第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计
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数字信号处理第三版西科大课后答案第6章
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
G( p) 4 1
( p pk )
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
p 10lg s 10lg
H a ( j ) H a ( j ) H a ( j s )
2 2
H a ( j p )
2
(6.2.1)
2
(6.2.2)
18
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即 |Ha(j0)|=1,αp和αs表示为
p 10lg H a ( j p ) s 10lg H a ( j s )
低通 0 H a (j Ω) Ω 0 H a (j Ω)
高通 Ω
带通 c Ω 0
带阻 Ω
图6.2.1
各种理想滤波器的幅频特性
17
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,α s 和Ω s 。其中Ω p 和Ω s 分别称为通带截止频率 和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最 大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数， αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅 度特性，可表示成：
H
a
(s) G ( p) |
p
s c
25
表6.2.1
极点位置 阶数N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
巴特沃斯归一化低通滤波器参数
P1, N 2
P2, N 3
P0, N 1
-1.0000 -0.7071±j0.7071 -0.5000±j0.8660 -0.3827±j0.9239 -0.3090±j0.9511 0.2588±j0.9659 -0.2225±j0.9749 0.1951±j0.9808 -0.1736±j0.9848
通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波 器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
数字信号处理第六章--无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT课件
（3）按频率特性确定增益常数 。
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N
无限脉冲响应数字滤波器的设计
上的频带，以免产生频谱混叠现象。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
滤波技术
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
无限脉冲响应滤波器的设计
2 2 N
它可写为
sk 1 CN ( )j j p r
切比雪夫多项式的任一定义都可求解分母的 根。现在选第一个公式求解分母的根。先设
3
模拟滤波器的幅频特性|H(Ω)|用分贝表示 时叫衰减函数，
| H ( ) | 2 max A( ) 10lg (分贝) | H ( ) | 2
如果|H(Ω)|max=1，则衰减函数变为
A( ) 20lg | H ( ) | (分贝)
幅频特性的平方|H(Ω)|2 叫做幅度平方响应， 也是描述模拟滤波器的方法。因h(t)是实数， 故H*(Ω)=H(-Ω)。
N决定幅频特性的波动密度和过渡带宽度，r 决定幅频特性波动的幅度。 将s=jΩ代入幅度平方函数，得
H ( )
2
( j p ) 2 N r 2 2 2( N 1) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s 2 N )
14
其分母有2N个根。求解的依据是
sk 1 r C ( ) 0 (k 1 ~ N ) j p
2N
( j c ) 2 N 2N s ( j c ) 2 N
s 1 j c ( j c ) 2 N ( s s1 )(s s2 ) ( s s2 N )
s 2 N ( jc ) 2 N 0 求解的依据是：
6
因-1= ej(2πk-π)，k=1~2N，故极点
12
7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫1型滤波器的幅度平方函数
| H ( ) | 2 1 1 [rC N ( / p )]2
13
切比雪夫多项式的定义
cos[N arccos(x)] (| x | 1) C N ( x) (| x | 1) ch[ Narch( x)]
它可写为
sk 1 CN ( )j j p r
切比雪夫多项式的任一定义都可求解分母的 根。现在选第一个公式求解分母的根。先设
3
模拟滤波器的幅频特性|H(Ω)|用分贝表示 时叫衰减函数，
| H ( ) | 2 max A( ) 10lg (分贝) | H ( ) | 2
如果|H(Ω)|max=1，则衰减函数变为
A( ) 20lg | H ( ) | (分贝)
幅频特性的平方|H(Ω)|2 叫做幅度平方响应， 也是描述模拟滤波器的方法。因h(t)是实数， 故H*(Ω)=H(-Ω)。
N决定幅频特性的波动密度和过渡带宽度，r 决定幅频特性波动的幅度。 将s=jΩ代入幅度平方函数，得
H ( )
2
( j p ) 2 N r 2 2 2( N 1) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s 2 N )
14
其分母有2N个根。求解的依据是
sk 1 r C ( ) 0 (k 1 ~ N ) j p
2N
( j c ) 2 N 2N s ( j c ) 2 N
s 1 j c ( j c ) 2 N ( s s1 )(s s2 ) ( s s2 N )
s 2 N ( jc ) 2 N 0 求解的依据是：
6
因-1= ej(2πk-π)，k=1~2N，故极点
12
7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫1型滤波器的幅度平方函数
| H ( ) | 2 1 1 [rC N ( / p )]2
13
切比雪夫多项式的定义
cos[N arccos(x)] (| x | 1) C N ( x) (| x | 1) ch[ Narch( x)]
医学课件第6无限脉冲响应滤波器的设计
M
br zr
H(z)
r0 N
1 ak zk
k 1
N 1
H (z) h(n)zn
n0
从功能上来分类： 低通滤波器 高通滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
带通滤波器 带阻滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2 假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：
H (e j ) H (e j ) e j()
Ha ( p)
p5
3.2361 p4
1 5.2361 p3 5.2361 p2
3.2361 p 1
系统函数的因式分解形式
Ha
(
p)
(
p2
0.618
p
1)(
1 p2 1.618
p
1)(
p
1)
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
(3) Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率Ωc。
如果希望阻带指标有富裕，则
H a ( j) 2 H a (s)H a (s) |s j
H
a
(
j)H
* a
(
j)
上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。
（2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面，
求出传递函数。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：
数字信号处理 第六章 无限冲击响应数字滤波器设计(白底)
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器常见的几种形式
Ha ( jΩ )
低通
Ω
Ha ( jΩ )
高通
Ha ( jΩ)
带通
Ha ( jΩ )
带阻
Ω
Ω 各种理想滤波器的幅频特性
Ω
我们一般只需设计低通 其它形式可以通过变换得到。 只需设计低通， 我们一般只需设计低通，其它形式可以通过变换得到。
一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1. 模拟滤波器的设计指标
2
as ≥−10lg Ha ( jΩ ) s
2
2、逼近方法 、 寻找一个传输函数 标 αp和 s ，即： α
Ha (s) 使其幅度平方函数满足给定指
2
ap ≤−10lg Ha ( jΩp )
as ≥−10lg Ha ( jΩ ) s
2
根据上式求出幅度平方函数 根据上式求出幅度平方函数
Ha ( jΩ)
10
Ωp 10 −1 即 ： = as 10 10 −1 Ωs
有 N = lg ：
10
ap 10 as
10 10 −1
lg
Ωp Ωs
计算3dB截止频率 Ωc 截止频率 计算
Q 1+
( )
Ωc
Ωp 2N
=10
−1 )ap 10 Nhomakorabea1+
( )
Ωs 2N Ω c
=10
as
10
Ω =Ωp (10 c
(3)将 Ha (p) 去归一化 将
Ω =Ωp (10 c
2
由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数，其传递函数是对 称的， 称的，有：
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
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数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
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数字信号处理
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图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
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数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
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数字信号处理
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图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
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滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数字信号处理[第六章_无限脉冲响应数字滤波器的设计]
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关键是求N
28
无限脉冲响应数字滤波器的设计
关键是求N
cos( N arccos x ), x 1 CN ( x) ch( N Archx), x 1
[例]：例如，一低通DF的指标：在 0.2 的通带范围， 0.3 的阻带范围，衰 幅度特性下降小于1dB；在 减大于15dB；抽样率 f s ；试将这一指标转换成AL 10kHz F的技术指标。 [解]： H (e j 0 ) H (e j 0 ) dB 15 p 20 lg dB 1 s 20 lg j 0.3 j 0.2 H (e ) H (e ) 归一化后：
第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计
无限脉冲响应数字滤波器的设计
数字滤波器的基本概念
主 要 内 容
模拟滤波器的设计
数字滤波器的间接设计方法
数字滤波器的直接设计方法
2
无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器的基本概念 所谓数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通 过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分的器件。（Digital Filter)
s 2 N 1 ( ) 10 s /10 C
10 p 1 ( )N S 10 s /10 2
23
p
/10
无限脉冲响应数字滤波器的设计 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤： 1.根据技术指标求出滤波器的阶数N；
p；s；c； p； s
C p (10
0.1 p
一是窗函数法和频率采样法
二是计算机辅助设计，如切比雪夫等波纹逼近法
13
无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟滤波器的设计 巴特沃斯滤波器 单调下降的幅频特性
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• 极点间的角度间隔为/N rad ；
• 极点决不会落在虚轴上； 保证了系统的稳定性
• N为奇数则实轴上有极点，N为偶数实轴上无极点。
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第9页
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平
面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成 Ha(s)。 Ha(s)的表示式为：
Ha(s)
Ha ( j) 2 Ha (s)G(s) s j Ha ( j)Ha( j)
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二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯滤波器是指在通带内的幅度特性具有最大平坦特性，
是一全极点型滤波器，巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数
用下式表示：
Ha(
j)
2
1
(
1
)2N
c
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巴特沃斯幅度特性和N的关系
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相 当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我 们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、 切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer) 滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。
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第5页
一、模拟低通滤波器设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有 p、 p、 s和s，其中 p和s 分
1 c2 c1 ，n
Sin(c1n) Sin(c2 n)
0 ，n
0
n
第2页
四、滤波器的技术指标
H (e j )
1 1 1 1
0.70 7
p——通带截止频率
s ——阻带截止频率
c ——3dB通带截止频率
2
0
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过渡带
p c s
第3页
p — 通带内允许的最大衰减 s — 阻带内允许的最小衰减
s 10log Ha ( js ) 2
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第6页
c：3dB截止频率
Ha ( jc )
1 2
20log Ha( jc ) 3dB
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数，希望其 幅度平方函数满足给定的指标 p 和 s ，一般滤波器的单位 冲激响应为实数，因此幅度平方函数可表示成：
第一节 数字滤波器的基本概念
一、数字滤波器
是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信 号所含频率成分的相对比列或者虑除某些频率成分的器件。
二、数字滤波器的分类 1. 经典滤波器
从功能上分：低通、高通、带通、带限 从实现的网络结构或单位脉冲响应：IIR、FIR
2. 现代滤波器
维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。
令
sp s / p , ksp
10ap10 1 10as10 1
,则N可表示为：
N
lg ksp
lg sp
上式确定的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整 数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可 以由下面推导得到：
别称为通带截止频率和阻带截止频率， p 是通带 0 ~ p 中的 最大衰减系数， s 是阻带 s 的最小衰减系数
p 10log
Ha ( j0) 2
2
2
p 10log Ha ( jp )
Ha ( jp ) 在＝0处幅度进行归一化，
s
10log
Ha ( j0) 2 Ha ( js ) 2
即 Ha ( j0) 1
输函数为
Ha ( p) N 1 1
( p pk )
k 0
式中pk为归一化极点，用下式表示：
j ( 1 2k 1)
pk e 2 2N , k 0,1, , N 1
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p 10log Ha ( jp ) 2
Ha(
j)
2
1
(
1
)2N
s 10log Ha ( js ) 2
0 c
1
0 s
s
1
-c2-c1 0 c1 c2
1
-c2-c1 0c1 c2
时域特性 h(n)
c ，n Sin(c n)
0 ，n
0
n
1 s ，n 0
Sin(s n) ，n
0
n
c2
Sin(c2 n)
c1 ，n 0 Sin(c1n) ，n
0
n
c
1 ( p )2N 10ap/10 c
1 ( s )2N 10as/10 c
1 ( p )2N 10ap/10 c
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1 ( s )2N 10as/10 c
(p )N s
10ap/10 1 10as/10 1
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(p )N s
10ap/10 1 10as/10 1
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第10页
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一
化，归一化后的Ha(s)表示为
Ha (s)
N 1
(
1 s
sk
)
k 0
c
c
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；令
p=jλ，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传
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第1页
三、标准理想滤波器的特性
低通 高通 带通
带阻
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幅度响应 H (e j )
1，0 c 0，c
0，0 1，s
s
0，0 c1 1，c1 c2
0，c
2
1，0
0，c
c1 1 c2
1，c2
幅度响应图 1
c
cN
N 1Leabharlann (s sk )k 0
设N=3，极点有6个，它们分别为
j 2
s0 ce 3
j1
s3 ce 3
s1 c s4 c
j 2
s2 ce 3
j 1
s5 ce 3
取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：
Ha (s)
3c
j 2
j 2
(s c )(s ce 3 )(s ce 3 )
第8页
将幅度平方函数写成s的函数：
Ha(s)Ha(s) 1 (
1 s
)2N
jc
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk
用下式表示：
1
j ( 1 2k 1)
sk (1)2N ( jc ) ce 2 2N
极点分布：
三阶巴特沃斯滤波器极点分布
• 2N个极点在S平面上是象限对称分布在半径为c的圆上；
H (e j0)
p 20 lg H (e jp ) dB
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
如将|H(ej0)|归一化为1，上式则表示成：
p 20 lg H (e jp ) dB s 20 lg H (e js ) dB
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第二节 模拟滤波器的设计