）
9．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM ⊥BC。（09013101.gsp
）
10．△ABC中，∠A＝60°，I为△ABC的内心，过I做IE ∥AC交AB于E。在BC上取一点D，使得CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp
）
11．设⊙O 1与⊙O 2交于C、D。过D的直线交⊙O 1与⊙O 2于A、B。点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN ⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。（09020401.gsp
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。
1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。
叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。
而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。
借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。
学生兴趣高，思维启动，效果显著。
叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。
地点:学生可以在家享受国内顶尖教授的知识盛宴。
受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。
学生所需设备：一台电脑或者笔记本或者手机或者Pad。
张老师：于老师：吴老师：。
叶仲豪平面几何讲义
平面几何讲义叶中豪（老封）1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。
2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。
3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。
设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。
求证：O1、O2、A三点共线。
（2012年全国联赛）4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。
求证：E、P、F三点共线。
5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，垂足为P。
求证：E、P、F三点共线。
6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。
求证：S四边形AMIN＝S△IBC。
7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。
求证：A、E、F三点共线。
8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。
过E作ET⊥DF，垂足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。
求证：S、G、T三点共线。
9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。
求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。
10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。
求证：A、F、M三点共线。
11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。
求证：AEED＝BFFC的充要条件是PAuu r·PCuu u r＝PBuur·PDuu u r。
12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
平面几何入门(1)
平面几何入门（1）(上海叶中豪)知识要点一、相关概念基本概念：点，直线（线段、射线、直线）点：两点间的距离直线：垂线（垂足），对顶角，平行线（同位角，内错角，同旁内角）线段：中点，垂直平分线（中垂线），垂线段，斜线段，射影角：顶点，边，邻角，余角，补角，邻补角，锐角，直角，钝角，平角，周角，角平分线三角形：边，角，面积，周长，中线，高，角平分线四边形：正方形，长方形（矩形），平行四边形，菱形，梯形等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形推理：定义，命题（真命题，假命题），公理，定理，逆命题（逆定理），证明，直接证法，间接证法（反证法，同一法）其它：辅助线，尺规作图，轨迹二、基本性质1 公理过两点有且只有一条直线2 公理两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 对顶角相等6 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直7 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短8 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行10 两直线平行，同位角相等11 两直线平行，内错角相等12 两直线平行，同旁内角互补13平行线间的距离处处相等14 一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补15 一个角的两边分别垂足于另一个角的两边，则这两个角相等或互补16 同位角相等，两直线平行17 内错角相等，两直线平行18 同旁内角互补，两直线平行19 定理三角形两边的和大于第三边20 推论三角形两边的差小于第三边21 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°22 推论1 直角三角形的两个锐角互余23 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和24 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角25 等腰三角形的底角相等；底角相等的一定是等腰三角形26 等边三角形的的三个内角都等于60°三、全等三角形两个全等三角形的对应边、对应角相等；对应边上的中线、高线相等；对应角的角平分线相等。
数学名师叶中豪高中数学竞赛平面几何讲义完整版
数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版数学名师叶中豪⾼中数学竞赛平⾯⼏何讲义完整版Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】⾼中平⾯⼏何叶中豪学习要点⼏何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应⽤⼏何变换及相似理论位似及其应⽤完全四边形与Miquel点垂⾜三⾓形与等⾓共轭反演与配极，调和四边形射影⼏何复数法及重⼼坐标⽅法例题和习题1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且()sin 1tan sin 2θθγγ?+=。
求证：2EF=DE+DC 。
（10081902.gsp ） 2．已知相交两圆O 和O'交于A 、B 两点，且O'恰在圆O 上，P 为圆O 的AO'B 弧段上任意⼀点。
∠APB 的平分线交圆O'于Q 点。
求证：PQ 2=PA ×PB 。
（ gsp ）3．设三⾓形ABC 的Fermat 点为R ，连结AR ，BR ，CR ，三⾓形ABR ，BCR ，ACR 的九点圆⼼分别为D ，E ，F ，则三⾓形DEF 为正三⾓形。
（10082602.gsp ）4．在△ABC 中，已知∠A 的内⾓平分线和外⾓平分线分别交外接圆于D 、E ，点A关于D 、E 的对称点分别为F 、G ，△ADG 和△AEF 的外接圆交于A 和另⼀点P 。
求证：AP//BC 。
（10092102.gsp ）5．圆O 1和圆O 2相交于A 、B 两点，P 是直线AB 上⼀点，过P 作两圆作切线，分别切圆O 1和圆O 2于点C 、D ，⼜两圆的⼀条外公切线分别切圆O 1和圆O 2于点E ，F 。
求证：AB 、CE 、DF 共点。
（10092201.gsp ）6．四边形ABCD 中，M 是AB 边中点，且MC=MD ，过C 、D 分别作BC 、AD 的垂线，两条垂线交于P 点，再作PQ ⊥AB 于Q 。
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal 定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli 问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley 定理，Mannheim定理例题和习题1．以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的高。
叶中豪几何讲稿
16．已知D在 △ABC的九点圆 上，E、F分别在 AB、AC边上， 且∠BDF＝ ∠CDE＝90°。 求证：EF过 △ABC的外心O。
17．已知：PB垂 直于圆O的弦AB， 过P作任意割线 PCD，联结AC、 AD与直线PO交于 E、F，DE、CF分 别交圆O于M、N， MN与PO延长交 于Q。求证：QA 是圆O的切线。
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面 上任意一点， 自P作PA、PB、 PC的垂线，分 别与对应边BC、 CA、AB交于D、 E、F，则D、E、 F三点共线。
叶中豪几何讲稿叶中豪老师几何题解答叶中豪平面几何讲义叶中豪几何基础叶中豪叶中豪打向华强儿子叶中豪三角形全等中豪七格伍中豪中豪大酒店
• 1．平行 四边形 ABCD（非 矩形和菱 形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。 求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任F。求证：OE＝OF。
4．ABCD是圆ω的内接四边形，CP、DQ是ω的直径， 过P、Q作的ω切线与直线AB交于E、F。直线EO与AC、 BC交于X、Y，直线FO与AD、BD交于U、V。求证： XV＝YU。 （2010年俄罗斯竞赛
10．在△ABC两 侧作△ABF、 △ACE，使得 ∠BAE＝∠CAF＝ 90°，且∠ABF ＋∠ACE＝180°。 O是△ABC的外心。 求证：E、O、F 三点共线。
平面几何入门(4)-答案
平面几何入门（4）叶中豪（老封）知识要点三角形的基本元素边（side）——a，b，c角（angle）——∠A，∠B，∠C 三角形的全等如果两个三角形：△ABC和△A'B'C'三个角都对应相等，就称这两个三角形全等。
记为：△ABC≌△A'B'C'。
三角形全等的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段也相等。
三角形全等的判定边角边公理（SAS）——有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角公理（ASA）——有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
推论角角边定理（AAS）——有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
边边边公理（SSS）——有三边对应相等的两个三角形全等。
例题和习题AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠E。
求证：AD平分∠BAC。
2．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠1＋∠2＝90°。
求证：BC⊥AB。
3．在△ABC中，∠A的外角平分线交CB延长线于E点。
求证：∠E＝12（∠ABC－∠ACB）。
4．在△ABC中，∠ACB＝90°＋∠B，AD、AE分别是∠A和其外角的平分线，并交BC和其延长线于点D、E。
求证：∠ADE＝∠AED。
证明模式：5．如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB到E，延长BC到F，使EB＝CF。
求证：AE＝AF。
E6．已知：B为线段AC上的一点，△ABE与△BCD为AC同侧的两个等边三角形。
求证：AD＝CE。
7．如图，已知：AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2。
求证：BD＝CE。
8．如图，AB＝AE，∠C＝∠D，且∠BAC＝∠EAD。
求证：BM＝EN。
E B9．如图，AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC。
求证：AB＋CD＝BC。
10．已知正方形ABCD，E点在AB延长线上，F点在BC上，且BE＝BF，联结AF、CE。
求证：AF⊥CE。
E11．在正△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且AD＝BE，AE、CD交于F点。
平面几何入门(5)- 答案
平面几何入门（5）叶中豪（老封）知识要点三角形全等的判定边角边公理（SAS）——有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角公理（ASA）——有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
推论角角边定理（AAS）——有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
边边边公理（SSS）——有三边对应相等的两个三角形全等。
三角形全等的论证模式在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B'，（……）∠A=∠A'，（……）AC=A'C'，（……）∴△ABC≌△A'B'C'.（SAS）得BC=B'C'，∠B=∠B'，……例题和习题1．在△ABC两边AB、AC外作正三角形ABE、ACF，联结BF、CE交于D点。
问：∠BDC的大小是多少？2．如图，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2。
求证：AD＝AE。
B3．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选出3个作为题设，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明：① AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。
4．已知：C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝DE。
求证：AC＝CD。
B5．如图，AB ＝BD ，AC ＝DC ，P 为BC 上一点。
求证：PA ＝PD 。
B6．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点， 且BD ＝CE ，CD ＝BF 。
求证：△DEF 为等腰三角形。
B7．已知：AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，∠A＝∠D。
求证：∠ABC＝∠DEF。
A证明一：证明二：8．已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，且BP＝AC；点Q在CE的延长线上，且CQ＝AB。
求证：AP＝AQ且AP⊥AQ。
平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)
C X Y I
B
P
A
O
。角钝是总 XYO∠�现 发。Y 为点聚切�X 为点聚垂�O 为心外�中 CBA△设 象现
线reluE
。序次的具工整调何如知不但。具工个 02 了建创中版 40.4 板画何几在今】013040【
A
点noelopaN
B
B
C
C
N
d ra corB
'N A
A
tknupn ot tiM � 点rekeipS
C J F H
O G
B
A
。线 reluE 于行平必�线连的点轭共角等的它与点 tamreF 的形角三
D B I
。趣兴的索探阵一了有又点殊特形角三对我使�liam-E 封一的国建钟到收上晚天当】722040【 。西东的新些一生产会还感预�索探续继得值还置位体具圆的成形所络包 FE
1 论结
C
E
A
。线曲锥圆是络包之 FE�时长周半于 等不长 FC�EB 若�圆是络包之 FE�时动运上圆接外在 A 当�索探经 ” 。FE 于直垂 ID�证 求。长周半为均长的 FC�EB 且�点径对的 A 是 D�心内是 I�知已“ �题下如问川路黄】725020【
E
索思新何几面平
�轭共角等好恰 CBA△于关 Q�P 且而�上线连的点 ennogreG 和 G 心重在都 Q�P 则。eG 为标中图在�点 ennogreG 为称点之共所 FC�EB�DA。 �点殊 特个一的上 OI 线连心外、内于位是它� ”点聚切“作称可�Q 为记点之共所 F 3I�E2I�D1I � �进引年 6381 于 legaN 由� ”tknupnottiM“作称中献文在�P 为记点之共所 N3I�M2I�L1I 。点切的圆切内是 F�E�D�点中边各是 N�M�L�心旁的 CBA△是 3I�2I�1I 中图�注
高中平面几何讲义
高中平面几何(上海叶中豪)焦点话题1.三角形中的巧合点2.Simson线及垂足三角形3.圆幂与根轴例题和习题1．已知ABCD是圆内接四边形，I A、I B、I C、I D分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC 的内心。
求证：I A I B I C I D是矩形。
（Fuhrmann定理）2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC 于D，AH延长交外接圆于G点。
求证：DF⊥FG。
3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。
求证：ID∥AC。
4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。
求证：AB＋CD＝BC。
5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC，O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。
求证：OI⊥BC。
6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。
求证：SI＝IT。
7. 已知：△ABC ≌△ADE，延长底边BC，ED交于P点，O是△PCD的外心。
求证：AO⊥BE。
B8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。
求证：A、O、O1、O2四点共圆。
（Salmon定理）B9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。
求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。
10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。
求证：△O1O2O3∽△ABC。
11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。
求证：AO平分O1O2。
叶中豪几何讲稿
形）中， CM⊥AD 于M， CN⊥AB于 N，NM与 BD延长交 于点P。 求证： PC⊥AC。
2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线 上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。
求证：PC是圆O的切线。
3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线 上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，
交于E点。求证：∠DBE＝90°
6．在△ABC中，AB ≠ AC，I是内心，直线AI与△ABC 的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的
B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。 求证：EF⊥PI。 （2007年秘鲁国家队选拔考试）
7．已知：直角△ABC，D是斜边AB的中点，MB⊥AB， MD交AC于N，MC延长线交AB于E。求证：∠DBN＝
13．设P是 △ABC外接圆上 任一点，自P分 别作PA、PB、 PC的垂线，与 对应边BC、CA、 AB或延长线交 于D、E、F，则 D、E、F及外心 O共线
14．设AB是圆 O的弦， PB⊥AB，过P 作圆O的割线 PCD，联结AC、 OP交于E。求 证：EB⊥DB。
15．设P是 △ABC所在平面
任作直线分别交 AB、AC于E、F， 联结B'E、C'F交于 Q点。
求证：AQ⊥BC
∠BCE。 （2007年第4届东南地区数学奥林匹克
8．自圆内接 四边形ABCD 的每边端点作
邻边的垂线，
相邻垂线分别 交于E、F、G、 H。求证：E、 F、G、H四点 共线。
9．已知ABCD是
圆内接四边形， 对角线AC、BD 交于P点，O是 外接圆心。过A、 B分别作邻边AD 和BC的垂线交 于E点。求证： E、O、P三点共 线。
平面几何研究（叶中豪）
高中平面几何(上海教育出版社叶中豪)知识要点三角形的特殊点重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat 点，Napoleon点，Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线特殊直线、圆Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆，Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆特殊三角形中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形，第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形相关直线及相关三角形Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形重心坐标和三线坐标四边形和四点形质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线完全四边形Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理重要轨迹平方差，平方和，Apollonius圆三角形和四边形中的共轭关系等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线几何变换及相似理论平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心Miquel定理内接三角形，外接三角形，Miquel点根轴圆幂，根轴，共轴圆系，极限点反演反演，分式线性变换（正定向和反定向）配极极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点射影几何点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性，Pappus 定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理著名定理三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat-Torricelli问题，Fagnano-Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线，Steiner 定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理例题和习题1．已知：ABCD是圆外切四边形，内切圆心O在对角线BD上射影为M。
平面几何新思索
A
M'
O
J K
M
G F
O'CJ'Euler线H
B
下图中又画出了 Napoleon 点 N、第二 Napoleon 点 N′。与结论 4 相结合�可推得如下 进一步结论�
“N�H�J 共线�N′�H�J′也共线。”
F' A
O
J
K G
N
F
O'
B
C
N'
H
结论 5 三角形的 Mittonpunkt 与 Spieker 点、垂心 H 三点共线。
在《蚁迹寻踪》一书 P.46 提到 Clark Kimberling 的一个结果� “三角形的 Fermat 点、Napoleon 点、外心三点共线�三角形的 Fermat 点、第二 Napoleon 点、九点圆心三点也共线。”即图 中 F�N�O 共线�F �N′�O′共线�O′表示九点圆心�。
事实上�三角形的第二 Fermat 点 F′�第二 Napoleon 点 N′�外心 O 三点也共线� 三角形的第二 Fermat 点 F′�Napoleon 点 N�九点圆心 O′三点也共线� 而且�FF′与 NN′的交点正是△ABC 的类似重心 K ��见上图�
平面几何新思索
【000514】△OPQ 是一个给定三角形�M�N 是 PQ 的三等分点。在任意△ABC 周围作� △FBA∽△MOP�△EAC∽△NQO。G 是△ABC 的重心。求证�△GEF∽△OPQ。
E A O F
G
P
M
N
Q
B
C
上题是在研究拿破仑定理时�经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。
若三个正三角形改为向形内作�△D′BC�△E′CA�△F′AB�其中心记为 O1′� O2′�O3′�。则 AD′� BE′�CF′所共之点称作△ABC 的第二 Fermat 点(负等角中心)� 记作 F′�AO1′�BO2′�CO3′所共之点称作△ABC 的第二 Napoleon 点�记作 N′。
老封先生一道平面几何问题的简单解答
老封先生一道平面几何问题的简单解答
星野阔
老封先生，就是叶中豪先生。
本文解答的
问题，是他发表在微信公众号《几何爱好者》的《关联点逆相似习题集》的第17题，题目
内容如下：
给定等腰三角形ABC，E、F分别是两腰AC、AB上的点，D是底边BC上的点，且
∠BDE=∠CDF。
求证：AD、BC、EF的中点
共线。
证明：假设BC中点为Q，EF中点为X，
只需证明直线XQ平分线段AD，亦即
S△AQX=S△DQX。
假设BD>CD，那么容易发现，E、F分别
位于AQ两侧，且X和E位于AQ同一侧。
于是，可以得到如下结论：
S△AQX=(S△AQE-S△AQF)/2=(S△ABE-S△ACF)/4
因为Q和D位于直线EF同一侧，所以有：
S△DQX=(S△DQE+S△DQF)/2
因为B、C位于直线DE两侧，而BC中
点Q位于B那一侧，所以有：
S△DQE=(S△BDE-S△CDE)/2
同样的，因为B、C位于直线DF两侧，
而BC中点Q位于B那一侧，所以有：
S△DQF=(S△BDF-S△CDF)/2
进而有：
S△DQX=(S△BDE-S△CDE+S△BDF-S△CDF)/4
要证明S△AQX=S△DQX，只需要证明：
S△ABE+S△CDE+S△CDF=S△ACF+S△BDE+S△BDF
注意，∠B=∠C，∠BDF=∠CDE，所以
△BDF~△CDE，BD*DE=CD*DF，所以
S△CDF=S△BDF，于是，只需要证明：
S△ABE+S△CDE+S△BDF=S△ACF+S△BDE+S△CDE
此式明显是成立的，所以QX平分线段AD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。
在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。
G是△ABC的重心。
求证：△GEF∽△OPQ。
PC M NF上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。
结果发觉其难度并不大。
当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。
【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。
求证：DI垂直于EF。
”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。
EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。
【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。
结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。
B C注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamic point），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。
结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。
而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。
II21注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。
I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3 F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。
AD，BE，CF所共之点称为Gergonne点，在图中标为Ge。
则P，Q都在重心G和Gergonne点的连线上，而且P，Q关于△ABC恰好等角共轭！结论3过完全四边形的六个交点各作一条Newton线的平行线，则每条平行线都是满足如下特性的轨迹——其上任意一点与相应交点所在直线上的两条线段所张成的三角形面积相等（这两条线段不以该交点为端点）。
E注：图中P是过A所作的平行线上任意一点，则P点满足S△PB E＝S△PFD。
其中，线段BE和FD称为完全四边形的一组“对节”（完全四边形共有六组对节）。
结论4三角形的两个Fermat点连线和两个Napoleon点连线的交点是类似重心。
F注1：以△ABC的三边向形外作三个正三角形——△DCB，△EAC，△FBA，其中心记为O1，O2，O3。
则AD，BE，CF所共之点称作△ABC的Fermat点(正等角中心)，记作F；AO1，BO2，CO3所共之点称作△ABC的Napoleon点，记作N。
若三个正三角形改为向形内作（△D′BC，△E′CA，△F′AB，其中心记为O1′，O2′，O3′）。
则AD′，BE′，CF′所共之点称作△ABC的第二Fermat点(负等角中心)，记作F′；AO1′，BO2′，CO3′所共之点称作△ABC的第二Napoleon点，记作N′。
在《蚁迹寻踪》一书P.46提到Clark Kimberling的一个结果：“三角形的Fermat点、Napoleon 点、外心三点共线；三角形的Fermat点、第二Napoleon点、九点圆心三点也共线。
”即图中F，N，O共线，F ，N′，O′共线（O′表示九点圆心）。
事实上，三角形的第二Fermat点F′，第二Napoleon点N′，外心O三点也共线；三角形的第二Fermat点F′，Napoleon点N，九点圆心O′三点也共线；而且，FF′与NN′的交点正是△ABC的类似重心K ！（见上图）注2：深入的探索表明，结论4与结论1有密切联系。
下图中同时画出了Fermat点F，第二Fermat点F′，等力点J，第二等力点J′。
此图给出了如下结论：（1）G，F，J′共线；G，F′，J共线。
（2）GK，O′F′交于J F中点；GK，O′F交于J′F′中点。
（3）OK，O′F，HF′共点；OK，O′F′，HF共点。
由Schoute共轴圆系知，以OK为直径的圆（Brocard圆）与过J，J′两点的圆正交，由此易说明O，K；J，J′四点构成调和点列，即G（O，K；J，J′）构成调和线束。
因此，要证明结论1，改为证明（1）G，F，J′共线以及（2）GK平分J F就可以了。
B下图中又画出了Napoleon点N、第二Napoleon点N′。
与结论4相结合，可推得如下进一步结论：“N，H，J共线；N′，H，J′也共线。
”J'结论5三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。
B DC 结论6垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。
CBD P2004年2月27日晚探索得：垂三角形DEF 的垂心P 与Spieker 点Q ，都在原三角形ABC 的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard 轴）上。
结论7 切点三角形DEF 的九点圆心（图中标为P ），与垂心H 及Gergonne 点Ge 三点共线。
CBD【040310】今在几何画板4.04版中创建了20个工具。
但不知如何调整工具的次序。
X ，切聚点为Y 。
发现象 考虑Euler 线的三线极点P 。
当A 在外接圆上运动时，其轨迹是奇怪而漂亮的曲线——像拿破仑的帽子（轴对称！）。
这曲线不久前似曾相识，但却想不起来了。
现象 当一条直线绕定点P 旋转，其垂极点的轨迹是椭圆。
考虑定点P 和该椭圆的依赖关系（前年在钦州南路时曾考虑P 在外接圆上时，椭圆变成N 是外接圆上两点，P 是这两点的西摩松线的的垂心L MN 而通过P 点。
”复习题三№53）。
今发觉：当且仅当P 在△形内（外）时，P 在椭圆形内（外）。
问：P 取什么点时，成为三角形的内切椭圆（有无可能性）？可退而考虑何时和三角形一边相切。
猜想：当P 和P ′关于外接圆互为反演点时，所对应的椭圆离心率是一样的，甚至是位似的！DEF 。
P 的轨迹是二次曲△D'E'F'用来控制形状DD'E'F'点E现象 考虑如下习题：“过三角形ABC 平面上某点P ，作PA ，PB ，PC 的垂线，分别与对边BC ，CA ，AB 交于X ，Y ，Z 点，则X ，Y ，Z 三点一定共线。
”今探索得当P 在外接圆上时，所共线过外心。
由此编成如下题目：题目 设P 是△ABC 外接圆上任一点，作PA ，PB ，PC 的垂线，分别与对边BC ，CA ，AB 交于D ，E ，F 点，则D ，E ，F 和外心O 四点共线。
此题看来并非显然，今上午给田廷彦做，田看出这实际上是Pascal 定理（对自交型圆内接六边形而言）。
田说他近日得到如下简单结论：结论 设BE ，CF 是△ABC 的角平分线，则EF 过重心G 的充要条件是111b c a+=。
特别地，当∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3时（即∠A ＝7π，∠B ＝27π，∠C ＝37π），求证：G ，E ，F 共线。
这个结论用重心坐标很容易解释。
现象 考虑三角形ABC ，当底边BC 及外接圆固定，而A 点在圆上移动时各种特殊点的轨迹。
其中类似重心K 、垂聚点X 、切聚点Y 都为椭圆；Spieker 点，Mittonpunkt 为两个8字曲线（当中那点恰重合！）；Brocard 点像水珠形；而Napoleon 点很复杂，就像拿破仑的帽子。
04031203【040314】今用几何画板画“迭代”、“科赫雪花”及旋转的“正六面体”：【040319】前天晚上给出“非钝角三角形的外心至三边的距离和，等于外接圆与内切圆的半径和”（《梁绍鸿》复习题三№14）一题的另外一种纯几何证法。
只需证Rt△BFD≌Rt△DJI。
再注意MF方向即可。
（在△EBC中，MF平行于∠E的平分线，根据阿基米德的结论，BF就等于EB＋EC之半，而EB＋EC正等于HB＋HC，即O到相应两边距离之和的两倍。
）由此DJ等于O到AB，AC两边距离之和。
现象记得90年代中期，陈计问我△ABC中，各边上长度分别为Ceva线是否共点？（陈计说用不等式易证a at m≤≤。
而长度为Ceva线有两条，上述Ceva线指的正是夹在中线和角平分线之间的那条。
）我通过较烦的计算（算出它分相应边之比，然后再用Ceva定理）断定这三条Ceva线04031901今天重新考虑这个问题，又得到了一个新的进展：上述Ceva线将△ABC分成两个小三角形的内切圆恰好相等！田廷彦说这是1988年IMO的预选题（苏联提供），以前我们还曾讨论过，而且他在《阶梯奥数》中也写到了这题。
钟建国也在E-mail中告诉了这题的来源。
中午又得到一个新结论（但并不难证）：现象设AP是△ABC的任意一条Ceva线，则△APB，△APC的内切圆的另外一条内公切线一定经过△ABC的内切圆和底边BC的切点D！04031903DB CP当△ABC 是直角三角形（∠C ＝90°），且CH ⊥AB 时，此图有很多特殊的性质（有两个常见题涉及此图：一是说斜边上的高CH 等于这三个圆的半径和——此题曾作为1959年的基辅数学竞赛题（七年级）№297；一是说r 12＋r 22＝r 2。
前者只需利用直角三角形中r ＝p －a ，而后者相当于勾股定理）。
作出⊙I 1，⊙I 2的另外一条外公切线MN 。
下图表明这时有很多相等的线段（PQ ＝DH ，EE 1＝DD 1＝D 2H ，FF 1＝DD 2＝D 1H ），并有六个三线共点（图中用虚线显示）。
设高CH 和外公切线MN 的交点为L ，则L 到C ，I 1，I 2三点等距；而且，这时LI 1，LI 2的方向也与直角边平行。
04031904D 2D 1HAB【040321】《初中数学竞赛辅导讲座》（上海科技出版社1987年版）杜锡录的讲座中有一道常见题：“设P 为正三角形ABC 外接圆BC 弧上的任意一点，CP 的延长线交AB 的延长线于E 点，BP 的延长线交AC 的延长线于F 点。
求证：BC 2＝BE ²CF 。
（思考题9 №3）”（只需证明△EBC ∽△BCF 即可。
）此题可推广为（昨天晚上得到）：推广 设P 为△ABC 外接圆上任意一点，CP 的延长线交AB 的延长线于E 点，BP 的延长线交AC 的延长线于F 点。