电子科技大学-量子力学论文 【建立薛定谔方程有哪些方法】

建立薛定谔方程有哪些方法

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中文摘要:

薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程.

关键词:量子力学波函数薛定谔方程

1 引言

薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r,

U,中运动的薛定谔方程为在给定初ψ,质量为m 的微观粒子在势场()t r

始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r,

U与时间无关而只是坐ψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.当势能()r

标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中()r

ψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量()r

ψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程.

由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)

方程是线性的.

2 薛定谔方程的建立

1 问题提出

1924 年,路易·德布罗意提出一个惊人的假设,每一种粒子都具有波粒二象性.电子也 有这种性质.电子是一种波动,是电子波.电子的能量与动量决定了它的物质波的频率 与波数. 1927 年, 克林顿· 戴维孙和雷斯特· 革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶. 然后,测量反射的强度,侦测结果与 X 射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同.戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说.

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论,既然粒子具有波粒二象性,应该会有一个反应这特性的波动方程,能够正确地描述粒子的量子行为.薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程.

2 方程的建立

2. 1 用微分方法建立薛定谔方程

建立过程:自由粒子波函数所满足的方程推广到一般.

自由粒子的波函数为平面波 )(t r Et r p h i Ae -→→→=），（φ ①

对时间求偏微商: h Et r p i t )(--=∂∂→→φ ②

对坐标求二次偏微商: φφφ22)(2222h p e h Ap x z p y p x p h i x z y x -=-=∂∂++ ③

同理得: φφφ2222h p y -=∂∂ , φφ2222h p z z -=∂∂ ④

将以上三式相加:ψ=ψ∇=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂22

2222222- p z y x , ⑤

利用自由粒子的能量和动量的关系,我们可得到自由粒子波函数所满足的微

分方程:

φμφ222∇-=∂∂h t ih ⑥

上式中劈形算符:z k y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ ,22

22222z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙∇=∇ ⑦ 如存在势能()r U ,能量和动量的关系是: )(22

r U p E +=μ

⑧ 波函数应满足的微分方程是;

φφμ

φ)(222r U h t ih +∇-=∂∂ ⑨

这个方程称为薛定谔方程.

由建立过程可以看出,只需对能量动量关系进行如下代换:

t

ih E ∂∂→ , ∇-→→ih p 就可得到薛定谔方程.

2.2 用类比方法建立薛定谔方程 几何光学和波动光学这两种光学理论分别是建立在光的微粒说和波动说基础上的. 早在19 世纪, 哈密顿根据几何光学中费马原理的数学表达式

0ds ==Θ⎰B A K δδ和经典力学中哈密顿原理的数学表达式⎰==B

A

dt 0s δδ相似, 曾

经提出经典力学和几何光学存在着某种相似性.

在研究几何光学和波动光学的关系时, 如果波长无限短, 即在 →0 的条件下, 波动光学就会过渡到几何光学; 在量子力学研究中, 如果忽略量子效应, 即在 →0 的条件下,量子力学就会过渡成为经典力学. 如果把几何光学与经典力学之间的相似性和波动光学与几何光学、量子力学与经典力学之间的过渡关系进行类比,

用图表示为

从类比图我们可以看出, 量子力学的波动方程和波动光学的波动方程在数学表达式上是相似的.在波动光学中, 光波的两个重要方程是

01-2222=∂∂∇f u f

(1) ()iwt e r f - Φ=

(2)

将( 2) 代入( 1), 得 022=ψ+Φ∇k (3) 其中波矢的大小u

w k =. 同样道理, 在量子力学中, 波函数的表达式应与( 2) 式相似, 记为:

()()()()t E i iwt e r e r t r --,ψ=ψ=ψ (4)

如果能量不随时间变化, 则波函数的空间部分()r ψ所满足的波动方程也应

与( 3) 相似, 记为

0Ψ22=ψ+∇k

(5) 其中波矢的大小为() U E m P k -==2,代入( 5) 式, 得 0U)-(E 22=ψ+ψ∇ m 或ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇E U m 22

2- (6)

上式则是定态薛定谔方程. 如果我们知道势能()r U 的具体形式, 通过解方