华理概率论08-1-A_答案
08-6-A（答案）概率论与数理统计试卷和答案
08-6-A（答案）概率论与数理统计试卷和答案华东理⼯⼤学2007–2008学年第⼆学期《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 2008.6 本试卷共六⼤题，可能要⽤到的数据：95.0)6449.1(=Φ，975.0)96.1(=Φ，9772.0)2(=Φ，99.0)3263.2(=Φ 0150.2)5(95.0=t ，5706.2)5(975.0=t ，9432.1)6(95.0=t，4469.2)6(975.0=t ，⼀、选择题：（每题4分, 共20分）1、如果下列（）条件成⽴，则事件B A ,互不相容。
（ A ）（A ）)(B A -Ω? （B ）B A ?（C ）0)(=AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2、设随机变量ξ和η不相关，则下列结论成⽴（）（ B ）（A ）ξ与η独⽴（B ）ηξξηE E E ?= （C ）ηξηξD D D -=-)(（D ）ηξξηD D D ?=3、设总体ξ和η相互独⽴，分别服从()4,0N 和()9,0N ，k X X X ,,,21 和l Y Y Y ,,,21 分别是ξ和η的样本，要使统计量∑=k i i X a 121和∑=l i i Y b 121服从相同的2χ分布，b a ,，l k ,应满⾜条件（）（ C ）（A ）3,2==b a ，l k = （B ）3,2==b a ，l k 49= （C ）9,4==b a ，l k = （D ）9,4==b a ，l k 49=4、假设检验时，下⾯哪⼀个不属于建⽴原假设0H 的⼀般原则（ B ）（A ）包含等号（B ）原假设和备择假设互补（C ）尊重原假设（D ）控制后果严重性5、某⼚⽣产某种零件，其尺⼨服从正态分布),(2σµN ，今从⽣产的⼀批零件中抽出6个样品，测得尺⼨数据（单位：mm ）52.56， 49.66， 51.64， 50.00， 52.87， 51.03为了检验样品的平均尺⼨是否达到52.20（mm ），⾸先建⽴原假设20.52:0=µH ，备选假设20.52:1≠µH ，然后选择（）作为统计量，经过Excel 中“描述统计”的计算后得到：平均 51.29333 标准误差 0.536045 中值 51.335 标准偏差 1.313037 样本⽅差 1.724067区域 3.21 最⼩值 49.66 最⼤值 52.87 求和 307.76计数6置信度(95.0%)1.377946在显著⽔平05.0=α下，最后得到（）原假设的结论，其中1-n S 为样本标准差。
华南理工大学概率论与数理统计考试试卷及答案
二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
华东理工大学821管理学2008真题解析
华东理工大学821管理学2008真题解析【点评】本年份真题包括以下三种题型：10道名词解释，每道题3分，总计30分；10道简答题，每道题6分，总计60分;3道论述题，每道题20分，总计60分。
和往年考试题目对比，题型变化很小，其中，题型变化最大的是论述题，要么出两个，要么出三个，不太固定。
一、名词解释1、社会责任社会责任是指这样一种企业意图，它越了法律和经济的义务，做正确的事情，按照对社会有益的方式行动。
这一定义主张一个组织要遵守法律，并追求经济利益。
但是，它同样也强调了企业要明辨是非。
（1）一般而言，企业与管理者应该承担以下几种社会责任:企业对环境的责任；企业对员工的责任；企业对顾客的责任；企业对竞争对手的责任；企业对投资者的责任，为投资者带来有吸引力的投资报酬，及时、准确地汇报财务状况；企业对所在社区的责任。
（2）企业承担社会责任的方法可以分为以下三种：通过消除产生不利影响的活动来承担社会责任；把不利的社会影响转化成企业的发展机会；通过制定各种规章制度、法律法规来限制企业对社会的影响。
2、沟通沟通，简单地说就是信息的交流，从管理学的角度讲是指信息凭借一定符号载体，在个人与群体之间从发送者到接收者进行传递，并获取理解的过程。
其内涵是:有效沟通必须具备信息的传递与理解两个基本每件。
沟通的信息可分为：事实、感情、价值观、意见和观点。
沟通问题包括人际沟通和组织沟通两大方面。
人际沟通是指两个人或多个人之间的沟通，当事人被当作个人而不是客体对待；组织沟通是指组织中沟通的各种方式、网络和系统等。
3、组织结构组织结构是指组织中正式确定的使工作任务得以分解、组合和协调的框架体系。
组织结构有三层含义，即复杂化、正规化和集权化。
其中，复杂化是指组织分化的程度；正规化是指组织内部的人员行为规范化的程度；集权化是指决策制定者权力掌握在什么人手里。
4、组织公民行为组织公民行为是指一种员工自由决定的行为，不包括在员工的正式工作要求当中，使它会促进组织的有效性。
华南理工大学华南理工2008年851化工原理考研真题及答案解析
华南理工大学华南理工2008年851化工原理考研真题及答案解析851华南理工大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）科目名称：化工原理适用专业：化学工程，化学工艺，应用化学，工业催化，能源环境材料及技术，制药工程，制浆造纸工程，制糖工程，环境工程__________________；_______________________；__________________。
11、造成离心泵气缚的现象原因是_________。
A 安装高度太高；B泵内流体密度太小；C入口管路阻力太大；D泵不能抽水12、转子流量计的特点是、。
测流体流量时，随着流体流量减小，孔板流量计两侧压差值将，若改用转子流量计测量，当流量减小时，转子两端压差值将。
13、在某输液的管路中，并联一台同型号的离心泵，并联双泵后工作点的输液效果为。
A．并联的输液量将是单泵的两倍B．并联输液的扬程是单泵的两倍C．并联的能耗将是单泵的两倍 D．无论输液量、扬程或能耗都不会是原泵的两倍14、湿空气的温度一定，湿度越高湿球温度（）。
15、空气的湿球温度受湿空气的（）和（）两个因素控制。
16、.在恒定的温度下，物料的结合水与非结合水的划分，( )。
恒速干燥阶段，干燥速率（），降速干燥阶段，干燥速率（）A)只取决于物料本身的特性；B）只取决于空气状态C) 取决于空气状态和物料本身的特性；D)不定17、.在填料塔中用清水吸收混合气中NH3，当水泵发生故障，水量减少时，气相总传质单元数N OG（）A增加；B减少；C不变 D 不定。
18、在吸收塔某处，气相主体浓度Y=0.025，液相主体浓度X=0.01，气相传质分系数k Y=2mol/m2.h，气相总传质系数K Y=1.5 mol/m2.h，则该处气液界面上气相浓度Y i应为（），已知平衡关系为Y*=0.5X。
A 0.02B 0.01C 0.015D 0.00519、.实验室用水吸收空气中的CO2，基本上属于（）。
华南理工大学 华南理工2008年880分析化学 考研真题及答案解析
880华南理工大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：分析化学适用专业：分析化学 共 7 页一．单项选择题（共20题，每空1.5分，共计30分）1. 甲乙丙丁四人同时分析一矿物中的含硫量，取样均为3.5 g ，下列哪份报告的数据合理（ ）A. 甲：0.04%B. 乙：0.042%C. 丙：0.0421%D. 丁：0.04211%2. 消除分析方法中存在的系统误差，可以采用的方法是（ ）A. 增大试样称量质量B. 用两组测量数据对照C. 增加测定次数D. 进行仪器校准3. 浓度为c HCl （mol ⋅L -1）的HCl 和c NaOH （mol ⋅L -1）的NaOH 混合溶液的质子平衡方程为（ ）A.B. [][]HCl c OH H +=−+[][]HCl NaOH c OH c H +=+−+C. [][]−+=+OH c H NaOHD. [][]NaOH HCl c c OH H ++=−+4. 某二元弱酸H 2B 的pKa 1和pKa 2为3.00和7.00，pH=3.00的0.20 mol ⋅L -1H 2B 溶液中，HB -的平衡浓度为（ ）A. 0.15 mol ⋅L -1B. 0.050 mol ⋅L -1C. 0.10 mol ⋅L -1D. 0.025 mol ⋅L -15. 以H 2C 2O 4⋅2H 2O 作基准物质，用来标定NaOH 溶液的浓度，现因保存不当，草酸失去了部分结晶水，若用此草酸标定NaOH 溶液，NaOH 的浓度将（ ）A. 偏低B. 偏高C. 无影响D. 不能确定6. 以EDTA 为滴定剂，下列叙述中哪项是错误的（ ）A. 在酸度较高的溶液中，可能形成MHY 络合物；B. 在碱度较高的溶液中，可能形成MOHY 络合物；C. 不论形成MHY 或MOHY 均有利于滴定反应；D. 不论形成MHY 或MOHY 均不有利滴定反应7. 用EDTA 法测定Fe 3+、Al 3+、Ca 2+、Mg 2+混合溶液中的Ca 2+、Mg 2+的含量，如果Fe 3+、Al 3+的含量较大，通常采取什么方法消除其干扰（ ）A. 沉淀分离法B. 控制酸度法C. 络合掩蔽法D. 溶剂萃取法8. 在含有Fe 3+和Fe 2+的溶液中，加入下列何种溶液，Fe 3+/Fe 2+电对的电位将升高（不考虑离子强度影响）（ ）A. 邻二氮菲B. HClC. H 3PO 4D. H 2SO 49. 已知1 mol.l -1 H 2SO 4溶液中，，，在此条件下用KMnO V 45.1'Mn /MnO 24=ϕθ+−V 68.0'Fe /Fe 23=ϕθ++4标准溶液滴定Fe 2+，其化学计量点的电位为（ ）A. 0.38 VB. 0.73 VC. 0.89 VD. 1.32 V10. 佛尔哈德法测定时的介质条件为（ ）A. 稀硝酸介质B. 弱酸性或中性C. 和指示剂的PKa 有关D. 没有什么限制11. 在以下各类滴定中，当滴定剂与被滴物质均增大10倍时，滴定突跃范围增大最多的是（ ）A. NaOH 滴定HAcB. EDTA 滴定Ca 2+C. K 2Cr 2O 7滴定Fe 2+D. AgNO 3滴定Cl -12. 在沉淀过程中，与待测离子半径相近的杂质离子常与待测离子一起与沉淀剂形成（ ）A. 吸留B. 混晶C. 包藏D. 后沉淀13. 含Na+、Zn2+、Fe3+、Th4+的混合溶液，通过强酸性阳离子交换树脂时，最先流出柱子的离子是（）A. Na+B. Zn2+C. Fe3+D. Th4+14. 下列说法错误的是（）A. 通常选用最大吸收波长作测定波长B. 摩尔吸光系数反映了用吸光光度法测定吸光物质的灵敏度C. 吸光度具有加和性D. 在示差吸光光度法中所有的参比溶液又称为空白溶液15. 在符合朗伯-比尔定律的范围内，有色物质的浓度、最大吸收波长和吸光度三者的关系为（）A. 增大、增大、增大B. 减小、不变、减小C. 减小、增大、减小D. 增大、减小、不变16. 能引起吸收峰吸收频率发生位移的是（）A. 多普勒变宽B. 洛仑兹变宽C. 温度变宽D. 自然变宽17. 电位分析法主要用于低价离子测定的原因是（）A. 低价离子的电极易制作，高价离子的电极不易制作B. 高价离子的电极还未研制出来C. 能斯特方程对高价离子不适用D. 测定高价离子的灵敏度低而且测量误差大18. 甘汞参比电极的电位值随电极内KCl溶液浓度的增加而产生什么变化A. 增加B. 减小C. 不变D. 两者无直接关系19. 农药中常含有Cl、P等元素，气相色谱法测定蔬菜中农药残留量时，一般采用哪种检测器（）A. 氢火焰检测器B. 热导检测器C. 电子俘获检测器D. 紫外检测器20. 一对难分离组分的色谱保留值十分接近，现在为了增加分离度，下列最有效的措施是（）A. 改变载气流速B. 改变载气性质C. 改变固定相D.改变分离温度二、填空题 （每空1分，共19题30分）1. 4.0 mL HCl标准溶液中含氯化氢0.004504 g，则该HCl（M=36.46）溶液对NaOH （M=40.00）的滴定度为______________。
08年华南理工数学分析考研试题及解答
2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。
华理概率论习题答案(精品).doc
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
华南理工大学 2008年考研851化工原理真题答案
华南理工大学一．选择填空题。
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷答案1.1000; 层流；1m/s; 解析：R e=气=1000 < 2000, 因此流动形态为层流，最大速度u ma x = 2u = Im I s。
2.并流；逆流；解析：参考化工原理教材上册P183。
3.0. 356; 解析：由式V2+2VVe =KA2t并带入数据得Ve= 0.0222m3 ,K = 0.0023778m3 I m in; 再将t= 60min带入其中，得V= 0.356m3 o4 膜状冷凝；滴状冷凝；膜状冷凝；解析：（化工原理教材上册P162)5.1; 解析：尸份⇒卢号＝气产=Im/s6 隆低；水的导热系数比石棉要大，受潮的石棉的导热系数会变大；7.Q; 解析：坐-= /4上x工pg d1 2g'2/4=旦立皿上二＿R e1'代入数据0.64= X1800 dx⇒ "1 =0.18; 又1 2g 2g d1t.p, I "i—=入土x—pg d2 2g' 钊饥＝于d严，故譬＝（责)2=¼ ⇒ Re2 = 2d1x� 饥P=900;0.64=恙分骨＝蒜X翌帚三=160m。
8 埴太；酗；解析：Re=气，/4=赞，当u减小时，入增大，h尸A分x号＝号产减小。
9 尘；解析：麻花铁可以大大提高传热系数。
10 牛顿流体；管内流动；层流流动；解析：2004年真题填空题第1题。
11.�; 解析：（化工原理教材上册P76)注意：不要与气蚀混淆。
12 恒压降；恒流速；减少；丕变；解析：与2001年真题选填题第2题及2002年真题概念题第1题类似。
13.Q; 解析：单台离心泵的工作曲线：H=A—B Q气管路特性曲线：H=C+DQ2; 并联双泵后，离心泵工作曲线变为H'=A—B Q'2= A—B (号）气管路特性曲线不变，可知无论输液量、扬程或能耗都不会是原泵的两倍（化原教材上册P87)。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
（4） P( A | B) =
2-3 因为 AB ⊆ A ⊆ A U B ，所以 P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) 又因为 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB) ，所以
P ( AB ) ≤ P ( A) ≤ P ( A U B ) ≤ P ( A) + P ( B )
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
2 1 1 C84 + C84 C12 749 = ； 2 C100 825
（5）设 E ={样品中有一套优质品}，则
1 1 C84 C16 224 P( E ) = Байду номын сангаас = . C100 825
1-18 (1)设 A ={恰有 5 张黑体,4 张红心,3 张方块,1 张梅花},则
08级本科《概率论与数理统计》A卷答案(教考分离)
上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是 （ ） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。
记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。
则=)|(A B P （ ）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（ ）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。
08概率论试题A含答案
线
学 号：
广东工业大学考试试卷 ( )
课程名称:
概率论与数理统计
试卷满分 100 分
考试时间: 2008 年 6 月 27 日 ( 第 18 周 星期 五 )
一、单项选择题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
1. 已知 P(A) 0.5 , P(B) 0.4 , P(A B) 0.6 , 则 P(A B) = ( )
fY ( y)
2
y
0
（2）
(0 y 4 ), (其 他).
X+Y
0
１
２
pi
0.2
0.4
0.4
（4） B
Y2
0
１
pi
0.3
0.7
（3） 1/9 （4）0.0062 （5） P( A , ˆ2 ; ˆ2 （6） ,
三、解 设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：
（1） 试取α =0.05，检验假设 H0:μ =10 H1:μ 10;
(6 分)
（2） 求σ 的置信度为 0.95 的置信区间.
(4 分)
备用数据：x2 分布、t 分布的上侧α 分位数
x
2 0.05
(8)=15.507
x
2 0.025
(8)=17.535
x
2 0.975
(8)=2.180
t 0.025 (8)=2.3060
广东工业大学试卷用纸，共 8 页，第 7 页
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八、(8 分) 证明：（契比雪夫大数定理）设随机变量 X1, X 2 , , X n ,
华东理工大学概率论答案
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
08年理工类课后习题答案-概率论与数理统计PDF版
第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=−=∪∪=∪)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +−−=−=−=−=)(C B A P ∪∪－)(B A P ∪= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. , }{合格品二件产品中有一件是不=A }{二件都是不合格品=B 511)()()()()|(2102621024=−===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: = }{合格品二件产品中有一件是不}{不合格品二件产品中恰有一件是 + }{二件都是不合格品所以; B AB B A =⊃,}{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202−<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=×=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+−+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 3.01.04.0)()()(=−=−=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P −=−==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ∪B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ∪B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥−−A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i −=, 31239)|(c c B A P i i −=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=−−=146.0484007056)201843533656398411()220(12==××+××+××+××=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=××==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M 假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=−=≥−==X P X P 94)1(2=−p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X >a)=1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_____.02442=+++k kx x 解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f其它50≤≤k P{有实根} = P{} 02442=+++k kx x 03216162≥−−k k = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=∫dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =−===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为Z = X + Y －2 －1 0 1 2 P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α α249)3()1()3,1()2(==−===−===−=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=−==+−===−=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=−==+−==+−====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=−==+−====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==−===−====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为 ⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+∫∫c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +−+=++==∫∫∞+∞−πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+−+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=∫e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时∫∫===∞+∞−x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++="服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.X + Y －3 －2 －1 －3/2 －1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X －Y－1 0 1 3/2 5/2 3 5P 3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12X 2 + Y －2 －15/4 －3 －11/4 －2 －1 5 7P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F , (B) 0022≥<≤−−<x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) , (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. 是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A) (B)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ),(),()(+∞−∞∈−=x x x ϕϕ (C) (D) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p ),(),(1)(+∞−∞∈−−=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～ ⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以 (X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 则1100>≤<≤x x x (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = max{} (B) = max{} )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z |)(||,)(|z F z F Y X (C) = (D) 都不是)(z F Z )()(z F z F Y X解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = (B) =)(z F Z )(z F X )(z F Z )(z F Y (C) = min{} (D) = 1－[1－][1－] )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z )(z F X )(z F Y 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>−=>−=>−=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X −−−=≤−≤−−因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. 2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+−0),()(y x e y x ϕ其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) (D) ⎩⎨⎧=−04)(2z Z ze Z ϕ00≤>z z ⎪⎩⎪⎨⎧=−021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z 解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=∫∞+−dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时∫∫≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ=12222020+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−∫∫z z z xz y x e ze dx dy e e , (C)是答案.==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧−042z ze 00≤>z z 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(min(1))2,(min()()(y X P y X P y Y P y F Y >−=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(min(1)(=−=>−=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−=ye y X P y X P λ−−=≤=>−=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−= 0)()(1=≤=>−=y X P y X P于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.⎪⎩⎪⎨⎧−=−011)(y Y e y F λ0202<<≤≥y y y三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.9.0)1.0(1⋅−i 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 4)1.0(X1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P XPii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P "", (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p1310 1311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧−=01)(2x cx ϕ其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在21,21(−内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====−==∫∫−∞+∞−c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==−=−∈∫−ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x −⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ , ii. 其它1||<x ⎪⎩⎪⎨⎧−=02)(x x x ϕ其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ∫∫∞−−++−=−==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ∫∫∞−−=−==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++−=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<−−≤x x xii. 当x < 0时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ∫∫∞−===x xx tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110−+−=−+==∫∫∫∞−x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时1)2()()(211∫∫∫∞−=−+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+−=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=<<−=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(−Φ−Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(−Φ+Φ=Φ−−Φ= = 0.4931.18944.05987.0−+=(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13=−=−6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x 问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x . 所以 31100)150(1501002==<∫dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=−piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145−=∫ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===∫∫∞−dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为X 0 1 p 0.4 0.6(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为Y1 2 3 p0.4 0.3 0.35.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以X|Y ≠ 1 0 1 p0.5 0.59. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时当 0 < z < 1时0)(=z F Z z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=∫∫当z ≥ 1时∫∫=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811−=⋅−⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧−−=0)1(24),(y x y y x ϕ其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.∫∞+∞−=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(4)(3x x X ϕ其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.∫∞+∞−=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(12)(2y y y Y ϕ其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅" (i= 1, 2, …, n) 又设, 则∑==ni iXX 127)()()(11nX E X E X E ni in i i===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 ),2(~p B X D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差D(Y) = _______.⎪⎩⎪⎨⎧−=101Y 000<=>X X X 解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤−xY 的分布律为Y 1 0 －1 p2/3 0 1/3因为 3231)0()1(20==>==∫dx X P Y P0)0()0(====X P Y P 3131)0()1(01==<=−=∫−dx X P Y P 于是 313132)(=−=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=−=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2.08.010∑==31i i X X_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则= _______.),cov(Y X 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.),cov(Y X 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ其它10≤≤x ,, 则E(XY) = ________.⎩⎨⎧=−−0)()5(y e y ϕ其它5>y 解. 322)()(10=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+−==4639441262=×+×+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. .0)()()(22=−=Y E X E UV E 所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2,x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=−−=−−++=++=p p p p p p p x p x p x X E7.0221=+p p 9.5)1(94)(21213232221212=−−++=++=p p p p p x p x p x X E1.35821=+p p 解得 p 1= 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案. 4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望 (A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为X 6 9 12 p7/15 7/15 1/15157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y ≥μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2(C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ−=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) = )()()])([(22Y E X E Y X Y X E −=−+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E −所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∑∑∑∞=∞=−∞=+ 2222)11()1(1(a aa a a a a f =+−+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+−+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E ∑∑∑∞=∞=+∞=+−+++=+−++=11111)1()1(11)1()1()1(k k kk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=−∞= 23)1(2)11(121(a a a a a aa a f +=+−+=+,所以2222)1(211)(a a a a a a X E +=−+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=−+=−=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2x x πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===∫∫−∞+∞−πππϕxdx xdx x x X E∫−=−=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 1222202−=+=∫πππdx x x 3. 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为(X, Y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)P(X=x, Y=y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 sin π(X + Y)/20 1 －1 p0.45 0.40 0.1525.015.0)1(40.0145.002)(sin =×−+×+×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X 0 1 2 3 p1/2 1/22 1/23 1/23P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =21P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+−04),()(22y xxye y x ϕ其它,0>>y x求)(22Y X E +.解. ∫∫∫∫>>+−∞+∞−∞+∞−+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=∫∫∞+−rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ, Y ～其它l x ≤≤0⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0 (X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ其它l y x ≤≤,0. 又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l } ∫∫∫∫∫∫−+−=−=∞+∞−∞+∞−21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ ∫∫∫∫−+−=l ylxdy dx x y l dx dy y x l 02002])([1])([13212122022ldy y ldx x ll l =+=∫∫6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =−=−=∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =−=−=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<−∞=−−x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=∫∞+∞−−dt te t ||21+μμμ==∫∫∞+−∞+∞−−0||21dt e dt e t t∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=∫+∞+−02dt e t t 2022μμμ+==∫∫∞+−∞+−dt e dt e t t 所以22)]([)()(2222=−+=−=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).其它122≤+y x 解. 01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=−=X E X E X D , 41)]([)()(22=−=Y E Y E Y D0)()()()()(=−=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8),33.0)8.0()0(5===X P 41.0)8.0(2.05)1(4=××==X P , 20.0)8.0(2.0)2(3225=××==c X P 06.020.041.033.01)3(=−−−=≥X P又设Y 为该企业的利润, Y 的分布律为Y 10 5 0 －2p 0.33 0.41 0.20 0.06E(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度、数学期望和方差.)(t f 解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=−05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度:⎩⎨⎧≥≥=+−,00,0,25),()(5y x e y x f y x 关于T 的分布函数:∫∫≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)( 当 时0<t∫∫∫∫≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)( 当 时0≥t∫∫∫∫≥≥≤++−≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x xt y tx te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525−−−−−−−−−−=−==∫∫∫所以 ⎩⎨⎧<≥−−=−−0,00,51)(55t t te e t F t t T 所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==−0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ∫∫∞+∞−∞+−===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以∫∫∞+∞−∞+−=−=−=−=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT。
厦门理工学院-概率论与数理统计参考答案
厦门理工学院-概率论与数理统计参考答案概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为[C]（A）不可能事件（B）必然事件（C）随机事件（D）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有[B]（A）A1{抽到的三个产品全是合格品}A2{抽到的三个产品全是废品}（B）B1{抽到的三个产品全是合格品}B2{抽到的三个产品中至少有一个废品}（C）C1{抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2{抽到的三个产品中废品不多于2个}（D）D1{抽到的三个产品中有2个合格品}D2{抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件AB不等价的是[C]（A）AAB （B）(AB)B（C）AB（D）AB4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则AB表示[C]（A）二人都没射中（B）二人都射中（C）二人没有都射着（D）至少一个射中5．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为.[D]（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{某|某},A{某|0某2},B{某|1某3}，则AB表示[A]（A）{某|0某1}（B）{某|0某1}（C）{某|1某2}（D）{某|某0}{某|1某}7．在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为[A]（A）ACBC；（B）ABC；（C）ABCABCABC；（D）ABC.8、设随机事件A,B满足P(AB)0，则[D]（A）A,B互为对立事件(B)A,B互不相容(C)AB一定为不可能事件(D)AB不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A，B满足AB，则称A与B互不相容或互斥2．“A，B，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为ABCABCABCABC或ABACBC三、简答题：1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。
新编概率论与数理统计(华东理工大学出版社)习题8答案
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第八册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第二十二次作业一．填空题：1．假设检验的基本思想基于“小概率反例否定性”。
2．在控制了犯第一类错误的概率后，要尽量减小犯第二类错误的概率，可以采用的办法是 增加样本容量 。
二. 选择题：1. 假设检验中分别用0H 和1H 表示原假设和备择假设，则显著性水平α的含义为( C )。
A.}|{00为真接受H H PB. }|{00为不真接受H H PC. }|{00为真拒绝H H PD. }|{00为不真拒绝H H P2. 假设检验时，下面哪一个不属建立原假设的一般原则( B )A. 包含等号B. 原假设和备择假设对称C. 尊重原假设D. 控制后果严重性三. 计算题：1．已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布)75.0,54(2N ，在某日生产的零件中抽取10件，测得质量（g ）如下：54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，55.3如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异（显著水平)05.0=α ？解：由样本观测值计算,得54.46X =，本问题相当于要检验01:54.46,:54.46H H μμ=≠，考虑到总体服从正态分布2(54,0.75)N ,故采用双侧U 检验法，取检验统计量的测试值为ˆ 1.9395X U ===， 由水平0.05α=,查表得0.97512 1.96U U α-==,由于0.975ˆU U <，故接受0H ，即该日生产得零件的质量的均值没有显著差异。
2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25（显著水平05.0=α）。
东华理工大学概率论期末考试试卷总结版
东华理工大学《概率论与数理统计》考试试卷（A1）（A ）)(x F 取值为(0,)+∞ （B ）)(x F 为单调递减（C ）0 F(x)1≤≤ (D) F(x)1≤3、设~[2,4]X U ，当122<4x x <<时，=<<)(21x X x p （ ） (A)122x - （B ）224x - (C ) 244x - (D) 212x x - 4、设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本，则在下述的４个估计量中，最优的是（ ）。
(A) 11241ˆ55X X μ=+ (B) 21271ˆ88X X μ=+ (C) 31211ˆ42X X μ=+ (D) 41211ˆ32X X μ=+ 5、设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). (A) ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰(B) ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),((C) ()22()X Y EY y f x f y dy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(D) ()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰6、已知~(2,1)X N -，~(3,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记28,~Z X Y Z =-+则( ).(A))5,0(N (B))12,0(N (C))54,0(N (D))2,1(-N 7、在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，则称（ ）为犯第一类错误．0000(A)(B)H H H H 为真，接受不真，接受 0101(C)(D)H H H H 为真,接受不真,接受一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1． 设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.6，P （A-B ）=0.3，则P （|B A ）= 。
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（B） ( X
（C） ( X
（D） ( X
三、计算题： （共 6 小题，共计 60 分） 待用数据（ (2.3263) 0.99 , (1.5) 0.9332 , (2) 0.9772 ,
2 2 (2.5) 0.9938, ， 0.025 (4) 0.484, 0.05 (4) 0.711, 2 2 2 2 0.95 (4) 9.488, 0.975 (4) 11.143, 0.025 (5) 0.831, 0.05 (5) 1.145, 2 2 0.95 (5) 11.070, 0.975 (5) 12.833 ）
0
x
2
e
x2 2 2
dx （2 分）
2
0
e
x2 2 2
d(
x2 2 ) 2 2
（2 分）
解方程 (2)
ˆ
E X , 得到矩法估计
ˆX
（1 分） 2
先求似然函数：
n 1 2 xi 2 e 2 n i 1 L ( xi ) i 1 0
2
根纤维，测得其纤度为，1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，问这一天纤度的总 体方差是否正常 ( 0.05) ？这 5 个数据在 Excel 做描述统计得到如下表格：
解：以 X 表示这一天生产的维尼纶纤度，则 X ~ N ( , 0.048 2 ) （1） H 0 : 2 0.0482 , H1 : 2 0.0482 ； （2）取统计量 2
1． （8 分）甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有 75％ 是甲厂生产的，
有 25% 是乙厂生产的，甲厂电池的次品率是 0.02 ，乙厂电池的次品率是 0.04 。现从这批电池中任意取一个， （1）求它是次品的概率； （本小题 4 分） （2）现在发现任意取出的一个电池是次品，求它是乙厂生产的概率（本小 题 4 分） 解：设事件 A {取到次品}， B1 {取到甲厂产品}， B2 {取到乙厂产品}，
1 1 0 0
2
( x, y )dxdy 1
（3 分）
Axydxdy 1 A 4
1 1
1 1 2 2 ， E 4 xy 2 dxdy 0 0 0 0 3 3 1 1 1 1 1 1 E 2 4 x 3 ydxdy ， E 2 4 xy 3 dxdy 0 0 0 0 2 2 1 2 1 1 D E 2 (E )2 ( )2 , D （6 分） 2 3 18 18 1 1 2 2 4 4 （3） cov E E E 4 x 2 y 2dxdy 0 （3 分） 0 0 3 3 9 9
2 x 2 ． 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p( x) 0 x [0,1] 其他 3 8
, 则 E ( X 3 2) ＝
2.4
。
3 ． 若 1 , 2 独 立 同 分 布 于 N (0,1), 31 4 2 5 ， 则 的 密 度 函 数 为
（1 分）
4． （10 分） 某校共有 4900 个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自修的 概率为 0.1 ，试用中心极限定理计算阅览室要准备多少个座位，才能以 99％ 的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位？ 解：设去阅览室自修的人数为 ，要准备 k 个座位； 则 ～ B (n, p ) ， n 4900 ， p 0.1 ， （2 分）
（4）因为 11.143<13.507, 所以拒绝 H 0 ；
即认为这一天纤度的总体方差不正常.
f ( x, z x)dx
（2 分） （2 分） （3 分）
（1） 当 z 2 0r z 4 ， f ( z ) 0 （2） 当 2 z 4 时， f ( z )
2
1 1 dx 2 z z 2 2 2
1 2 z (2 z 4) 所以 Z X Y 密度函数为 f ( z ) 2 其他 0
2 (n 1) S n 1
（1 分） （2 分）
02
~ 2 ( n 1)
2 2 (n 1) S n 1 13.507 从表中可知： S n 1 0.088 ，算出 2
0
（2 分） （2 分） （1 分）
2 2 （3） 查表得临界值 /2 (4) 0.975 (4) 11.143
的分布函数 FZ ( z )
。
5．若 ( X 1 , X 2 ,..., X 6 ) 来自正态母体 N (0,1) 的样本， Y ( X i ) 2 ( X i ) 2 ，则当
i 1 i4
C=
1 3
时， CY 服从 2 分布.
二、选择题：(每小题 4 分，共 20 分) 1. 离散型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，则 P ( X xk ) =( （A） P ( xk 1 X xk ) （C） P ( xk 1 X xk 1 ) D )。
（2） E
4x
ydxdy
=0
（2 分）
3． （8 分）已知随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度
1 , x y 2, x 2, y 2 f ( x, y ) 2 其他 0，
求 Z X Y 的概率密度函数. 解： f ( z )
np 4900 0.1 490 ， npq 4900 0.1 0.9 441 21 ； （1 分） P{0 k} ≈ ( ( k np npq ) ( 0 np npq )
（2 分）
k 490 0 490 ) ( ) （2 分） 21 21 k 490 k 490 ( ) (23.33) ≈ ( ) 0.99 （1 分） 21 21 k 490 2.3263 ， k 21 2.3263 490 538.8523 ≈ 539 （2 分） 查表得 21 1 5． （12 分）设总体 的概率密度为 ( x) 2
x2 2 2
e
x0 x0
0
其中， 0 是未知参数， ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 的样本，求：
（1） 的矩法估计； （本小题 5 分） （2） 的极大似然估计. （本小题 7 分） 解： （1） E
2
x ( x )dx
P ( B1 ) 0.75 ， P ( B2 ) 0.25 ， P ( A B1 ) 0.02 ， P ( A B2 ) 0.04
（ 1 ） P ( A) P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B2 ) P ( A B2 ) 0.75 0.02 0.25 0.04 0.025 （4 分） （2） P ( B2 A )
P ( B2 ) P ( A B2 ) P ( A) 0.25 0.04 0 .4 0.025
（4 分）
2． （14 分）二维随机变量 ( , ) 的联合概率密度为
Axy 0 x 1, 0 y 1 ( x, y ) ， 其它 0
求： （1）系数 A ； （本小题 3 分） （2） , 的数学期望 E 和 E ，方差 D 和 D ； （本小题 6 分） （3） , 的协方差 Cov ( , ) 和相关系数 （本小题 5 分） 解： （1）根据规范性
（B） F ( xk 1 ) F ( xk 1 ) （D） F ( xk ) F ( xk 1)
2. 袋中有 8 个红球，2 个白球，10 个人各从中不放回地取一球，问第一个人和 第 2 个人取得红球的概率各为（ C ） 。 8 7 8 8 8 8 8 7 , （A） （B） , （C） , （D） , 10 9 10 9 10 10 10 10 3. 若随机变量 , 满足 2 3 0 ，则 与 的相关系数等于（ A （A）-1 （B）
1 2
） 。
（C）Leabharlann 1 2（D）1 ） 。4．设 X ~ B (6,0.4) ，则由切比雪夫不等式知 P ( X 2.4 2.4) （ C （A） 0.75 （B）0.5 （C）0.25
（D） 0.1
5. 设总体 X ~ N ( , 2 ) , 2 未知， 样本容量为 n ，X 是样本均值, S 2 是样本方差， 则 的置信度为 95%的置信区间为（ D ） 。 （A） ( X
t 0.975 (n 1), X t 0.975 (n 1)) n n t 0.95 (n 1), X t 0.95 (n 1)) n n
S n S n t 0.95 (n 1), X t 0.975 (n 1), X S n S n t 0.95 (n 1)) t 0.975 (n 1))
2 1 e ( x 5) /50 。 5 2
4．若随机变量 X ~ E (8), Y ~ U [0,6] ，且 X , Y 相互独立，令 Z max( X , Y ) ，则 Z
0, 1 8 z (1 e ), 6 8 z 1 e z0 0 z6 z6
3 6
华东理工大学 2007–2008 学年第一学期
《 概率论与数理统计
开课学院：理学院 考生姓名： 专业：
》课程期末试卷答案 A 卷
2008.1
考试形式：闭卷 所需时间 120 分钟 班级 任课教师
学号：
题序 一