第五章_第2节 n维线性空间中的微分方程

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第五章线性微分方程组

第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。

要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。

熟练掌握常数变易法。

本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。

本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。

本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。

不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。

本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。

二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。

三.方程组的具体解法。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。

但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。

如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。

用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的它们都是一阶微分方程组。

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捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，

nk5-1_2线性变换的定义

2. 变换是一个线性空间，到自身的映射到自身的映射f称为设V是一个线性空间，V到自身的映射称为是一个线性空间 V的一个变换，即 f : V → V 的一个变换，的一个变换这时，这时，向量 α ∈V在变换f下的象β记为fα，即β = fα 3. 线性变换设T是线性空间上的一个变换，满足以下条件：是线性空间V上的一个变换是线性空间上的一个变换，满足以下条件：
第五章线性变换
第一节线性变换的定义维线性空间V中线性变换的矩第二节 n维线性空间中线性变换的矩维线性空间阵第三节矩阵的对角化
第一节
线性射设F,G是两个非空的集合，如果有一个确定的操作f使F中的每一个元素α在 f的作用下所的作用下所得结果，集合G中都有一个唯一的元素中都有一个唯一的元素β与之得结果，集合中都有一个唯一的元素与之对应，则称该操作f是从集合到集合G的一个是从集合F到集合对应，则称该操作是从集合到集合的一个映射。映射。记为 f :F →G 若 x ∈ F, y ∈ G, f : x → y 是映射f下元的象，称为称为y在下的原象下的原象。称y是映射下元的象，x称为在f下的原象。是映射下元x的象记为 y = f(x)
那么上式可表示为： T(α1,α2,...,αn ) = (α1,α2,...,αn ) A a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n 其中： = A 线那么，A就称为 ... ... ... ... an1 an2 ... ann 性变换在基α1,α2,...,αn下的 T 矩阵. 显然，矩阵A 由基的象T(α1),T(α2 ),...,T(αn ) 唯一确定的.
T(k 1α 1 + k 2α 2 + L + k sα s ) = k 1Tα 1 + k 2Tα 2 + L + k s Tα s

第五章矩阵函数及其微积分

n j =1
1/p |xj + yj |p
≤
n j =1
1/p |xj |p
+
n j =1
1/p |yj |p , p ≥ 1. (5.1.1)
130
注 1. 定义 5.1.1 中的字母“l”是序列空间 (对照第二章第六节) 或 Lebesgue 49 空间的统称. 确切地说, 数域 F 上的所有绝对收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l1 空间, 绝对平方收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l2 空间, 所有有界无穷数列构成的线性空间称为 l∞ 空间, 以及 lp 空间等等. 类似地, 可以定义绝对可积函数空间 L1 , 绝对平方可积函数空间 L2 , 以及 Lp , L∞ 等等. 注 2. 当 0 < p < 1 时, lp 范数仍然满足向量范数的前两个条件, 但不满足三角不等式, 见习题 5. 注 3. 对于 C 或 R 上一般 n 维线性空间 V , 可以通过取 V 的一组基, 然后像例 5.1.2 中一样定义 V 的范数. 注 4. 常将 1- 范数称为 Manhattan (曼哈顿)- 度量, 因为在赋范线性空间中可以由范数自然定义距离, 即 d(x, y ) = ||x − y ||. 请读者在平面上或者空间中画出两点间的距离的示意图. 如果连接两点间的最短曲线称为线段, 请问 1- 范数下的线段是什么? ∞- 范数下的线段是什么? 例 5.1.3 (各种范数下的单位圆) 下面的图从左至右依次展示了 1- 范数, 普通范数 (欧几里得范数) 和 ∞- 范数下的平面上的单位圆 ( 1 维单位球面): ||x||1 = 1 T 1
49
Henri L´ eon Lebesgue(1875-1941), 法国数学家, 数学上有著名的 Lebesgue 积分.

无穷维空间上的随机微分方程

无穷维空间上的随机微分方程随机微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了在随机环境下的动态系统行为。

在传统的有限维空间中，随机微分方程已经取得了许多重要的成果。

然而，当我们将注意力转向无穷维空间时，随机微分方程问题变得更加复杂而有趣。

无穷维空间是指具有无限个自由度的空间，例如函数空间和概率空间。

在这样的空间中，我们可以定义随机过程，即一族随机变量，其中每一个变量都是在某个函数空间上定义的。

随机微分方程的研究就是探索在这样的无穷维空间中，随机过程的演化规律和性质。

无穷维空间中的随机微分方程具有许多特殊的性质。

首先，由于自由度的无限性，我们需要考虑更加复杂的测度理论和积分方法，例如Wiener积分和Malliavin导数。

这些工具使得我们能够定义无穷维空间上的随机微分方程，并研究它们的解的存在性、唯一性以及稳定性。

其次，无穷维空间中的随机微分方程通常具有更加丰富的解结构。

在有限维空间中，我们通常只关注解的存在性和唯一性，而在无穷维空间中，解的结构更加多样化。

例如，随机微分方程的解可能是随机过程的族，它们之间具有一定的关系。

这种解的结构使得我们能够更加深入地理解随机过程的演化规律。

最后，无穷维空间中的随机微分方程在理论和应用上都具有重要意义。

从理论上讲，它们为我们提供了研究无限自由度系统的工具。

从应用上讲，无穷维空间中的随机微分方程可以用于描述各种复杂的现象，例如金融市场的波动、大气环流模式的演化等。

因此，研究无穷维空间上的随机微分方程将有助于我们更好地理解和预测这些现象。

综上所述，无穷维空间上的随机微分方程是数学中一个重要且有趣的研究课题。

它们的研究需要借助复杂的测度理论和积分方法，并且具有丰富的解结构。

无穷维空间上的随机微分方程在理论和应用上都具有重要意义，对于我们理解和预测复杂现象具有重要的指导作用。

因此，我们应该继续深入研究无穷维空间上的随机微分方程，以推动数学和应用科学的发展。

高等代数教学大纲

高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质：高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。

对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。

高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。

高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。

2、课程教学目的要求（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。

(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。

(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。

(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。

本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。

线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。

本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。

多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。

《线性代数》教学大纲

《线性代数》教学大纲教学目的和要求：线性代数是数学学科中的一门重要基础课程，也是高等院校大部分专业的主要基础理论课，对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用。

目前也是华东师范大学各专业的重要基础课之一本课程主要学习线性代数中行列式，矩阵，n维向量和线性方程组，向量空间，矩阵的特征值和特征向量，二次型，线性变换的基本概念，基本计算及有关的计算方法。

为适应培养面向21世纪人才的需要，要求学生比校系统理解线性代数的基本概念，基本理论，掌握线性代数的基本计算方法。

要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论，具有严谨逻辑推理能力，空间想象能力，运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

教学基本内容和学时分配：第一章:行列式教学内容:行列式的定义，行列式的基本性质，行列式按行(列)展开定理，行列式的计算，克莱姆法则。

教学要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组。

第二章:矩阵教学内容:矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法，分块矩阵及其运算。

教学要求:理解矩阵的概念，了解单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵，正交矩阵，掌握矩阵的加法，数乘，乘法，转置及它们的运算法则，了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式。

理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵秩的概念。

掌握矩阵的初等变换，会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵，了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则。

第三章：n维向量与线性方程组教学内容：向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩和矩阵的秩之间的关系、齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组及基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，行初等变换求线性方程组的方法。

第二节n维线性空间

定理：是线性空间V的非空子集且关于定理：若L是线性空间的非空子集且关于的线性是线性空间的非空子集且关于V的线性 α + β ∈ L, 运算是封闭的是封闭的（运算是封闭的（即若 α , β ∈ L, k ∈ F kα ∈ L间。
例设 α1 ,α 2 ,⋯ ,α m 是数域上线性空间中的一组向量，是数域F上线性空间中的一组向量上线性空间V中的一组向量考虑这组向量的所有可能的线性组合：考虑这组向量的所有可能的线性组合：
的充要条件是
α1 ,α 2 ,⋯,α m 与 β1 , β 2 ,⋯ , β s
等价。等价。
例8.R 2×3的下列子集是否构成子空间？为什么？ 1 b 0 (1) W1 = b, c , d ∈ R 0 c d a b 0 a + b + c = 0 (2) W2 = a, b, c ∈ R 0 0 c 解：不构成子空间。因为对 (1) 1 0 0 2 0 0 A= B= ∈W1 , 有A + B = 0 0 0 ∉W1 0 0 0 W1对矩阵的加法不封闭。
例 11.在性间 [x]n中取组 ε1 =1 线空 R ，一基、 ε2 = (x − a)、 3 = (x − a)2、 εn = (x − a)n−1， ε ...、由 Taylor公可：式知 f (x) = f (a) + f '(a)(x − a) +
(n−1) f ''(a) (a) f 2 n−1 (x − a) + ... + (x − a) 2! (n −1)!
因， (x)在 ε1, ε2,ε3,..., εn 下坐是此 f 基的标：

线性代数教案-第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相似矩阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相似矩阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。

第五章随机平均法非线性随机动力学教案 .docx

El。；］=『/卩(4，%，卩1，卩2)呦1勿2如眇2
□ 015
(a)
Scห้องสมุดไป่ตู้
(b)
图5. 2-1例4.2-1系统（a）平稳响应。S]=S?=二0.3 ,其它参数与图4.2-1中相同。（a）系统总能量的概率密度；（b）位移均方值。
—随机平均法结果；---第一种准则等效非线性系统方法结果；••数字模拟结果。
5.1
随机平均原理是随机平均法的严格数学基础。本书中所发展的拟HamUton随机平均法用到两种形式随机平均原理，一是被经常引用的Stratonovich-Khasminskii极限定理，该定理乃由Stratonovich⑹基于物理考虑提出，然后Khasminskii⑺为该定理提供了严格的数学提法与证明，Papanicolao与Kohle严贝II对该定理作了改进与引申。该定理的数学提法较为一般，此处仅限于本书用到的特殊形式。
立，此时(5.1-2)化为
% (兀)=”(X, 0 +Dki笃;"Sji(兀,0bij(x)=Qd禺kgt'gjid,叽
若进一步假定/.、緞不显含丫，则(5.1-7)化为
叫(兀)= /(*) +Dki气“gji (*) bij(x) = 2Dklgik(x)gjl(x)
第一式中的第二项即为Wong-Zakai修正项。
再设以H为Hamilton函数的Hamilton系统为不可积，即H是与（522）相应的HamUton系统的唯一独立首次积分。弓【入变
H=H(QQ(5.2-3)
应用It6微分公式(261),可由(5.2-2)导得HamUton过程H(f)所满足的It6随机微分方程
以(524)代替(5.2-2)中关于P}的方程，并在(522)的其余方程及(5.2-4)中，按(5.2-3)以H代替円。这组新方程形同(5.1-9),的)，AU)，…，几⑺为快变过程，而H(f)为慢变过程。根据Khasminskii定理在etO时，在訂量级时间区间上，刊了)弱收敛于一维扩散过程。仍以丹⑴表示这一极限扩散过程，则支配该过程的平均It6随机微分方程形为

第五章线性空间与线性变换第一讲

k Vi，取k1 , k2， , km是m个不同的整数, 则k j V jr , j 1,
必存在i j使jr ir，于是ki (k j ) V jr , 即(ki k j ) V jr，ki k j .于是 V jr，矛盾. （因 V jr）本题结论成立.
r , r+1
n 是V的一组基，V1＝L(1
r ),V2 L( r+1
n ),
V V1 V2
(以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V (2) 设1
rs是V 的基.
则由A的定义Az 0,即z A1 (0). 于是V2 A1 (0).对任意的 z A1 (0), 我们证明z V2 . 设z y z1 其中y V1 , z1 V2 , Az y 0,即z z1 V2 , 对任意的x V , Ax Ay Az Ay y. A2 x A( Ax) Ay y, 即Ax A2 x A A2 下面证明唯一性, 若存在B使BV V1 , B 1 (0) V2 , 且B 2 B, 我们证明A B. x V 有x y z , Ax y , Bx By Bz By, By V1 , 若By y1 y , 则 y1 y 0 V1，于是B( y1 y ) By1 By V1，因B 2 B, 故 B 2 y By, 又B 2 y B ( By ) By1，于是By＝By1，即B( y1 y )＝0，于是y y1 V2，即 y y1 V1 V2，这与V1 V2＝0 矛盾.

常微分方程教案(王高雄)第五章

的记号．
⎡ a1 1 ( t ) ⎢ a (t ) A( t ) = ⎢ 2 1 ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣ a n1 ( t )
a1 2 ( t ) a 22 (t ) L a n 2 (t )
L L L L
a1 n ( t ) ⎤ a 2 n (t ) ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ a nn (t ) ⎥ ⎦
（5.2）
不难证明，如果 n × n 矩阵 A(t ), B(t ) 及向量 u(t ), v (t ) 是可微的，那么下列等式成立：
( I ) ( A(t ) + B(t ))′ = A′(t ) + B′(t ) (u(t ) + v (t ))′ = u′(t ) + v′(t ) ( II ) ( A(t ) ⋅ B(t ))′ = A′(t )B(t ) + A(t )B′(t ) ( III ) ( A(t )u(t ))′ = A′(t )u(t ) + A (t )u′(t )
类似的，矩阵 B (t ) 或者 u (t ) 在区间 a ≤ t ≤ b 上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间
a ≤ t ≤ b 上可积．并且它们的积分分别由下式给出：
⎡ b b ( t ) dt ⎢ ∫a 11 ⎢ b b ( t ) dt b = B ( t ) dt ⎢ ∫a 21 ∫a L ⎢ ⎢ b b ( t ) dt ⎢ ⎣ ∫a n1
b 22 ( t ) dt L b ∫ b n 2 (t ) dt
a a
∫ ∫
b
a b
b12 ( t ) dt
L L L L
∫ ∫
b1 n ( t ) dt ⎤ ⎥ b 2 n ( t ) dt ⎥ a ⎥ L ⎥ b ⎥ ∫a b nn (t ) dt ⎥ ⎦

常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组

常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组常微分方程考研讲义第五章线性微分方程组第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.认知常系数魏线性微分方程组基解矩阵的概念，掌控谋基解矩阵的方法。

5.掌控常系数线性微分方程组的laplce转换法。

[教学中难点]解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法]讲授，课堂教学。

[教学时间]16学时[教学内容]n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的laplce变换法。

[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能解常系数线性微分方程组。

§5.1存在唯一性定理5.1.1记号和定义实地考察形例如a11(t)x1?a12(t)x2?a1n(t)xn?f1(t)?x1?xa(t)x?a(t)x?a(t)x?f(t)?221122 22nn2an1(t)x1?an2(t)x2???ann(t)xn?fn(t)?xn（5.1）的一阶线性微分方程组，其中未知函数aij(t)(i,j?1,2,?,n)和fi(t)(i?1,2,?,n)在区,x2,,xn是线性的.间a?t?b上上是连续的。

方程组（5.1）关于x1,x2,?,xn及x1引进下面的记号：a11(t)a12(t)a(t)a(t)22a(t)21an1(t)an2(t)a1n(t)a2n(t)（5.2）ann(t)?这里a(t)就是n?n矩阵，它的元素就是n2个函数aij(t)(i,j?1,2,?,n).f1(t)x1x1f(t)xx22xx2（5.3）f(t)fn(t)??xn??xn这里f(t)，x，x?是n?1矩阵或n维列向量。

5.6 高阶线性微分方程

d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0. 2 dt dt
5
5.6 高阶线性微分方程
以上两例方程的共性 — 可归结为同一形式:
d2 y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
二阶线性微分方程
当 f ( x ) 0时, 二阶线性齐次微分方程
y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) C n yn ( x ),
其中C1 , C 2 ,, C n 为任意常数.
11
5.6 高阶线性微分方程
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构非齐次定理5.3 设 y 是二阶非齐次线性微分方程
5.6 高阶线性微分方程
5.6
高阶线性微分方程线性
(higher-order linear ordinary differential equation)
二阶线性微分方程举例
线性微分方程的解的结构常数变易法
小结思考题
第5章微分方程
作业
1
5.6 高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
例设有一个弹簧, 它的上端固定, 下端挂一个质量为m的物体. 当物体处于静止状态时, 作用在物
12
5.6 高阶线性微分方程
y x 2 是二阶非齐次线性方程. 如方程 y
已知 Y C1 cos x C 2 sin x 是对应齐次方程
y y 0 的通解. 又容易验证
y x 2 2 是所给方程的一个特解.
所以 y Y y
C1 cos x C 2 sin x x 2 2

线性微分方程的基本理论

故 x1(t), x2(t) 在 (,) 上线性无关.
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定理4.4 若函数组 x1(t)，x2 (t), , xn (t) 是方程（3.2.2）
在区间（a,b）上的n个线性无关的解,则它们的
Wronskian 行列式 W[x1(t)，x2 (t), , xn (t)]
在该区间上任何点都不为零. 证明: 用反证法
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推论4.2：设 x1(t)，x2 (t), , xn (t) 是方程 (4.2)
在区间（a,b）上的n个解。如果存在 t0 (a,b), 使得它的Wronskian 行列式
W[x1(t0 ),……，xn (t0 )] 0
则该解组在（a,b）上线性相关.
推论4.3 方程（4.2）的n个解 x1(t)，x2 (t), , xn (t)
a1(t)
d n1x dt n1
an1 (t )
dx dt
an
(t)x
称L为线性微分算子. 例如:
L[et ] [n
n1
a1(t)
a2(t)n2
an1(t)
an(t)]et
性质3.1 L(cx) cL(x)
c 为常数.
性质3.2 L(x1 x2 ) L(x1) L(x2 )
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则在（a,b）上线性无关的充要条件为
x1(t) 或 x2 (t) 在（a,b）上不恒为常数.
x2 (t)
x1 (t )
例3: sin t, cos t在任何区间上都线性无关.
cos2 t,1 sin2 t 在任何区间上都线性相关.
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注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取

常微分方程线性方程全文

x(t)
4000000 20t
因此有
dx 100x 61.6, x(0) 0. dt 400000 2t
该方程有积分因子
(t) exp(
100 dt) (4000 0.02t)50
400000 2t
两边同乘以 (t) 后,整理得
d [x(4000 0.02t)50] 61.6(4000 0.02t)50 dt 积分得?
0
0
f (x)以 2 为周期（令s 2 t ）
x2 e a(2 s) f (s)ds x eat f (t)d t
0
2
1
c 1 e2a
0 eas f (s)ds
2
将c 的表达式代入通解,再一次利用f (x)的周期性得:
y
1 e 2 a
1
x 2 e a( x s) f (s)ds
将y和y代入原方程,
u( x)e p( x)dx p( x)u( x)e p( x)dx
p( x)u( x)e p( x)dx g( x)
u( x)e p( x)dx g( x)
8
u( x)dx g( x)e p( x)dx dx u( x) g( x)e p( x)dxdx C
解原方程变形 dy 2sin y cos y 2cos2 y x 0
dx
22
2
1 2cos2
y
dy dx
tan
y 2
x0
2
d dx
tan
y 2
设tan y z 2
dz z x...... 一阶线性方程 dx
原方程通解: tan y C e x (1 x)
2
17
求 y 1 e y 的通解。

n维线性空间

设V是数域F上的 n维线性空间, ，，…，是它的一个基。

由上节可知，对任意的α，β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标
α=（，，…，），β=（，，…，）。

于是，对任意的λ F,α+β=（，，…，） ,
α=（，，…，） .
这样，可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间建立起一个一一对应:V ,使 =
.
显然，影射还保持了线性空间V与的线性运算关系，即
= +
=λ .
我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射，一般说来，有
定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间，如果从到
有一个映射： ,满足
(1) 是从到上的一一映射；
(2)对任意的α，β ,有 = +
(3)对任意的α V ，任意的 F,有=λ
.
那么，是从到上的同构映射。

如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。

前面的论述证明了下面的定理。

定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。

进一步可知，线性空间的同构具有下述性质：
(1) ,
(2)
(3) 设：是线性空间到上的同构映射，那么中的向量组，，…，线性相关当且仅当它们在中的像 , ,…, 线性相关。

(4) 同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。

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③ A( x ) [ai j ( x )]nn 在x x0处连续
⑥ A [ai j ]nn 的范数： A
y的范数： y yi
i 1
n
i , j 1
ai j
n
y的范数还有如下等价定义： 2 2 (1) | y | y12 y2 yn ; ( 2) | y | max | y1 | + | y2 | ++ | yn |;
a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 a1n ( x ) yn f1 ( x ) y1 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 a2n ( x ) yn f2 ( x ) y2 an1 ( x ) y1 an2 ( x ) y2 ann ( x ) yn fn ( x ) yn
n 阶方程 (2.4)
等价

一阶n元方程组 (2.4)
或
n 阶方程 (2.4) 转化一阶n元方程组 (2.4)
转化
2º n 阶方程 (2.4)
一阶n元方程组 (2.4)
例3 一阶二元微分方程组
d y 1 d x 0
0 y, 1
y1 y y2
y1 y1 即 y2 y2
又
( y1 , y2 , , yn ) ( , , , ( n1) ) (C1 , C 2 , , C n ) (C1 , C 2 , , C n )
( , , , ( n1) ) 若J 0， (C1 , C 2 , , C n ) 则 ( y1 , y2 , , yn ) 0 (C1 , C 2 , , C n )
d 2 x2 m2 2 k ( x2 x1 ) k (1) m k (2) 1 dt f1 k x1 f2 k ( x2 x1 ) d 2 x1 对物体 m1， m f2 f1 k ( x2 x1 ) kx1 1 2 dt 2kx1 kx2
于是，得振系的振动方程组： d 2 x1 m1 2 2kx1 kx2 二阶线性微分 dt d 2 x2 方程组 m2 2 kx1 kx2 dt
yn ( n1) ( x )
( x ) y2 验： y1 ( x ) y3 , … ， y2
( n) ( x ) f ( x , ( x ), ( x ), , ( n1) ( x )) yn f ( x , y1 , y2 , , yn )
范数(模)有如下基本性质： n (A) 对任何y R , y 0；而且 y =0当且仅当y =0; (B) 对任何y, z R n , y z y z .
2º微分方程组的解、通解等有关概念可仿照第一章微分方程的相应概念类似地给出定义. 如：n元微分方程组(2.2)的通解: 3º微分方程组的解存在性唯一性等也可仿照第三章微分方程的相应结论给出类似的定理. （已在习题中P141）
f1 ( x , y1 , y2 , , yn ) y1
f2 ( x , y1 , y2 , , yn ) y2 fn ( x , y1 , y2 , , yn ) yn
(2.2)
dyi 其中 yi ( i 1, 2, , n). dx
3. 一阶线性微分方程组
1 C1 2 C1 n C1 1 C 2 2 C 2 n C 2 1 C n 2 C n n C n
三、高阶微分方程与一阶微分方程组的解的关系
1. y( n) f ( x , y, y, , y( n1) )
解令
x1 x1 , x2 x2 dx1 x3 dt dx2 x4 dt
则所给二阶方程组转化为：
dx1 x3 dt dx2 x4 dt dx3 2k k x1 x2 dt m1 m1
dx4 k k x1 x2 dt m2 m2
2. y( n) a1 ( x ) y( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ) y( x0 ) y10 , y( x0 ) y20 , , y( n1) ( x0 ) yn0
f1 ( x ) f ( x) A( x ) [ai j ( x )]nn , f ( x ) 2 , fn ( x )
dy F ( x, y ) ( 2.2) 则(2.2)可以写成： dx dy A( x ) y f ( x ) ( 2.3) (2.3)可以写成： dx y1 y 注 1º ① d y 2 , A( x ) [a ( x )] , i j n n dx y n ② y( x )在x x0处连续
(2.3)
4. 微分方程组的向量形式
记
y1 f1 ( x , y1 , y2 , , yn ) y f ( x , y , y , , y ) 1 2 n y 2 , F ( x, y ) 2 , yn fn ( x , y1 , y2 , , yn )
( n1) n ( x) 1 ( x)
( x ) f ( x , 1 ( x ), 2 ( x ),, n ( x )) n
( x ) f ( x , 1 ( x ), 2 ( x ),, n ( x )) n 即
又
( n1) ( x ),, 1 f ( x , 1 ( x ), 1 ( x ))
组(2.2)的解，且
( 1 , 2 , , n ) J 0 (C1 , C 2 , , C n )
则称 ( x , C1 , C2 , , Cn )是( 2.2)的通解.
( 1 , 2 , , n ) J (C1 , C 2 , , C n )
k
(1)
m1 x1 l0
k
(2)
m2 x2 l
x
o o 弹簧( 2)的伸长量： x2 l l0 ( l0 x1 x2 ) l0 x2 x1
对物体m2，用牛顿第二定律得 k (2) m2 d 2 x2 m2 2 f2 k x2 f2 k x2 dt f2与位移方向相反
完
y1与y2相互独立
故此方程组不能转化为某一个变元的二阶微分方程.
由于任何一个高阶微分方程总可以借助引进新的未知函数，将其转化为一个与之等价的一阶微分方程组，所以研究的重点可以转向一阶微分方程组.
3º 高阶微分方程组也可转化为一阶微分方程组 d 2 x1 m1 2 2kx1 kx2 dt 转化为一阶例4 将 d 2 x2 微分方程组. m2 2 kx1 kx2 dt
y 1 ( x )是( 2.4)的解.
( n 1 , , 1 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 1 ) (C1 , C 2 , , C n ) (C1 , C 2 , , C n )
∴ 关于通解的结论也成立.
注 1º 在上述意义下，称
等价

dy A( x ) y f ( x ) dx y( x0 ) y0
y1 y y10 y y y 其中 y 2 , y0 20 ( n 1 ) y y n yn0
若 mi 1, 则称(2.1)为高阶微分方程组;
0
, , 若 F j ( j 1, 2, , n)关于yi , 1, 2, , n) 是线性的，则称( 2.1)是线性微分方程组; 否则，称(2.1)是非线性微分方程组.
2. (正规形)一阶微分方程组
二、微分方程组
1. 定义对于微分方程组
( m1 ) ( mn ) , , yn y1 , , yn , yn )0
, , F j ( x , y1 , y1
( 2.1)
( j 1, 2, , n ),
若 mi 1 ( i 1, 2, , n),
则称(2.1)为一阶微分方程组;
第五章高阶微分方程
§5.2 n维线性空间中的微分方程
一、问题的提出例
求如图所示的振系的简谐振动方程. k (1) k (1) k (2) k (2) m1 m1 m2 m2
x1 l0 x2 l
x
o o 解设振系在运动时，无阻力, 无外力. 弹簧(2)对物体m2的受力分析： k (2) m2 作用力(大小)： f2 f2 k x2
令
( 2.4)
y1 y y2 y y1 y3 y y2
则(2.4)可化为： y2 y1 y3 y2 (2.4)
yn y( n1) yn 1
1 yn yn f ( x , y1 , y2 , , yn ) yn
可以验证： y ( x )是( 2.4)的解 (通解) y1 ( x ) y2 ( x ) 是 (2.4) 的解 (通解)
∴ 关于通解的结论也成立.
反之，
y1 1 ( x ) y2 2 ( x ) 是 (2.4) 的解 (通解) yn n ( x )
y 1 ( x )是( 2.4)的解 (通解)
( x ) y1 y2 2 ( x ) 验： 1 ( x ) 2 ( x ) y2 y3 3 ( x ) , … , 1
1 0 0 0 0 0 1 0 , A( x ) 0 0 1 0 a ( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x ) n n 1 n 2 1