三角形等高模型与鸟头模型知识例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相

等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．

【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍

⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍

【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中

阴影部分的面积是 平方厘米．

【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的

中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

【例 5】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问

阴影部分面积是多少

【例 6】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影

部分面积是多少

【例 7】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积例题精讲

三角形等高模型与鸟头模型

是三角形EBC 面积的几倍

【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积

的三角形一共有哪几个三角形

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，

三角形BDE 的面积是多少

【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平

方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．

【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形

的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘

米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．

【例 13】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，

三角形ABC 的面积是多少

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、

三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两

部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．

【例 16】 图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．

【解析】 在ABD 中，因为215cm AOB S =，且3OB OD =，所以有235cm AOD AOB S S =÷=．

因为ABD 和ACD 等底等高，所以有ABD ACD S S =．

从而215cm OCD S =，在BCD 中，2345cm BOC OCD S S ==，所以梯形面积：

2155154580cm +++=（）

． 【例 17】 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．

【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角

形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米

【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求

OBD ∆的面积是多少

【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面

积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米

【例 21】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的

面积．

【例 22】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积

占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少

【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD

中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720

，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．

【例 24】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

【例 25】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．

【例 26】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三

角形CDF 的面积．