华理概率论08-1-A_答案

（B） ( X
（C） ( X
（D） ( X
三、计算题： （共 6 小题，共计 60 分） 待用数据（ (2.3263) 0.99 , (1.5) 0.9332 , (2) 0.9772 ,
2 2 (2.5) 0.9938, ， 0.025 (4) 0.484, 0.05 (4) 0.711, 2 2 2 2 0.95 (4) 9.488, 0.975 (4) 11.143, 0.025 (5) 0.831, 0.05 (5) 1.145, 2 2 0.95 (5) 11.070, 0.975 (5) 12.833 ）
0
x
2


e

x2 2 2
dx （2 分）
2



0
e

x2 2 2
d(
x2 2 ) 2 2
（2 分）
解方程 (2)
ˆ

E X , 得到矩法估计

ˆX
（1 分） 2
先求似然函数：
n 1 2 xi 2 e 2 n i 1 L ( xi ) i 1 0
2
根纤维，测得其纤度为，1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，问这一天纤度的总 体方差是否正常 ( 0.05) ？这 5 个数据在 Excel 做描述统计得到如下表格：
解：以 X 表示这一天生产的维尼纶纤度，则 X ~ N ( , 0.048 2 ) （1） H 0 : 2 0.0482 , H1 : 2 0.0482 ； （2）取统计量 2
1． （8 分）甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有 75％ 是甲厂生产的，
有 25% 是乙厂生产的，甲厂电池的次品率是 0.02 ，乙厂电池的次品率是 0.04 。现从这批电池中任意取一个， （1）求它是次品的概率； （本小题 4 分） （2）现在发现任意取出的一个电池是次品，求它是乙厂生产的概率（本小 题 4 分） 解：设事件 A {取到次品}， B1 {取到甲厂产品}， B2 {取到乙厂产品}，

1 1 0 0

2



( x, y )dxdy 1
（3 分）

Axydxdy 1 A 4
1 1
1 1 2 2 ， E 4 xy 2 dxdy 0 0 0 0 3 3 1 1 1 1 1 1 E 2 4 x 3 ydxdy ， E 2 4 xy 3 dxdy 0 0 0 0 2 2 1 2 1 1 D E 2 (E )2 ( )2 , D （6 分） 2 3 18 18 1 1 2 2 4 4 （3） cov E E E 4 x 2 y 2dxdy 0 （3 分） 0 0 3 3 9 9
2 x 2 ． 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 p( x) 0 x [0,1] 其他 3 8
, 则 E ( X 3 2) ＝
2.4
。
3 ． 若 1 , 2 独 立 同 分 布 于 N (0,1), 31 4 2 5 ， 则 的 密 度 函 数 为
（1 分）
4． （10 分） 某校共有 4900 个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自修的 概率为 0.1 ，试用中心极限定理计算阅览室要准备多少个座位，才能以 99％ 的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位？ 解：设去阅览室自修的人数为 ，要准备 k 个座位； 则 ～ B (n, p ) ， n 4900 ， p 0.1 ， （2 分）
（4）因为 11.143<13.507, 所以拒绝 H 0 ；
即认为这一天纤度的总体方差不正常.

f ( x, z x)dx
（2 分） （2 分） （3 分）
（1） 当 z 2 0r z 4 ， f ( z ) 0 （2） 当 2 z 4 时， f ( z )
2
1 1 dx 2 z z 2 2 2
1 2 z (2 z 4) 所以 Z X Y 密度函数为 f ( z ) 2 其他 0
2 (n 1) S n 1
（1 分） （2 分）
02
~ 2 ( n 1)
2 2 (n 1) S n 1 13.507 从表中可知： S n 1 0.088 ，算出 2
0
（2 分） （2 分） （1 分）
2 2 （3） 查表得临界值 /2 (4) 0.975 (4) 11.143
的分布函数 FZ ( z )
。
5．若 ( X 1 , X 2 ,..., X 6 ) 来自正态母体 N (0,1) 的样本， Y ( X i ) 2 ( X i ) 2 ，则当
i 1 i4
C=
1 3
时， CY 服从 2 分布.
二、选择题：(每小题 4 分，共 20 分) 1. 离散型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，则 P ( X xk ) =( （A） P ( xk 1 X xk ) （C） P ( xk 1 X xk 1 ) D )。
（2） E
4x
ydxdy
=0
（2 分）
3． （8 分）已知随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度
1 , x y 2, x 2, y 2 f ( x, y ) 2 其他 0，
求 Z X Y 的概率密度函数. 解： f ( z )
np 4900 0.1 490 ， npq 4900 0.1 0.9 441 21 ； （1 分） P{0 k} ≈ ( ( k np npq ) ( 0 np npq )
（2 分）
k 490 0 490 ) ( ) （2 分） 21 21 k 490 k 490 ( ) (23.33) ≈ ( ) 0.99 （1 分） 21 21 k 490 2.3263 ， k 21 2.3263 490 538.8523 ≈ 539 （2 分） 查表得 21 1 5． （12 分）设总体 的概率密度为 ( x) 2
x2 2 2

e
x0 x0
0
其中， 0 是未知参数， ( X 1 , X 2 , , X n ) 是 的样本，求：
（1） 的矩法估计； （本小题 5 分） （2） 的极大似然估计. （本小题 7 分） 解： （1） E
2

x ( x )dx
P ( B1 ) 0.75 ， P ( B2 ) 0.25 ， P ( A B1 ) 0.02 ， P ( A B2 ) 0.04
（ 1 ） P ( A) P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B2 ) P ( A B2 ) 0.75 0.02 0.25 0.04 0.025 （4 分） （2） P ( B2 A )
P ( B2 ) P ( A B2 ) P ( A) 0.25 0.04 0 .4 0.025
（4 分）
2． （14 分）二维随机变量 ( , ) 的联合概率密度为
Axy 0 x 1, 0 y 1 ( x, y ) ， 其它 0
求： （1）系数 A ； （本小题 3 分） （2） , 的数学期望 E 和 E ，方差 D 和 D ； （本小题 6 分） （3） , 的协方差 Cov ( , ) 和相关系数 （本小题 5 分） 解： （1）根据规范性
（B） F ( xk 1 ) F ( xk 1 ) （D） F ( xk ) F ( xk 1)
2. 袋中有 8 个红球，2 个白球，10 个人各从中不放回地取一球，问第一个人和 第 2 个人取得红球的概率各为（ C ） 。 8 7 8 8 8 8 8 7 , （A） （B） , （C） , （D） , 10 9 10 9 10 10 10 10 3. 若随机变量 , 满足 2 3 0 ，则 与 的相关系数等于（ A （A）-1 （B）
1 2
） 。
（C）Leabharlann 1 2（D）1 ） 。4．设 X ~ B (6,0.4) ，则由切比雪夫不等式知 P ( X 2.4 2.4) （ C （A） 0.75 （B）0.5 （C）0.25
（D） 0.1
5. 设总体 X ~ N ( , 2 ) , 2 未知， 样本容量为 n ，X 是样本均值, S 2 是样本方差， 则 的置信度为 95%的置信区间为（ D ） 。 （A） ( X
t 0.975 (n 1), X t 0.975 (n 1)) n n t 0.95 (n 1), X t 0.95 (n 1)) n n
S n S n t 0.95 (n 1), X t 0.975 (n 1), X S n S n t 0.95 (n 1)) t 0.975 (n 1))
2 1 e ( x 5) /50 。 5 2
4．若随机变量 X ~ E (8), Y ~ U [0,6] ，且 X , Y 相互独立，令 Z max( X , Y ) ，则 Z
0, 1 8 z (1 e ), 6 8 z 1 e z0 0 z6 z6
3 6
华东理工大学 2007–2008 学年第一学期
《 概率论与数理统计
开课学院：理学院 考生姓名： 专业：
》课程期末试卷答案 A 卷
2008.1
考试形式：闭卷 所需时间 120 分钟 班级 任课教师
学号：
题序 一
得分 评卷人
三 二 1 2 3 4 5 6 总 分
一、填空题：(每题 4 分，共 20 分) 1．已知事件 A 与 B 互不相容， P ( A) 0.5 ， P ( B ) 0.3 ，这时 P ( B A B )
n 2 1 ln( ) 2 2 2 1 n 2 xi ， n i 1 1 n 2 Xi n i 1
x
i 1
n
2 i
（2 分）
解方程
x
i 1
n
2 i
0 ，可得
（2 分）
因为 0 ，负根舍去，所以极大似然估计为
X2 。
（1 分）
6． （ 8 分）已知某种维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N ( , 0.048 ) ，某日抽取 5
2
xi 0 ( i 1,2, , n) 其它
n 1 x2 2 i 1 ( 2 ) 2 e 2 i 1 n 0
n
min xi 0
i
（2 分）
其它
当 L 0 时，对 L 取对数，得 ln L n ln
d ln L n 1 3 d