完全非弹性碰撞动能损失最大的证明

完全非弹性碰撞动能损失最大的证明

（利用初等函数证明）

在碰撞中，系统动量守恒。但动能损失不一样。

完全弹性碰撞，碰撞前后，系统总动能不损失。

非弹性碰撞，损失一部分动能。

两个物体碰撞后，不分开，以同一速度运动，叫做完全非弹性碰撞。此时动能损失最大。下面是证明过程。

条件：质量m 1，速度v 1，与质量m 2，速度v 2物体发生碰撞，碰后，m 1速度变为v 1/，m 2速度变为v 2/。

由动量守恒：m 1 v 1+m 2 v 2=m 1 v 1/+m 2 v 2/……（1） 损失动能：)2

121()212

1(2/222/11222211v m v m v m v m E +-+=∆……（2） 令p = m 1 v 1+m 2 v 2 ，22221112121v m v m E +=，2/222/1122121v m v m E +=，p 和E 1确定，只需证明E 2最小的条件，即可得到最大的动能损失的条件。

利用（1）式可得：2/11/2

m v m p v -=……（3） 将（3）带入E 2，得：2

2

/112

/1211222)(m p v pm v m m m E +-+=，可见分子部分为关于v 1/的函数。令2/112/1211/12)()(p v pm v m m m v f +-+=，只需求出)(/1v f 的最小值即可。二次函数开口向上，顶点坐标值对应)(/1v f 最小。 即当2

1/12m m p a b v +=-=时，)(/1v f 最小，则此时E 2最小，△E 最大。 将v 1/带入（1）式得：2

1/1/2m m p v v +==。 即：碰撞后两物体不分开以相同速度运动，损失的动能最大。

如果学习了微积分，可以利用求导更容易得到证明。此处略。