完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.●教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.●教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.●教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A)第二张：想一想，记作(§1.6.1 B)第三张：例题，记作(§1.6.1 C)第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)［生］我能帮这位爷爷.［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.Ⅱ.讲授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片§1.6.1 A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示) ［生］用多项式乘法法则可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.［师生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓↓↓↓↓↓(a +b)2=a2+2·a ·b + b2=a2－2ab+b2.于是，我们得到又一个公式：(a－b)2=a2－2ab+b2(2) ［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(§1.6.1 B)［例1］利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式计算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x +y －z )2;(4)(x +y )2－(x －y )2;(5)(2x －3y )2(2x +3y )2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y －x )2或(x －2y )2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x +y )2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x +y )－z ］2(或［x +(y －z )］2、［(x －z )+y ］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x +2y )2=(2y －x )2=4y 2－4xy +x 2；方法二：(－x +2y )2=［－(x －2y )］2=(x －2y )2=x 2－4xy +4y 2.(2)(－x －y )2=［－(x +y )］2=(x +y )2=x 2+2xy +y 2.(3)(x +y －z )2=［(x +y )－z ］2=(x +y )2－2(x +y )·z +z 2=x 2+y 2+z 2+2xy －2zx －2yz .(4)方法一：(x +y )2－(x －y )2=(x 2+2xy +y 2)－(x 2－2xy +y 2) =4xy .方法二：(x +y )2－(x －y )2=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］=4xy .(5)(2x －3y )2(2x +3y )2=［(2x －3y )(2x +3y )］2=［4x 2－9y 2］2=16x 4－72x 2y 2+81y 4. Ⅲ.随堂练习课本P 34，1.计算：(1)(21x －2y )2;(2)(2xy +51x )2; (3)(n +1)2－n 2.解：(1)(21x －2y )2=(21x )2－2·21x ·2y +(2y )2=41x 2－2xy +4y 2(2)(2xy +51x )2=(2xy )2+2·2xy ·51x +(51x )2=4x 2y 2+54x 2y +251x 2(3)方法一：(n +1)2－n 2=n 2+2n +1－n 2=2n +1.方法二：(n +1)2－n 2=［(n +1)+n ］［(n +1)－n ］=2n +1. Ⅳ.课后作业1.课本习题第1、2、3题.2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题. Ⅴ.活动与探究甲、乙两人合养了n 头牛，而每头牛的卖价恰为n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n 头，每头卖n 元，故共卖得n 2元. 令a 表示n 的十位以前的数字，b 表示n 的个位数字.即n =10a +b ,于是n 2=(10a +b )2=100a 2+ 20ab +b 2=10×2a (5a +b )+b 2.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时不足10元，所以n 2中含有奇数个10元，以及最后剩下不足10元.但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下不足10元).［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.●板书设计1.8 完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代数推导(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、随堂练习(略)●备课资料一、杨辉杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年).杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。

他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨辉继沈括“隙积术”后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献.二、参考练习 1.填空题(1)(－3x +4y )2= .(2)(－2a －b )2= .(3)x 2－4xy + =(x －2y )2.(4)a 2+b 2=(a +b )2+ .(5)41a 2+ +9b 2=(21a +3b )2. (6)(a －2b )2+(a +2b )2= . 2.选择题(1)下列计算正确的是( )A.(m －1)2=m 2－1B.(x +1)(x +1)=x 2+x +1 C.(21x －y )2=41x 2－xy －y 2D.(x +y )(x －y )(x 2－y 2)=x 4－y 4(2)如果x 2+mx +4是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.4B.－4C.±4D.±8 (3)将正方形的边长由a cm 增加6 cm,则正方形的面积增加了( )A.36 cm 2B.12a cm 2C.(36+12a )cm 2D.以上都不对 3.用乘法公式计算 (1)(21x －31y )2(2)(x 2－2y 2)2－(x 2+2y 2)2(3)29×31×(302+1)(4)9992答案：1.(1)9x 2－24xy +16y 2(2)4a 2+4ab +b 2 (3)4y 2(4)－2ab(5)3ab (6)2a 2+8b 22.(1)D (2)C (3)C3.(1)41x 2－31xy +91y 2 (2)－8x 2y 2(3)809999 (4)998001。