初二数学压轴几何证明题(含规范标准答案)
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1.四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF,连接DF,G 为DF的中点,连接EG,CG,EC.
(1)如图1,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及的值;
(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°),若BE=1,AB=,当E,F,D三点共线时,求DF的长及tan∠ABF的值.
解:(1)EG⊥CG,=,
理由是:过G作GH⊥EC于H,
∵∠FEB=∠DCB=90°,
∴EF∥GH∥DC,
∵G为DF中点,
∴H为EC中点,
∴EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),
即GH=EH=HC,
∴∠EGC=90°,
即△EGC是等腰直角三角形,
∴=;
(2)
解:结论还成立,
理由是:如图2,延长EG到H,使EG=GH,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM,延长CD,
∵在△EFG和△HDG中
∴△EFG≌△HDG(SAS),
∴DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,
∴EF∥DH,
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4,
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC,
在△EBC和△HDC中
∴△EBC≌△HDC.
∴CE=CH,∠BCE=∠DCH,
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°,∴△ECH是等腰直角三角形,
∵G为EH的中点,
∴EG⊥GC,=,
即(1)中的结论仍然成立;
(3)
解:连接BD,
∵AB=,正方形ABCD,
∴BD=2,
∴cos∠DBE==,
∴∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°,
∴∠ABF=45°-15°=30°,
∴tan∠ABF=,
∴DE=BE=,
∴DF=DE-EF=-1.
解析:(1)过G作GH⊥EC于H,推出EF∥GH∥DC,求出H为EC中点,根据梯形的中位线求出EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),推出GH=EH=BC,根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;
(2)延长EG到H,使EG=GH,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM,延长CD,证△EFG≌△HDG,推出DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,求出∠EBC=∠HDC,证出△EBC≌△HDC,推出CE=CH,∠BCE=∠DCH,求出△ECH是等腰直角三角形,即可得出答案;
(3)连接BD,求出cos∠DBE==,推出∠DBE=60°,求出∠ABF=30°,解直角三角形求出即可.
2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图1放置,使点E在BC上,取DF的中点G,连接EG,CG.
(1)延长EG交DC于H,试说明:DH=BE.
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DF中点G(如图2),莎莎同学发现:EG=CG且EG⊥CG.在设法证明时他发现:若连接BD,则D,E,B三点共线.你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.
(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0<α<90°),再连接DF,取DF的中点G(如图
3),第2问中的结论是否成立?若成立,试说明你的结论;若不成立,也请说明理由.
(1)证明:∵∠BEF=90°,
∴EF∥DH,
∴∠EFG=∠GDH,
而∠EGF=∠DGH,GF=GD,
∴△GEF≌△GHD,
∴EF=DH,
而BE=EF,
∴DH=BE;
(2)连接DB,如图,
∵△BEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°,
而四边形ABCD为正方形,
∴∠DBC=45°,
∴D,E,B三点共线.
而∠BEF=90°,
∴△FED为直角三角形,
而G为DF的中点,
∴EG=GD=GC,
∴∠EGC=2∠EDC=90°,
∴EG=CG且EG⊥CG;
(3)第2问中的结论成立.理由如下:
连接AC、BD相交于点O,取BF的中点M,连接OG、EM、MG,如图,
∵G为DF的中点,O为BD的中点,M为BF的中点,
∴OG∥BF,GM∥OB,
∴四边形OGMB为平行四边形,
∴OG=BM,GM=OB,
而EM=BM,OC=OB,
∴EM=OG,MG=OC,
∵∠DOG=∠GMF,
而∠DOC=∠EMF=90°,
∴∠EMG=∠GOC,
∴△MEG≌△OGC,
∴EG=CG,∠EGM=∠OCG,
又∵∠MGF=∠BDF,∠FGC=∠GDC+∠GCD,
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°,
∴EG=CG且EG⊥CG.
解析:
(1)由∠BEF=90°,得到EF∥DH,而GF=GD,易证得△GEF≌△GHD,得EF=DH,而BE=EF,即可得到结论.
(2)连接DB,如图2,由△BEF为等腰直角三角形,得∠EBF=45°,而四边形ABCD为正方形,得∠DBC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC,于是∠EGC=2∠EDC=90°,即得到结论.(3)连接AC、BD相交于点O,取BF的中点M,连接OG、EM、MG,由G为DF的中点,O为BD的中点,M为BF的中点,根据三角形中位线的性质得OG∥BF,GM∥OB,得到OG=BM,GM=OB,而EM=BM,OC=OB,得到EM=OG,MG=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DOC=∠EMF=90°,得∠EMG=∠GOC,则△MEG≌△OGC,得到EG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BDF,∠FGC=∠GDC+∠GCD,所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°.