中职数学(高教版)拓展模块教学设计抛物线(二)

【课题】2．3抛物线（二）

【教学目标】

知识目标：

了解各种抛物线标准方程所表示的性质．

能力目标：

学生的数学思维能力得到提高．

【教学重点】

四种抛物线标准方程所表示的性质．

【教学难点】

四种抛物线标准方程所表示的性质．

【教学设计】

从范围、对称性、顶点、离心率等方面研究抛物线的性质．抛物线与椭圆和双曲线相比，差别比较显著，其离心率为1，只有一个焦点，一条对称轴，一个顶点，一条准线．并且抛物线没有中心，因此通常将抛物线叫做无心曲线，而将椭圆和双曲线叫做有心曲线．例3是求抛物线的标准方程及作图的训练题．在求抛物线的标准方程时，使用了“待定系数法”，作图时，利用了抛物线的对称性．授课时要注意数学思想方法的渗透．例4是已知抛物线上的一个点的坐标，求抛物线标准方程的训练题．解决这类问题时，要根据已知点的位置，判断方程的类型．一般情况下有两个解．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

过 程

行为 行为 意图 间

在标准方程2

2y px =中，因为2

00p y >≥，，所以抛

物线上的点横坐标，都满足x ≥0．于是，抛物线在y 轴的右侧（如图2－15），并且当x 的值增大时，|y |也增大．这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

图2－15

2．对称性

在标准方程中，将y 换成－y ，方程依然成立．这说明双曲线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3．顶点

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在抛物线的标准方程中，令y = 0，得x = 0．因此，抛物线的顶点为坐标原点．

4．离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离与点M 到准线的距离的比叫做抛物线的离心率．记作e ．由抛物线的定义知e = 1． 【做一做】

按照类似的方法研究其它三种标准方程对应的抛物线的

性质．

总结 归纳 分析 关键 词语

思考 理解 记忆

引导学生发现解决问题方法

25

*巩固知识 典型例题

例3 已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，并且

经过点(22)M -，

．求抛物线的标准方程并利用“描点法”画出图形．

引领 讲解 说明

观察 思考

注意 观察 学生 是否

过程行为行为意图间

解由于点为第四象限的点(2,2)

M-，且抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，故抛物线的焦点在x轴的正半轴上．设其方程为

22

y px

=（0

p>）．

将点(2,2)

M-的坐标代入方程，得

2

(22)22

p

-=⋅，，

解得p = 2．

故抛物线的标准方程为

24

y x

=．

可以先画出抛物线在第一象限内的图形，然后再利用抛物线的对称性，画出全部图形．

抛物线的方程在第一象限内可以变形为

2

y x

=．

在［0，＋∞）内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：

x 0 1 2 3 4 …

y 0 2 2.8 3.5 4 …

以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），用光滑的曲线顺次联结各点得到抛物线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部图形（如图2－16）．

图2－16

例4已知抛物线的顶点为原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（―5，―10）．求抛物线的标准方程．主动

求解

理解

知识

点

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过程行为行为意图间分析点M（―5，―10）在第三象限．由于题中没有明

确指出对称轴是x轴还是y轴，因此有两种情况（如图）．

图2－17

解设所求抛物线的标准方程为

22

12

22

y p x x p y

=-=-

或，

将点M的坐标分别代入方程，得

22

12

(10)2(5)(5)2(10)

p p

-=---=--

或，

解得

12

5

10

4

p p

==

或．

故抛物线的标准方程为22

5

20

2

y x x y

=-=-

或．

*运用知识强化练习

1．在同一个坐标系内，画出下列抛物线：

（1）2

1

2

y x

=；（2）2y x

=；（3）22

y x

=；（4）24

y x

=．

2．已知两条抛物线的焦点坐标分别为（2，0）与（0，2），

求这两条抛物线的交点的坐标．

提问

巡视

指导

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

60 *理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

什么叫做抛物线的离心率？

结论：

抛物线上的点M与焦点的距离与点M到准线的距离的比

叫做抛物线的离心率．记作e．由抛物线的定义知e = 1．

质疑

归纳

强调

回答

理解

强化

师生

共同

归纳

强调

重点

70 *归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

引导回忆75