等腰三角形的判定

∠2=∠C ( 两直线平行，内错角相等) B
C
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
即 AD平分∠CAE ( 角平分线的定义 )
已知： BD平分∠ABC ， AD∥BC 。 求证： AB=AD 证明：
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ 1 = ∠2（角平分线的定义）
பைடு நூலகம்
∵ AD∥BC
B
A
3 21
D C
∴ ∠ 1 = ∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）
方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？不行!
归纳总结
A
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC= AB ( 等角对等边 )
B
C
如果一个三角形有两个角相等，
那那么么这个两三个角形所是对等的腰边三也角相形等。 简写成 “等角对等边”
等腰三角形的三种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“定义”来判定． (2)当三角形中有两个角相等时，应用“等角对等边”
M 3 1
O
6
N
∴MN= BM+CN
5
2
4
B
C
（3） ΔAMN的周长=AB+AC吗？为什么？
∵ ΔAMN的周长= AM+MN+AN
=AM+
+AN
=AB +AC
变式3
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
是等腰三角形，折
叠前后角度的大小
不改变，即
A
D
∠DBC=∠DBE
A
DB
N
等腰三角形的两底角相等． （简写成 “ 等边对等角 ”）
∵AC=AB（已知） ∴ ∠B= ∠C （ 等边对等角 ）
反过来：如果∠B=∠C 那么AB=AC成立吗？
大胆猜想： 成立
B
怎样进行验证？
A C
已知： 在△ABC中，∠B=∠C，
A
求证： AB=AC
B
D
C
方法一：作BC边上的高AD
方法二：作∠A的角平分线AD
∴ ∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴ AB=AD
变式2： 已知：如图，在ΔABC中,BO平分
∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A
（1）图中有没有等腰三
角形？有几个？
M ON
33 1
6 5
2
4
B
BC C
有两个等腰三角形 ΔOBM ΔOCN
在ΔABC中,OB平分∠ABC，
OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
E
又由题可知
∠DBC=∠EDB
所以∠EBD=∠EDB
所以是等腰三角形 B
C
众 说 纷纭
对自己说 你有什么收获？
对老师说
你还有什么困惑？
?
两边相等 的三角形
两角相等 的三角形
互为逆命题
等腰三角形的判定 方法
基本模型
A
B
C
等腰三角形的判定定理是证明 线段相等的一种重要 的方法
等腰三角形性质与判定 的区别
等
腰
变式模型
三 角 形 的 判
A
3
D
21
定
B
C
布 置 作
必做题 教材第79页练习第1,4题.
业 选做题
教材第82页习题13.3第5,6题.
?
合作愉快，谢谢大家！
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知： 如图，∠CAE是△ ABC的外角，
AD平分∠CAE ，AD∥BC。
求证：AB=AC
E
分析：从求证看：要证AB=AC，
需证 ∠B=∠C
从已知看：由AD平分∠CAE
A1 2
D
得到 ∠1=∠2
所以可以设法找出∠B，∠C
∴ ∠ 2= ∠ 3（ 等量代换 ）
∴ AB=AD（ 等角对等边 ）
（1）一个角的角平分线 （2）平行于角的一边的直线
等腰三角形
变式1 已知：如图，在△EBC 中，BD平分∠ABC，
AD ∥BC，求证：AB=AD
E
E
A
3 21
B
D
A
3
D
21
C
B
C
证明： ∵ BD平分∠ABC
∴ ∠1=∠2
∵ AD ∥BC
B
C
∴∠C=∠B( 等量代换 )
∴ AB= AC( 等角对等边 )
角等 判定 边等
例题拓展
已知：∠CAE是△ABC的外角，
AD平分∠EAC ，且 AD∥BC． 求证： AB=AC
证明：
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C（ 等边对等角
∵ AD∥BC
E
）
A1 2
D
∴ ∠1=∠B ( 两直线平行， 同位角相等 )
A （1）图中有没有等腰三
角形？有几个？
有两个等腰三角形
M ON
3 1
6 5
ΔOBM ΔOCN
2
B
4 C（2）线段BM、CN与MN
的长度有什么关系？
∵ OM=BM ON=CN
MN= OM+ON ∴ MN= BM+CN
在ΔABC中,OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，过O点作MN ∥BC.
A （2）线段BM、CN与MN 的长度有什么关系？
13.3.1等腰三角形(2)
动手做一做！
例1 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的
长为h ，求作这个等腰三角形.
a
作法：
（1）作线段AB =a；
h
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与
M
AB 相交于点D；
C
（3）在MN上取一点C，使DC =h；
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所
求作的等腰三角形.
与∠1 ， ∠2的关系。
B
C
由AD∥BC可以得到 ∠B= ∠1 所以∠B=∠C ∠C= ∠2
已知： AD平分∠CAE ，AD∥BC。
求证：AB=AC 证明： ∵ AD平分∠CAE ∴ ∠1=∠2( 角平分线的定义 )
∵AD∥BC
E
A1 2
D
∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等）
∠2=∠C (两直线平行，内错角相等)
错，因为∠1和∠2 不是同一个三角形的内角。
例2：求证：如果三角形一个外角的平分线平平行行于于
∥ 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
怎样证明命题？
方法：画图，结合图形， 把命题写成
“已知…..,求证…….”的形式
已知：∠CAE是⊿ABC的外角
E
A1 2D
AD平分∠CAE AD∥BC
B
C
求证：△ABCA是B等=A腰C三角形
来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等”来证 明．
等腰三角形的判定和性质的异同
相同点：都是在同一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即：等边
性质
判定
等角.
如图,下列推理正确吗?
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2 （已知） ∴ DC=BC （等角对等边）