工程电磁场—矢量分析

思考：为何要求可微？
定义与计算方法的差别
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工程电磁场
得
u u x u y u z l M0 x l y l z l
将 l 方向的三个方向余弦表示式代入式
u l
M0
cos u x
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
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工程电磁场
例 u x2 y2 z2 在M0 1, 1, 0 处
ugradv)
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工程电磁场
6） gradf (u) f (u)gradu
公式 6）的证明：
gradf
(u)
f x
ex
f y
ey
f z
ez
=
f
(u)
u x
ex
f
(u)
u y
ey
f
(u)
u z
ez
f
(u)
u x
ex
u y
ey
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u z
e
f
(u)gradu
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是 A 、 B 之间夹角 B cos ： B 在 A 方向上的投影 Acos ： A 在 B 方向上的投影
A•B B• A
6
工程电磁场
C •A B C • AC •B
, 为实数，则
A•B A• B
A• A A2 AA A2
5）矢量的叉积
A B AB sin en
Ay Bz Az By ex + Az Bx Ax Bz ey Ax By Ay Bx ez
方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
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工程电磁场
1．方向导数的定义
要了解 u M 沿任意方向的变化情况
需要计算 u M 沿任意方向的导数
从 M0 出发，引一条射线 l
取一点 M，用 l 表示从 M0 到 M
的距离
思考：对M0，M点有何要求？
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工程电磁场
若当沿着 l , M M0 时，
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工程电磁场
当 u l
Mo
0，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
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工程电磁场
当 l 指向 x 轴正方向时， u u l x
当 l 指向 y 轴正方向时， u u l y
当 l 指向 z 轴正方向时， u u l z
该点的等值面且指向 u
增大的方向
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工程电磁场
4．梯度的运算规则
1） gradC 0 （ C 为常数）
2） gradCu Cgradu
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5）
grad(u v
)
1 v2
(vgradu
7
工程电磁场
ex ey ez A B= Ax Ay Az
Bx By Bz
en 与矢量 A 、 B 都垂直 单位矢量 A 、 B 、 en 成右手关系
： A 、 B 间的夹角
A B 的模：灰色四边形面积
8
工程电磁场
A B 与 B A 模相等 方向相反
A B B A
A A 0 （ 0）
6）矢量的混合积
等值线的例子
23
工程电磁场
3．矢量场的矢量线
矢量场用矢量线来表示 矢量线上一点切线方向 与该点场矢量方向相同 矢量线稀密反映矢量大小
24
工程电磁场
根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向 矢量元dl与矢量场平行，即：
Adl 0
• 在直角坐标系中有
A Axex Ayey Azez dl dxex d yey dzez
dt
dt dt
10
工程电磁场
5） d kA k dA （ k 是常数）
dt
dt
6） d uA u dA du A
dt
dt dt
7） d A• B A• dB dA • B
dt
dt dt
8） d A B A dB dA B
dt
dt dt
9）设 A Au, u u t dA dA du
能否写成 两个矢量 的乘积？
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e工l 程cos电e磁x 场cosey cos ez
而 l 方向的单位矢量又可表示为
el
dl dl
dxex
dyey dl
dzez
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
e zl
cos ex
cos ey
cos ez
l 的方向余弦：
而 l 方向的单位矢量又可表示为
2）矢量的加减法
设 A Axex Ayey Azez ， B Bxex Byey Bzez
四边形法则 三角形法则
AB
Ax Bx ex Ay By ey Az Bz ez
5
工程电磁场
3）矢量的数乘
A Axex Ayey Azez
4）矢量的点积
A • B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
27
工程电磁场
箭头的长度 表示矢量的大小， 箭头所指的方向 为矢量的方向：
矢量图
28
工程电磁场
5．平行平面场
29
工程电磁场 6．轴对称场
1．2 结束
30
工程电磁场
几个重要物理量及公式
31
工程电磁场
分析标量场的工具
标量场
方向导数 梯度 两个重要公式
矢量场
通量密度 散度
高斯定理
场是否有源
环量密度 旋度
斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
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工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
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工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
工程电磁场
等值面族（一般差 值相同）
坐标原点点电荷 q
电位表示式
r q
4 0 r
等位面方程
r q U 解得
4 0 r
21
工程电磁场
r q
4 0U
按相同递增量
给定U 的不同数值
U1,U2,L L ,
得到同心球面 等值面与给定平面相交，得等值线
22
工程电磁场
如 u x, y, z 在 x y 平面上的等值线方程为 u x, y U
场点 P ：
x, y, z
r
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工程电磁场
源点到场点 距离矢量 R R r r
R r r ，
R 的单位矢量
eR
r r r r
19
工程电磁场 3．标量场的等值面
标量场 u 的等值面：
曲面上 u M 的值相等
等值面方程为
ux, y, z Uk
给定U k 的一系列数值，得到一系列的等值面：
20
沿 l 2ex 2ey ez 方向的方向导数。
解
u x
Mo
x x2 y2 z2
Mo
1 2
u 1 ，
y Mo
2
u 0 z Mo
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工程电磁场
而 l 的方向余弦
cos
2
2
12 22 22 3
cos 2 ， 3
则方向导数
cos 1 3
u
12 12
4 22
l M0
• 23
• 0 2 3 32
3
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工程电磁场 3．梯度的定义与计算公式
哪个方向 u 的变化率（方向导数）最大？
最大变化率（方向 导数）是多少？ 在直角坐标系中， 标量函数的方向导数为
梯度：回答 这两个问题
u u cos u cos u cos
l x
y
z
cos , cos, cos 为 l 的方向余弦
工程电磁场
例 标量场 u M 3x2 z2 2yz 2zx ，
求过 M0 (0,
1 , 1) 点的梯度和梯度的模。 矢量
2
解 因为
u 6x 2z, u 2z, u 2x 2 y 2z
x
y
z
所以
gradu (6x 2z)ex 2zey 2(x y z)ez
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工程电磁场
工程电磁场
1
工程电磁场
1 矢量分析与场论基础
2
工程电磁场
1.1 矢量分析公式
3
工程电磁场
1．矢量代数公式
1）标量、矢量和单位矢量 标量：只有大小，没有空间方向 矢量：有大小，有空间方向
矢量的模
模为 1 的矢量 单位矢量 e
ex,ey ,ez
x, y, z 方向的单位矢量
4
工程电磁场
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
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工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex,ey ,ez ：
x 、 y 、 z 方向单位矢量
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工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
cos , cos , cos ： 方向余弦
cos Ax ； cos Ay ； cos Az
A
A
A
AM Acosex Acos ey Acos ez
场的分类： 时变场 恒定场 静态场
17
工程电磁场 2．源点与场点
场源产生场 场源所在：源点 场量所在：场点
源点 P： x, y, z r
12
工程电磁场
5） C • Atdt C • Atdt
（ C ：常矢量）
6） C Atdt C Atdt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
13
工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
14
工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
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工程电磁场
矢量线方程又可以用矢量式表示为
dl A 0 ，即
dyAz Aydz ex dzAx Azdx ey dxAy Axdy ez 0
得
dyAz dzAx
Aydz Az dx
0 0
dxAy Axdy 0
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工程电磁场
4．场的其他可视化方法
计算机图形技术 彩色云图
式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，
l
l
则称此极限值为函数 u M
在点
M
0
处沿
l
方向的方向导数，记作
u l
M0
。
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工程电磁场
u l
M0
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u du
= lim MMo l
dl
M0
方向导数：标量场函数在一点 M0 处
沿某一方向 l 对距离的变化率
偏导数 u , u , u 是 u 的特例。 x y z l
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工程电磁场
2．方向导数的计算
在直角坐标系中
设标量函数 u(x, y, z) 在 M0 (x0 , y0 , z0 ) 处可微，
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分概念
du u dx u dy u dz x y z
l
的单位矢量 el
在坐标轴的el 投 影ddll
dxex
dyey dl
dzez
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dx dl
ex
dy dl45 e y
dz dl
ez
工程电磁场
如令矢量
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
则
u l
u x
cos
u y
cos
u z
cos
G
• el
令 表示 G 与 el 之间的夹角
u l
G • el
G cos
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工程电磁场
随着 l 方向的改变， 发生变化，
方向导数值随之变化
当 l 方向与 G 方向一致时，
方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 标量
则称矢量 G 为标量场
u(x, y, z) 在点 M 处的梯度。
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工程电磁场
记为
gradu G
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工程电磁场
1 G gradu M0 2ex 2ey 2( 2 1)ez
2ex 2ey ez
G 22 22 1 3
1．3 结束
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工程电磁场
1.4 矢量场的通量和散度
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工程电磁场 1． 矢量场的通量
A•BC B•C A C • A B ABC BA•CC A•B
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工程电磁场 2．矢量函数的导数和微分公式
1）
dA dt
dAx dt
ex
dAy dt
ey
dAz dt
ez
2） dA dAxex +dAyey +dAzez
3） dC 0 （ C 是常矢量）
dt
4） d A B dA dB
dt du dt
11
工程电磁场
3．矢量函数的积分公式
1） At dt [ Ax t dt]ex [ Ay t dt]ey [ Az t dt]ez
2） Atdt Bt C
（ Bt ： At 的原函数 C ：任意常矢量）
3） At Btdt Atdt Btdt 4） kAt dt k At dt （ k ：常数）
在直角坐标系中， 梯度的计算公式
gradu
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度运算是分析标 量场的工具 标量场的梯度是矢 量
沿着梯度方向，函数 u(x.y, z) 增加得最快
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工程电磁场
方向导数等于梯度 在该方向上的投影
u l
gradu • el
gradu
cos
梯度的方向垂直于 通过