华理概率论08-1-A_答案

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(B) ( X
(C) ( X
(D) ( X
三、计算题: (共 6 小题,共计 60 分) 待用数据( (2.3263) 0.99 , (1.5) 0.9332 , (2) 0.9772 ,
2 2 (2.5) 0.9938, , 0.025 (4) 0.484, 0.05 (4) 0.711, 2 2 2 2 0.95 (4) 9.488, 0.975 (4) 11.143, 0.025 (5) 0.831, 0.05 (5) 1.145, 2 2 0.95 (5) 11.070, 0.975 (5) 12.833 )
2 (n 1) S n 1
(1 分) (2 分)
02
~ 2 ( n 1)
2 2 (n 1) S n 1 13.507 从表中可知: S n 1 0.088 ,算出 2
0
(2 分) (2 分) (1 分)
2 2 (3) 查表得临界值 /2 (4) 0.975 (4) 11.143
x2 2 2

e
x0 x0
0
其中, 0 是未知参数, ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 的样本,求:
(1) 的矩法估计; (本小题 5 分) (2) 的极大似然估计. (本小题 7 分) 解: (1) E
2

x ( x )dx
np 4900 0.1 490 , npq 4900 0.1 0.9 441 21 ; (1 分) P{0 k} ≈ ( ( k np npq ) ( 0 np npq )
(2 分)
k 490 0 490 ) ( ) (2 分) 21 21 k 490 k 490 ( ) (23.33) ≈ ( ) 0.99 (1 分) 21 21 k 490 2.3263 , k 21 2.3263 490 538.8523 ≈ 539 (2 分) 查表得 21 1 5. (12 分)设总体 的概率密度为 ( x) 2
t 0.975 (n 1), X t 0.975 (n 1)) n n t 0.95 (n 1), X t 0.95 (n 1)) n n
S n S n t 0.95 (n 1), X t 0.975 (n 1), X S n S n t 0.95 (n 1)) t 0.975 (n 1))

1 1 0 0

2



( x, y )dxdy 1
(3 分)

Axydxdy 1 A 4
1 1
1 1 2 2 , E 4 xy 2 dxdy 0 0 0 0 3 3 1 1 1 1 1 1 E 2 4 x 3 ydxdy , E 2 4 xy 3 dxdy 0 0 0 0 2 2 1 2 1 1 D E 2 (E )2 ( )2 , D (6 分) 2 3 18 18 1 1 2 2 4 4 (3) cov E E E 4 x 2 y 2dxdy 0 (3 分) 0 0 3 3 9 9
2 x 2 . 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p( x) 0 x [0,1] 其他 3 8
, 则 E ( X 3 2) =
2.4

3 . 若 1 , 2 独 立 同 分 布 于 N (0,1), 31 4 2 5 , 则 的 密 度 函 数 为
2
xi 0 ( i 1,2, , n) 其它
n 1 x2 2 i 1 ( 2 ) 2 e 2 i 1 n 0
n
min xi 0
i
(2 分)
其它
当 L 0 时,对 L 取对数,得 ln L n ln
d ln L n 1 3 d
(B) F ( xk 1 ) F ( xk 1 ) (D) F ( xk ) F ( xk 1)
2. 袋中有 8 个红球,2 个白球,10 个人各从中不放回地取一球,问第一个人和 第 2 个人取得红球的概率各为( C ) 。 8 7 8 8 8 8 8 7 , (A) (B) , (C) , (D) , 10 9 10 9 10 10 10 10 3. 若随机变量 , 满足 2 3 0 ,则 与 的相关系数等于( A (A)-1 (B)
(4)因为 11.143<13.507, 所以拒绝 H 0 ;
即认为这一天纤度的总体方差不正常.

f ( x, z x)dx
(2 分) (2 分) (3 分)
(1) 当 z 2 0r z 4 , f ( z ) 0 (2) 当 2 z 4 时, f ( z )
2
1 1 dx 2 z z 2 2 2
1 2 z (2 z 4) 所以 Z X Y 密度函数为 f ( z ) 2 其他 0
的分布函数 FZ ( z )

5.若 ( X 1 , X 2 ,..., X 6 ) 来自正态母体 N (0,1) 的样本, Y ( X i ) 2 ( X i ) 2 ,则当
i 1 i4
C=
1 3
时, CY 服从 2 分布.
二、选择题:(每小题 4 分,共 20 分) 1. 离散型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ,则 P ( X xk ) =( (A) P ( xk 1 X xk ) (C) P ( xk 1 X xk 1 ) D )。
2 1 e ( x 5) /50 。 5 2
4.若随机变量 X ~ E (8), Y ~ U [0,6] ,且 X , Y 相互独立,令 Z max( X , Y ) ,则 Z
0, 1 8 z (1 e ), 6 8 z 1 e z0 0 z6 z6
3 6
1 2
) 。
(C)
1 2
(D)1 ) 。
4.设 X ~ B (6,0.4) ,则由切比雪夫不等式知 P ( X 2.4 2.4) ( C (A) 0.75 (B)0.5 (C)0.25
(D) 0.1
5. 设总体 X ~ N ( , 2 ) , 2 未知, 样本容量为 n ,X 是样本均值, S 2 是样本方差, 则 的置信度为 95%的置信区间为( D ) 。 (A) ( X
1. (8 分)甲、乙两厂生产的电池放在一起,已知其中有 75% 是甲厂生产的,
有 25% 是乙厂生产的,甲厂电池的次品率是 0.02 ,乙厂电池的次品率是 0.04 。现从这批电池中任意取一个, (1)求它是次品的概率; (本小题 4 分) (2)现在发现任意取出的一个电池是次品,求它是乙厂生产的概率(本小 题 4 分) 解:设事件 A {取到次品}, B1 {取到甲厂产品}, B2 {取到乙厂产品},
P ( B1 ) 0.75 , P ( B2 ) 0.25 , P ( A B1 ) 0.02 , P ( A B2 ) 0.04
( 1 ) P ( A) P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B2 ) P ( A B2 ) 0.75 0.02 0.25 0.04 0.025 (4 分) (2) P ( B2 A )
n 2 1 ln( ) 2 2 2 1 n 2 xi , n i 1 1 n 2 Xi n i 1
x
i 1
n
2 i
(2 分)
解方程
x
i 1
n
2 i
0 ,可得
(2 分)
因为 0 ,负根舍去,所以极大似然估计为
X2 。
(1 分)
6. ( 8 分)已知某种维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N ( , 0.048 ) ,某日抽取 5
P ( B2 ) P ( A B2 ) P ( A) 0.25 0.04 0 .4 0.025
(4 分)
2. (14 分)二维随机变量 ( , ) 的联合概率密度为
Axy 0 x 1, 0 y 1 ( x, y ) , 其它 0
求: (1)系数 A ; (本小题 3 分) (2) , 的数学期望 E 和 E ,方差 D 和 D ; (本小题 6 分) (3) , 的协方差 Cov ( , ) 和相关系数 (本小题 5 分) 解: (1)根据规范性
华东理工大学 2007–2008 学年第一学期
《 概率论与数理统计
开课学院:理学院 考生姓名: 专业:
》课程期末试卷答案 A 卷
2008.1
考试形式:闭卷 所需时间 120 分钟 班级 任课教师
学号:
题序 一
得分 评卷人
三 二 1 2 3 4 5 6 总 分
一、填空题:(每题 4 分,共 20 分) 1.已知事件 A 与 B 互不相容, P ( A) 0.5 , P ( B ) 0.3 ,这时 P ( B A B )
(1 分)
4. (10 分) 某校共有 4900 个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去自修的 概率为 0.1 ,试用中心极限定理计算阅览室要准备多少个座位,才能以 99% 的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位? 解:设去阅览室自修的人数为 ,要准备 k 个座位; 则 ~ B (n, p ) , n 4900 , p 0.1 , (2 分)
(2) E
4x
ydxdy
=0
(2 分)
3. (8 分)已知随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度
1 , x y 2, x 2, y 2 f ( x, y ) 2 其他 0,
求 Z X Y 的概率密度函数. 解: f ( z )
0
x
2

Байду номын сангаас
e

x2 2 2
dx (2 分)
2



0
e

x2 2 2
d(
x2 2 ) 2 2
(2 分)
解方程 (2)
ˆ

E X , 得到矩法估计

ˆX
(1 分) 2
先求似然函数:
n 1 2 xi 2 e 2 n i 1 L ( xi ) i 1 0
2
根纤维,测得其纤度为,1.32,1.55,1.36,1.40,1.44,问这一天纤度的总 体方差是否正常 ( 0.05) ?这 5 个数据在 Excel 做描述统计得到如下表格:
解:以 X 表示这一天生产的维尼纶纤度,则 X ~ N ( , 0.048 2 ) (1) H 0 : 2 0.0482 , H1 : 2 0.0482 ; (2)取统计量 2
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