圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)

圆锥曲线的参数方程练习题

1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线24{

4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于

( )

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：C

解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4.

故选C.

2、参数方程sin cos ,

{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( )

A.圆的一部分

B.抛物线的一部分

C.双曲线的一部分

D.椭圆的一部分

答案：B

解析：参数方程sin cos ,

{1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤,

表示抛物线的一部分.

3、椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ

== (ϕ为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)±

答案：B

解析：椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的普通方程为22

1259

x y +=,故4c ==. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.

4、已知过曲线3cos ,{

4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4

π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55⎛⎫- ⎪⎝⎭

C.2⎛ ⎝

D.1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案：D

解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,

{4sin x y θθ==上一点,故

3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4

π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125

x y ==. 5、已知O 为原点,P

为椭圆4cos ,{

x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3

π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3

C.(

D.(

,55

答案：D

解析：椭圆4cos ,

{x y αα== (α为参数)化为普通方程,得22

11612x y +=.由题意可得直线OP

的方程为y = (0x >).

由22(0),

{11612y x x y =>+=

解得x y ==. ∴点P

的坐标为.故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩

(θ为参数)化为普通方程为( ) A.22

14y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2

212x y +=

答案：A 解析：易知,2y cos x sin θθ==,∴2

214y x +=,故选A. 7、方程cos cos x a y b θθ=⎧⎨=⎩

(θ为参数,0ab ≠)表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一部分 答案：D

解析：由xcos a θ=,∴a cos x

θ=,代入y bcos θ=,得xy ab =,又由y bcos θ=知,||,y b b ∈-⎡⎤⎣⎦,∴曲线应为双曲线的一部分.

8、若曲线2sin cos 1

x y θθ⎧=⎨=-⎩ (θ为参数)与直线x m =相交于不同两点,则m 的取值范围是( )

A.R

B.()0,+∞

C.()0,1

D.[)0,1

答案：D

解析：将曲线2sin cos 1

x y θθ⎧=⎨=-⎩化为普通方程得()()()21101y x x +=--≤≤.它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合知01m ≤<.

8、过椭圆5cos ,{3sin x y ϕϕ== (为参数)的右焦点,斜率为12

的直线方程为__________ 答案：x-2y-4=0

解析：椭圆的普通方程为

22

1

259

x y

+=,故5,3,

a b

==

所以4

c==,故右焦

点的坐标为(4,0),又直线的斜率为1

2

,故直线的方程为

1

(4)

2

y x

=-,即

240

x y

--=.

9、已知实数0

p>,曲线

2

1

2

:{

2

x pt

C

y pt

=

=

(t为参数)上的点(2,)

A m,曲线

2

6cos :{2

6sin

p

x

C

y

θθ

=+ = (θ为参数)的圆心为点B,A,B两点间的距离等于圆

2

C的半径,

则p=__________.答案：8

解析：曲线

2

1

2

:{

2

x pt

C

y pt

=

=

(t为参数)化为普通方程为22

y px

=,代入2

x=

得

m=±

则点(2,

A±.曲线

2

6cos

:{2

6sin

p

x

C

y

θ

θ

=+

=

的圆心为(,0)

2

p

,半径为6.

10、设点O为坐标原点,直线l

:

4,

{

2

x

y t

=+

=

(参数t R

∈)与曲线

2

4,

:{

4

x u

C

y u

=

=

(参数u R

∈)交于A、B两点.

（1）求直线l与曲线C的普通方程;

（2）求证:OA OB

⊥.

答案：1.直线l:4

y x

=-.曲线C:24

y x

=.

2.证明:设

1122

(,),(,),

A x y

B x y

由

24

{

4

y x

y x

=

=-

消去y,得212160

x x

-+=.∴

1212

12,16,

x x x x

+==

∴12121212

121212

(4)(4)4()16

1

OA OB

y y x x x x x x

k k

x x x x x x

---+

⋅====-.

∴OA OB

⊥.