高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数
高中数学必修一《幂函数》精选习题(含详细解析)
高中数学必修一《幂函数》精选习题（含详细解析）一、选择题1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x22.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=13.函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-44若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?5.在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-16函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( )7下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2C.y=x3D.y=8下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=9.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )二、填空题10幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.11若y=a是幂函数,则该函数的值域是.12若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.13.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.14已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是.三、解答题15.比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.16.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围.17幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上,(1)求f,g的解析式.(2)x为何值时f>g,x为何值时f<g?18已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,又g(x)=lo(a>1).(1)求函数g(x)的解析式.(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.参考答案与解析1【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y==x-1符合幂函数的特征.2【解析】选D.由题意得解得m=1.3【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,所以x=时,取得最大值为4.4【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.5【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).6【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.7【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数. 8【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C 不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.9【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,此时y=x a在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.10【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α,所以α=-1,所以f(x)=x-1=,所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).答案:(-∞,0)∪(0,+∞)11【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).答案:[0,+∞)3,12【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log2则f(x)=,于是f====.答案:13【解析】因为y=在x∈(0,+∞)上递增,所以>,即a>c,因为y=在x∈(-∞,+∞)上递减,所以>,即c>b,所以a>c>b.答案:a>c>b14【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1<m<1;因为图象关于原点对称,且m∈Z,所以m=0,所以f=x-1.答案:f=x-115【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.16【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,所以3-p是偶数且3-p>0.因为p∈N*,所以p=1,所以不等式(a+1<(3-2a化为:(a+1<(3-2a.因为函数y=是[0,+∞)上的增函数,所以⇒⇒-1≤a<,故实数a的取值范围为.17【解析】(1)设f=xα,则()α=2,所以α=2,所以f=x2.设g=xβ,则(-2)β=,所以β=-2,所以g=x-2(x≠0).(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f>g;当-1<x<0或0<x<1时,f<g.18【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以解得m=-1,所以g(x)=loga.(2)由>0可解得x<-1或x>1,所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,于是x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以-=>0, 所以>.由a>1,有loga >loga,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),所以得g(a)=loga=1,可化为=a, 解得a=1±,因为a>1,所以a=1+,综上,a=1+,t=1.。
高一数学上册幂函数知识点
高一数学上册幂函数知识点幂函数是一种常见的函数形式，由于其在数学和实际问题中的广泛应用，掌握幂函数的知识点对高一学生来说至关重要。
本文将介绍高一数学上册幂函数的主要知识点，包括定义、性质以及解题方法等。
1. 幂函数的定义幂函数是指形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数，x为自变量。
在幂函数中，底数x通常为正实数，指数a可以是正数、负数或零。
2. 幂函数的图像与性质（1）当指数a为正数时，幂函数的图像呈现递增的趋势。
若指数a大于1，则曲线斜率较大；若指数a介于0到1之间，则曲线斜率较小。
（2）当指数a为负数时，幂函数的图像呈现递减的趋势。
（3）当指数a为零时，幂函数的图像为一条水平直线。
3. 幂函数的基本性质（1）定义域：对于幂函数f(x) = x^a，其定义域为所有使得x^a有意义的实数x。
（2）值域：幂函数值域的范围可以是整个实数轴，或者是一个区间，具体取决于底数的正负和指数的奇偶性。
（3）对称性：当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称；当指数a为偶数且底数x为正数时，幂函数关于y轴对称。
4. 幂函数的运算法则（1）幂函数的加法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的和函数是h(x) = x^a + x^b。
（2）幂函数的乘法：若f(x) = x^a 和 g(x) = x^b 为幂函数，则它们的乘积函数是h(x) = (x^a)(x^b) = x^(a+b)。
（3）幂函数的倒数：若f(x) = x^a 为幂函数，则其倒数函数是g(x) = 1/f(x) = 1/(x^a) = x^(-a)。
5. 幂函数的解题方法（1）求函数的定义域：根据幂函数的定义，求解所有使得x^a 有意义的实数x即可得到函数的定义域。
（2）求函数的值域：根据底数的正负和指数的奇偶性，可以确定函数的值域范围。
（3）求函数的性质与图像：通过计算函数的导数、二阶导数等信息，可以推断函数的增减性、凹凸性和图像的特征。
3.3幂函数(7大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件
D ． p 为 偶 数 ， q为奇 数且 < 0
）
典型例题
题型四：幂函数的图象、定点问题
【对点训练8】（2023·全国·高一假期作业）已知 ( ) = (2 − 1) + 1，则函数 = ( )的图象恒过的定点
的坐标为
．
【答案】 (1,2)
【解析】令 2 − 1 = 1 ，得 = 1, = 2 ，
故选：C.
2 ；⑤
= ，其中幂函
典型例题
题型二：求函数解析式
【例2】若 = 2 − 4 + 5 − + + 1 是幂函数，则 2 ＝
【答案】
1
4
2
− 4 + 5 = 1 ，解得 ቊ = 2 ，
【解析】由题意得 ቊ
= −1
+1=0
故 = −2 ，所以 2 = 2 −2 =
典型例题
题型二：求函数解析式
1
2
【对点训练3】已知 ∈ −2, −1, − , 2 ，若幂函数 = 为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则
=
．
【答案】 -2
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递减，所以 < 0 ，
当 = −2 时， = −2 是偶函数，成立
当 = −1 时， = −1 是奇函数，不成立，
1
1
当 = − 时， = − 2 的定义域是 0, +∞ ，不是偶
2
函数，故不成立，
综上， = −2.
故答案为：−2
典型例题
题型三：定义域、值域问题
4
【例3】（1）函数 = 5 的定义域是
高中数学必修1基本初等函数常考题型幂函数
幂函数【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝()22231m m m m x----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝()22231mm m m x ----为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝()2231m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3.题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝mx 与y ＝nx 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n<0<m<1 B ．n<－1,0<m<1 C ．－1<n<0，m>1 D ．n<－1，m>1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.[答案] (1)B (2)B 【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝12x 或y ＝x 3)来判断．【对点训练】已知函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)3423⎛⎫⎪⎝⎭与2334⎛⎫ ⎪⎝⎭. [解] (1)∵幂函数y ＝0.5x 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.513⎛⎫⎪⎝⎭. (2)∵幂函数y ＝1x -在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴123-⎛⎫- ⎪⎝⎭>135-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)∵函数y 1＝23x⎛⎫⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴2334⎛⎫⎪⎝⎭>2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2334⎛⎫ ⎪⎝⎭>3423⎛⎫⎪⎝⎭. 【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)342.3，342.4；(2)32- ，32- ；(3)()650.31-，650.35.解：(1)∵y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴342.3<342.4.(2)∵y ＝32x - 为(0，＋∞)∴32- >32- .(3)∵y ＝65x 为R 上的偶函数，∴()650.31-＝650.31.又函数y ＝65x 为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴650.31<650.35，即()650.31-<650.35.【练习反馈】1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y 解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝nx 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；⑤幂函数y ＝nx 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：选D y ＝x－1不过(0,0)点，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝nx 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝12，即f(x)＝12x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4.答案：44．函数f(x)＝()22231m m m m x +--+是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：05．比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)121.1，120.9；(2) 121.1- ，120.9- ；(3)343- ，3412⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)∵y ＝12x 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴121.1>120.9. (2)∵y ＝12x - 为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9，∴121.1- <120.9- .(3)∵343- ＝3413⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，∴3413⎛⎫ ⎪⎝⎭<3412⎛⎫⎪⎝⎭，即343- <3412⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
微专题30幂函数15种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题30 幂函数15种常考题型总结题型1 幂函数的概念辨析题型2 求幂函数的解析式或值题型3 根据函数是幂函数求参数值题型4 幂函数的定义域问题题型5 幂函数的值域问题题型6 幂函数的图象及应用题型7 幂函数的图象过定点问题题型8 判断幂函数的单调性题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性题型10 由幂函数的单调性求参数题型11比较幂值的大小题型12 利用幂函数的单调性解不等式题型13 幂函数的奇偶性的应用题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用题型15 幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．（5）在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．5、求幂函数的定义域和值域的方法幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．幂函数的定义域由幂指数a 确定：（1）当幂指数a 取正整数时，定义域为R ，当a 为正偶数时，值域为[0,)+¥；当a 为奇数时，值域为R ．（2）当幂指数a 取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，当0a =时，值域为{}1；当a 为负偶数时，值域为(0,)+¥；当a 为负奇数时，值域为{}0y y ¹．（3）当幂指数a 取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．6、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．7、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．8、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝12y x=或y ＝x 3)来判断．9、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．10、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型1 幂函数的概念辨析【例1】下列函数是幂函数的是（ ）A ．31y x =B ．2x y =C ．22y x =D ．1y x -=-【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如y x a =，R a Î叫幂函数，对A ，331y x x-==，故A 正确；B ，C ，D 均不符合.故选：A ．【变式1】下列函数中幂函数的是（ ）A ．3y x =B ．22y x =+C ．()21y x =+D ．y =【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A ：函数3y x =为一次函数，故A 不符合题意；B ：函数22y x =+为二次函数，故B 不符合题意；C ：函数22(1)21y x x x =+=++为二次函数，故C 不符合题意；D ：函数12y x ==为幂函数，故D 符合题意.故选：D【变式2】现有下列函数：①3y x =；②24y x =；③51y x =+；④()21y x =-；⑤y x =，其中幂函数的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由幂函数的定义即可求解.【详解】由于幂函数的一般表达式为：(),0y x aa =¹；逐一对比可知题述中的幂函数有①3y x =；⑤y x =共两个.故选：C.题型2 求幂函数的解析式或值【例2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则14f æö=ç÷èø．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出()32f x x -=，再代入求值即可.【详解】令()f x x a=，由题意得2a =，即132222222a -==，解得32a =-，故()32f x x -=，则()323212284f --æö===ç÷èø．故答案为：8【变式1】函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-【答案】C【解析】由幂函数的定义知2271k k --=，即2280k k --=，解得4k =或2k =-．故选：C【变式2】设函数()121,02,0xx x f x x ìï+>=íï£î，则()(4)f f -= ．【答案】54【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】()442f --=，()()()144225(4)221214f f f ----==+=+=.故答案为：54【变式3】已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f æöç÷èø的值为（ ）A ．2B ．14C ．14-D ．2-【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设()f x x a=，则(6)634(2)2f f aa a ===，所以1111()()3334f a a ===.故选：B【变式4】若函数()log 238a y x =-+（0a >且1a ¹）的图象恒过点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则()4f = ．【答案】64【分析】先找到定点P 的坐标，通过P 点坐标求解幂函数()f x x a=的解析式，从而可求()4f ．【详解】对于函数log 238ay x =-+（），令231x -=，解得2x =，此时8y =，因此函数log 238ay x =-+（）的图象恒过定点()2,8P ，设幂函数()f x x a=，P 在幂函数()f x 的图象上，82a \=，解得3a =．()3f x x \=．则()34464==f .故答案为：64题型3 根据函数是幂函数求参数值【例3】已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(4,2)，则m n -=（ ）A ．3-B ．52-C ．2-D ．32-【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得21m +=,所以1m =-,又()nf x x =的图象经过点()4,2,所以42n =,解得12n =,所以13122m n -=--=-.故选：D.【变式1】己知幂函数()(1)af x k x =-×的图象过点12æççè，则()f k = .【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数()(1)a f x k x =-×是幂函数，所以11k -=，解得2k =，又幂函数()a f x x =的图象过点12æççè，所以12aæö=ç÷èø12a =，所以12()f x x =，所以()()2f k f ==【变式2】已知幂函数()f x k x a=×的图象过点()3,9，则k a +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得1k =，再由()39f =，求得2a =，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得1k =，又由()39f =，可得39a =，解得2a =，所以3k a +=．故选：C.【变式3】“4m =”是“()22()33m f x m m x +=--是幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为()()2233m f x m m x +=--是幂函数，所以2331m m --=，解得4m =或1m =-，故“4m =”是“()()2233m f x m m x +=--是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.题型4 幂函数的定义域问题【例4】下列函数中定义域为R 的是（ ）A ．12y x =B ．54y x =C ．23y x =D ．13y x -=【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】12y x ==[0,)+¥，故A 错误；54y x ==[0,)+¥，故B 错误；23y x ==R ，故C 正确；13y x-=={0}x x ¹∣，故D 错误，故选：C.【变式1】函数()0=f x x 的定义域是（ ）A ．(],2-¥B ．()0,2C ．()(),00,2-¥U D ．()(],00,2-¥È【答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有200x x ->ìí¹î，解得：2x <且0x ¹，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-¥U ，故选：C .【变式2】函数()112f x x x -=+的定义域为（ ）A ．(),-¥+¥B ．()(),00,¥-+¥UC ．[)0,¥+D ．()0,¥+【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ¹ìí³î，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,¥+.故选：D.【变式3】已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()112f x -的定义域为 ．【答案】1(,)2-¥【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵()y f x x a==的图象过点()4,2，∴()f x =()112f x =-x 应该满足：120x ->，即12x <，∴()112f x -的定义域为1,2æö-¥ç÷èø．故答案为：1,2æö-¥ç÷èø题型5 幂函数的值域问题【例5】下列函数中，值域为()0,¥+的是（ ）A ．()f xB ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x [)0,¥+，故A 错误；()1021x f x x x x >\=+³== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+¥，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ¥Î-+0> ，函数值域为(0,)+¥，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x Î，()11,0x -Î-，所以()()0,1f x Î，故D 错误.故选：C.【变式1】下列四个幂函数：①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④32y x =的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）【答案】②③【解析】对于①，331y x x -==，则其值域为{}0y y ¹；对于②，221y x x-==，则其值域为{}0y y >；对于③，23y x-==，则其值域为{}0y y >，对于④，332y x ==，则其值域为{}0y y ³.综上符合题意的是②③.【变式2】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）A ．13y x =B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D【解析】由13y x ==x R Î,R y Î，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x Î+¥，[0,)y Î+¥，定义域、值域相同；由53y x ==可知，x R Î,，定义域、值域相同R y Î；由23y x ==x R Î，[0,)y Î+¥，定义域、值域不相同.故选：D【变式3】函数213324y x x =++，其中8x -…，则其值域为.【答案】[)3,+¥/()3y y ³【分析】利用换元法将函数化为2224(1)3y t t t =++=++，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设13t x =，则2224(1)3y t t t =++=++.因为8x -…，所以2t -…. 当1t =-时，min 3y =.所以函数的值域为[3)+¥，.故答案为：[3)+¥，【变式4】已知函数())2()x a f x x x a ì³ï=í<ïî，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y =[,)a +¥上单调递减，其函数值集合为(,-¥，当0a >时，2y x =的取值集合为[0,)+¥，()f x 的值域(,[0,)R -¥È+¥¹，不符合题意，当0a £时，函数2y x =在(,)a -¥上单调递减，其函数值集合为2(,)a +¥，因函数()f x 的值域为R ，则有2a ³，解得10a -££，所以实数a 的取值范围为[1,0]-.故选：D题型6 幂函数的图象及应用【例6】图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D【变式1】如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象.已知n 分别取112,,,222--四个值，与曲线1234C C C C 、、、相应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,2,,22--C ．11,,2,222--D ．112,,2,22--【答案】A【解析】由幂函数的单调性可知曲线1234C C C C 、、、相应的n 应为112,,,222--.故选：A【变式2】幂函数2y x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数()221y f x x x -===定义域为{}|0x x ¹，且()()()2211f x f x x x -===-，所以()2y f x x -==为偶函数，函数图象关于y 轴对称，又当()0,x Î+¥时()2y f x x -==单调递减，则()2y f x x -==在(),0¥-上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C【变式3】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）A ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①2y x =，②13y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数3y x =为奇函数且定义域为R ，该函数图像应与①对应；函数20y x =³，且该函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，该函数图像应与②对应；12y x ==[)0,¥+，该函数图像应与③对应；11y x x-==，其图像应与④对应．故选：A ．【变式4】函数()54f x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()54f x x =的定义域为R ，且()()5544f x x x f x -=-==，故()54f x x =为偶函数，排除AB ，因为514>，故函数在()0,¥+上增长速度越来越快，为下凸函数，C 正确，D 错误.故选：C 【变式5】已知函数()02,0x f x x x³ï=í<ïî，若()()g x f x =-，则函数()g x 的图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出函数()00x f x ³=<的图象如下图所示：因为()()g x f x =-，则将函数()f x 的图象关于x 轴对称，可得出函数()g x 的图象，如下图所示：故选：C.【变式6】【多选】函数()241f x ax x =++与()ag x x =在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定a 的正负，再观察幂函数图象判断即得.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如2a =，A 可能；对于B ，二次函数开口向下，则0a <，此时存在()ag x x =与图中符合，如1a =-，B 可能；对于C ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如12a =，C 可能；对于D ，二次函数开口向上，则0a >，此时()ag x x =在()0,¥+为增函数，不符合，D 不可能.故选：ABC【变式7】【多选】下列幂函数中满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++æö<<<ç÷èø的函数是（ ）A ．()f x x =B ．()2f x x=C ．()f x =D ．()1f x x=【答案】BD【分析】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线.对于A,函数()f x x =的图象是一条直线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö=ç÷èø,不满足题意；对于B,函数()2f x x =的图象是凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意；对于C,函数()f x =,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èø,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数()1f x x =的图象是一条凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意.故选:BD.题型7 幂函数的图象过定点问题【例7】函数()2y x aa =-为常数的图象过定点．【答案】()1,1-【分析】利用11a =求得正确答案.【详解】当1x =时，121y a =-=-，所以定点为()1,1-.故答案为：()1,1-【变式1】【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）A ．2y ax a =+-B ．1a y x =+C ．11(0,1)x y a a a -=+>¹D ．log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>¹，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.【变式2】已知函数y x a =的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为 .【答案】4【解析】函数y x a =的图象恒过定点(1,1)A ，所以1m n += ,因为,0m n >，所以1111()()224m n m n m n m n n m +=++=++=+=，当12m n ==时，11m n+的最小值为4.【变式3】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->¹的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->¹，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，所以1()2g b =，即212b =，解得：b =,故选：B.【变式4】若函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，且()23af x x +=+，则()yg x =必过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】D【解析】()23af x x +=+ ，()()23af x x \=-+，()()33234af \=-+=，所以，函数()y f x =的图象过定点()3,4，又 函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，因此，函数()y g x =必过定点()4,3.故选：D.题型8 判断幂函数的单调性【例8】【多选】下列函数中，在区间()0,¥+单调递减的是（ ）A ．21y x =B ．()ln 1y x =+C ．1y x x=+D ．2xy -=【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A 项，由幂函数性质知，221y x x-==在(0,)+¥上单调递减，故A 项正确；对于B 项，令1t x =+（0x >），则ln y t =（1t >），因为1t x =+在(0,)+¥上单调递增，ln y t =在在(1,)+¥上单调递增，所以ln(1)y x =+在(0,)+¥上单调递增，故B 项不成立；对于C 项，由对勾函数性质可知，1y x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+¥上单调递增，故C 项不成立；对于D 项，因为12(2xx y -==，所以2x y -=在(0,)+¥上单调递减，故D 项正确.故选：AD.【变式1】【多选】下列函数中，满足“x "ÎR ，()()0f x f x --=，且1x "，2(,0)x Î-¥，都有1212()()0f x f x x x ->-”的是（ ）A ．()51f x x =+B ．3()f x x=-C ．4()f x x=D ．2()2022f x x =-+【答案】BD【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，然后逐个分析判断即可.【详解】由()(),0x f x f x "Î--=R ，知函数()f x 是偶函数，由()12,,0x x ¥"Î-，都有()()12120f x f x x x ->-，知()f x 在(),0¥-上单调递增，所以()f x 在(0,+∞)上单调递减.对于A ：()51f x x =+不满足为偶函数，故A 错误；对于B:()333,0,0x x f x x x x ì£=-=í->î，符合题意，故B 正确；对于C ：4()f x x=不满足为偶函数，故C 错误；对于D:()22022f x x =-+符合题意.故选：BD.题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性A ．[)2,+¥B ．[)4,+¥C ．(],2-¥D ．(],0-¥【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断.【详解】令24t x x =-,则y =由240x x -³，解得4x ³或0x £，故函数y ={0x x £或x ≥4}.又函数24t x x =-在(],0-¥上单调递减，在[)4,+¥上单调递增,y 在[)0,+¥上单调递增，则函数y =[)4,+¥上单调递增.故选：B.【变式1】函数y =的单调减区间为 ；【答案】(],5-¥-【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =y =与245u x x =+-复合而成的函数. 令2450u x x =+-³，得5x £-或1x ³.易知245u x x =+-在(],5-¥-上是减函数，在[)1,+¥上是增函数，而y =在[)0,¥+上是增函数，所以y =(],5-¥-.故答案为：(],5-¥-.【变式2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则函数()22y f x x =+的单调递增区间为（ ）A ．(),2¥--B ．(),1¥--C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．【详解】设()f x x a=，因为()f x 的图象过点æççè，所以2a=，解得12a =-，即()12f x x -=，可得()f x 在(0,+∞)上单调递减，则函数()()122222y f x x x x -=+=+=，由220x x +>，解得2x <-或0x >，则函数22y x x =+在(),2¥--上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以函数()22y f x x =+的单调递增区间为(),2¥--.故选：A.【变式3】【多选】已知幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 为增函数B ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èøC ．()f x 为偶函数D ．若1x >，则()1f x >【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点(9,3)，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A ，C ，D 正误；对于选项B ，根据函数解析式分别表示出()()1212(),22f x f x x x f ++，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，得93n =，所以12n =.12()f x x ==[0,)+¥，对于A 选项：因为102>，由幂函数的性质得A 选项正确；对于B 选项：若120x x >>，则12(2x xf +()()12221212[([]222f x f x x x x x f +++-=21204x x -=>（），所以()()122212[()][]22f x f x x xf ++>，又()()1212()0,022f x f x x x f ++=>=>，所以()()1212(22f x f x x xf ++>，故B 选项正确；对于C 选项：由于定义域不关于数字0对称，故C 选项不正确；对于D 选项：因为()f x 为增函数，若1x >，则()(1)1f x f >=，故D 选项正确；故选：ABD.题型10 由幂函数的单调性求参数【例10】已知幂函数()()12232mf x m m x -=-满足()()23f f <,则m =.【答案】13-【分析】根据幂函数的定义,得2321m m -=,解得1m =或13m =-,分别代入()f x 判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,2321m m -=,即23210m m --=,解得1m =或13m =-.当1m =时,()12f x x -=在()0,¥+上单调递减,不满足()()23f f <；当13m =-时,()56f x x =在()0,¥+上单调递增,满足()()23f f <.综上,13m =-.故答案为：13-.【变式1】幂函数()()2345m f x m m x -=--在()0,¥+上为减函数，则m 的值为．【答案】2-【分析】根据幂函数定义求出m 的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因()()2345m f x m m x -=--是幂函数，则25=1m m --，解得：3m =或2m =-.当3m =时，5()f x x =，此时函数在()0,¥+上为增函数，舍去；当2m =-时，10()f x x -=，此时函数在()0,¥+上为减函数，符合题意.故答案为：2-.【变式2】已知幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，则k = .【答案】1【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，所以221103k k k ì-=ïí->ïî，解得1k =.故答案为：1【变式3】已知2311,,,,2,33422a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a=在区间(),0¥-上单调递增，且其图像不过坐标原点，则a = .【答案】23-【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则0a £，当23a =-，()23f x x -==在区间(),0¥-上单调递增，符合题意；当34a =-，()34-=f x x ()0,¥+，不合题意；当12a =-，()12f x x -==的定义域为()0,¥+，不合题意；综上所述：23a =-.故答案为：23-.【变式4】已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,¥+上是减函数，则11mx +<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-¥È+¥C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【分析】根据()f x 是幂函数且在()0,¥+上是减函数求出m 的值，再将所求不等式两边同时平方求出x 的范围.【详解】 ()()21mf x m m x =+-是幂函数，\211m m +-=，解得1m =或2m =-，当1m =时，()f x x =不满足()f x 在()0,¥+上是减函数，当2m =-时，()2f x x -=满足()f x 在()0,¥+上是减函数，\2m =-，将不等式211x -+<的两边同时平方得，24411x x -+<，解得01x <<，\11mx +<的解集为()0,1.故选：A.【变式5】已知函数2295,1()1,1a x ax x f x x x -ì-+£=í+>î，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．92,2éö÷êëøB ．94,2éö÷êëøC ．[]2,4D ．(]9,2,2æù-¥+¥çúèûU 【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a a a a -ì³ïï-<íï-´+³+ïî，解得24a ££，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C题型11比较幂值的大小【例11】设232555322555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,，，则,,a b c 大小关系是 .【答案】a c b＞＞【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为()25f x x =在()0,¥+单调增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，即a c >，因为()25xg x æö=ç÷èø在(),-¥+¥单调减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【变式1】设 1.3 1.4 1.40.9,0.9,0.7a b c ===，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设()0.9xf x =，则由指数函数()0.9xf x =在R 上单调递减，得()() 1.3 1.41.3 1.40.90.9f f a b >Þ=>=，设() 1.4h x x =，则幂函数() 1.4h x x =在()0,¥+上单调递增，得()()1.41.40.90.90.70.7h b c h ==>==，所以a b c >>.故选：B【变式2】设21log 3a =，1312b æö=ç÷èø，1213c æö=ç÷èø，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】2log x y = 在()0,+¥上是增函数，221log log 103a \=<=，12xy æö=ç÷èø在R 是减函数，12y x =在()0,¥+上是增函数，1113221110223b c æöæöæö=>>=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a c b \<<.故选：D.题型12 利用幂函数的单调性解不等式【例12】不等式()()2233213x x +<-的解为 .【答案】24,3æö-ç÷èø【分析】根据幂函数的性质确定幂函数()23f x x =的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数()23f x x ==R ，且函数在[)0,¥+上单调递增，又()()f x f x -===，则()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0¥-上单调递减，则由不等式()()2233213x x +<-可得213x x +<-，平方后整理得231080x x +-<，即()()3240x x -+<，解得243x -<<，则不等式的解集为24,3æö-ç÷èø.故答案为：24,3æö-ç÷èø.【变式1】实数a 满足3322(21)(1)a a --->+，则实数a 的取值集合为.【答案】1,22æöç÷èø【分析】首先分析出幂函数32y x -=的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】32x y -=()0+¥，，且在定义域上单调递减，因为3322(21)(1)a a --->+，所以21010211a a a a ->ìï+>íï-<+î，解得122a <<故答案为：1,22æöç÷èø【变式2】已知幂函数14()f x x =，若(102)(1)f a f a -<+，则a 的取值范围是．【答案】(]3,5【解析】因为14()f x x =的定义域为[)0+，¥，且14()f x x =在[)0+，¥上单调递增，所以由(102)(1)f a f a -<+可得：1021102010a a a a -<+ìï-³íï+³î，解得：35a <£【变式3】已知函数21*()(N )m mf x xm +=Î.若该函数图象经过点 ，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是.【答案】31,2éö÷êëø【解析】由已知212m m +=22m m +=，又m 是正整数，故解得1m =，即12()f x x =，函数定义域是[0,)+¥，易知12()f x x =是增函数，所以由(2)(1)f a f a ->-得210a a ->-³，解得312a £<.【变式4】设函数1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，如果()01f x >，则0x 的取值范围是 .【答案】()(),11,-¥-È+¥【分析】通过分00x <和00x >两种情况进行讨论，从而可求出0x 的取值范围.【详解】因为1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，所以000211x x -<ìí->î或012001x x >ìïíï>î，解得01x <-或01x >，所以0x 的取值范围是()(),11,-¥-È+¥.故答案为：()(),11,-¥-È+¥.题型13 幂函数的奇偶性的应用【例13】已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为.【答案】1【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】()f x 为幂函数，2331a a \-+=，解得：1a =或2a =；当1a =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2a =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.【变式1】若幂函数()()219mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m =（ ）A ．5-或4B ．5-C ．4D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数()()219mf x m m x =+-，则2191m m +-=，解得4m =或5m =-，且幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，则m 为偶数，故4m =.故选：C ．【变式2】幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在()0+¥，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z Î,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m =故答案为：1题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用【例14】下列幂函数中，既在区间()0,¥+上递减，又是奇函数的是（ ）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,¥+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,¥+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,¥+为减函数，设()123321f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()()11332211f x f x x x éùæö-===êúç÷èø-êúëû，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,¥+为减函数，设()11331f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()113311f x f x x x æöæö-==-=-ç÷ç÷-èøèø，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D【变式1】已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为 .【答案】()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数()223m m y x m N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【变式2】若幂函数()22529m m f x x -++=的图象关于y 轴对称，()f x 解析式的幂的指数为整数, ()f x 在(),0¥-上单调递减，则m =（ ）A ．19B ．19或499C ．13-D ．13-或73【答案】D【分析】由题意知()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递减,可得22529m m -++为正偶数，再根据22529m m -++的范围可得答案.【详解】由题意知()f x 是偶函数，因为()f x 在(),0¥-上单调递减,所以22529m m -++为正偶数，又222534342(1)999m m m -++=--+£，∴234(1)29m --+=，解得73m =或13-．故选：D ．【变式3】函数()2223()1(03,)m m f x m m x m m --=-+££ÎZ 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x f x -=；②在(0,)+¥上是减函数，则f 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．【详解】m ÎZ ，03m ££，0,1,2,3m =，代入223m m --分别是3,4,3,0---，在定义域内()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，因此223m m --取值4-或0，2230m m --=时，()f x 在(0,)+¥上不是减函数，只有234-=-满足，此时1m =，4()f x x -=，444f -===．故选：B ．【变式4】已知函数()333x x f x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-¥-+¥U ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-¥-+¥U ，，D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x x f x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B题型15 幂函数性质的综合应用【例15】已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,¥-+¥U ，值域为(0,)+¥(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ¹，解得0x ¹故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-¥+¥U ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+¥；（3）任取x A Î，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．【变式1】已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图像关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图像；(3)直接写出函数()1g x >的解集．【答案】(1)1()f x x=(2)图像见解析(3)()()1,00,1-U 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图像性质即可得解.（2）由（1）求出函数()g x ，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出()g x 的图像.（3）根据（2）中图像特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因为()22()55m f x m m x -=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-¥+¥U ，易得()f x 是奇函数，图像关于原点对称，则1m =满足题意；当4m =时，函数2()f x x =，易知()f x 是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数()f x 的解析式是11()f x x x-==.（2）因为函数()|()1|||g f x x x ==，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，且()()11g x g x x x-===-，所以()g x 是(,0)(0,)-¥+¥U 上的偶函数，当0x >时，1()g x x=在(0,)+¥上单调递减，其图像是反比例函数1y x =在第一象限的图像，作出函数()g x 在第一象限的图像，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，()1g x >的解集为()()1,00,1-U .。
高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数.doc
【知识梳理】1.幕函数的概念—•般地，函数y = x W做幕函数.其中丄是自变量，丄是常数.2.常见幕函数的图象与性质3.幕函数的性质y=x；⑦y=a x (a>l)-具屮幕函数的个数为()幕函数【例1] ⑴卜-列函数：®y=x3；②y=£)；③y=4x1 ④y=x>+l； @y= (x—I)1 2；⑥C. 3 ⑵已知幕函数y=(〃2—l”宀心，求此幕函数的解析式，并指淀义域.(1) ［解析］②⑦为指数函数，③屮系数不是1，④屮解析式为多项式，⑤小底数不是白变 量木身，所以只有①⑥是幕函数，故选B.［答案］B(2) ［解］・：y=(m 2-m-l)x m2心为幕函数, m 2—m —1 = 1,解得 m=2 或 m= —1.当 m=2 时，【『一2m —3=—3,贝lj y=x~3,且有 xHO ； 当 m= —1 时，【if —加一3 = 0,则 y=x°,且有 xHO. 故所求幕函数的解析式为y=x -3, {x|xH0}或y=x°, {x|xH0}. 【类题通法】判断一个函数是否为幕函数的方法判断一个函数是否为幕函数的依据是该函数是否为y=x”(u 为常数)的形式，即函数的解 析式为一个幕的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为H 变量；(3)系数为1.反之，若 一个函数为幕函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件.【对点训练】函数f(X)=(加2-眈一 1)兀心心是幕函数，且当xE (0, +8)时，f(x)是增函数，求f(x) 的解析式. 解：根据幕函数的定义得in 2—m —1 = 1.解得 m=2 或 m= — l.当m=2时,f(x)=x 3在(0, +8)上是增函数;当m= —1时，f (x) =x~3在(0, +8)上是减函数，不符合要求. 故 f(x)=x 3.题型二、幕函数的图象【例2】(1)如图，图中1111线是幕函数y = x°在第一象限的大致图 象，已知«取一2, —2四个值，则相应于1111线G, G, G, C.( 的«的值依次为()12f2fD. 4A.B. 2, I ，［答案］(1)B (2)B【类题通法】解决幕函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幕指数人小，相关结论为：在(0,1) ±,指数越人，幕函数图象越靠 近x 轴(简记为指大图低)；在仃，+8)上，指数越人，幕函数图象越远离％轴(简记为指大图 高)•⑵依据图象确定幕指数a 与0,1的大小关系，即根据幕函数在笫一彖限内的图彖(类似于 y=x _1或『=冷或y=x 3)来判断.【对点训练】 c.刁—22 2D. 2, I ，-2,(2)如图是幕函数y=x .与y=x ・在第一象限内的图象，则( A. -l<n<O<m<l B. n<— 1, 0<m<l C. -l<n<0, m>l D. n<— 1, m>l［解析］ ⑴令 x = 2, RlJ 22>2|>2-7>2-2,故相应于Illi 线C I , C 2, C 3,。
幂函数知识点高一必修一
幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。
在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。
本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。
一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。
当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。
二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。
2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。
4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。
三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。
1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。
2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。
3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。
4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。
5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。
综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。
四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。
高中数学必修一同步练习题库：幂函数(简答题：一般)
幂函数（简答题：一般）1、已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式，并画出图象；（2）证明：函数在上是减函数．2、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．3、比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2.4、若，求a的取值范围.5、已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．6、点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)?7、计算下列各式：（1）（2）8、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．9、已知，且。
求满足的实数的取值范围。
10、已知函数的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求p的值，并画出图象。
11、已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.12、已知幂函数在上是增函数，又（），（1）求函数的解析式；（2）当时，的值域为，试求与的值．13、已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递增函数。
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若能取遍内的所有实数，求实数的取值范围．14、已知幂函数f(x)＝，其中−2<m<2，m∈Z，满足：(1)f(x)是区间(0，+∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(−x) +f(x)＝0.求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．15、已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．16、已知函数f(x)＝−且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．17、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．18、如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．19、已知函数（）是偶函数，且（1）求的解析式；（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围20、已知（是常数）为幂函数,且在第一象限单调递增．（1）求的表达式；（2）讨论函数在上的单调性,并证之．21、已知函数y＝ (n∈Z)的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出函数图像.22、（本题满分12分）已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围．23、（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为，若，求实数的取值范围．24、已知命题P：若幂函数过点，实数满足。
高一幂函数的试题及答案
高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。
三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。
7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。
四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。
答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。
5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。
三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。
必修一幂函数（含答案）
必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
一、幂函数的性质：
1. 幂函数的定义：幂函数是指以变量 x 为底数，以常数 a 为指
数的函数，一般形式为 f(x) = a^x。
2. 幂函数的图像：幂函数的图像随着底数 a 的取值不同而有所
变化，底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为陡峭；底数 a 在 0
和 1 之间，函数图像下降趋势较为陡峭。
3. 幂函数的性质：幂函数具有对称性，即 f(x) = f(-x)；a^x 的
值随 x 的变化而变化，当 x 增大时，a^x 增大，当 x 减小时，a^x
减小。
二、指数函数的性质：
1. 指数函数的定义：指数函数是指以变量 x 为指数的函数，一
般形式为 f(x) = a^x（a > 0，且a ≠ 1）。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像具有与幂函数相反的特点，当底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为平缓；底数 a 在 0 和 1
之间，函数图像下降趋势较为平缓。
3. 指数函数的性质：指数函数的图像经过点 (0, 1)；指数函数
具有增长态势，即随着 x 的增大，函数值也增大。
三、幂指函数的题型：
1. 计算幂指函数的值：根据给定的幂指函数和 x 的值，求出函数的值。
2. 求幂指函数的定义域：根据幂指函数的特点，确定该函数的定义域范围。
3. 求幂指函数的变化趋势：根据底数的取值范围和指数的正负性，确定函数的增减性和图像的走势。
4. 解幂指函数的方程：根据幂指函数的性质和方程的条件，求出满足方程的变量值。
以上是根据幂指函数的知识点及题型进行的归纳总结，希望能对您的学习和应试有所帮助。
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结1、幂函数定义：对于形如：，其中为常数.叫做幂函数定义说明：1、定义具有严格性，系数必须是1，底数必须是2、取值是R .3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况2、幂函数的图像幂函数的图像是由决定的，可分为五类：1）时图像是竖立的抛物线.例如：2）时图像是一条直线.即3）时图像是横卧的抛物线.例如4）时图像是除去（0,1）的一条直线.即（）5）时图像是双曲线（可能一支）.例如具备规律:①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。
1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解2、奇偶性要结合定义域来讨论3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1）5、由可知，图像不过第四象限1、幂函数解析式的求法1. 利用定义（1）下列函数是幂函数的是 ______① ② ③ ④ ⑤（2）若幂函数的图像过点，则函数的解析式为______.（3）已知函数是幂函数，求此函数的解析式。
2．利用图象若函数是幂函数，且图像不经过原点，求此函数的解析式。
3．利用性质已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求此函数的解析式。
2、幂函数的图像及应用1．分布规律幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四必无”来说明（1）、函数的图像是（）（2）右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）xOy2．比较大小（1）单调性比较比较与的大小比较与的大小把()－，()，()，()0按从小到大的顺序排列____________________．（2）利用图象比较大小当时，的大小关系是（）A． B．.C． D．3．幂函数的单调性与奇偶性函数在上是（）A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数.C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数4．求参数的取值范围(1)．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数； (4)幂函数？(2)已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围。
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点
1. 线性函数：y = kx + b（k和b为常数），其中k称为斜率，b称为截距。
2. 幂函数：y = x^n（n为常数），其中n可以是正整数、零、负整数。
3. 指数函数：y = a^x（a为正实数且a≠1）。
4. 对数函数：y = loga(x)（a为正实数且a≠1），其中x为正实数。
5. 三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等）：y = sinx，y = cosx，y = tanx，y = cotx等。
6. 反三角函数（反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等）：y = arcsinx，y = arccosx，y = arctanx，y = arccotx等。
7. 绝对值函数：y = |x|。
8. 双曲函数（双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等）：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等。
9. 分段函数：根据不同条件定义函数的不同表达式，例如：y = f(x) =
{ x+1, (x≤0)
{ x^2, (0<x≤1)
{ 2x-1, (x>1)
10. 复合函数：将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算，例如：f(g(x))。
以上是数学必修一中较为基本的初等函数知识点，只覆盖了一部分内容。
学习初等函数的重点是掌握其基本性质、图像和应用。
高中数学必修1幂函数的基本性质
高中数学必修1幂函数的基本性质幂函数是数学中一种常见的函数类型，它的表达式形式为 $y = x^a$，其中 $x$ 是自变量，$a$ 是常量指数。
幂函数的基本性质有以下几个方面：1. 定义域和值域对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是有理数时，定义域为正实数集，即 $x > 0$；当指数 $a$ 是整数时，定义域为实数集；当指数 $a$ 是负有理数时，定义域为整个实数集。
其中，当指数 $a$ 是正偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是正奇数时，值域为整个实数集；当指数 $a$ 是负偶数时，值域为正实数集，$y > 0$；当指数 $a$ 是负奇数时，值域为负实数集，$y < 0$。
2. 奇偶性对于幂函数 $y = x^a$，当指数 $a$ 是偶数时，函数为偶函数，即 $f(-x) = f(x)$；当指数 $a$ 是奇数时，函数为奇函数，即 $f(-x) = -f(x)$。
3. 单调性当指数 $a$ 是正数时，幂函数是递增函数，即 $a > 0, x_1 <x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$；当指数 $a$ 是负数时，幂函数是递减函数，即 $a < 0, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$。
4. 极值点和拐点当指数 $a$ 是正数时，幂函数不具有极值点和拐点；当指数$a$ 是负数时，幂函数具有极值点和拐点。
具体的极值点和拐点的位置需要根据具体的指数和函数图像来判断。
以上是关于高中数学必修1幂函数的基本性质的简要介绍。
幂函数作为数学中常见的函数类型，在数学的应用中具有重要的作用。
幂函数题型及解析
幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是________y=x 2，y=（）x，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x（a ＞1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ．解：由幂函数的定义知，y=x 2，y=（）x，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x（a ＞1），七个函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ，（2）①y=x 2+1； ②y=2x； ③y=； ④y=（x ﹣1）2； ⑤y=x 5； ⑥y=x x+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．解：根据幂函数y=x α，α∈R 的定义知， ①y=x 2+1不是幂函数，②y=2x不是幂函数，③y==x ﹣2是幂函数，④y=（x ﹣1）2不是幂函数，⑤y=x 5是幂函数，⑥y=x x+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2.已知幂函数y=f （x ）的图象过点（9，）.（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （25）的值；（3）若f （a ）=b （a ，b ＞0），则a 用b 可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f （x ）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f （25）的值；（3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系． 解：（1）设幂函数f （x ）=x t，∵图象过点（9，），∴；即32t =3﹣1，∴，∴； （2）∵f （x ）=，∴f （25）=25===；（3）∵f （a ）=a=b ，∴a ＝b ，∴a ﹣1=b 2，∴a=．3.比较下列各组中两个值的大小；（3）32)2.1(--，32)25.1(--；（4）（）与41)65(-；（5）；（6）（），（）；（723；（8）（），（）分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（1）∵幂函数y=53x 在（0，+∞）单调递增，∴535.1＜537.1；（2）∵幂函数y=x 在（0，+∞）单调递增，∴＞；（3））∵幂函数y=32-x在（﹣∞，0）单调递增，∴32)2.1(--＞32)25.1(--；（4）∵0＜＜，∴（）＜41)65(-；（5）＜；（6）（）＞（）；（72＞3；（8）（）＜（）4.若函数y=（m 2+2m ﹣2）x m为幂函数且在第一象限为增函数，求m 的值②已知幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数 分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m 的值即可解：①∵函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2+2m-2=1且m ＞0；解得m=1②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x ∈（0，+∞）时y 为减函数，∴当m=2时，m 2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，幂函数为y=x 0，不满足题意；综上幂函数y=x -35.幂函数y=（m 2﹣3m+3）x m是偶函数，求m 的值分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，即m 2﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x 是奇函数，不满足条件．当m=2时，y=x 2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=32-x的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=32-x 化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y=32-x= ，∴x ≠0，且y ＞0；∴函数y 的定义域是{x |x ≠0}，值域是{y |y ＞0}7.﹣x2﹣3x+4的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可． 解：令f （x ）=﹣x 2﹣3x +4=﹣（x 2+3x +）+=﹣+，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴﹣x2﹣3x+4在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min ==，∴﹣x2﹣3x+4的定义域是R 、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8.已知幂函数y=234m m x --（m ∈Z ）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象 分析：由题意得4-3m-m 2＞0解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．解：由题意得4﹣3m ﹣m 2＞0，即有（m+4）（m ﹣1）＜0，解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x 4，m=﹣2，y=x 6，m=﹣1，y=x 6，m=0，y=x 4其图象如图：9.已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n 2﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象． 解：已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n 2﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n 2﹣2n ﹣3=0，满足条件故函数为y=x ﹣4，或y=x 0，它的图象如图所示：10.已知幂函数y=x m ﹣2（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 分析：由题意利用幂函数的性质可得m ∈N ，m ﹣2≤0，且m ﹣2为偶数，由此求得m 的值．解：∵幂函数y=x m ﹣2（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，∴①m﹣2＜0，m ﹣2为偶数，故m=0，即幂函数y=x ﹣2，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x 0，（x ≠0），它的图象如图所示11.已知幂函数的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数（m∈Z），由m2﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m2﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m2﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，312. 已知幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．解：幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3 且 m2﹣2m﹣3 为奇数，∴m=0或2，∴y=x﹣3，其图象为：13.2m+3＜3m，求实数m的取值范围分析：2m+3＜3m，即为（）﹣（4m+6）＜（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．2m+3＜3m2（2m+3）＜（）3m，即有（）﹣（4m+6）＜（）3m，由于y=（）x在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m ＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）14.已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：。
高中数学《幂函数》题型战法试题及答案
第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞，[)0+∞，R ()(),00,-∞+∞奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．3y x =D ．2x y =变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞变式3-2．函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-变式4-4．已知幂函数()f x x α=1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ）A ．(3,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x= D ．2yx变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ） A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c<< D ．b a c <<变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2-∞ D ．[)1,2变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：()0,+∞()0,+∞0)上减∞)上减题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A．2=B．21y x=-y xC．3y=y x=D．2x【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如y xα=为幂函数.y x=的函数为幂函数，则3故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f -的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f -=-=-.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα-=⇒=⇒=-，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y ≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值， 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ①幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ①39α=， 解得12α=①()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，①正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()())10211f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()100212121f x x x x -=-+-=-， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】 ①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，①45y x =的定义域为R ， ①54y x =的定义域为(0,)+∞， ①23y x =的定义域为R ，①45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x -=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x-==， ()43y f x =-=所以430x ->，所以34x >，所以函数()43y f x =-的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】 由于函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】 ①函数2yx 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，①2min 124y -==， 故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =-，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x 吋，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x -∴=∴=-∴=，值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x ==(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10-<可得11y x x-==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x 在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =-+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x -+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =-+在(,1]-∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2-- B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】①函数是幂函数，则2441m m -+=，①3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x =，()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ）A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x =D ．2y x【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足()()f x f x =--，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足()()f x f x =--，22x x -≠-，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x --=--，所以1y x -=为奇函数，由()22x x -=可知，2y x 为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】2y x 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y -=≥+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误. lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误. 令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x =D ．3y x = 【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ==，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数， 而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ）A ．2B ．1，2C ．12，2D ．12，1，2 【答案】A【解析】【分析】 把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C【解析】【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =，故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案．【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=， b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b ac ∴<<，变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】【分析】 利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增， 00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>， 1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞)B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．[)1,2【答案】B由幂函数的性质，可得0521m m ≤-<-，解不等式组可得答案【详解】 解：因为1122(52)(1)m m -<-， 所以0521m m ≤-<-， 解得522m <≤，故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，再解不等式组即可. 【详解】 因为1122(1)(32)a a +<-，所以10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得213a -≤<. 故选：B。
3.3幂函数11题型分类(学生版) 2024-2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修第一册)
3.3幂函数11题型分类一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意：幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．三、一些常用幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y ＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减注意：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．（一）幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.C ．3D ．132-4．（2024·浙江·模拟预测）已知()f x 是幂函数，且满足：①()()f x f x -=；②()f x 在()0,+¥上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()f x =.2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数()f x x a = (α是常数)的图象经过点()2,4，那么f (−2)=（ ）A ．4B ．-4C ．14D ．-14题型3：根据幂函数求参数3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =．3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数()()22325m m f x m m x--=+-×的图像不经过原点，则实数m =.（二）幂函数的图象及应用依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．题型4：幂函数过定点问题4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数()2y x a a =-为常数的图象过定点．4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.题型5：幂函数的图象及应用5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxxì³ï==-í<ïî，则函数()g x的图象大致是（）A．B．C．D．5-2．（2024·全国·模拟预测）函数()11 3x xf xx --=的图象大致为（）A．B．C．D．5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数p qy x=（,p q ZÎ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A ．p 、q 均为奇数且0p q<B ．p 为奇数，q 为偶数且0p q <C ．p 为奇数，q 为偶数且0p q>D ．p 为偶数，q 为奇数且0p q<5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数()()2231mm f x m m x+-=--，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点()4,2P 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x -=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①（三）求幂函数的定义域和值域幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R ；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域.题型6：求幂函数的定义域6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数()f x 的图象经过点(25,5)，求()f x 的定义域.6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数()12f x x -=的定义域为．6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数3y x a a =-，则此函数的定义域为．题型7：求幂函数的值域（四）利用幂函数的性质比较大小（1）比较幂大小的三种常用方法:(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.（五）幂函数的性质综合应用利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型10：利用幂函数解不等式10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若12()f x x =，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（ ）A ．162,7éö÷êëøB ．(]0,2C ．16(,)7-¥D ．[2,+∞)10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数()f x 的图象经过点1,93æöç÷èø，且()()12f a f +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,1-D ．()(),31,-¥-+¥U 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为 ．10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数12()f x x -=，则不等式(21)(1)f x f x ->+的解集为．题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数()()22322mm f x x m ,m --+=-<<ÎΖ在区间()0,¥+上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的x ÎR ，都有()()f x f x -=；②对任意的x ÎR ，都有()()0f x f x -+=中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求()f x 的解析式；(2)在（1）问的条件下，当[]3,3x Î-时，求()f x 的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①2y x -=，②43y x =，③35y x =，④45y x -=，既是偶函数，又在(,0)-¥上为增函数的是．11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知112,1,,,1,2,322a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a =奇函数，且在()0,¥+上为严格减函数，则a =.11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数()()()2157R m f x m m xm --=-+Î为奇函数.(1)求12f æöç÷èø的值；(2)若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2024高一上·四川成都·期末）函数()f x ）A ．B ．C ．D ．2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点()3,2a 在幂函数()()1b f x a x =-的图象上，则（ ）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x =3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则12f æöç÷èø等于（ ）A B C D ．144．（2024·海南·模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（ ）．A ．()f x 在(),0-¥上单调递增B ．()f x 在(),0-¥上单调递减C ．()f x 在()0,¥+上单调递增D ．()f x 在()0,¥+上单调递减5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设R m Î，若幂函数221m m y x -+=定义域为R ，且其图像关于y 轴成轴对称，则m 的值可以为（ ）A ．1B ．4C ．7D ．106．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①3y x =；②12xy æö=ç÷èø；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数()2133m y m m x +=-+的图像关于y 轴对称，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．38．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（ ）A ．,m n 是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（ ）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1C ．1-或3D ．1或3-11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知111333332,,555a b c -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<12．（2024高一·全国·课后作业）已知()21f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．()()11f a f b f f a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøB ．()()11f f f b f a a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøC ．()()11f a f b f f b a æöæö<<<ç÷ç÷èøèøD ．()()11f f a f f b a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèø13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递增，则m =（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数()()22222n nf x n n x-=+-×在()0,¥+上是减函数，则n 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1或3-15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数()f x 的图像过点()64,4，则()8f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =C ．22y x =D ．1y x x=+17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数()y f x =的图象过()4,32点，则()2f =（ ）．A ．B ．4C ．D ．8二、多选题19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数()()23m x m x f =-的图象过点12,4æöç÷èø，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0-¥上为减函数D ．()f x 在()0,¥+上为减函数20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数()()211m f x m m x --=+-，m ∈N ∗，则下列结论正确的是（ ）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,¥+21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在(),0-¥上单调递减的是（ ）A ．y x =-B ．2y x -=C ．1y x -=D ．2y x =22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数()f x 的图象经过点(8,，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ³时，()2f x ³D ．当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø三、填空题23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()()2732351t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+¥上为增函数，则函数解析式为 ．24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若()f x 是幂函数，且()124f =，则13f æö=ç÷èø25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数()f x ，条件：①()f x 是偶函数；②()f x 为()0,¥+上的减函数．则()f x =．26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数()f x 的图象过点()3,3和()m,2，则实数m ＝ .27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()21N nn y x n ++=Î的图像一定经过第象限28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是．29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数()()222m f x m m x =--满足()()23f f <，则m = .30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数()()22221m m f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数()()231m f x m m x =++在第一象限单调递减，则()f m = .32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数()()21m f x m m x =+-是幂函数，且在()0,¥+上是增函数，则实数m 的值为 ．33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数()y f x =的图像过点(9,3)，则(2)f 的值为．34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数f (x )=(m 2−2m−2)x 2m−1在()0,¥+上为减函数，则m 的值为 .35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为 .36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数1101 ()f x x æö=ç÷èø，若f (a−1)<f (8−2a )，则a 的取值范围是.37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ．38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数()()226633m m f x m m x-+=-+在()0,¥+上单调递减，则m 的值为 ．四、解答题39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1,22æöç÷èø．(1)求()f x 的解析式，并指明函数()f x 的定义域；(2)设函数()()g x x f x =+，用单调性的定义证明()g x 在()1,+¥单调递增．40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)()32--，()32.5--；(2)788--，7819æö-ç÷èø；(3)3412æöç÷èø，3415æöç÷èø，1412æöç÷èø．41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式()()2233131x x ->+的解.42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数()223mm f x x --=（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上是严格减函数，求满足()()33132mma a --+>-的实数a 的取值范围．43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)kg x f x k x =+Î．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k £，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+¥上恒成立，求k 的取值范围．44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-Î在()0,¥+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数()()25af x a a x =+-为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若正数,m n 满足31250m n a ++=，若不等式91b m n+³恒成立．求b 的最大值．46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数()()215m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)若函数()()g x f x =-()g x 的单调递增区间.。
高一数学必修一幂函数及基本初等函数综合
幂函数及基本初等函数综合教学目标1、掌握幂函数的概念及图形特征；2、熟悉函数图象与性质的应用。
知识梳理1、幂函数的概念一般地，我们把形如a xy=的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。
注意：（1)幂函数a xaay x且中，底数是y=的底数是自变量，指数是常数与指数函数)1=a,0(≠>常数，指数是自变量。
（2）只有形如a xy a+=（a是不为y=的函数才是幂函数，否则不是。
例如：axy=，aaxy=0，1的常数）。
a xy=中的a是任意实数。
（3）幂函数a xy=的定义域由a决定。
（4）幂函数a x2、幂函数的图像3、幂函数作图技巧y=在第一象限内的图像；（1）作出幂函数a xy=的定义域，左边是否有图像；（2）判断幂函数a x（3）若左边有图像，判断奇偶性，作出左边图像。
4、基本初等函数的综合应用知识点1：幂函数的概念【例1】下列函数中不是幂函数的是【 】x y = B.3x y = C.x y 22= D.1-=x y【例2】函数112)22(--+=m xm m y 是幂函数，则m =________。
【随堂练习】1、下面的函数中是幂函数的是___________。
① 22+=x y ； ②21x y = ； ③32x y =； ④43xy =； ⑤131+=x y ．2、已知)32().22(1122-+-+=-n x m m y m 是幂函数，求m 、n 的值。
知识点2：幂函数的解析式【例1】已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,2(，则=)(x f ________。
【例2】如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于【 】 A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【例3】已知幂函数αkx x f =)(),(R R k ∈∈α的图像过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，则k α+=【 】 A ．12 B ．1 C ．32D ．2【随堂练习】1、若幂函数)(x f 的图像经过点)22,2(,则=)9(f ______。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，解得．【考点】幂函数的解析式．2.计算等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】。
故选B。
【考点】指数幂的运算点评：本题运用指数幂的运算公式：，。
3.已知幂函数的图象过点 .【答案】3【解析】幂函数形式为，其过点，则，求得，。
【考点】幂函数点评：幂函数的形式是。
本题需先确定幂函数的解析式。
4.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。
【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。
点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。
5.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值。
【答案】【解析】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有，解得，——————————5’①当是的单调递减区间，————————7’②当，解得——————————9’③，解得————————11’综合①②③可知————————12’【考点】幂函数与二次函数点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。
6.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。
点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。
同时对数真数大于零是易忽略点。
7.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（）A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞）C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞)【答案】A【解析】因为幂函数过点(2, ),所以=，即。
高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数
幂函数之迟辟智美创作【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．2．罕见幂函数的图象与性质解析式y ＝xy ＝x2y ＝x3y ＝1xy ＝12x图象界说域 R R R {x|x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数 奇函数奇函数 非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递加，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递加，在(0，＋∞)上单调递加在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有界说，而且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，而且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地迫近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地迫近x轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3 D．4(2)已知幂函数y＝()22231m mm m x----，求此幂函数的解析式，并指出界说域．(1)[解析]②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量自己，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[谜底]B(2)[解]∵y＝()22231m mm m x----为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3，{x|x≠0}或y＝x0，{x|x≠0}．【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝()223m m x+---是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，1m mf(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的界说得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x 在第一象限的年夜致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝m x 与y ＝n x 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决法子，在(0,1)内取x0，作直线x ＝x0，与各图象有交点，则“点低指数年夜”．如图，0<m<1，n<－1.[谜底](1)B(2)B【类题通法】解决幂函数图象问题应掌控的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数年夜小，相关结论为：在(0,1)上，指数越年夜，幂函数图象越靠近x轴(简记为指年夜图低)；在(1，＋∞)上，指数越年夜，幂函数图象越远离x轴(简记为指年夜图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的年夜小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝12x或y＝x3)来判断．【对点训练】已知函数y＝a x，y＝b x，y＝c x的图象如图所示，则a，b，c的年夜小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：选A由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数年夜的幂函数的函数值就年夜，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比力年夜小【例3】 比力下列各组数中两个数的年夜小．(1)0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)3423⎛⎫ ⎪⎝⎭与2334⎛⎫ ⎪⎝⎭.[解] (1)∵幂函数y ＝0.5x 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.513⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)∵幂函数y ＝1x -在(－∞，0)上是单调递加的，又－23<－35，∴123-⎛⎫- ⎪⎝⎭>135-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)∵函数y1＝23x⎛⎫⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23，∴2323⎛⎫ ⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭.又∵函数y2＝23x 在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴2334⎛⎫ ⎪⎝⎭>2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2334⎛⎫ ⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭.【类题通法】比力幂值年夜小的方法(1)若指数相同，底数分歧，则考虑幂函数；(2)若指数分歧，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都分歧，则考虑拔出中间数，使这个数的底数与所比力数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比力的两数之间，进而比力年夜小．【对点训练】比力下列各题中两个幂的值的年夜小：(1)342.3，34 2.4；(2)32- ，32- ；(3)()650.31-，65 0.35.解：(1)∵y＝34x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴342.3<34 2.4.(2)∵y＝32x- 为(0，＋∞)∴32- >32- .(3)∵y＝65x为R上的偶函数，∴()650.31-＝65 0.31.又函数y＝65x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴650.31<650.35，即()650.31-<650.35.【练习反馈】1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不成能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝n x 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；⑤幂函数y ＝n x 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增年夜而减小．正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③D ．②⑤解析：选D y ＝x －1不外(0,0)点，∴①毛病，排除A ；当n ＝0时，y ＝n x 的图象为两条射线，③毛病，排除C ；y ＝x2不是增函数，④毛病，排除B ；因此谜底选D.3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝________.解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝12，即f(x)＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4.谜底：4．函数f(x)＝()22231mm m m x +--+是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.解析：由m2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m2＋2m －3<0检验，得m ＝0.谜底：05．比力下列各题中两个幂的值的年夜小：(1)121.1，120.9；(2)121.1- ，120.9- ；(3)343- ，3412⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)∵y ＝12x 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴121.1>120.9.(2)∵y ＝12x - 为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9， ∴121.1- <120.9- .(3)∵343- ＝3413⎛⎫⎪⎝⎭，函数y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，∴3413⎛⎫ ⎪⎝⎭<3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，即343- <3412⎛⎫⎪⎝⎭.。
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幂函数【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y＝x 叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1x y＝12x图象定义域R R R {x|x≠0}[0，＋∞)值域R [0，＋∞)R {y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝()22231m m m m x----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝()22231m m m m x----为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝()2231m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3.题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝mx 与y ＝nx 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n<0<m<1 B ．n<－1,0<m<1 C ．－1<n<0，m>1 D ．n<－1，m>1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.[答案] (1)B (2)B 【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝12x 或y ＝x 3)来判断．【对点训练】已知函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c<b<aB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫⎪⎝⎭； (2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)3423⎛⎫⎪⎝⎭与2334⎛⎫ ⎪⎝⎭. [解] (1)∵幂函数y ＝0.5x 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.513⎛⎫⎪⎝⎭. (2)∵幂函数y ＝1x -在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴123-⎛⎫- ⎪⎝⎭>135-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)∵函数y 1＝23x⎛⎫⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴2334⎛⎫⎪⎝⎭>2323⎛⎫⎪⎝⎭，∴2334⎛⎫⎪⎝⎭>3423⎛⎫⎪⎝⎭.【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)342.3，342.4；(2)32- ，32- ；(3)()6 50.31 -，65 0.35.解：(1)∵y＝34x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴342.3<342.4.(2)∵y＝32x- 为(0，＋∞)∴32- >32- .(3)∵y＝65x为R上的偶函数，∴()650.31-＝650.31.又函数y＝65x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴650.31<650.35，即()650.31-<650.35.【练习反馈】1．下列函数是幂函数的是()A．y＝2x B．y＝2x－1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y 解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝nx 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；⑤幂函数y ＝nx 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：选D y ＝x－1不过(0,0)点，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝nx 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝12，即f(x)＝12x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4.答案：44．函数f(x)＝()22231m m m m x +--+是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：05．比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)121.1，120.9；(2)121.1- ，120.9- ；(3)343- ，3412⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)∵y ＝12x 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴121.1>120.9. (2)∵y ＝12x - 为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9，∴121.1- <120.9- .(3)∵343- ＝3413⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，∴3413⎛⎫ ⎪⎝⎭<3412⎛⎫⎪⎝⎭，即343- <3412⎛⎫ ⎪⎝⎭.。