初二数学压轴几何证明题(含规范标准答案)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

1.四边形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF,连接DF,G 为DF的中点,连接EG,CG,EC.

(1)如图1,若点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及的值;

(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;

(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°),若BE=1,AB=,当E,F,D三点共线时,求DF的长及tan∠ABF的值.

解:(1)EG⊥CG,=,

理由是:过G作GH⊥EC于H,

∵∠FEB=∠DCB=90°,

∴EF∥GH∥DC,

∵G为DF中点,

∴H为EC中点,

∴EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),

即GH=EH=HC,

∴∠EGC=90°,

即△EGC是等腰直角三角形,

∴=;

(2)

解:结论还成立,

理由是:如图2,延长EG到H,使EG=GH,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM,延长CD,

∵在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG(SAS),

∴DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,

∴EF∥DH,

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4,

∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC,

在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC.

∴CE=CH,∠BCE=∠DCH,

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°,∴△ECH是等腰直角三角形,

∵G为EH的中点,

∴EG⊥GC,=,

即(1)中的结论仍然成立;

(3)

解:连接BD,

∵AB=,正方形ABCD,

∴BD=2,

∴cos∠DBE==,

∴∠DBE=60°,

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°,

∴∠ABF=45°-15°=30°,

∴tan∠ABF=,

∴DE=BE=,

∴DF=DE-EF=-1.

解析:(1)过G作GH⊥EC于H,推出EF∥GH∥DC,求出H为EC中点,根据梯形的中位线求出EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),推出GH=EH=BC,根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;

(2)延长EG到H,使EG=GH,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM,延长CD,证△EFG≌△HDG,推出DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,求出∠EBC=∠HDC,证出△EBC≌△HDC,推出CE=CH,∠BCE=∠DCH,求出△ECH是等腰直角三角形,即可得出答案;

(3)连接BD,求出cos∠DBE==,推出∠DBE=60°,求出∠ABF=30°,解直角三角形求出即可.

2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图1放置,使点E在BC上,取DF的中点G,连接EG,CG.

(1)延长EG交DC于H,试说明:DH=BE.

(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DF中点G(如图2),莎莎同学发现:EG=CG且EG⊥CG.在设法证明时他发现:若连接BD,则D,E,B三点共线.你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.

(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0<α<90°),再连接DF,取DF的中点G(如图

3),第2问中的结论是否成立?若成立,试说明你的结论;若不成立,也请说明理由.

(1)证明:∵∠BEF=90°,

∴EF∥DH,

∴∠EFG=∠GDH,

而∠EGF=∠DGH,GF=GD,

∴△GEF≌△GHD,

∴EF=DH,

而BE=EF,

∴DH=BE;

(2)连接DB,如图,

∵△BEF为等腰直角三角形,

∴∠EBF=45°,

而四边形ABCD为正方形,

∴∠DBC=45°,

∴D,E,B三点共线.

而∠BEF=90°,

∴△FED为直角三角形,

而G为DF的中点,

∴EG=GD=GC,

∴∠EGC=2∠EDC=90°,

∴EG=CG且EG⊥CG;

(3)第2问中的结论成立.理由如下:

连接AC、BD相交于点O,取BF的中点M,连接OG、EM、MG,如图,

∵G为DF的中点,O为BD的中点,M为BF的中点,

∴OG∥BF,GM∥OB,

∴四边形OGMB为平行四边形,

∴OG=BM,GM=OB,

而EM=BM,OC=OB,

∴EM=OG,MG=OC,

∵∠DOG=∠GMF,

而∠DOC=∠EMF=90°,

∴∠EMG=∠GOC,

∴△MEG≌△OGC,

∴EG=CG,∠EGM=∠OCG,

又∵∠MGF=∠BDF,∠FGC=∠GDC+∠GCD,

∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°,

∴EG=CG且EG⊥CG.

解析:

(1)由∠BEF=90°,得到EF∥DH,而GF=GD,易证得△GEF≌△GHD,得EF=DH,而BE=EF,即可得到结论.

(2)连接DB,如图2,由△BEF为等腰直角三角形,得∠EBF=45°,而四边形ABCD为正方形,得∠DBC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC,于是∠EGC=2∠EDC=90°,即得到结论.(3)连接AC、BD相交于点O,取BF的中点M,连接OG、EM、MG,由G为DF的中点,O为BD的中点,M为BF的中点,根据三角形中位线的性质得OG∥BF,GM∥OB,得到OG=BM,GM=OB,而EM=BM,OC=OB,得到EM=OG,MG=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DOC=∠EMF=90°,得∠EMG=∠GOC,则△MEG≌△OGC,得到EG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BDF,∠FGC=∠GDC+∠GCD,所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°.

相关文档
最新文档