吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学上学期期中试题理含解析

吉林省梅河口市第五中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,1,3,5,7A =-，(){}2log 3B x y x ==-，则A B =（ ）A. {}1,3,5,7B. {}1,5,7C. {}3,5,7D. {}5,7【答案】D 【解析】 【分析】求解集合B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】∵(){}{}2log 33B x y x x x ==-=>，∴{}5,7A B =．故选:D .【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 2.命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（ ） A. 每个正方形的对角线都不相等 B. 存在不是正方形的四边形对角线不相等 C. 存在对角线不相等的正方形D. 每个不是正方形的四边形对角线都相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题得到答案.【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形” 故选：C ．【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.3.设向量()(),2,2,3a x x b =+=，且a b ⊥，则x =（ ） A. 1 B. 1- C.65 D. 65-【答案】D 【解析】 【分析】由题得()232560x x x ++=+=，解方程即得解. 【详解】由题得()232560x x x ++=+=， 解之得65x =-. 故选：D【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则ABC ∆为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角非等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可得b c =，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形． 【详解】在ABC ∆中，60A =︒，a bc =2，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-=，()20b c ∴-=b c ∴=，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形.故选D【点睛】本题考查余弦定理在判断三角形形状的应用，属于基础题．5.设0.341(),1010a b c log ===，则( )A. a c b <<B. b a c <<C. c b a <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】利用有界性分别得出0.341()1,2,110210log <<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】0.3011()()11010<=2>=，4441log 4log 10log 162=<<=， a c b ∴<<．故选：A ．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义． 6.设{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则“20a >”是“1n S S n +>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即可.【详解】解：由{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若20a >，则10n a +>，又 11n S S n n a ++=-，1n S S n +∴>，故充分性成立； 若1n S S n +>，则1n 10S S n n a ++-=>，20a ∴>，故必要性成立； 综上可得，“20a >”是“1n S S n +>”充要条件. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7.已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1)3f '=求出2,a =再根据(1,)a b +也在直线32y x =-上，求出b 的值，即得解. 【详解】因为1()f x a x'=+，所以(1)3f '= 所以13,2a a +==，又(1,)a b +也在直线32y x =-上， 所以1a b +=， 解得2,1,a b ==- 所以3a b -=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）A. AC AD -B. 22AC AD -C. AD AC -D.22AD AC -【答案】D 【解析】 【分析】本题是用,AC AD 当基底向量，来表示AB ，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD 表示CD ，再探究CD 、AB 的线性关系即可． 【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()2222AB CD AD AC AD AC ==-=-. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法. 9.将函数()cos y x π=+的图象向左平移3π个单位长度，然后将各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的对称中心为（ ） A. ()2,03k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z B. ()2,04k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z C. ()2,02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D. ()()2,0k k ππ+∈Z【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式化简, 进行先平移再伸缩的变换,即可得到1cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用余弦函数的图象和性质即可解得.【详解】将函数()cos cos y x x π=+=-的图象向左平移3π个单位长度得到cos 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，然后各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1cos 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，令()1232x k k πππ+=+∈Z ，得()23x k k ππ=+∈Z ，所以对称中心为()2,03k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ． 故选:A .【点睛】本题考查了诱导公式化简函数解析式,考查了三角函数的图象的变换与性质,难度较易.10.设定义在R 上的函数()f x 满足()cos 2f x f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当0x π≤<时，()12f x =，则74f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A.12B.2C.12- D.12-【答案】C 【解析】 【分析】由已知化简可得7335cos cos 4444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[)304ππ∈，,代入()f x 则有3142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,进而求得74f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】75533511cos cos cos 4444442222f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选:C .【点睛】本题考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,考查推理能力,难度较易. 11.已知定义在R 上的函数()()522222x x x x f x --=----，则不等式()()2324f x f x ++-≥-的解集为（ ）A. ()0,1B. (]0,1C. (],1-∞D. [)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】设()()22g x f x ++=，判断()g x 为奇函数，且在R 上为减函数，不等式转化为()()214g x g x +≥-+，计算得到答案.【详解】()()()52222222x x x f x x --=------， 令()()52222xx x x g x x f -+=--+-=，则()()()()552222xxx x g x x x x x --=-----=-----()g x =-，即()g x 为奇函数，且在R 上为减函数. 不等式()()2324f x f x ++-≥-，等价于()()()(){}2122422fx f x +++≥--++，即()()()2144g x g x g x +≥--=-+，则214x x +≤-+，解得1x ≤. 故选：C【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数()()22g x f x ++=是解题的关键.12.若函数()()3220f x x ax bx c b =-+-<有两个极值点1x ，2x ，且()11f x x =-，()222f x x =-，则关于x 的方程()()()23220f x af x b ++=的不同的实根的个数是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求导()f x ',由题意 1x ，2x 是2322=0x ax b -+的两个根，从而得到1-x ，2-x 是方程()()()23220f x af x b ++=的两根,做出草图,由图象得出答案.【详解】()2322f x x ax b '=-+，()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是()0f x '=的两个根， 由0b <，可知两根一正一负，又当()f x 的值取为1x -，2x -时，方程()()()23220f x af x b ++=成立．当120x x <<时，作出()f x 的简图如图1所示， 当()1f x x =-时有两根，当()2f x x =-时有三根， 所以方程()()()23220f x af x b ++=有五个根；同理当120x x >>时，作出()f x 的简图如图2所示，也有当()1f x x =-时有两根， 当()2f x x =-时有三根． 综上，方程()()()23220f x af x b ++=有五个根．故选:B .【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的关系,重点考查了数形结合的数学思想方法,难度较大.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13.已知()tan 3αβ+=，1tan tan 2αβ=，则tan tan αβ+=_________． 【答案】32【解析】 【分析】利用正切的和角公式变形,代入即可.【详解】()()13tan tan tan 1tan tan 3122αβαβαβ⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪⎝⎭． 故答案为:32. 【点睛】本题考查正切的和角公式,考查学生的计算能力,难度容易.14.已知1e ，2e 是夹角为120°的两个单位向量，则122a e e =+和212b e e =-的夹角的余弦值为_________． 【答案】217【解析】 【分析】首先利用数量积公式求得3a b ⋅=,3a =7b =,利用夹角公式代入即可.【详解】设a 与b 的夹角为θ，因为()()221221122243a b e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=，()2221212122443a e e e e e e =+=++⋅=，222112447b e e e e =+-⋅=，所以21cos 737a b a bθ⋅===⨯．故答案为:217. 【点睛】本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易. 15.用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.【答案】0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.16.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c B ++=，则sin sin A B ⋅的最大值为_________． 【答案】14【解析】 【分析】()2cos cos 0a b C c B ++=利用正弦定理边化角化简可求得23C π=,则有3A B π+=,则11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦函数图象和性质即可求出.【详解】因为()()2cos cos 2sin cos sin 20a b C c B A C B C R ++=++⋅=⎡⎤⎣⎦， 所以1cos 2C =-，所以23C π=． 所以11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为03A π<<，所以当6A π=时，sin sin A B ⋅取得最小值14． 故答案为:14. 【点睛】本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围. 【答案】（1）(){}|40UB A x x =-≤<；（2）[]3,0-【解析】 分析】 （1）分别求出UB 和A ,再取交集，即可．（2）因为B A ⊆且11m m -<+恒成立，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解出即可．【详解】解：（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< ．（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]3,0m ∈-． 【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．18.已知函数()22cos sin 2cos 162f x x x x x π⎛⎫=⋅+++- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）π；（2）(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【解析】【分析】(1)使用二倍角公式和辅助角公式化简()f x 利用周期公式即可求得;(2)由正弦函数的单调增区间,利用整体代入法即可求得.【详解】解：（1）()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 最小正周期为22ππ=． （2）由222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,考查了学生的计算能力,较易.19.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =． ()1求C ；()2若2a =，求，ABC 的面积ABC S 【答案】(1) 12π．(2) 【解析】【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】()1由已知可得ccosB bsinC =， 又由正弦定理b c sinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=， 12C AB ππ∴=--=．()223A π=，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a b sinA sinB =，可得23a sinB b sinA ⋅===， ()1sin 2sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-= ⎪⎝⎭11222ABC S absinC ∴==⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.已知函数()2e 21x f x x =--．（1）证明：()0f x ≥．（2）()00,x ∃∈+∞，使得()001f x ax <-成立，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）()2e 2,-+∞.【解析】【分析】(1)求导,可证得()f x 在,0上单调递减,在0,上单调递增,且()()min 00f x f ==,即可证得结论.(2)由题意可知即为2e 2xx ax -<在()0,x ∈+∞内有解, 即2e 2x x a x ->有解,构造()2e 2x x g x x-=,通过求导求得()min g x ,即a 大于()g x 在()0,x ∈+∞的最小值即可. 【详解】（1）证明：()22e2x f x '=-，令0f x ，得0x =． 当(),0x ∈-∞时，0f x ； 当()0,x ∈+∞时，0f x ． 所以()f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增， 且()()min 00f x f ==，所以()2e 210x f x x =--≥恒成立．（2）解：()00,x ∃∈+∞，使得()001f x ax <-成立，即2e 2x x ax -<在()0,x ∈+∞内有解，即2e 2x x a x->有解，令()22e 2e 2x xx g x x x -==-， 即a 大于()g x 在()0,x ∈+∞的最小值．()()2221e x x g x x -'=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 为减函数； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0g x ，()g x 为增函数，()min 12e 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2e 2a >-， 即a 的取值范围是()2e 2,-+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值,利用导数解决能成立问题中参数取值范围问题,考查考生的推理论证能力和运算求解能力,难度较大.21.已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -,即2t 时,函数h(x)在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h(x)在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++. 综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩(3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.22.已知函数()12cos sin 2f x x x x x =-+，()f x '为()f x 的导函数． （1）证明：()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点．（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】(1) 求出f x ,设()()g x f x '=，求()g x ',由()g x '的单调性及零点存在定理说明()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点,即证得f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点. (2)将恒成立问题,转化为函数的最值问题,利用导数研究函数的单调性,从而求得最值即可.【详解】（1）证明：设()()g x f x '=，则()13sin cos 2g x x x x =--，()sin 4cos g x x x x '=-． 令()()sin 4cos h x g x x x x '==-，则()5sin cos h x x x x '=+． ∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>， 则()g x '增函数，且()040g '=-<，022g ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭， ∴存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=， ∴当()00,x x ∈时，0g x ；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x ． 即()g x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增． 又∵()1002g =>，5022g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，即f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点． （2）解：当0x =时，()020f a =≥⨯； 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2cos 1sin 2x f x ax a x x ≥⇔≤-+． 设()2cos 1sin 2x p x x x =-+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 即()222sin 2cos cos x x x x x p x x ---'=， ∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴()0p x '<， ∴()p x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 122p x p π⎛⎫==-⎪⎝⎭， ∴12a ≤-． 综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查导数的运算、零点存在性定理的应用,以及利用导数证明不等式恒成立问题,难度较大.。