函数展开成幂级数
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
11函数展开成幂级数解读
0
x
x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )
得 ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),
即
ln s( x ) ln(1 x ) ,
s( x ) (1 x ) , x ( 1,1)
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n! 牛顿二项式展开式 注意: 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
xs( x ) x ( 1) x
2
( 1)( n 1)
( n 1)!
xn
利用
( m 1)( m n 1) ( m 1)( m n) m ( m 1)( m n 1) ( n 1)! n! n!
x x0 lim 0, 故 lim Rn ( x ) 0, n ( n 1)! n x ( x 0 R, x 0 R )
可展成点x0的泰勒级数.
二、函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
步骤: (1) 求a n
f
(n)
( x0 ) ; n!
( 2) 讨论 lim Rn 0 或 f ( n ) ( x ) M ,
1 1 1 3 2 1 3 5 3 n ( 2n 1)!! n 1 x x x ( 1) x 1 x 2 2 4 2 4 6 ( 2n)!! [1,1]
双阶乘
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合 等方法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
函数展开成幂级数
令 x = x0 , 即得
1 (n) an = f ( x0 ) n!
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的
(n = 0,1,2,L )
泰勒系数
∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
x
1 1 1 , = 解 Q = x −1 4 − x 3 − ( x − 1) 3(1 − ) 3 1 x −1 x −1 2 x −1 n ) +L+ ( ) + L] = [1 + +( 3 3 3 3 x −1 < 3 x −1 1 ∴ = ( x − 1) 4− x 4− x
1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) n = ( x − 1) + + + L+ +L 2 3 n 3 3 3 3 x −1 < 3 (n) f (1) = 1 , n! (n) 于是 故 f (1) = n . n 3 n! 3
∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = 0 ;
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
Q f ( x ) − sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
(n)
x ∈(−∞,+∞)
f x . 例3 将 ( x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成 的幂级数
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数展开函数成幂级数是一种将一个函数用无穷级数的形式表示的方法。
这种方法在数学分析和物理学中有广泛的应用。
展开函数成幂级数的方法在很多情况下比较复杂，但对于一些特殊的函数，可以采用一些常见的技巧来进行展开。
首先，我们来回顾一下幂级数的定义。
如果给定一个函数f(x)，我们想要将它展开为幂级数的形式，那么我们需要找到一个函数g(x)以及一个常数c，使得f(x)可以表示为g(x)乘以伪幂级数(c+x+x^2+x^3+...)的形式。
这个伪幂级数在数学上称为幂级数的“标准形式”。
为了将一个函数展开成幂级数形式，需要进行以下几个步骤：1.确定展开点：选择一个展开点x=a。
通常情况下，我们会选择函数f(x)的一个曲线上的一个点为展开点。
2.求取各项系数：使用泰勒级数展开的方法，我们可以通过求取函数f(x)在展开点x=a处的各阶导数（包括一阶导数、二阶导数、三阶导数等）来计算幂级数的各项系数。
具体来说，幂级数的系数可以通过以下公式计算：cn = f^(n)(a)/n!其中，f^(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在x=a处的值。
n!表示n的阶乘。
3.整理幂级数的形式：将各项系数带入幂级数的标准形式(c+x+x^2+x^3+...)中，得到展开后的幂级数形式。
让我们通过一个例子来演示一下展开函数成幂级数的过程：假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成幂级数的形式。
首先，我们选择展开点x=0。
然后，我们可以使用泰勒级数展开的方法来计算各项系数。
由于sin(x)的各阶导数的周期性质，我们可以观察到以下规律：f^(2n+1)(0)=0f^(2n)(0)=(-1)^n*(2n)!通过计算，我们可以得到幂级数的系数：c0 = f(0)/0! = sin(0)/0! = 0/1 = 0c1 = f'(0)/1! = cos(0)/1! = 1/1 = 1c2 = f''(0)/2! = -sin(0)/2! = 0/2 = 0c3 = f'''(0)/3! = -cos(0)/3! = -1/6c4 = f''''(0)/4! = sin(0)/4! = 0/24 = 0...因此，函数f(x) = sin(x)的展开幂级数形式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...注意：在实际应用中，幂级数展开可以根据需要选择合适的截断级数，即只保留幂级数中的前几项。
函数展开成幂级数
提示: f ′(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+ ⋅ ⋅ ⋅ , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n−1)⋅⋅⋅2an+1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,
Jlin Institute of Chemical Technology
f ′(0)=a1 . f (n)(0)= n!an.
1+ mx + m(m −1) 2 m(m −1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n +1) n x + ⋅⋅⋅ + x + ⋅⋅⋅ . 2! n!
2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m(m −1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n +1) x
⋅⋅⋅ ,
f (n)(x)=m(m−1)(m−2)⋅ ⋅ ⋅(m−n+1)(1+x)m−n, ⋅ ⋅ ⋅ ,
展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(−R, R)内能展开成x 的幂级数, 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +anxn + ⋅ ⋅ ⋅ ,
f (n) (0) f ′′(0) ⋅ ⋅ ⋅, 那么有 a0=f(0), a1=f ′(0), a2 = an = , ⋅ ⋅ ⋅. , n! 2!
x ′dx = ∫ 1 dx = ∫0 [ln(1+ x)] 0 1+ x x
= ∫0 [ ∑
x ∞
n =0
(−1)n x n ]dx =
n =0
∑
∞
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
函数展开为幂级数
所以
x e (n 1,2,), f 0 f 0 f 0 f ( n) 0 1,
f
n
x
于是我们得到幂级数 1 1 1 x x2 xn ，收敛域为(, ) 2! n! 可以验证余项lim Rn x 0，x (, )(从略)
( n 1)
(0 1)
二、函数展开为幂级数 1．直接展开法
f ( n) ( x0 ) ; 步骤: (1) 求幂级数系数an n!
(2) 讨论 lim Rn ( x) 0 ,
n
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x).
例1 试将函数f x ex展开成x的幂级数．
这个级数的敛域为(, ).
2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式.
ex 1 x 1 2 1 x xn (＜x＜ )． 2! n!
1 3 1 5 x2n1 n sin x x x x (1) 3! 5! (2n 1)!
(n 1)π sin x n 1 2 n 1 x | Rn x | x ０ (n 1)! (n 1)!
因此有
1 3 1 5 x2n1 n sin x x x x (1) ， 3! 5! (2n 1)!
n
所以 e x 1 x
1 2 1 x xn (＜x＜ )． 2! n!
例2 试将函数f x sin x展开成x的幂级数．
解 因为 nπ ) (n 1, 2,), 2 所以 f 0 0, f (0) 1，f (0) 0, f (0) 1,, f
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。
它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。
为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。
这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。
泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。
麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。
通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。
这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。
需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。
一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。
因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。
总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。
它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。
函数展开成幂级数
即
lim
n
Rn
(
x
)
0
，
x
U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
其中 pn( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 n!
f
(n)( x0 )( x
x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时， 余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
事实上，若函数f(x)可以展开成x的幂级数
函数展开成幂级数
第三章中我们已给出了几个常用的初等函数的麦克劳林公式， 在此不再赘述.
函数展开成幂级数
【例35】
函数展开成幂级数
【例36】
【例37】
函数展开成幂级数
【例38】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
【例39】
函数展开成幂级数
【例40】
函数展开成幂级数
【例41】
函数展开成幂级数
【例42】
函数展开成幂级数
【例43】
谢谢聆听
函数展开成幂级数
我们先看n阶泰勒公式.若函数f(x)在x0的某一邻域内具有直到 n+1阶导数，则在该邻域内函数f(x)的n阶泰勒公式为
函数展开成幂级数
来近似表示，并且其误差等于余项的绝对值Rn(x).显然， Rn(x)随着n的增大而减小，那么，我们就可以用增加
多项式项数的办法来提高精度. 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数
函数展开成幂级数
【例33】
【例34】
函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
以上两例是直接利用公式，将给定的函数展开为幂级 数.这种方法称为直接展开法.用直接展开法把函数展开成幂 级数，一方面需要计算高阶导数，另一方面要讨论余项 Rn(x)是否趋于零.一般来说，这两方面做起来是不容易的. 因此，我们常以一些函数的已知展开式为基础，利用幂级 数的一些性质，将函数展开为幂级数，从而避免了高阶导 数的计算和余项的讨论.这种方法称为间接展开法.由于函数 的幂级数展开式具有唯一性，同一函数用直接展开法或用 间接法求出的幂级数是一样的.
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∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( −1) n , ( n = 0,1,2,⋯)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
（如下图） 如下图）
y = ex
y = ex
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
n= 0
∞
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收 敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→∞
证明（ 证明（略）
定理 3
设 f (x) 在U ( x0 ) 上有定义,∃M > 0, 对 上有定义, ( n) ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R),恒有 f ( x) ≤ M
n=0
存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
问题: 如果能展开 如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一 展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
定理1 U 定理 1 如果 函数 f (x)在 δ ( x0 )内具有 任意 阶导 级数, 数 且 Uδ ( x0 )内能展 , 在 开成( x − x0 )的幂 级数 , 即 f ( x) =
代 P (x)中 入 n 得
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x) 在含有x0 (Taylor) ( ( 阶的导数, 的某个开区间 a, b) 内具有直到 n + 1) 阶的导数,则 ( 内时, 当x在(a, b) 内时, f (x)可以表示为 x − x0 ) 的一个 n次多项式与一个余项Rn (x)之和: 之和:
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) M n+1 Rn ( x) = ( x − x0 ) ( x − x0 )n+1 ≤ (n + 1)! (n + 1)! Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
即Rn( x) = o[( x − x0 )n ].
∴ f ( x) = ∑
f ( n ) ( 0) n x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. 麦克劳林级数. n!
∑
n= 0
问题
f (n) ( x0 ) n f ( x) ? ∑ ( x − x0 ) == n! n=0
∞
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 不一定.
解
f
(n)
x
(n)
由于M的任意性 由于 的任意性, 即得 的任意性
1 2 1 n e = 1 + x + x +⋯+ x +⋯ x ∈(−∞,+∞) 2! n!
x
f x . 例2 将 ( x) = sin x展开成 的幂级数
解
f
(2n)
(n)
nπ nπ (n) ( x ) = sin( x + ), f (0) = sin , 2 2
n
1⋅ a = f ′( x ),
1 0 ( n) 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
⋯ ⋯, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,⋯, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
f ′′( x0 ) ( x − x0 )2 + ⋯ P ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + n 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + n!
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin)
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + ⋯+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x 2! n! + O( xn )
四、泰勒级数
上节例题
∞
( −1) n−1 ∑
n =1
∞
xn = ln(1 + x ) ( −1 < x ≤ 1) n
n
f ( x) = ∑an ( x − x0 )
n
f (k ) ( x0 ) f ( x) = ∑ ( x − x0 )k + Rn ( x) k =0 k! ( 的n 泰 公 称 f (x)按 x − x0 )的 展 的n 阶 勒 式 为 幂 开
n
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
(n = 0,1,2,⋯ 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∑
n=0
∞
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. 泰勒级数. n!
此 去 过 如 下 ,经 (n + 1)次 ,得 后
( Rn( x) Rnn+1) (ξ ) n+1 = (n + 1)! ( x − x0 ) x 间 (ξ在x0与ξn之间,也 x0与 之 ) 在
∵ P
( n+1) n
( x) = 0,
( ∴ Rnn+1) ( x) = f (n+1) ( x)
(n + 1)阶 数 P(x) 为 项 函 导 , 多 式 数
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + ⋯+ an( x − x0 )n n
差 Rn( x) = f ( x) − P ( x) 误 n
、 二 Pn 和Rn 的 定 确
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.
x0
Pn ( x0 ) = f ( x0 )
y
y = f (x)
2.
′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 )
3.
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0 )
o
x0
x
⋯⋯ ⋯⋯
设 假
0
P(k ) ( x0 ) = f (k ) ( x0 ) k = 1,2,⋯, n n
0பைடு நூலகம்
a = f ( x ),
an ( x − x0 )n ∑
n=0
∞
1 (n) 则其系数 an = f ( x0 ) n!
是唯 一的. 且展开式 一的.
∞ n= 0
(n = 0,1,2,⋯ )
∵ ∑ a n ( x − x0 ) n 在u( x0 )内收敛于 f ( x ),即 证明
f ( x ) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + ⋯ + a n ( x − x 0 ) + ⋯
第四节
函数展开成幂级数
一、问题的提出
1.设 1.设 f (x)在x0处 续 则 连 , 有
f ( x) ≈ f ( x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) +α ]
x 2.设f (x)在 0 处可 ,则 导, 2.设 导 有
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) n +1 = ( x − x0 ) ( x − x0 ) n + 1 − 0
′ Rn (ξ1 ) = ( n + 1)(ξ1 − x0 )n (ξ在x0与x之间)
′ (x)及(n + 1)( x − x0 )n 在以x0 及ξ1为端点 两 函数Rn
( 证明: 设, 证明: 由 设,Rn (x) 在 a, b) 内具 直 (n + 1)阶 假 有 到
数 导 ,且
( ′ ′′ Rn ( x0 ) = Rn ( x0 ) = Rn ( x0 ) = ⋯= Rnn) ( x0 ) = 0
两函数Rn (x) 及( x − x0 )n+1 在以x0 及x 为端点的 件, 区 上 足 西 值 理 条 ,得 间 满 柯 中 定 的 件