第十八章-离散选择模型和受限因变量模型

第18章离散选择模型和受限因变量模型

18.1概述

在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量，但在现实的经济决策中经常面临许多选择问题。在这样的决策问题中，或者选择问题中，人们必须对可供选择的方案作出选择。通常被解释变量是连续的变量，但此时的因变量只取有限多个离散的值。例如：人们对交通工具的选择，是选择坐轻轨、地铁还是公共汽车；某大型企业是否合并另一企业；对某一方案的建议持强烈反对、反对、中立、支持和强烈支持5种态度，可以分别用0，1，2，3和4表示。以这样的选择结果作为被解释变量建立的计量经济学模型，称为离散被解释变量数据计量经济学模型（models with discrete dependent variables），或称为离散选择模型（DCM，discrete choice model）。如果被解释变量只能有两种选择，称为二元选择模型（binary choice model）；如果被解释变量有多种选择，称为多元选择模型（multiple choice model）。20世纪70和80年代，离散选择模型普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。

在实际中，还会经常遇到因变量受到某种限制的情况，这种情况下，取得样本数据来自总体的一个子集，可能不能完全反映总体。例如，小时工资、住房价格和名义利率都必须大于零。这时需要建立的经济计量模型称为受限因变量模型（limited dependent variable model）。这两类模型经常用于调查数据的分析中。

本章将讨论三类模型及其估计方法和软件操作。一是定性（观测值为离散的或者表示排序）；二是截取或者截断问题；三是观测值为整数值的计数模型。

18.2二元因变量模型

在这个模型中，被解释变量只取两个值，可以是代表某件事发生与否的虚拟变量，也可以是两个决策中选一个，称为二元因变量模型。例如：对样本个体是否就业的研究，个体的

年龄、教育背景、种族、婚姻状况以及其他可观测的特征，作为解释变量，目的是研究个体这些特征对个体就业概率的研究。或者对某商品的购买与否，取决于两类因素：一类是该商品具有的属性，诸如用途、价格等；一类是决策个体所具有的属性，诸如职业、年龄、收入水平、健康状况等。从大量的统计中，可以发现选择的结果与影响因素之间具有一定的因果关系。揭示这一因果关系并用于预测研究，对于制定商品销售方案无疑是十分重要的，这就需要建立计量经济学模型来研究这些变量之间的关系。

18.2.1二元选择模型形式

假设中二元因变量y 取0和1两个值，，对y 和x 间不能建一个简单的线性回归模型，因为模型的条件均值对残差设了一个不合理的约束条件。而且简单回归模型中的y 的拟合值没有被限制在0和1之间。

为了处理二元因变量模型的特别要求，我们必须设定专门的模型。假设观测值取1的

概率为：

P(1,)1()i i i y x F x ββ=∣=-- （18.2.1）

其中F 是连续的、严格递增的函数，其取值在0和1之间。本章讨论时采用最简单的

线性函数形式i x β，而在Eviews 中也可以处理非线性的函数形式。F 函数的类型决定了二元因变量模型的类别，即有：

P(0,)()i i i y x F x ββ=∣=- （18.2.2）

给定这样的设定后，可以用极大似然法对模型的参数进行估计。对数似然函数如下：

0()[log(1())(1)log(())]n

i i i i i l y F x y F x βββ==--+--∑ （18.2.3）

由于极大似然函数的条件就是非线性的，因此需要进行迭代运算才能得到参数的估计

值。首先对二元变量模型设定一个潜在解释变量，假设这有一个不可观测的潜在变量*

i y 与i x 的线性关系如下：

*i i i y x u β=+ （18.2.4）

其中：i u 是随机干扰项，由*i y 是否超过临界值来决定因变量的观测值取值。则i y 和*

i

y 关系有： **1000

i i i y y y ⎧>=⎨≤⎩ （18.2.5） 这里临界值设为0，但是只要x 包含常数项，临界值的选择就是不相关的。然后：

*(1,)(0)(0)1()i i i i i u i P y x P y P x u F x βββ+=∣=>=>=-- （18.2.6）

其中：u F 是u 的累积分布函数。根据F 分布函数类型，常见模型有Probit 模型（标准

正态分布）、Logit 模型（逻辑分布）和Gompit 模型（极值分布）。

一般地，由于二元因变量模型仅仅是一件事发生与否，那么y 的两个数值便不重要了。不过，Eviews 需要对y 的两个值进行编码。这个约束条件产生很多优点。第一，变量按这种方式进行编码暗示了y 的期望值简单就是y=1的概率：

(,)1*P(1,)0*P(0,)P(1,)i i i i i i i i E y x y x y x y x ββββ∣==∣+=∣==∣ （18.2.7）

这也为二元因变量模型提供了另一种解释，即条件均值的设定。接下来我们可以将二元

因变量模型写为如下的回归模型：

(1())i i i y F x βε=--+ （18.2.8）

其中：i ε是残差项，代表二元变量y 对条件均值的分离，然后有：

(,)0i i E x εβ∣= （18.2.9）

var(,)()(1())i i i i x F x F x βεββ∣=--- （18.2.10）

根据残差分布函数不同，常见模型有Probit 模型（标准正态分布）、Logit 模型（逻辑

分布）和Gompit 模型（极值分布）。则有：

Probit 模型：(1,)1()()i i i i P y x x βx ββ=∣=-Φ-=Φ，其中Φ是标准正态分布累积分

布函数。