电子科技大学-量子力学论文 【建立薛定谔方程有哪些方法】
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
薛定谔方程
经典力学与量子力学的比较 经典力学
量子力学
研究对象
宏观物体，在一 具有波粒二象性 定条件下可看成 的微观粒子 质点
运动状态描写 坐标（x,y,z） 动量（p）
波函数ψ(x,y,z,t) |ψ(x,y,z,t)|2代表 时刻t在空间某 处的几率。
运动方程即状态 随时间变化规律
牛顿方程
薛定谔方程
三、一维无限深势阱
图3.2.1 无限深势阱
(3.2.3)
(3.2.4)
式中，A，δ为待定常数，为确定A与δ之值，利用ψ的边界条 件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能透过势阱，要求在 阱壁及阱外波函数为零，即
即
上式舍去了n=0和n为负值的情况
(3.2.5)
这个结果表明，粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。 又由归一化条件
二、定态薛定谔方程
在势能V不显含时间的问题中，薛定谔方程可以用一种 分离变数的方法求其特解，令特解表为
代入下式，并把坐标函数和时间函数分列于等号两边：
令这常数为E，有
（10）
于是波函数ψ(r,t)可 以写成
与自由粒子的波函数比较，可知上式中的常数E就是能量， 具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几 率密度｜ψ(r,t)｜2=｜ψ(r)｜2与时间无关。另一方面， (10) 式右边也等于E，故有
把(1)对t取一阶偏微商 如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ，即得
（2） （3）
（4） （5）
把(3)和(4)代入(5)
得到一个自由粒子的薛定谔方程。 对于一个处在力场中的非 自由粒子，它的总能量等于 动能加势能
两边乘以ψ
自由粒子的薛定 谔方程可以按此式 推广成
量子力学的核心——薛定谔方程
量子力学的核心——薛定谔方程在日常生活中，利用牛顿定律我们就可以描述各种运动。
但是，当物理学家想要探索微观世界，比如电子围绕着原子核运动，他们发现事情变得异常诡异，而牛顿定律也不再适用。
要想要描述微观世界就必须运用量子力学，该理论在20世纪初发展起来。
而量子力学的核心方程就是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。
也许你没见过薛定谔方程，但是你或许听过他那只举世闻名的猫，因为薛定谔猫同时处于死和活的叠加态。
不过今天的主要目的是要让你们理解薛定谔方程，因此我首先要从波和粒子开始说起。
薛定谔（1887 - 1961）。
【波与粒子】在经典力学中，我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。
举个例子，在一个桌上有许多的台球，如果你知道每个球在某个时刻 t 的位置和动量（即质量乘以速度），那么你就知道该系统在t 的一切：球的位置，以及它们移动的方向和速度。
因此我们可以问，如果我们知道一个系统的初始条件，即该系统在时间t₀的状态，那么这个系统的动态如何演化？利用牛顿第二定律我们就可以回答这个问题。
在量子力学中，我们问同样的问题，但是答案更加的巧妙，因为位置和动量已不再是描述该系统的合适变量。
爱因斯坦提出的光电效应。
（© Hyperphysics）问题的关键在于，发生在微观尺度下事物的行为与桌球的行为不同。
举个例子，牛顿认为，光是由微粒构成的，但是，之后许多其它科学家的通过实验表明光的行为像波动。
但是，爱因斯坦在1905年发现，波动学说也并不是完全正确的。
为了解释所谓的光电效应，你需要把一束光想象成一束粒子流，爱因斯坦称之为光子。
光子的数量正比于光的强度，每个光子的能量 E 与它的频率 f 成正比：普朗克常数h = 6.626068×10⁻³⁴m²kg/s，这个非常小的数字是由普朗克在1900年对黑体辐射研究时提出来的。
现在我们面对的问题是有时光的行为像粒子，而有时它的性质像波。
量子力学-薛定谔方程
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2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d
dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以
J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p
i
量子力学中的薛定谔方程解析
量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。
其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。
二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。
下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。
它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。
2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。
该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。
3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。
该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。
4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。
通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。
三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。
在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。
在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。
在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它的理论基础就是薛定谔方程。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是量子力学的核心方程之一。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念、数学表达及其在量子力学中的重要意义。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程描述的是微观粒子的运动状态和行为规律。
它是在三维空间中描述波函数（ψ）随时间演化的偏微分方程。
薛定谔方程的形式可以如下所示：Ĥψ = Eψ，其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是对应的能量本征值。
薛定谔方程中的哈密顿算符代表了粒子的总能量运算符。
它的形式为：Ĥ = -（h²/2m）∇² + V(x)，其中，h是普朗克常量，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(x)是粒子所受势场的势能函数。
二、薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要使用数学上的一些工具和方法。
我们先来看一维情况下的薛定谔方程：-（h²/2m）d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，x代表粒子的位置坐标。
要得到波函数ψ(x)的解，可以采用变分法、数值计算或者一些特殊情况下的解析求解方法。
对于多维情况，如三维空间中的薛定谔方程，形式如下：-（h²/2m）∇²ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)。
解一维薛定谔方程可以得到单粒子的波函数，而解三维薛定谔方程则可以得到多粒子的复合波函数。
三、薛定谔方程的重要意义薛定谔方程是量子力学的基石，它揭示了微观粒子的波粒二象性和不确定性原理。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能级、概率密度分布和运动轨迹等物理量。
薛定谔方程还能描述量子力学中的一些奇特现象，例如原子和分子的能级结构、粒子在势阱中的驻波现象、量子隧穿效应等。
量子力学中的薛定谔方程和量子力学
薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。
量子物理学09-薛定谔方程20210227(1)
( )= − ⋅ψ ⎣ 薛定谔方程（Schrödinger Equation）在量子力学中的地位，就像牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程组之于电磁学一样，是最基本的方程。
一、薛定谔方程的建立考虑一个仅在 x 轴运动的自由粒子，其波函数为i (p ⋅x −E ⋅t )ψ(x ,t )=ψ0 ⋅e ℏx将波函数对时间 t 进行微分，得∂ψ(x ,t ) = − iE ⋅ψ(x ,t ) ∂t ℏ定义Eˆ ≡ i ℏ ∂ ∂tE ⋅ψ(x ,t )= i ℏ ∂ψ(x ,t ) ∂t 为能量算符。
同理，将波函数对位置 x 进行微分，得 ∂ψ(x ,t ) = ip ⋅ψ(x ,t ) ∂x ℏ x定义 p ˆ≡ −i ℏ ∂为动量算符。
p ⋅ψ(x ,t )= −i ℏ ∂ψ(x ,t ) x∂xx∂xp2根据狭义相对论，自由粒子的能量和动量的关系为E = x ，将其代入波函数对位置 x 的2m二阶微分表达式 ∂2ψ(x ,t ) ∂x 2p 2 xx ,t ，得 ℏ2− ℏ ⋅ ∂2ψ(x ,t ) =⋅ψ( )即自由粒子的薛定谔方程2m ∂x 2 E x ,t i ℏ ∂ ψ(x ,t )= − ℏ ⋅ ∂ 2ψ(x ,t ) ∂t 2m ∂x 2把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为U (x ,t )，粒子的能量为 = p2+ ( )E x2m U x ,t ，则薛定谔方程变为 ∂ψ(x ,t ) = ⋅ψ( ) ⎡ℏ2⋅ ∂2 +( )⎤( )i ℏ ∂tˆℏ2 ∂2E x ,t = ⎢− 2m ∂x 2 U x ,t ⎥ψx ,t ⎦令H = −2m ⋅ ∂x 2+U (x ,t )，称为哈密顿算符（Hamilton Operator ），则 i ℏ ∂ ψ(x ,t )= H ˆψ(x ,t ) ∂t称为含时薛定谔方程。
�推广到三维势场U (r ,t )中，2m ⎜ ∂ 2x ∂ 2 ⎟z r ,t rr r r ⎧ 2 ∂p 2 + p 2 + p 2 �E = x y z+U (r ,t )2m ˆℏ2 ⎛ ∂2 ∂2∂2 ⎞ � H = − ⎜ ⎝ 在矢量分析中，Nabla 算符为+ ∂y 2 + ⎟ +U (r ,t ) ⎠∇ =∂ �∂ �∂ �代入哈密顿算符，得∂x a x + ∂y a y + ∂z a zH ˆ = − ℏ ∇2 +U (� )薛定谔方程的形式仍保持不变，为 2m i ℏ ∂ ψ(�)= Hˆψ(� ) ∂tr ,tr ,t 需要注意的是，薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的， 是否正确则由实验结果检验。
薛定谔方程及其简单应用
（3）几率密度
粒子在势阱中的概率密度：
| (x) |2 2 sin2 n x
aa
n 很大时，相邻波腹靠得 很近，接近经典力学各处概 率相同。
一维无限深方势阱中 粒子的能级、波函数
(x)
4 x
E4
3 x
E3
2 x
E2
1x E1
n+1个
o
x a 节点
23
稳定的驻波能级
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
根据波函数的标准化条件，在边界上：
(0) 0, (a) 0
18
代入方程，得： (0) Asin 0 B cos0 0 (a) Asin(ka) Bcos(ka) 0
由此可得： B 0
Asin ka 0
若取A=0，则=0，表示粒子不在势阱出现，这违反 粒子在势阱内运动的已知条件，
n 4
| |2
4
16 E1
3
n 3
9E1
n 2
n 1 0
2
1
a/2 a 0 a/2
4E1 E1 a Ep 0
对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子
出现的几率是不同的。 24
经典理论中，处于无限 深方势阱中粒子的能量为连 续值，粒子在阱内运动不受 限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率
密度的峰值增多，当 n
2-1
薛定谔方程及 其简单应用
1
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。 薛定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人 之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭 的放射性等方面的研究都有很大成就。
薛定谔方程是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起 来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔 方程的量子力学波动方程。
量子力学——薛定谔方程
U（r） 力F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
非定域性：
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
该满足以下三个条件：
• (1)单值性；
• (2)有限性；
• (3)连续性。
• 连续性通常意味着
和
都连续，
但在势能有无穷大跳跃的地方，
允许不连续。
§2.3 一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
二阶常微分方程，容易求解 它的解有如下的规律
Wronskian定理
•若 能量相同)，则
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波 函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非 简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函 数的个数称为它的简并度。
线性独立的定义：对常数c1，c2
一维束缚态不简并定理
• 定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。
都是方程的解(
( c 是与 x 无关的常数)，
称为Wronskian定理。
Wronskian定理的证明
证明：定态方程的两个解满足
另外两个定理
• 共轭定理：若 的解，则
能量E相同)。
是定态行薛定谔程 也是该方程的解(且
• 反射定理：对 势)，那么若
(原点对称的 是该方程的解，则
也是该方程的解(且能量E相同)。
量子力学中的薛定谔方程求解方法
量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。
本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。
首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。
定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。
对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。
对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。
常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。
分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。
该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。
通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。
这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。
近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。
当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。
常见的近似方法有微扰法和变分法。
微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。
变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。
这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。
除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。
时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。
对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。
但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。
数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。
建立薛定谔方程的方法
建立薛定谔方程的方法摘要:薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程.关键词:量子力学波函数薛定谔方程引言:薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,ψ,质量为m 的微是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r,U,中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足观粒子在势场()t rψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r,U与时间无关而只是坐标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中当势能()r()rψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为ψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是本征值,是定态能量()r单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程.由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)方程是线性的.薛定谔方程的建立用微分发建立薛定谔方程建立过程:自由粒子波函数所满足的方程推广到一般. 自由粒子的波函数为平面波 )(t r Et r p h i Ae-→→→=），（φ ①对时间求偏微商: hEt r p i t )(--=∂∂→→φ ② 对坐标求二次偏微商: φφφ22)(2222h p e h Ap x z p y p x p h i x z y x -=-=∂∂++ ③同理得: φφφ2222h p y -=∂∂ , φφ2222h p z z -=∂∂ ④将以上三式相加:ψ=ψ∇=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂222222222- p z y x , ⑤利用自由粒子的能量和动量的关系,我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程: φμφ222∇-=∂∂h t ih ⑥上式中劈形算符:zk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ ,2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇•∇=∇ ⑦ 如存在势能()r U ,能量和动量的关系是: )(22r U p E +=μ⑧ 波函数应满足的微分方程是;φφμφ)(222r U h t ih +∇-=∂∂ ⑨ 这个方程称为薛定谔方程.由建立过程可以看出,只需对能量动量关系进行如下代换: tih E ∂∂→ , ∇-→→ih p就可得到薛定谔方程. 用类比法建立薛定谔方程几何光学和波动光学这两种光学理论分别是建立在光的微粒说和波动说基础上的. 早在19 世纪, 哈密顿根据几何光学中费马原理的数学表达式0ds ==Θ⎰BAK δδ和经典力学中哈密顿原理的数学表达式⎰==B A dt 0s δδ相似, 曾经提出经典力学和几何光学存在着某种相似性.在研究几何光学和波动光学的关系时, 如果波长无限短, 即在 →0 的条件下, 波动光学就会过渡到几何光学; 在量子力学研究中, 如果忽略量子效应, 即在 →0 的条件下,量子力学就会过渡成为经典力学. 如果把几何光学与经典力学之间的相似性和波动光学与几何光学、量子力学与经典力学之间的过渡关系进行类比, 用图表示为从类比图我们可以看出, 量子力学的波动方程和波动光学的波动方程在数学表达式上是相似的.在波动光学中, 光波的两个重要方程是01-2222=∂∂∇f u f (1)()iwt e r f - Φ=(2)将( 2) 代入( 1), 得 022=ψ+Φ∇k (3) 其中波矢的大小uw k =. 同样道理, 在量子力学中, 波函数的表达式应与( 2) 式相似, 记为:()()()()t E i iwt e r e r t r --,ψ=ψ=ψ(4) 如果能量不随时间变化, 则波函数的空间部分()r ψ所满足的波动方程也应与( 3) 相似, 记为0Ψ22=ψ+∇k(5) 其中波矢的大小为()U E m P k -==2,代入( 5) 式, 得 0U)-(E 22=ψ+ψ∇ m 或ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇E U m 222- (6) 上式则是定态薛定谔方程. 如果我们知道势能()r U 的具体形式, 通过解方程即可求出定态波函数()r ψ和粒子的能量E .如果方程(6)两端同乘以()t E iw e -, 则方程变为ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇=ψU m E 222-(7) 由( 4) 式可得 ()ψ=ψ=∂ψ∂-E e E i t E i 将上式代入(7) 式左边, 得ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=∂ψ∂U m i 222 （8） 这就是薛定谔方程的一般形式. 对于自由粒子来说, 它不受保守力场的作用, 即U = 0, 则自由粒子的定态薛定谔方程为ψ=ψ∇E m 222- (9)自由粒子薛定谔方程的一般形式为ψ∇=∂ψ∂222-m i (10)由此可见, 利用类比的方法也可以建立起薛定谔方程, 它与用微分的方法来建立方程所得的结果是一致的. 主要是通过逻辑思维对经典力学、几何力学、波动光学、量子力学的相似之处及过渡关系进行比较, 得出量子力学的波动方程与光波的波动方程相似,以此作为基础而建立起薛定谔方程的. 需要注意的是, 薛定谔方程是实验的综合,不是推导和证明出来的, 薛定谔方程的正确性是靠它与大量实验相符合而得以证实的.实验验证薛定愕方程建立半个多世纪以来一直为人们所承认和接受并得到长远发展.那么其基本假设和由此而建立的方程的实验基础是什么?它经受住了一些什么样的实验检验呢?微观粒子的波粒二象性即德布罗意物质波的革命性假设及其实验被证实是薛定愕方程的实验基础和理论基础.整个十九世纪物理学在对光的研究中首先发现了光的波动特性,在这方面有大量的实验事实可查.如扬氏双缝干涉实验,菲涅耳双棱镜干涉实验,牛顿环干涉实验,菲涅耳圆孔衍射实验等.薛定愕方程的建立有着广泛的实验基础,但实验对方程的建立不是直接的,即方程不是大量实验结果的直接总结,因此方程还必须进一步接受实验的检验.那么薛定愕方程建立之后它经受住了一些什么样的实验检验了呢？ 这里略举几例:从薛定愕方程得到的结果与实验结果相符的事例还不止这些,但是从上述事例中,我们可充分看到薛定愕方程建立后,众多的实验结果为其正确性提供了坚实的实验基础.结论:薛定谔方程可由微分法和类比法建立,且经检验,薛定谔方程是正确的,即:(1) 从这个方程得到了谐振子的能级和定态波函数,结果与海森伯的矩阵力学所得相同.(2) 从这个方程得到的解正是氢原子的能级公式.(3) 该方程处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题.(4) 从这个方程可计算出里德伯常数,结果与实验相符合.(5) 利用这个方程含时间的微扰理论,解决色散等问题.原子的稳定性问题.参考文献[1] 杨亚培张晓霞光电物理基础.电子科技大学出版社 2009 14-28[2] [日] 中岛贞雄. 最子力学(上) [M] . 北京: 北京师范大学出版社,1989.[3] 张怿慈. 量子力学简明教程[M] . 北京: 人民教育出版社, 1979.[4] 曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,2007.1.26-28.[5] 汪德新.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.100-105.[6] 郭奕玲.物理学史2版[M].北京:清华大学出版社,2005.8.45-49.[7] 张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.35-78.[8] 钱伯初.量子力学[M].北京:高等教育出版社,2006.1.254-259.[9] 门福殿.量子力学.[M].北京中国石油大学出版社,2005.5.12-18.[10] 孙利平.打开物质微观世界大门的金钥匙-薛定谔方程[J]长沙大学学报第18卷第4期2004年12月.[11] 梁辉.从薛定谔方程谈量子力学与经典物理的区别[J]安徽技术师范学院学报2003,17( 1):70-71.。
《原子物理与量子力学》第3章 薛定谔方程的建立
请回忆一下，光波波长和频率的关系：
c /
其中c是光速，而光的静止质量为零，则 E mc 2 pc 。
由上述爱因斯坦关系，得到光的波长与动量或波矢量大小之
间的关系
p h k
微观粒子的波粒二象性
上述表达式仅对于光才适合吗？答案是否定的。 德布罗意的物质波假设：一切实物粒子都具有波动性 德布罗意关系：与粒子相联系的物质波的波长
量子力学中的许多问题都是求解体系的力学量算符的本征方程。 找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值。 本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值 条件造成）。
能量本征方程
不随时间变化的经典哈密顿算符
哈密顿算符
能量本征方程：
即 不含时间变量t，称为定态薛定谔方程，实际上是哈密顿算符
(2)
t
2m
由 * (1) (2) ，得
对上式在封闭空间 内积分，根据Gauss定理，得到
引人两个量：
——————概率密度 ——————概率流密度矢量
引进两个重要的物理量：概率密度和概率流密度
其中，Im表示取复数的虚部，则得
此式即为定域粒子的概率守恒方程的积分形式，又称粒子数 守恒定律。
自此，有了多粒子体系的薛定谔方程，加上初始条件和 边界条件，原则上可以求解出波函数和体系的能量。但 能得到精确解析解的问题非常少，大多数问题需要借助 计算机求解。后续的章节针对一些简单的体系或常见的 量子力学问题开展进一步的学习和研究。
关于薛定谔方程的讨论
如果已知粒子质量m及势函数V的具体形式,则可以写出 具体的薛定谔方程。这是一个二阶偏微分方程，若给定初 始条件和边界条件即可求解。 薛定谔方程是建立，不是导出，薛定谔方程是量子力学 的一个基本假设，是否正确，由实验检验。 薛定谔方程的适用范围：非相对论情况。
薛定谔方程建立思路
薛定谔方程建立思路
薛定谔方程建立的思路主要包括以下过程：
首先，量子力学的基本假设是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出粒子的特征，也可以表现出波的特征。
因此，我们需要建立一种既能描述粒子又能描述波的数学形式。
其次，我们首先定义一个波函数，这个波函数表示了微观粒子的状态。
如果我们能将波函数表示出来，那么就可以推导出微观粒子的一系列物理量，如位置、动量和能量等。
接着，我们需要根据物理规律建立微观粒子的运动方程，这个方程表达了微观粒子的演化规律。
这个方程需要满足以下几点要求：一是能够描述波粒二象性，二是符合量子力学的统计规律，三是能够解释一系列实验现象。
最终，通过求解这个方程，我们可以得到微观粒子波函数的演化规律，从而得到微观粒子的位置、动量和能量等物理量。
这个方程就是薛定谔方程。
总的来说，薛定谔方程的建立思路是从量子力学基本假设出发，通过建立宏观物理规律与微观物理规律之间的关系，得到描述微观粒子运动的方程。
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。
薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。
”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。
由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。
“正是这个准备过程使他进步了。
作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.”薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。
他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。
他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。
薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。
薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++∆ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本征值自然而然地出现了。
薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔方程在低速微观领域是十分正确的。
波动方程的建立标志了波动力学的诞生。
第三章 薛定谔方程的建立
Atomic physics and quantum mechanics
11
一 自由粒子薛定谔方程的建立 二 推广的薛定谔方程及其性质
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
17
薛定谔方程在量子力学中的地位虽与牛顿第二定律 在经典物理中的地位相当，但它与牛顿第二定律有 着本质的不同，与经典波动方程也不一样。 薛定谔方程式具有波粒二象性的微观粒子运动所遵 循的规律。 薛定谔方程的提出，深刻地揭示了原子世界中物质 的运动规律。对于原子的稳定性，物质的微观结构 等一系列物理和化学问题，提供了系统的、定量的 处理方法和理论。 除了物质的磁性和相对论效应以外，薛定谔方程对 所有原子问题原则上都能解决。
2
∫
全
ψ (r, t ) dτ = 1
2
波函数满足三个标准条件：有界性、连续性和单值性。
Atomic physics and quantum mechanics
9
二 态的叠加原理 态叠加原理： ψ 若 ψ 1、 2 为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线
性叠加态 ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2 表示粒子既可能处于 ψ 1 态又可能
多粒子体系的薛定谔方程
∂ i ψ (r1 , r2 , ∂t
2 ⎡N ⎛ ⎞ 2 , rN , t ) = ⎢ ∑ ⎜ − ∇ i + U i (ri ) ⎟ + V (r1 , r2 , ⎠ ⎣ i =1 ⎝ 2mi
⎤ , rN ) ⎥ψ (r1 , r2 , ⎦
3.3 薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1910年博士毕业 1921年苏黎世大学数学教授 1926年, 薛定谔在瑞士联邦工业大学物理讨 论会上介绍德布罗意波后, 德拜：“有了波 就应该有一个波动方程。”
几周后，薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛定谔方程，从而建立了描述微观粒子运动规律的学科— 量子力学。
x,t Ae
微分,得到方程
i E
t
i p
x
2
x2
p2
2
非相对论情况下：
i E t
i
x
px
2
2 x2
p
2 x
替换关系
E
p
2 x
2m
2
2 x2
px2
i E t
i
t
2 2m
2 x 2
对自由粒子成立，作用在波函数上才有意义！
令其作用于波函数 (x, t)上，则得到自由粒子波函数
一. 自由粒子薛定谔方程的建立
薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办法得到的，开始 只不过是一个假定，尔后为实验证实。a. 与Fra bibliotek典波的波动方程类比
经典波函数
经典波动微分方程
Acos(t x)
u
2 1 2
x2 u2 t 2
b. 沿x轴运动的质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子的波函数
i Et px
2 y 2
2 z 2
写为
i
(r,t) [
2
2 U (r,t)] (r,t)
t
2m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，是量子力学 的基本假设。
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建立薛定谔方程有哪些方法姓名:*** 学号:**********班级:（二班）联系电话:**************中文摘要:薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程.关键词:量子力学波函数薛定谔方程1 引言薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r,U,中运动的薛定谔方程为在给定初ψ,质量为m 的微观粒子在势场()t r始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r,U与时间无关而只是坐ψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.当势能()r标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中()rψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量()rψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程.由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)方程是线性的.2 薛定谔方程的建立1 问题提出1924 年,路易·德布罗意提出一个惊人的假设,每一种粒子都具有波粒二象性.电子也 有这种性质.电子是一种波动,是电子波.电子的能量与动量决定了它的物质波的频率 与波数. 1927 年, 克林顿· 戴维孙和雷斯特· 革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶. 然后,测量反射的强度,侦测结果与 X 射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同.戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说.薛定谔夜以继日地思考这些先进理论,既然粒子具有波粒二象性,应该会有一个反应这特性的波动方程,能够正确地描述粒子的量子行为.薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程.2 方程的建立2. 1 用微分方法建立薛定谔方程建立过程:自由粒子波函数所满足的方程推广到一般.自由粒子的波函数为平面波 )(t r Et r p h i Ae -→→→=），（φ ①对时间求偏微商: h Et r p i t )(--=∂∂→→φ ②对坐标求二次偏微商: φφφ22)(2222h p e h Ap x z p y p x p h i x z y x -=-=∂∂++ ③同理得: φφφ2222h p y -=∂∂ , φφ2222h p z z -=∂∂ ④将以上三式相加:ψ=ψ∇=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂222222222- p z y x , ⑤利用自由粒子的能量和动量的关系,我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程:φμφ222∇-=∂∂h t ih ⑥上式中劈形算符:z k y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ ,2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙∇=∇ ⑦ 如存在势能()r U ,能量和动量的关系是: )(22r U p E +=μ⑧ 波函数应满足的微分方程是;φφμφ)(222r U h t ih +∇-=∂∂ ⑨这个方程称为薛定谔方程.由建立过程可以看出,只需对能量动量关系进行如下代换:tih E ∂∂→ , ∇-→→ih p 就可得到薛定谔方程.2.2 用类比方法建立薛定谔方程 几何光学和波动光学这两种光学理论分别是建立在光的微粒说和波动说基础上的. 早在19 世纪, 哈密顿根据几何光学中费马原理的数学表达式0ds ==Θ⎰B A K δδ和经典力学中哈密顿原理的数学表达式⎰==BAdt 0s δδ相似, 曾经提出经典力学和几何光学存在着某种相似性.在研究几何光学和波动光学的关系时, 如果波长无限短, 即在 →0 的条件下, 波动光学就会过渡到几何光学; 在量子力学研究中, 如果忽略量子效应, 即在 →0 的条件下,量子力学就会过渡成为经典力学. 如果把几何光学与经典力学之间的相似性和波动光学与几何光学、量子力学与经典力学之间的过渡关系进行类比,用图表示为从类比图我们可以看出, 量子力学的波动方程和波动光学的波动方程在数学表达式上是相似的.在波动光学中, 光波的两个重要方程是01-2222=∂∂∇f u f(1) ()iwt e r f - Φ=(2)将( 2) 代入( 1), 得 022=ψ+Φ∇k (3) 其中波矢的大小uw k =. 同样道理, 在量子力学中, 波函数的表达式应与( 2) 式相似, 记为:()()()()t E i iwt e r e r t r --,ψ=ψ=ψ (4)如果能量不随时间变化, 则波函数的空间部分()r ψ所满足的波动方程也应与( 3) 相似, 记为0Ψ22=ψ+∇k(5) 其中波矢的大小为() U E m P k -==2,代入( 5) 式, 得 0U)-(E 22=ψ+ψ∇ m 或ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇E U m 222- (6)上式则是定态薛定谔方程. 如果我们知道势能()r U 的具体形式, 通过解方程即可求出定态波函数()r ψ和粒子的能量E .如果方程(6)两端同乘以()t E iw e -, 则方程变为ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇=ψU m E 222-(7) 由( 4) 式可得 ()ψ=ψ=∂ψ∂-E e E i t E i 将上式代入(7) 式左边, 得ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=∂ψ∂U m i 222 （8）这就是薛定谔方程的一般形式. 对于自由粒子来说, 它不受保守力场的作用,即U = 0, 则自由粒子的定态薛定谔方程为ψ=ψ∇E m222- (9) 自由粒子薛定谔方程的一般形式为ψ∇=∂ψ∂222-m i (10)由此可见, 利用类比的方法也可以建立起薛定谔方程, 它与用微分的方法来建立方程所得的结果是一致的. 主要是通过逻辑思维对经典力学、几何力学、波动光学、量子力学的相似之处及过渡关系进行比较, 得出量子力学的波动方程与光波的波动方程相似,以此作为基础而建立起薛定谔方程的. 需要注意的是, 薛定谔方程是实验的综合,不是推导和证明出来的, 薛定谔方程的正确性是靠它与大量实验相符合而得以证实的.3 实验验证薛定愕方程建立半个多世纪以来一直为人们所承认和接受并得到长远发展.那么其基本假设和由此而建立的方程的实验基础是什么?它经受住了一些什么样的实验检验呢?微观粒子的波粒二象性即德布罗意物质波的革命性假设及其实验被证实是薛定愕方程的实验基础和理论基础.整个十九世纪物理学在对光的研究中首先发现了光的波动特性,在这方面有大量的实验事实可查.如扬氏双缝干涉实验,菲涅耳双棱镜干涉实验,牛顿环干涉实验,菲涅耳圆孔衍射实验等.薛定愕方程的建立有着广泛的实验基础,但实验对方程的建立不是直接的,即方程不是大量实验结果的直接总结,因此方程还必须进一步接受实验的检验.那么薛定愕方程建立之后它经受住了一些什么样的实验检验了呢？ 这里略举几例:方程的解实验结果 谐振子零点能:hv 21=E O 存在（低温超流实验验证） 氢原子能量本征值:2242n ue E n =,n=1,2,... 氢原子光谱的规律性已证实氢光谱具有分离的谱线氢原子电离能: ev ue E 61.162241==-ev E 6.131=- 里德伯常数: 1-341.109737314米==c e R πμ-110973731米=R从薛定愕方程得到的结果与实验结果相符的事例还不止这些,但是从上述事例中,我们可充分看到薛定愕方程建立后,众多的实验结果为其正确性提供了坚实的实验基础.4 结论薛定谔方程可由微分法和类比法建立,且经检验,薛定谔方程是正确的,即:(1) 从这个方程得到了谐振子的能级和定态波函数,结果与海森伯的矩阵力学所得相同.(2) 从这个方程得到的解正是氢原子的能级公式.(3) 该方程处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题.(4) 从这个方程可计算出里德伯常数,结果与实验相符合.(5) 利用这个方程含时间的微扰理论,解决色散等问题.原子的稳定性问题.参 考 文 献[1] 杨亚培 张晓霞 光电物理基础.电子科技大学出版社 2009 14-28[2] [日] 中岛贞雄. 最子力学(上) [M] . 北京: 北京师范大学出版社,1989.[3] 张怿慈. 量子力学简明教程[M] . 北京: 人民教育出版社, 1979.[4] 曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,2007.1.26-28.[5] 汪德新.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.100-105.[6] 郭奕玲.物理学史2版[M].北京:清华大学出版社,2005.8.45-49.[7] 张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2008.8.35-78.[8] 钱伯初.量子力学[M].北京:高等教育出版社,2006.1.254-259.[9] 门福殿.量子力学.[M].北京中国石油大学出版社,2005.5.12-18.[10] 孙利平.打开物质微观世界大门的金钥匙-薛定谔方程[J]长沙大学学报第18卷第4期2004年12月.[11] 梁辉.从薛定谔方程谈量子力学与经典物理的区别[J]安徽技术师范学院学报2003,17( 1):70-71.。