7-3算法与复数

专题7第3讲 算法与复数
一、选择题
1．(2011·大纲全国卷理，1)复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －
－z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i
[答案] B
[解析] z －＝1－i ，∴z ·z －－z －1＝(1＋i )(1－i )－(1＋i )－1＝－i .
2．(2011·福建文，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )
A ．3
B ．11
C ．38
D ．123
[答案] B
[解析] 根据赋值语句“a ＝a 2＋2”及初值a ＝1得输出的a 为11，共循环2次． 3．(2011·江南十校联考)阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝( )
A ．45
B ．35
C ．21
D ．15
[答案] D
[解析]当i＝1时，T＝1，S＝1；当i＝2时，T＝3，S＝3；当i＝3时，T＝5，S＝15；当i＝4时，输出S，故输出的S＝15，故选D.
4．(文)(2011·广东文，1)设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z＝()
A．－i B．i
C．－1 D．1
[答案] A
[解析]z＝1
i
＝
i
i×i
＝－i.
(理)(2011·广东理，1)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝() A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．2－2i
[答案] B
[解析]∵(1＋i)z＝2，∴z＝
2
1＋i
＝
2(1－i)
2
＝1－i，选B.
5．(2011·辽宁理，6)执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()
A．8 B．5
C．3 D．2
[答案] C
[解析]k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.
6．(文)(2011·海南五校联考)复数z满足z i＝1＋3i，则z在复平面内所对应的点的坐标是()
A．(1，－3) B．(－1,3)
C．(－3,1) D．(3，－1)
[答案] D
[解析]∵z i2＝(1＋3i)i＝－3＋i，即－z＝－3＋i，
∴z＝3－i，故复数z在复平面内对应的点为(3，－1)．
(理)(2011·济南三模)复数z＝(2＋i)2
1－i
(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B
[解析]由z＝(2＋i)2
1－i
＝
(2＋i)2(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝－
1
2
＋
7
2
i，得其在复平面上对应的点为(－
1
2
，
7
2
)，
故应选B.
7．(文)(2011·新课标理，3)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()
A．120 B．720
C．1440 D．5040
[答案] B
[解析]当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此时k＝1，满足k<6，故k＝k＋1＝2.
当k＝2时，p＝1×2，此时满足k<6，故k＝k＋1＝3.
当k＝3时，p＝1×2×3，此时满足k<6，故k＝k＋1＝4.
当k＝4时，p＝1×2×3×4，此时满足k<6，故k＝k＋1＝5.
当k＝5时，p＝1×2×3×4×5，此时满足k<6，故k＝k＋1＝6.
当k＝6时，p＝1×2×3×4×5×6＝720.
此时k<6不再成立，因此输出p＝720.
[评析]本小题考查对算法的循环结构程序框图的理解与应用，考查分析、解决问题的能力．本题的程序框图的功能是计算p＝1×2×3×…的值，难度较小．
(理)(2011·温州三模)已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是()
A.12 B ．－1 C ．2 D ．1
[答案] A
[解析] 由于i ＝1，a ＝2；i ＝2，a ＝1
2；i ＝3，a ＝－1；i ＝4，a ＝2；…，由此规律可知，
i ＝3k ＋1，a ＝2；i ＝3k ＋2，a ＝1
2；i ＝3k ＋3，a ＝－1，其中，k ∈N .从而可知当i ＝20时，a
＝12
. 8．(文)(2011·新课标文，2)复数5i
1－2i ＝( )
A ．2－i
B ．1－2i
C ．－2＋i
D ．－1＋2i
[答案] C
[解析] “去分母”的方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 5i 1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i (1＋2i )5
＝i －2，选C. (理)(2011·陕西理，7)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚
数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．[0,1]
[答案] C
[解析] y ＝|cos 2
x －sin 2
x |＝|cos2x |，∴0≤y ≤1. |x －1i
＝|x ＋i|＝x 2
＋1< 2.
∴x 2
<1，∴－1<x <1，∴M ∩N ＝[0,1)．
二、填空题
9.(2011·福建理，11)运行如图所示的程序，输出的结果是________．
[答案] 3
[解析] 由于a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3.
10．(2011·江苏，3)设复数i 满足i (z ＋1)＝－3＋2i (i 是虚数单位)，则z 的实部是________． [答案] 1 [解析] ∵z ＋1＝
－3＋2i
i
＝2＋3i ，∴z ＝1＋3i. 复数z 的实部为1.
11．(文)(2011·湖南文，11)若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________．
[答案]
15
4
[解析] 由循环结构知x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝15时循环结束，所以输出x ＝15
4
.
(理)(2011·湖南理，13)若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －
＝2，则输出的数等于________．
[答案] 23
[解析] 本题的功能为求x 1，x 2，x 3的方差．
S＝1
3
[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝
2
3
12．(2011·江西理，13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
[答案]10
[解析]n＝1，S＝0＋(－1)1＋1＝0，
n＝2时，S＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3时，S＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4时，S＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故运行输出结果为10.
三、解答题
13．设计算法求：1
1×2＋
1
2×3
＋
1
3×4
＋…＋
1
99×100
[解析]这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示．
14．甲、乙两人玩游戏，规则如流程框图所示，求甲胜的概率．
[解析]由题意知“甲胜”意味着两次取出的都是红球，因为袋里有3红1白四个球，把3个红球记为a1，a2，a3,1个白球记为b，两次取球的不同结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，
b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)，共12种情况，
其中“两次取出的都是红球”的不同结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，共6种情况，所以甲胜的概率是P ＝612＝1
2
.
15．(2011·山东淄博质检改编)已知z ∈C ，且z ＝1＋ti
1－ti (t ∈R )，求复数z 对应的点的轨迹．
[解析] 设复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )， ∴x ＋yi ＝1＋ti 1－ti ＝(1＋ti )21＋t 2＝1－t 2＋2ti
1＋t 2
.
据复数相等，可得⎩⎨⎧
x ＝1－t 2
1＋t 2
①y ＝
2t
1＋t 2
②
①2＋②2得：x 2＋y 2＝1.③
由①②可知，x 、y 是③的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x 或y 的范围来考虑．
由①得：t 2
＝
1－x
1＋x
≥0， 即⎩
⎪⎨
⎪⎧
(x －1)(x ＋1)≤0x ＋1≠0，
∴－1＜x ≤1.
而由③得：y ＝1－x 2≥0， ∴－1≤x ≤1.
综上所求轨迹应是单位圆，除去(－1,0)点．。