完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一)

●教学目标

(一)教学知识点

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二)能力训练要求

1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感与价值观要求

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

●教学重点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.

2.完全平方公式的应用.

●教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.

●教学方法

自主探索法

学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.

●教具准备

投影片四张

第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A)

第二张：想一想，记作(§1.6.1 B)

第三张：例题，记作(§1.6.1 C)

第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.

［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？

(出示投影片§1.6.1 A)

想一想：

(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？

(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示) ［生］用多项式乘法法则可得

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)

［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;

代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.

［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.

［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.

我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.

［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.

［师生共析］

(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2

↓↓↓↓↓↓

(a +b)2=a2+2·a ·b + b2

=a2－2ab+b2.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)2=a2－2ab+b2(2) ［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？

［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.

2.应用、升华

出示投影片(§1.6.1 B)

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;

(3)(mn－a)2.

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.

解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算

(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;