圆锥曲线的参数方程 课件

变式训练 1.在椭圆4x2＋9y2＝36上求一点P,使以P,A(－2,－8),B( －6,－6)为顶点的三角形面积最小. 解:易求直线 AB 所在的直线方程为: x＋2y＋18＝0. 设椭圆上点 P(3cos θ,2sin θ),则点 P 到直线 AB 的距离 d＝ |3cos θ＋2·2sin θ＋18|
将①、③代入②化简,得所求中点 M 的轨迹方程 y2＝p(x－2p). (2)设点 A、B 坐标同题(1),且由 OA⊥OB 得 t1·t2＝－1,④ 又设点 H(x,y),则由题意得 OH⊥AB,直线 AB 方程为 y－2pt1＝22pptt211－ －22pptt222(x－2pt21),即 x－(t1＋t2)y＋2pt1t2＝0.⑤ 而直线 OH 方程为 y＝－(t1＋t2)x, 即 t1＋t2＝－xy.⑥ 将④、⑥代入⑤并整理得点 H 的轨迹方程 x2＋y2－2px＝0(x≠0,p>0). 所求点 H 轨迹是以(p,0)点为圆心,p 为半径的圆(除去点
＝ 2sec2φ－2 2sec φ＋1 |PF1|·|PF2|＝ 2sec2φ＋12－8sec2φ ＝2sec2φ－1. |OP|2＝sec2φ＋tan2φ ＝2sec2φ－1, ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
题型三 抛物线参数方程的应用
例3 过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan a2＋b2
φHale Waihona Puke Baidu |absec ·
φ－abtan a2＋b2
φ|
＝aa2＋2b2b2(定值).
【名师点评】 在研究最值和定值问题中,使用曲线的参 数方程非常简捷方便,点到直线的距离公式对参数形式的 点的坐标仍适用,注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.
变式训练
题型一 椭圆参数方程的应用
例1 过点 B(0,b),作椭圆ax22＋yb22＝1(a>b>0)的弦,求这些弦
的最大值.
【解】 在椭圆上任取一点 P(acos θ,bsin θ),则
|BP|2＝a2cos2θ＋b2(sin θ－1)2
＝a2(1－sin2θ)＋b2(sin θ－1)2
＝a2＋b2－c2sin2θ－2b2sin θ
12＋22
＝ 1 |5cos(θ－α)＋18|. 5
其中,cos α＝35,sin α＝45, 当 θ－α＝π 时,d 取得最小值 13 ,
5 这时 x＝3cos θ＝3cos(π＋α)＝－3cos α＝－95, y＝2sin θ＝2sin(π＋α)＝－2sin α＝－85, 所求点 P 为(－95,－85).
x＝asec θ _y_＝__b_t_a_n_θ____(θ
为参数,0≤θ＜2π,_θ_≠__π2_,3_2π______,a>0,b>0).
4.抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程 x＝2pt2
__y_＝__2_p_t ____(p>0,t 为参数,t∈R),
其中参数 t 可以视为该抛物线 y2＝2px(p>0)上任一点 P 与 抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数,即对抛物线上任 一点 P(x,y),都有 t＝xy.
＝a2＋b2＋bc24－c2(sin θ＋bc22)2.
若
b2 c2 <1
即
b<c,当 且 仅 当
sin
θ
＝
－
b2 c2
时
|BP|有
最
大
值
:
a2＋b2＋bc24＝
a2＋b2
b2＋c2 c2
＝ a2＋ac2b2 2＝ac2.
若 b≥c,当且仅当 sin θ＝－1 时,|BP|有最大值 2b.
【名师点评】 参数方程的主要价值在于坐标一元化及 三角技巧的运用.本例运用了椭圆的参数方程,将一个二 元条件极值问题,转化为一个一元三角极值的计算,同时 由于设参数而创造了运用三角技巧的条件,从而达到了简 化运算的目的.
OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
(0,0)).
【名师点评】 此例是用参数法求多动点轨迹的典型题. 题(1)中求得x＝f(t1,t2),y＝g(t1,t2)后,要注意重审题意,发现 t1·t2＝－1这个关键式子.题(2)是变换视角求两动直线交 点的轨迹,也可先求出以OA、OB为直径的圆的方程,再通 过方程相减等变形消参求解.
x＝acos θ 平行于 x 轴的椭圆的参数方程__y_＝__b_si_n__θ_____为 (θ 为参 数,0≤θ＜2π,a＞b＞0). 其中参数 θ 的几何意义是__椭__圆__的__离__心__角_____. 3.双曲线的参数方程 中心在原点 O,实、虚半轴分别为 a 和 b,且实轴所在的直线 平行于 x 轴的双曲线的参数方程为
题型二 双曲线参数方程的应用
例2 求证:双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积 是一个定值.
【证明】 设双曲线的方程为 b2x2－a2y2＝a2b2(a>0,b>0),
则它的两条渐近线方程是:
bx＋ay＝0,bx－ay＝0.
设双曲线上任一点的坐标为 M(asec φ,btan φ),
它到两渐近线的距离是 d1 和 d2,
圆锥曲线的参数方程
1.圆的参数方程
圆心在点 C(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ
__y_＝__y_0_＋__rs_i_n_θ____ (θ 为参数,0≤θ＜2π). 其中 θ 的几何意义是点 M(x,y)的__旋__转__角___.
2.椭圆的参数方程 中心在原点 O,长、短半轴分别为 a 和 b,且长轴所在的直线
2.如图,设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点,F1、F2是 两个焦点,求证:|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
证明:设 P(sec φ,tan φ),
∵F1(－ 2,0),F2( 2,0),
∴|PF1|＝ sec φ＋ 22＋tan2φ
＝ 2sec2φ＋2 2sec φ＋1,
|PF2|＝ secφ－ 22＋tan2φ