高考数学压轴题选择填空题

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专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

所以 x 0, 2023 ，则方程x x 1 由 2022 个根.①④正确，
2 故选：D.
4．（2022·河南信阳·高二期末（理））二进制数是用 0 和 1 表示的数，它的基数为 2，进位
规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数
a0
a1a2
ak
2
(
k
N
*
）对应的十进制数
记为 mk ，即 mk a0 2k a1 2k1 ... ak1 2 ak 20 ，其中 a0 1 ， ai 0，1（i 1，2，3，，k），
317
4
c13 c23 c33 c173
56 4 c23 16 64 ，
1 所以
c18
4
，所以
7 2
1 c18
4 ，则
1 4
c18
2 7
.
故选：C.
6．（2022·江苏南京·高二期末）将等比数列bn按原顺序分成 1 项，2 项，4 项，…， 2n1 项的各组，再将公差为 2 的等差数列an 的各项依次插入各组之间，得到新数列cn：b1 ，a1 ，
1 2
nt
0
1 2
n
，
若
n
为偶数，此时
1 2
n
0
，则此时不存在 t
N*
，使得
1 nt 2
1 n 2
，
综上：B 选项错误；
设 an 2n 1 ，此时满足 a1 2 1 3 0 ，
也满足 n, s N*, ans 2n s 1， an as 2n 1 2s 1 2n s 2 ，
② n, s N*, ans an as ；③ n N* ，t N*, ant an .定义：同时满足性质①和②的数

高考数学选填压轴题真题(含答案)

2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）一．选择题（共23小题）1．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π3．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π6．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．27．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m8．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]9．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个10．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8113．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=14．函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．715．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f （x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m16．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多17．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．118．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π19．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣20．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x321．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．222．如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列23．已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100二．填空题（共17小题）24．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．25．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）26．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．27．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．28．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．29．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．30．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．31．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．32．设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．33．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．34．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．35．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．36．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．37．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．38．已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=，b=．39．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．40．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．2．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•新课标Ⅱ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．6．（2016•新课标Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M 在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣=0，e＞1，解得e=．故选A．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]=m．故选B．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．9．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．10．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A 的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．11．（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B12．（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：3××2=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．故选：B．13．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D14．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B16．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．17．（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A18．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C19．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．20．（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A21．（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．22．（2016•浙江）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P ≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，﹣S n+1=S n+1﹣S n，即为S n+2则数列{S n}为等差数列．故选：A．23．（2016•浙江）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．二．填空题（共17小题）24．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．25．（2016•新课标Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④26．（2016•新课标Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1﹣ln2．【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．27．（2016•新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π28．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．29．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．30．（2016•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．31．（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=2．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，即a=b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：232．（2016•北京）设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为2；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【解答】解：①若a=0，则f（x）=，则f′（x）=，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；②f′（x）=，令f′（x）=0，则x=±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）33．（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．34．（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．35．（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．36．（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=1．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．37．（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是72cm2，体积是32cm3．【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，3238．（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=4，b=2．【解答】解：设t=log b a，由a＞b＞1知t＞1，代入log a b+log b a=得，即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），所以log b a=2，即a=b2，因为a b=b a，所以b2b=b a，则a=2b=b2，解得b=2，a=4，故答案为：4；2．39．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；=S n+1﹣S n，可得由a n+1S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．40．（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，V max=．故答案为：．。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节一元二次不等式及解法

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节一元二次不等式及解法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【·湖北八校联考】不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【·潍坊质检】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f(x)＝(a2＋4a －5)x2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a<125B ．80<a<125C ．a<80D ．a>1256.【厦门模拟】不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【莆田二模】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0B. 2C. 4D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x =10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥11．【北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试】已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x12.【南昌二中高三上学期第三次考试】不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．(,4)(2,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．若关于x 的不等式1420x x a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．14．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是．15．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .16．【绍兴市一中高三9月回头考数学】已知关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围为三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【日照模拟】已知函数2f(x)=21ax ax ++的定义域为R.(1)求a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x 的不等式220x x a a <－－－. 18．已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈ （1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围. 19．已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．20．【定州中学高三第一次月考数学】已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+∈≤≤-+-<--=)21(15))(212(3)2(1)(x x R x x x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小值；（2）已知R m ∈，命题p ：关于x 的不等式+≥2)(m x f 22-m 对任意R m ∈恒成立；q ：函数x m y )1(2-=是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

导数的综合运用：同构、构造函数选择填空压轴题(解析版)

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题一、单选题1.若对∀x ∈12e ,12，不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(0,4e ]B.(4e ,+∞)C.[4e ,+∞)D.(4e ,+∞)【答案】C【分析】不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2变形为ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2，令f x =ln xx ，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】由已知得：a >0，由ax -4 ln x <2ln a -ax ln2，得ax ln 2x <2ln a +2ln x 即ax ln (2x )2<ln (ax 2)，可得ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2．令f x =ln xx，x ∈0,+∞ ，则f (2x )<f (ax 2)，求导得f (x )=1-ln x x2，f(x )>0，解得0<x <e ；f (x )<0，解得x >e ，∴f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，且当0<x <1时f (x )<0；当x >1时，f (x )>0，函数图像如图所示．∵x ∈12е,12，∴2x ∈1е,1，∴f (2x )<0，由f (2x )<f (ax 2)及f x =ln x x 的图像可知，2x <ax 2恒成立，即a >2x成立，而2x ∈(4,4e )，∴a ≥4е，实数a 的取值范围是[4e ,+∞).故选：C ．2.对任意x ∈0,+∞ ，k e kx +1 -1+1xln x >0恒成立，则实数k 的可能取值为()A.-1B.13C.1eD.2e【答案】D【分析】将恒成立的不等式化为e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，构造函数f x =x +1 ln x ，利用导数可求得f x 单调性，从而得到e kx >x ，分离变量可得k >ln x x ；令h x =ln xx，利用导数可求得h x 最大值，由此可得k 的范围，从而确定k 可能的取值.【详解】当x >0时，由k e kx +1 -1+1xln x >0得：kx e kx +1 >x +1 ln x ，∴e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +1+1x，令g x =f x ，则g x =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，g x <0；当x ∈1,+∞ 时，g x >0；∴f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f 1 =2>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，由e kx +1 ln e kx >x +1 ln x 得：f e kx >f x ，∴e kx >x ，即k >ln xx；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x ≤h e =1e，∴当x >0时，k >ln x x 恒成立，则k >1e，∴实数k 的可能取值为2e，ABC 错误，D 正确.故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.3.已知对任意的x ∈0,+∞ ，不等式kx e kx +1 -x +1 ln x >0恒成立，则实数k 的取值范围是()A.e ,+∞B.1e ,eC.1e,+∞D.1e2,1e【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x2，当0<x <1时，g(x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故选：C .4.设实数a >0，对任意的x ∈1e3,+∞，不等式e 2ax -ln x 2a ≥1a -e 2ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1e ,+∞B.12e,+∞ C.0,1eD.1e2,+∞【答案】B【分析】将e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax化简为e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，再构造函数f x =x ln x +2 ，求导分析单调性可得e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax恒成立即2axe 2ax -x ln x ≥2x -2e 2ax ，可得e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，令f x =x ln x +2 ，则f e 2ax ≥f x 恒成立.又f x =ln x +3，故当x ∈1e 3,+∞时，fx >0，故f x =x ln x +2 在区间1e3,+∞上为增函数.又f e 2ax ≥f x 恒成立，则e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，即2ax ≥ln x ，2a ≥ln xx .构造g x =ln x x ,x ∈1e 3,+∞，则g x =1-ln xx2，令g x =0有x =e ，故当x ∈1e3,e时g x >0，g x 为增函数；当x ∈e ,+∞ 时g x <0，g x 为减函数.故g x ≤g e =1e ，故2a ≥1e ，即a ≥12e.故选：B 【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .5.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是()A.14,+∞B.12,+∞C.14,+∞ D.12,+∞ 【答案】D【分析】构造函数g (x )=f (x )-2x =ln x +ax 2-2x (x >0)，则转化得到g x 在(0,+∞)上单调递增，将题目转化为g (x )=1x+2ax -2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设x 1>x 2>0,因为对任意两个不等的正实数x 1,x 2,都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2,所以f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2,即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2,构造函数g(x)=f(x)-2x=ln x+ax2-2x(x>0),则g x1>g x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g (x)=1x+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥1x-12x2在(0,+∞)上恒成立,设m(x)=1x-12x2(x>0),则m (x)=-1x2+1x3=1-xx3，所以当x∈(0,1)时,m (x)>0,m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,m (x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=1-12=12，所以a≥1 2 .故选：D.6.已知f x 是定义在R上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a=2f2 ,b=ef e ,c=3f3 的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】A【分析】构建g x =xf x ，求导，利用导数判断g x 的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建g x =xf x ，则g x =f x +xf x ，因为f x +xf x <0对于x∈R恒成立，所以g x <0，故g x 在R上单调递减，由于a=2f2 =g2 ,b=ef e =g e ,c=3f3 =g3 ，且2<e<3，所以g2 >g e >g3 ，即a>b>c.故选：A.【点睛】结论点睛：1.f x +xf x 的形式，常构建xf x ；f x -xf x 的形式，常构建f x x；2.f x +f x 的形式，常构建e x⋅f x ；f x -f x 的形式，常构建f x e x.7.若函数f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-eC.-e,0D.-e,0【答案】A【分析】将问题转化为函数y=-a与y=e x2-2ln xx2-2ln x图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=e x2-2ln x x2-2ln x 转化为g t =e tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2=e x2-2ln x+a x2-2ln x，设h(x)=x2-2ln x(x>0)，则h (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，令h (x)>0⇒x>1，令h (x)<0⇒0<x<1，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h (1)=1，所以h (x )min =h (1)=1，所以h (x )≥1，函数f (x )有两个不同的零点等价于方程f (x )=0有两个不同的解，则e x 2-2ln x+a x 2-2ln x =0⇒-a =e x 2-2ln x x 2-2ln x，等价于函数y =-a 与y =e x 2-2ln xx 2-2ln x 图象有两个不同的交点.令x 2-2ln x =t ，g t =e t t ,t >1，则函数y =-a 与g t =e tt ,t >1图象有一个交点，则g t =te t -et t 2=e t t -1 t2>0，所以函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，所以g t >g 1 =e ，且t 趋向于正无穷时，g t =e tt趋向于正无穷，所以-a >e ，解得a <-e.故选：A .【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.8.函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足f x +2xf x >0，若不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax在x ∈1,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,1eB.1e ,+∞C.0,eD.1e,+∞【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数g x =x 2f x ，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成g ax≥g ln x ，即a ≥ln x x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，求出函数ln xx在1,+∞ 上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设g x =x 2f x ，x >0，g x =x 2f x +2xf x =x 2fx +2x f x >0所以函数g x 在0,+∞ 上为增函数．由f x 的定义域为0,+∞ 可知ax >0，得a >0，将不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax整理得a 2x 2⋅f ax ≥f ln x ⋅ln 2x ，即g ax ≥g ln x ，可得ax ≥ln x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈1,+∞ 上恒成立；令φx =ln xx ，其中x >1，所以a ≥φx maxφ x =1-ln xx2，令φ x =0，得x =e ．当x ∈1,e 时，φ x >0，所以φx 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，φ x <0，所以φx 在e ,+∞ 上单调递减；所以φx max =φe =1e ，即a ≥1e故选：B ．9.已知函数f (x )=xe x -a ln x +x -x a +1，若f (x )>0在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,e )B.0,eC.(-∞,1)D.0,1【答案】B【分析】构造函数g x =x +e x ，从而原不等式可转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，根据g x 的单调性可得x -a ln x >0，根据a 不同取值分类讨论求解即可.【详解】由f x >0得xe x +x >a ln x +x a +1，所以xe x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，即e x +ln x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，构造函数g x =x +e x ，则不等式转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，又易知g x 在R 上单调递增，故不等式等价于x +ln x >a ln x +ln x ，即x -a ln x >0.设h x =x -a ln x ，若a <0，h e1a=e1a-a lne 1a =e 1a-1<0，不符合题意；若a =0，则当x >0时，h x =x >0，符合题意；若a >0，则h x =1-ax,h x 在0,a 上单调递减，在a ,+∞ 上单调递增，所以h (x )min =h a ，要使h x >0恒成立，只需h a =a 1-ln a >0，所以0<a <e.综上可知a 的取值范围是0,e .故选：B .10.已知函数f (x )=xe x +e x ,g (x )=x ln x +x ，若f x 1 =g x 2 >0，则x 2x 1可取()A.-1 B.-1eC.1D.e【答案】A【分析】探讨函数g x 在1e 2,+∞上单调性，由已知可得x 2=e x 1(x 1>-1)，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由g x 2 =x 2(ln x 2+1)>0得x 2>1e，令g x =2+ln x >0，函数g x 在1e 2,+∞上单调递增，由f x 1 =e x 1x 1+1 >0得x 1>-1，则f x =e x ln e x +1 =g (e x )，由f x 1 =g x 2 >0得：g (e x 1)=g (x 2)，又e x 1>1e ,x 2>1e，于是得x 2=e x 1(x 1>-1)，x 2x 1=ex1x 1，令h (x )=e x x (x >-1)，求导得h(x )=e x (x -1)x 2，当-1<x <0,0<x <1时，h (x )<0，当x >1时，h (x )>0，即函数h (x )在(-1,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x >0时，h (x )min =h (1)=e ，且x →+∞，h (x )→+∞，h (-1)=-1e ，且x →0-，h (x )→-∞，故h (x )∈-∞,-1e∪[e ,+∞)即x 2x 1∈-∞,-1e ∪[e ,+∞)，显然选项A 符合要求，选项B ，C ，D 都不符合要求.故选：A 一、填空题11.设实数m >0，若对∀x ∈0,+∞ ,不等式e mx -ln xm≥0恒成立，则m 的取值范围为．【答案】m ≥1e【分析】构造函数f x =xe x 判定其单调性得mx ≥ln x ，分离参数根据恒成立求y =ln xx max即可.【详解】由e mx -ln xm≥0⇔mxe mx ≥x ln x =ln x ⋅e ln x ，构造函数f x =xe x x >0 ⇒f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 为增函数，则mx ⋅e mx ≥ln x ⋅e ln x ⇔mx ≥ln x 即对∀x ∈0,+∞ ,不等式mx ≥ln x 恒成立，则∀x ∈0,+∞ ,m ≥ln xx max，构造函数g x =ln x x ⇒g x =1-ln xx 2,令g x >0，得0<x <e ；令g x <0，得x >e ；∴g x =ln xx在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴g x max =g e =1e ，即m ≥1e .故答案为：m ≥1e .12.已知函数f (x )=e x +1-a ln x ，若f (x )≥a (ln a -1)对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】0,e 2【分析】对不等式进行合理变形同构得e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知a >0，由e x +1-a ln x ≥a (ln a -1)可得e x +1a+1-ln a ≥ln x ，即e x +1-ln a +1-ln a ≥ln x ，则有e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，设h (x )=e x +x ，易知h x 在R 上单调递增，故h (x +1-ln a )≥h (ln x )，所以x +1-ln a ≥ln x ，即x -ln x ≥ln a -1，设g (x )=x -ln x ⇒g x =x -1x，令g x >0⇒x >1，g x <0⇒0<x <1，故g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以g x ≥g 1 =1，则有1≥ln a -1，解之得a ∈0,e 2 ．故答案为：0,e 2 .13.已知a >1，若对于任意的x ∈13,+∞，不等式13x -2x +ln3x ≤1ae2x +ln a 恒成立，则a 的最小值为.【答案】32e【分析】根据题意可得13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，再构造f (x )=1x +ln x (x ≥1)，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x ≤ae 2x ，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为ln a +2x =ln a +ln e 2x =ln ae 2x ，所以13x -2x +ln3x ≤1ae 2x +ln a 可化为13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，设f (x )=1x +ln x (x ≥1)，则f (x )=-1x 2+1x =x -1x 2≥0，∴f (x )在1,+∞ 上单调递增，因为a >1，x ∈13,+∞，所以3x ≥1，e 2x ≥e 23>1，ae 2x >1，所以13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x 可化为f (3x )≤f (ae 2x )，所以3x ≤ae 2x ，∴a ≥3x e2x 在x ∈13,+∞ 上恒成立，∴a ≥3x e2xmax ，x ∈13,+∞ ，设g (x )=3x e 2x ，x ∈13,+∞ ，则g(x )=3(1-2x )e 2x，令g (x )>0，得13≤x <12；g (x )<0，得x >12，所以g (x )在13,12上单调递增，在12,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 12 =32e ，所以a ≥32e ，即a 的最小值为32e ．故答案为：32e．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x ，再构造函数.14.若不等式ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，则实数a 的最小值为．【答案】13e【分析】将不等式变形为e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，构造函数g x =e x +x ，求导得单调性，进而问题进一步转化为ln a ≥ln x -3x 成立，构造h x =ln x -3x ，即可由导数求最值求解.【详解】因为ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，不等式可变形为:ae 3x +3x +ln a ≥ln x +x ，即e ln a e 3x +3x +ln a ≥ln x +e ln x ，即e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，记g x =e x +x ，则g x =e x +1>0，所以g x 在R 上单调递增，则e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 可写为g 3x +ln a ≥g ln x ，根据g x 单调性可知，只需3x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立即可，即ln a ≥ln x -3x 成立，记h x =ln x -3x ，即只需ln a ≥h x max ，因为h x =1x -3=1-3x x ，故在x ∈0,13 上，h x >0，h x 单调递增，在x ∈13,+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，所以h x max =h 13 =ln 13-1=ln 13e，所以只需ln a ≥ln 13e 即可，解得a ≥13e.故答案为:13e【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.15.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是【答案】12,+∞ 【分析】设x 2>x 1>0，令g x =f x -2x ，将问题转化为g x 在0,+∞ 上单调递增，即g x ≥0在0,+∞ 上恒成立，采用分离变量的方式可得2a ≥-1x 2+2x ，结合二次函数性质可确定2a ≥1，由此可得结果.【详解】不妨设x 2>x 1>0，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2得：f x 1 -2x 1<f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x ，则g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g x =1x +2ax -2≥0在0,+∞ 上恒成立，∴2a ≥-1x 2+2x ，当1x =1，即x =1时，y =-1x2+2x 取得最大值1，∴2a ≥1，解得：a ≥12，∴实数a 的取值范围为12,+∞ .故答案为：12,+∞ .16.已知函数f x =12x 2-a ln x +1，当-2≤a <0，对任意x 1,x 2∈1,2 ，不等式f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2恒成立，则m 的取值范围为．【答案】12，+∞【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求m 的取值范围即可.【详解】因为-2≤a <0，函数f x 在1,2 上单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2，则f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2，可化为f x 2 +m x 2≤f x 1 +mx 1，设h x =f x +mx=12x2-a ln x+1+mx，则h x1≥h x2，所以h x 为1,2上的减函数，即h x =x-ax-mx2≤0在1,2上恒成立，等价于m≥x3-ax在1,2上恒成立，设g x =x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g x =3x2-a>0，所以函数g x 在1,2上是增函数，所以g(x)max=g2 =8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立)．所以m≥12.故答案为：12，+∞．17.已知实数x，y满足e x=xy2ln x+ln y，则xy的取值范围为.【答案】[e,+∞)【分析】把e x=xy2ln x+ln y化为xe x=x2y⋅ln(x2y)，构造函数f(x)=xe x(x>0)，可得xy=e xx，再求出函数g(x)=e xx(x>0)的值域即可得答案.【详解】依题意有x>0,y>0，设f(x)=xe x(x>0)，则f (x)=(x+1)e x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由e x=xy2ln x+ln y，得xe x=x2y⋅ln(x2y)，即有f(x)=f(ln(x2y))，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以有x=ln(x2y)，即x2y=e x，所以xy=e x x，设g(x)=e xx(x>0)，则g (x)=(x-1)e xx2，令g (x)=0，得x=1，x∈(0,1)时，g (x)<0，g(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，g (x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=e，所以x∈(0,+∞)时，g(x)∈[e,+∞)，所以xy的取值范围为[e,+∞).故答案为：[e,+∞)18.已知x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则ln x0x0=.【答案】3【分析】依题意得e3x0+3x0=x0+ln x0，构造函数f(x)=e x+x，则有f(3x0)=f(ln x0)，得出f(x)的单调性即可求解.【详解】因为x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则x0>0，所以e3x0-ln x0+2x0=0，即e3x0+3x0=x0+ln x0，令f(x)=e x+x，则f (x)=e x+1>0，所以f(x)在R单调递增，又e3x0+3x0=x0+ln x0，即f(3x0)=f(ln x0)，所以3x0=ln x0，所以ln x0x0=3.故答案为：319.已知函数f x =e ax-2ln x-x2+ax，若f x >0恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】2e,+∞ 【分析】根据f x >0恒成立，可得到含有x ，a 的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围.【详解】已知函数f x =e ax -2ln x -x 2+ax ，若f x >0恒成立，则实数a 的取值范围为令g x =e x +x ，g x =e x +1>0，所以g x 单调递增，因为f x =e ax -2ln x -x 2+ax >0x >0 ，所以e ax +ax >ln x 2+e ln x 2，可得g ax >g ln x 2 ，所以ax >ln x 2，所以a >ln x 2xx >0 恒成立，即求ln x 2x max x >0 ，令F x =ln x 2x x >0 ，F x =ln x 2 x -x ln x 2x 2=21-ln x x 2，当x ∈0,e 时，F x >0，F x 单调递增，当x ∈e ,+∞ 时，F x <0，F x 单调递减，所以F x ≤F e =2e ，可得a <2e .故答案为：2e ,+∞ .【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得f x >a 恒成立，可得出f x min >a ；对于任意的x ，使得f x <a 恒成立，可得出f x max <a .20.若ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，则实数a 的取值范围为．【答案】0<a ≤e 2【分析】利用同构法，构造函数f (x )=ln x +x ，将问题转化为f (2ax )≤f (e x)，从而得到2a ≤e x x恒成立问题，再构造g (x )=e x x，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，a >0,x >0⇔ln (2ax )-x +2ax -e x ≤0,⇔ln (2ax )+2ax ≤x +e x =ln e x +e x ，令f (x )=ln x +x ,x >0，则原式等价于f (2ax )≤f (e x )，f (x )=1x +1=1+x x>0恒成立，所以f (x )在定义域内单调递增，所以2ax ≤e x ⇒2a ≤e x x，令g (x )=e x x (x >0),g (x )=e x (x -1)x 2，则x >1时，g (x )>0，g (x )在(1,+∞)单调递增，0<x <1时，g (x )<0，g (x )在(0,1)单调递减，所以g (x )min =g (1)=e ，则2a ≤e ,a ≤e 2.又a 为正数，故答案为：0<a ≤e 2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知a <0，不等式xe x +a ln x x a ≥0对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为.【答案】-e 【分析】将不等式等价变形为xe x ≥-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，进而问题转化成x ≥-a ln x ，构造g (x )=x ln x ，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】xe x ≥-a ln x x a =-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，f x =x +1 e x >0x >0 ，故f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-x ln x 任意的实数x >1恒成立．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x ，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-x ln x max=-e ．故答案为：-e【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别22.关于x 的不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的最小值是.【答案】22e【分析】不等式转化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，构造函数f x =e x +x ，判断函数单调递增得到2x +1+ln a ≥ln x ，转化为2x +1-ln x +ln a ≥0，构造函数g x =2x +1-ln x +ln a ，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0，即e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f 2x +1+2ln a ≥f ln x ，即2x +1+2ln a ≥ln x ，即2x +1-ln x +2ln a ≥0在(0,+∞)上恒成立.设g x =2x +1-ln x +2ln a ，g x =2x -1x ，当x ∈12,+∞ 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈0,12 时，g x <0，函数单调递减；故g x min =g 12=2+ln2+2ln a ≥0，即2ln a ≥-2-ln2=-ln2e 2，解得a ≥22e.所以a 的最小值是22e.故答案为：22e.【点睛】方法点睛：将不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥e ln x +ln x ，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．。

2020年高考数学培优第03讲函数的性质选择填空压轴题专练(解析版)

周期为 6 的函数， f 2017 f 336 6 1 f 1 ，由 f x 3 f x可得 f 2 3 f 2 f 1 ，因为
函数 f x 的图象关于 y 轴对称，所以函数 f x 是偶函数， f 2
f
2
1 2
2
1 4
，所以
f
2017
f 1
f 2 1 ，故选 A.
f x2 2x 2 f 2 y2 8y 3 0 ．∴ f x2 2x 2 f 2 y2 8y 3 f 2 y2 8y 3．∵ f x是定
义在 R 上的单调函数．∴ x2 2x 2 2 y2 8y 3 ，即 x2 2x 2 2 y2 8y 3 0 ．整理，得
④存在三个点 A(x1, f (x1)) ， B(x2 , f (x2 )) ， C(x3, f (x3 )) ，使得 ABC 为等边三角形．
其中真命题的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A
【解析】由 f (x) 是有理数 f ( f (x)) 1 ，故命题①正确；易得 f (x) f (x) f (x) 是偶函数，故②正
范围是（）
A．
1 4
,
3 4
B．
1 4
,1
C． 1,3 2 3
D．
1 3
,
【答案】A 【解析】
由于 f x f x，所以函数为奇函数， f ' x 1 cos x 0 为增函数.由
f y2 2 y 3 f x2 4x 1 0 得到 f y2 2 y 3 f x2 4x 1 f x2 4x 1 ，根据函数的
x 12 y 22
1 ．令 x 2 cos 1 ，y 2 sin 2 ，∴ x y 2 cos 1 2 sin 2

2023年高考数学复习压轴题专练(选择+填空)专题45 利用方程同解求圆的方程

专题45 利用方程同解求圆的方程【方法点拨】当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆的方程.【典型题示例】例1 （多选题）已知二次函数()220y x x m m =-+≠交x 轴于A ，B 两点（A ，B 不重合），交y 轴于C 点.圆M 过A ，B ，C 三点.下列说法正确的是（） ①圆心M 在直线1x =上； ②m 的取值范围是()0,1；③圆M 半径的最小值为1； ④存在定点N ，使得圆M 恒过点N . A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】AD【解析】①因为二次函数()220y x x m m =-+≠的对称轴是1x =，且A ，B 两点关于1x =对称，所以圆心M 在直线1x =上，故正确；②因为二次函数()220y x x m m =-+≠交x 轴于A ，B 两点，所以440m ∆=-> 解得1m <且0m ≠，故错误；③设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（#）令0y =，则20x Dx F ++=则,A B x x 为方程20x Dx F ++=的两个根∵()220y x x m m =-+≠与x 轴交于A ，B 两点 ∴,A B x x 为方程220x x m -+=的两个根故方程20x Dx F ++=与方程()220y x x m m =-+≠的根相同 ∴2D =-，F m =，代入（#）2220x y x Ey m +-++=又∵(0,)C m 在圆上∴20m mE m ++=，解得1E m =--所以所求圆的方程为222(1)0x y x m y m +--++=.即()222125124m m m x y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 故()222142544m m m r -+-+==，因为1m <且0m ≠，所以1r >，故错误； ④圆M 的方程为()()222141124m m x y -++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即222(1)0x x y y m y -+---=，则圆M 恒过定点()0,1N ，故正确；故选：AD .例2 （多选题）在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()2f x x R x =∈的图象与直线():0l y x m m =+≠有两个不同的交点,A B ，经过,,A B O 三点的圆记为圆C .下列结论正确的是（）A ．14m >-且0m ≠ B ．当2log 3m =时，AOB ∠为钝角C ．圆C ：()2220x y mx m y +--+=（14m >-且0m ≠） D ．圆C 过定点()1,1-【解析】对于A ，联立2y x y x m⎧=⎨=+⎩，消y 可得20x x m --=，二次函数与直线有两个交点，则()()21410m ∆=--⨯⨯->，解得14m >-，又0m ≠，故A 正确；对于B ，联立消y 可得20x x m --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121x x =+，12x x m =-，则()()22121212121212()2OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m m ⋅=+=+++=+++=- 当2log 3m =时，()22log 3l 130og OA OB =⋅->，所以AOB ∠为锐角，故B 错误；对于C ，设圆C 的方程为220x y Dx Ey +++=（因为圆C 过O ，故0F =），由2y x y x m⎧=⎨=+⎩，消y 可得20x x m --=，故,A B x x 为方程20x x m --=的两个根由220x y Dx Ey y x m⎧⎨=++++=⎩，消y 可得22(0)()x D x m x m x E +++++= 即222)2()0(m D E m m x E x ++++=+故,A B x x 为方程222)2()0(m D E m m x E x ++++=+的两个根所以222)2()0(m D E m m x E x ++++=+与20x x m --=为同一方程故有2222m D E m mE m +++=-=-⎧⎨⎩，解得2D m m E =---=⎧⎨⎩所以圆C 的方程为()2220x y mx m y +--+=（14m >-且0m ≠，故C 正确；对于D ，由C ：()2220x y mx m y +--+=（14m >-且0m ≠），整理可得()2220x y m x y y +-+-=，方程过定点则22020x y x y y +=⎧⎨+-=⎩ ，解得11x y =-⎧⎨=⎩ ，所以圆C 过定点()1,1-，故D 正确；故选：ACD .【巩固训练】1.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ，则圆C 经过定点（其坐标与b 的无关）．3.已知圆C 过点(4,2)A ，()1,3B ，它与x 轴的交点为()1,0x ，()2,0x ，与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ，且12126x x y y +++=，则圆C 的标准方程为___________.4. 已知曲线22020y x x =+-与x 轴交于N M ,两点，与y 轴交于)2020,0(-P 点，则P N M ,,过外接圆的方程为（）A ．22201920200x y x y ++--=B ．22202120200x y x y ++--=C ．22201920200x y x y +++-=D ．22202120200x y x y +++-=【答案或提示】1.【答案】2220x y x +-=【解析】设所求圆的一般式方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，得20x Dx F ++=，则0,2是方程20x Dx F ++=的两个根，所以0202D F +=-⎧⎨⨯=⎩，20D F =-⎧⎨=⎩所以圆的一般方程为2220x y x F +-+=将()0,0代入，得0F =，所以圆的一般方程为2220x y x +-=.2.【答案】(0,1),(2,0)-【解析】设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++= 令y ＝0 得20x Dx F ++=这与220x x b ++=是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得20y Ey +=，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.分离参数得：222(1)0x y x y b y ++-+-= （*）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有，结合（*）式得 222010x y x y y ⎧++-=⎨-=⎩，解得02 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，经检验知，点(0,1),(2,0)-均在圆C 上，因此圆C 过定点.3.【答案】22(2)(1)5x y -+-=【解析】设圆C 的一般式方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，得20x Dx F ++=，所以12x x D +=-，令0x =，得20y Ey F ++=，所以12y y E +=-，所以有1212()6x x y y D E +++=-+=，所以6D E +=-，①又圆C 过点(4,2)A ，()1,3B ，所以2242420D E F ++++=，②221330D E F ++++=，③，由①②③得4D =-，2E =-，0F =，所以圆C 的一般式方程为22420x y x y +--=，标准方程为22(2)(1)5x y -+-=. 4. 【答案】A【解析】设MNP △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（#）令0y =，则20x Dx F ++=则,M N x x 为方程20x Dx F ++=的两个根∵22020y x x =+-与x 轴交于N M ,两点∴,M N x x 为方程220200x x +-=的两个根故方程20x Dx F ++=与方程220200x x +-=的根相同∴1D =，2020F =-，代入（#）2220200x y x Ey +++-=又∵)2020,0(-P 在圆上∴2(2020)202020200E ---=，解得2019E =所以所求圆的方程为22201920200x y x y ++--=.。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，00h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a 0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

高考数学拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)专题16取对数(新高考地区专用)含解析

1专题16 取对数【巩固训练】1.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A. a ，若对任意的x e ≥，不等式2ln 0m x x x me -≥恒成立，则m 的最大值是（）.1.A e .3e B .C e .2D e 3.若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则x y 的最小值为．4.若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的定义域[m ，n ] 上的值域是[m 2，n 2]（1<m <n ），则实数a 的取值范围是．5. 若函数2()x f x a x =-（1a >）有且只有三个零点，则实数a 的取值范围是．6.已知变量12,(0,)x x m ∈(0m >),且12x x <,若2112x x x x <恒成立,则实数m 的最大值是．2 【答案与提示】1.【答案】A2. 【答案】C 【提示一】2ln 0m x x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，构造函数()()0x g x xe x =>，等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 【提示二】2ln 0mx x x me -≥变形为ln ln mx x m x e e x⋅≥⋅，两边取对数ln(ln )ln ln m m x x x x+≥+，构造函数()()ln 0g x x x x =+>，该函数单增，故等价转化为ln m x x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C . 3 【答案】【提示】133y z ≤≤，ln x ey z z =，令y t z =，133t ≤≤，ln ln ln ln x x z et t y z y =+=-.4.【答案】2(1,)e e【提示】方法同例1.5. 【答案】2(1,)e e【提示】2x a x =，取对数得ln 2ln ax x =，即2ln ln x a x =，分离函数转化为2ln x y x=、ln y a =有三个交点.6.【答案】e 【提示】211212211212ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x <⇔<⇔<，则ln ()x f x x=单增. 2e。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集则E 为（）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数并且从大到小排列依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3）则下列有可能成立的是（）A ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列则 a 20222T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和则（） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数）且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列则下列关系式一定成立的是（）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …）则（）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗）若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立则k 的取值范围是．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小则m 的值只能是2．其中所有正确结论的序号是 .40．如图某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数）记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

【压轴题】高考数学试卷带答案

【压轴题】高考数学试卷带答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（） A ．14- B ．14 C ．23- D ．23 2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（）A ．536B ．29C ．16D ．194．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．245．函数()ln f x x x =的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元7．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-9．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（）A ．1B ．﹣2C ．6D ．2 11．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 212．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（）A 3B ．2C 6D 5二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为． 14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．复数()1i i +的实部为．16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离. 22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.24．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．（2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．26．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A. 2．A解析：A【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得PQ =(1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 3．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D 4．D解析：D【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,22a ba b a b ⋅∴<>===本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．6．D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000．故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．7．A解析：A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=， ∴3λ=-,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算9．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10．C解析：C【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素，当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．D解析：D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点．当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点；当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点，所以共有2个零点．故答案为：2．【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点，定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数15．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

高考数学压轴题之六、十年选择、填空题压轴题讲解教材讲课稿

1 ．（ 2014? 上海）已知互异的复数 a， b 满足 ab ≠ 0 ，集合{a ， b}={a 2，b 2}，则 a+b= （
）
A ．2 B． 1 C． 0 D ．﹣ 1
2 ．（ 2010? 福建）设非空集合 S={x|m ≤ x ≤ n} 满足当：x∈S 时，有 x2∈ S．给出如下三个命题： ①若 m=1 ，则 S={1} ；
）
A．
B．
C．
D．
28 ．（ 2013? 山东）抛物线 C1：
的焦点与双曲线 C2：
象限的点 M ．若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p= （）
A．
B．
C．
D．
的右焦点的连线交 C1 于第一
29 ．（ 2007? 陕西）f（ x）是定义在（ 0 ， +∞）上的非负可导函数，且满足 xf ′x（）+f （x ）≤ 0 ，对任意正数 a、 b ，
）
A ． bc （ b+c ）＞ 8 B． ab （ a+b ）＞ 16
C． 6 ≤ abc ≤ 12 D ． 12 ≤ abc ≤ 24
24 ．（ 2002? 北京）已知 f （x）的定义在（ 0， 3）上的函数， f（ x）的图象如图所示，那么不等式 f （ x）cosx ＜0
的解集是（
）
A ．（0 ，1）∪（ 2 ， 3） B．
若 a＜ b ，则必有（
）
A ．af （ b ）≤ bf （a） B． bf （ a ）≤ af b（） C． af （ a ）≤ f （b ） D ． bf （ b ）≤ f （a）
30 ．（ 2008? 上海）已知 z∈ C，且 |z ﹣2 ﹣2i|=1 ， i 为虚数单位，则 |z+2 ﹣ 2i| 的最小值是（

理科高考数学立体几何选择填空压轴题专练

立体几何选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD【答案】A【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE ，所以该正六边形的面积为26434⨯⨯=，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为4，故选A ． 2．如图，矩形ABCD 中， 2AB AD =， E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连BF,MF,如下图：可知面MBF// 1A DE ,所以A 对。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．1212ii+=-（） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（）A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =± 6．在ABC △中，5cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =（） A ．42B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π 11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（） A ．23B ．12C ．13D ．14 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高考数学选择填空压轴题适合一本学生

高考数学最具参考价值选择填空（适合一本学生）1、点O 在ABC ∆内部且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆面积与AOC ∆面积之比为A 、 2B 、 32C 、3D 、 532、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称图形，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++⋅⋅⋅+的值为A 、1B 、2C 、 1-D 、2-3、椭圆1:C 22143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。

抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为A 、43B 、83 C 、4 D 、84、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、64(6)-5、、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题：（1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根，（2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根（3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根（4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 16、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则24z x y =+-的最大值为A 、 21B 、 20C 、 19D 、 187、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ∆的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 728、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为A 、 ()(),44,-∞-⋃+∞B 、 ()(){}4,11,40--⋃⋃C 、 ()(),04,-∞⋃+∞D 、 ()(){}6,31,22--⋃-⋃-9、设方程220(,)x ax b a b R ++-=∈在(][),22,-∞-⋃+∞上有实根，则22a b +的最小值是A 、2B 、5 C 、 45 D 、 410、非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B，则向量1OB OB +为A 、22(a b )aa⋅ B 、2(a b )aa⋅ C 、 2(a b )a a⋅ D 、(a b )a a⋅11、函数2log (2)a y x ax =-+在[)2,+∞恒为正，则实数a 的范围是A 、 0a 1<B 、b c ≥与b c ≤中至少有一个正确C 、b c <D 、不能确定13、设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪⎩=，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=A 、 5B 、2222b b +C 、13D 、2232c c +14、已知(,),P t t t R ∈，点M 是园2211:(1)4O x y +-=上的动点，点N 是园()2221:24O x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是 A 、1 B 、C 、 1D 、 215．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线y 4=是椭圆的一条准线。

【压轴题】高考数学试卷带答案

【压轴题】高考数学试卷带答案一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12 C ．1 D2．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．564．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（） A ．4B ．16C ．8D ．326．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（） A ．19B ．29C ．49D ．7187．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．2B ．3C ．8D ．48．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).ABCD ．69．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14B ．13C ．12D ．2310．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-211．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，712．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（） A ．7B ．10C ．13D ．4二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．16．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 17．若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．18．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．19．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 23．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.24．选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.25．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(十三)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(十三)一、单选题1.(2022·广东·盐田高中高三阶段练习)若sin10°=3tan10°-1 ⋅sin α-20° ，则sin 2α+50° =( )A.18B.-18C.-78D.78【答案】D【解析】∵sin10∘=3tan10∘-1 ⋅sin α-20∘ ,，∴sin10∘=3sin10∘-cos10∘cos10∘⋅sin α-20∘ =232sin10∘-12cos10∘ cos10∘⋅sin α-20∘ =2sin (-20∘)cos10∘⋅sin α-20∘ ∴sin10∘cos10∘=-2sin20∘⋅sin α-20∘,∴sin α-20∘ =sin10∘cos10∘-2sin20∘=12sin20∘-2sin20∘=-14则sin 2α+50∘ =sin 2α-40∘+90∘ =cos 2α-20∘=1-2sin 2α-20∘ =1-2×14 2=78故选：D 2.(2022·广东·盐田高中高三阶段练习)已知a >0，若对任意的x ∈12,+∞ ，不等式12e ax -ln (2x )a≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞ B.1e ,+∞C.[1,+∞)D.12e ,+∞【答案】A【解析】因为a >0，不等式12e ax -ln (2x )a ≥0恒成立，即12e ax ≥ln (2x )a成立，即ae ax ≥2ln (2x )，进而转化为axe ax ≥2x ln (2x )=e ln (2x )⋅ln (2x )恒成立.令g (x )=xe x ，则g (x )=(x +1)e x ，当x >0时，g (x )>0，所以g (x )在(0,+∞)上单调递增，则不等式12e ax-ln (2x )a≥0恒成立等价于g (ax )≥g (ln (2x ))恒成立.因为a >0，x ∈12,+∞ ，所以ax >0，ln (2x )>0，所以ax ≥ln2x 对任意的x ∈12,+∞ 恒成立，所以a 2≥ln (2x )2x恒成立.设h (t )=ln t t (t >1)，可得h (t )=1-ln tt2.当1<t <e 时，h (t )>0，h (t )单调递增；当t >e 时，h (t )<0，h (t )单调递减.所以当t =e 时，函数h (t )取得最大值，最大值为h (e )=1e ，此时2x =e ，所以a 2≥1e，解得a ≥2e ，即实数a 的取值范围是2e ,+∞ .故选：A3.(2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习)已知x >0，y >0，且e x =x 2+ln y ，则( )A.x 2<ln eyB.y >eC.y 2>e xD.x 2≤e 2-1【答案】BC【解析】对于A ，由x 2=e 2-ln y ，则需证e x -ln y <ln e y，e x-ln y <ln e -ln y ，e x <1，显然不成立，故A 错误；对于B ，令f x =e x -x 2，f x =e x -2x ，令g x =f x ，g x =e x -2，令g x =0，解得x =ln2，可得下表：x 0,ln2 ln2ln2,+∞g x -0+f x↙极小值↗则f x min =f =2-ln2 2>0，即f x 单调递增，当x >0时，f x >f 0 =1，由e x -x 2=ln y ，则ln y >1，即y >e ，故B 正确；对于C ，由B 的证明过程，易知C 正确；对于D ，由x 2≤e 2-1，则e x -x 2≥e x -e 2+1，易知h x =e x -e 2+1单调递增，无最大值，故D 错误.故选：BC .4.(2022·湖南长沙同升湖实验学校高三阶段练习)已知函数f x =x ln x -2x ,x >0x 2+32x ,x ≤0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y =-1的对称点在y =kx -1的图像上，则实数k 的取值范围是( )A.12,1B.12,34C.13,1D.12,2【答案】A【解析】可求得直线y =kx -1关于直线y =-1的对称直线为y =mx -1m =-k ，当x >0时，f x =x ln x -2x ，f 'x =ln x -1，当x =e 时，f 'x =0，则当x ∈0,e 时，f 'x <0，f x 单减，当x ∈e ,+∞ 时，f 'x >0，f x 单增；当x ≤0时，f x =x 2+32x ，f 'x =2x +32，当x =-34，f 'x =0,当x <-34时，f x 单减，当-34<x <0时，f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当y =mx -1与f x =x 2+32x (x ≤0)相切时，得Δ=0，解得m =-12；当y =mx -1与f x =x ln x -2x (x >0)相切时，满足y =x lnx -2x y =mx -1m =ln x -1，解得x =1,m =-1，结合图像可知m ∈-1,-12，即-k ∈-1,-12，k ∈12,1 故选：A5.(2022·湖南长沙同升湖实验学校高三阶段练习)定义在R 上的函数f (x )满足：f (x -2)的对称轴为x =2，f (x +1)=4f (x ),(f (x )≠0)，且f (x )在区间(1，2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f (sin α)和f (cos β)的大小关系是( )A.f sin α >f cos β B.f sin α <f cos βC.f sin α =f cos βD.以上情况均有可能【答案】A【解析】由题意知f x -2 的对称轴为x =2，可得y =f x 的对称轴为x =0，即有f -x =f x ，函数f x 为偶函数，又f (x +1)=4f (x ),(f (x )≠0)，即f x f x +1 =4，可得f x +1 f x +2 =4，即为f x +2 =f x ，即2为函数的f (x )的周期，f (x )在区间(1，2)上单调递增，所以f x 在区间-1,0 上单调递增，可得f x 在0,1 上递减，由α,β是钝角三角形中两锐角，可得α+β<π2，即有0<α<π2-β<π2，则0<sin α<sin π2-β <1，即为0<sin α<cos β<1，则f sin α >f cos β ，故选：A .6.(2022·湖南·周南中学高三阶段练习)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =3，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形A 1BD 内有一动点P (包括边界)，则PA +PE 的最小值是( )A.2 B.22C.3D.33【答案】C【解析】以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则A 13,0,3 ，B 3,3,0 ，D 0,0,0 ，A 3,0,0 ，E 3,1,0 ，∴DB=3,3,0 ，DA 1 =3,0,3 ，AA 1 =0,0,3 ，设A 关于平面A 1BD 的对称点为A x ,y ,z ，则A A 1 =3-x ,-y ,3-z ，AA =x -3,y ,z ，设平面A 1BD 的法向量n=a ,b ,c ，则DB ⋅n=3a +3b =0DA 1 ⋅n =3a +3c =0 ，令a =1，解得：b =-1，c =-1，∴n =1,-1,-1 ，∴A 与A 到平面A 1BD 的距离d =AA 1 ⋅nn =3=AA 1 ⋅n n=-x +y +z3，又AA ⎳n ，∴x -3=-y =-z ，∴x =1，y =2，z =2，∴A 1,2,2 ，∴PA +PE =PA +PE ≥A E =4+1+4=3(当且仅当A ,P ,E 三点共线时取等号)，即PA +PE 的最小值为3.故选：C .7.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示，有一个所有棱长均为a 的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )A.πa 2B.32πa 2C.53πa 2 D.83πa 2【答案】B【解析】如图，补全正四面体，则正四面体的棱长为3a ，由正四面体的对称性，正四面体的内切球心、外接球心与截角八面体的内切球心重合，记为O ，O 在底面的投影为O 1，则MO 1⊥平面QPN ，正四面体的内切球半径R =OO 1，外接球半径r =OM =OP ，正四面体M -QPN 底面上的高h =MO 1，由相似性易得正四面体M -ABC 底面上的高为13h ，由正三角形的性质，易得△QPN 的高h 1=3a2-32a 2=332a ，则PO 1=23h 1=3a ，则在Rt △MPO 1中，h =MO 1=MP 2-PO 12=3a2-3a 2=6a ，PO 2=OO 12+PO 12⇒6a -R 2=R 2+3a 2，解得R =64a ，平面ABC 到平面QPN 的距离为h -13h =263a ，所以O 到平面ABC的距离为263a -R =5612a >R ，故截角八面体的内切球半径亦为R ，则截角八面体的内切球的表面积为S =4πR 2=3πa 22，故选：B .8.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)设a =cos π11-π11,b =π11-sin π11,c =tan π11-π11，则( )A.b <c <a B.c 0，f π6 =32+12-π3=3+33-2π6>0，所以f π11 =a -b =cos π11+sin π11-2×π11>0，即a >b ；a -c =cos π11-tan π11=cos π11-sin π11cos π11=cos 2π11-sin π11cosπ11，令g (x )=cos 2x -sin x ,0<x <π6，则g (x )=-2cos x sin x -cos x <0，所以g (x )在0,π6 上单调递减，g (0)=1,g π6 =34-12>0，所以g π11 =cos 2π11-sin π11>0，所以a -c =cos π11-tan π11=cos π11-sin π11cos π11=cos 2π11-sin π11cosπ11>0，所以a>c；c-b=tanπ11+sinπ11-2×π11，令h(x)=tan x+sin x-2x,0<x<π6，h (x)=1cos2x +cos x-2=cos3x-2cos2x+1cos2x=cos3x-2cos2x+1cos2x=(cos x-1)(cos2x-cos x-1)cos2x再令t=cos2x-cos x-1=cos x-1 22-54,0<x<π6，从而可得-23+14<t=cos2x-cos x-1<-1，所以h (x)=(cos x-1)(cos2x-cos x-1)cos2x>0，因此h(x)在0,π6上单调递增，又h(0)=0，所以h(x)>0，所以hπ11>0，故c>b.所以a>c>b.故选：A9.(2022·湖南岳阳·高三阶段练习)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,BC=3AC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为( )A.282127π B.323π C.2053π D.2879π【答案】C【解析】因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以，AA1⊥平面ABC所以，要使三棱柱的体积最大，则△ABC面积最大，因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，令AC=x因为BC=3AC，所以S△ABC=32x2⋅sin∠ACB，在△ABC中，cos∠ACB=AC2+BC2-AB22AC⋅BC=4x2-423x2，所以，sin2∠ACB=1-16(x2-1)212x4=-4x4+32x2-1612x4，所以，(S△ABC)2=34x4⋅sin2∠ACB=34⋅-x4+8x2-43=-x2-42+124≤3，所以，当x2=4，即AC=2时，(S△ABC)2取得最大值3，所以，当AC=2时，S△ABC取得最大值3，此时△ABC为等腰三角形，AB=AC=2,BC=23，所以，cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB⋅AC=4+4-122×2×2=-12,∠BAC∈0,π，所以∠BAC=2π3，所以，由正弦定理得△ABC外接圆的半径r满足23sin2π3=4=2r，即r=2，所以，直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径R2=r2+AA122=5，即R=5，所以，直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的体积为4π3R3=2053π.故选：C10.(2022·湖北·高三阶段练习)设a=54ln54,b=15e15,c=14，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c【答案】B【解析】设函数f x =1-x e x -1,x ∈0,1 ，则f x =-xe x <0，所以f x 在0,1 上单调递减，因此f 15 =1-15 e 15-1<f 0 =0，则15e 15<14，即b <c .当x ∈0,1 时，由f x =1-x e x -1<0，得0<e x <11-x，因此x <ln 11-x ,15<ln 54，则14<54ln 54，即c <a ，故b <c <a .故选：B 11.(2022·湖北·高三阶段练习)设函数f x =2sin 12x +φ -10≤φ≤π2在0,5π 内恰有3个零点，则φ的取值范围是( )A.0,π3∪5π12B.0,π4∪π3,π2C.0,π6∪5π12D.0,π6∪π3,π2【答案】D【解析】∵f x =0，即sin 12x +φ=12，∴12x +φ=π6+2k π或12x +φ=5π6+2k π，k ∈Z ，∴x =π3-2φ+4k π或x =5π3-2φ+4k π，k ∈Z ，∵0≤φ≤π2，即0≤2φ≤π，∴当k <0时，x =π3-2φ+4k π<π3-2φ-4π=-11π3-2φ<0且x =5π3-2φ+4k π<5π3-2φ-4π=-7π3-2φ<0，即所有根都小于零，当k ≥2时，x =π3-2φ+4k π≥π3-2φ+8π>8π-2φ>5π且x =5π3-2φ+4k π≥5π3-2φ+8π>8π-2φ>5π，即所有根都大于5π，综上：k =0,1，即f x 在0,5π 内的三个零点为π3-2φ，5π3-2φ，π3-2φ+4π，5π3-2φ+4π中的三个.由于上述4个值是依次从小到大排列，且5π3-2φ≥5π3-π>0，π3-2φ+4π≤π3+4π<5π故有两种情况，分别为：π3-2φ≥05π3-2φ+4π>5π，解得φ≤π6φ<π3，故0≤φ≤π6，或π3-2φ<05π3-2φ+4π≤5π，解得φ>π6φ≥π3，故π3≤φ≤π2，故0≤φ≤π6或π3≤φ≤π2，即φ∈0,π6 ∪π3,π2.故选：D ．12.(2022·湖北·高三阶段练习)直线y =k 与两条曲线f x =x ex 和g x =ln xx 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是x 1、x 2、x 3，则下列关系式正确的是( )A.x 2=x 1+x 3B.2x 2=x 1+x 3C.x 2=x 1x 3D.x 22=x 1x 3【答案】D【解析】当x e x =ln x x 时，则有x 2e x =ln x ，设函数h (x )=x2e x (x >0)，则h (x )=x (2-x )e x，当0<x <2时，h (x )>0,h (x )单调递增，当x >2时，h (x )<0,h (x )单调递减，而h (0)=0，而h (x )max =h (2)=4e2<12,12=ln e <ln2，如下图所示：因此曲线y =ln x ,y =x 2e x 的交点只有一个，因此曲线f x =x ex 和g x =ln xx 只有一个交点，f x =x e x ⇒f x =1-xe x,当x <1时，f (x )>0,f (x )单调递增，当x >1时，f (x )<0,f (x )单调递减，且当x →+∞时，y →0，且f (0)=0，图象如下图所示，g x =ln x x ⇒g (x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，g (x )>0,g (x )单调递增，当x >e 时，g (x )<0,g (x )单调递减，且当x →+∞时，y →0，当x →0时，y →-∞，图象如下图所示，当直线y =k 经过曲线f x =x ex 和g x =ln xx 唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点，如上图所示，则有0<x 1<1<x 2<e <x 3，且x 1e x 1=x 2ex 2=ln x 2x 2=ln x 3x 3，①对上式同构可得：ln e x 1e x 1=ln e x2ex 2=ln x 2x 2=ln x 3x 3，∵0<e x 1，x 2<e 且函数g x =ln xx 在0,e 单调递增，∴e x 1=x 2，x 1=ln x 2②又∵e x 2，x 3>e ，且函数g x =ln xx在e ,+∞ 上单调递减，∴e x 2=x 3③由方程②③可得：x 1⋅x 3=ln x 2⋅e x 2，再结合方程①可得：x 22=x 1x 3．故选：D13.(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习)已知f (x )满足f (x )=-4x 2-8x ,x ≤012f (x -2),x >0，若在区间(-1,3)内，关于x 的方程f (x )=kx +k (k ∈R )有4个根，则实数k 的取值范围是A.0<k ≤14或k =8-215 B.0<k ≤14C.0<k ≤8-215 D.0<k <14【答案】A【解析】∵f (x )满足f (x )=-4x 2-8x ,x ≤012f (x -2),x >0,可得:当x ≤0时,f (x )=-4x 2-8x 故-2<x ≤0时,f (x )=-4x 2-8x∵令0<x ≤2时,则-2<x -2≤0根据f (x )=12f (x -2),∴可得f (x )=12f (x -2)=12-4x -2 2-8x -2=-2x 2-2x =-2x -1 2+2∵当2<x ≤4时,则0<x -2≤2可得f (x )=12f (x -2),∴可得f (x )=12f (x -2)=-x -2 2-2x -2 =-x -3 2+1即2<x ≤3,f (x )=-x -3 2+1即f (x )=-4x 2-8x ,-1<x ≤0-2x -1 2+2,0<x ≤2-x -3 2+1,2<x ≤3令y =kx +k ,化简可得y =k x +1 故y =k x +1 恒过点-1,0在同一坐标系画出y =k x +1 和函数f (x )的图象①当y =k x +1 和函数f (x )相交时∵f (3)=1当y =k x +1 过点3,1 ,可得k =14根据图象可知当0<k ≤14时,区间(-1,3)内，y =k x +1 和函数f (x )相交且有4交点.即f (x )=kx +k (k ∈R )有4个根②当y =k x +1 和函数f (x )在2,3 上相切时设y =k x +1 和函数f (x )在2,3 上相切的切点为x 0,y 0 .当2<x ≤3,f (x )=-x -3 2+1=-x 2+6x -8f (x )=-2x +6∴f (x 0)=-2x 0+6=k ,又∵y =k x +1 恒过点-1,0 ,可得k =y 0x 0+1∴-2x 0+6=y 0x 0+1=-x 20+6x 0-8x 0+1x 20+2x 0-14=0解得:x 0=-1±15,故x 0=-1+15f (x 0)=-2x 0+6=k ,可得k =8-215综上所述,f (x )=kx +k (k ∈R )有4个根,则实数k 的取值范围:0<k ≤14或k =8-215故选:A .14.(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习)如图是半径为1，圆心角为π4的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠POC =α，矩形ABCD 的面积最大值为( )A.2-12B.2+12C.22D.3-22【答案】A【解析】BC =OC sin α=sin α，显然△ODA 是等腰直角三角形，故OA =DA =BC ，AB =OB -OA =OC cos α-BC =cos α-sin α，故矩形的面积S =(cos α-sin α)sin α，α∈0,π4，根据二倍角公式，辅助角公式化简得：S =cos αsin α-sin 2α=sin2α2-1-cos2α2=22sin 2α+π4 -12，根据α∈0,π4 可得2α+π4∈π4,3π4 ，故2α+π4=π2，即α=π8时，矩形面积取到最大值2-12.故选：A 15.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f x =-x 3+21+ex ，若f m 2-3 +f (1-m )>2，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,2)B.1-172,1+172C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.-∞,1-172 ∪1+172,+∞ 【答案】A【解析】令g (x )=f (x )-1=-x 3+21+e x -1=-x 3+1-e x 1+e x ，g (-x )=-(-x )3+1-e -x 1+e -x =x 3+e x -11+e x=-g (x )，故g (x )为奇函数.由函数单调性的性质可知g (x )在R 上单调递减.因为f m 2-3 +f (1-m )>2，所以g m 2-3 +1+g (1-m )+1>2，即g m 2-3 >-g (1-m )=g (m -1)，所以m 2-3<m -1，解得-1<m <2.故选：A16.(2022·湖北·高三阶段练习)对于某一集合A ，若满足a 、b 、c ∈A ，任取a 、b 、c ∈A 都有“a 、b 、c 为某一三角形的三边长”，则称集合A 为“三角集”，下列集合中为三角集的是( )A.{x |x 是△ABC 的高的长度} B.x x -1x -2≤0C.x x -1 +x -3 =2D.x y =log 23x -2【答案】B【解析】对于A ：当等腰三角形的顶角∠BAC 无限小时，且底边上的高AD 比较大，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，如下图所示：显然BE +CF <AD ，故BE 、CF 、AD 不满足三角形的三边，故选项A 错误；对于B ：由x -1x -2≤0，即x -1 x -2 ≤0x -2≠0 ，解得1≤x <2，任取x 1,x 2且x 1≥x 2，则 2≤x 1+x 2<4，0≤x 1-x 2<1，又1≤x 3<2，所以x 1-x 2<x 3<x 1+x 2，即选项B 成立；对于C ：因为x -1 +x -3 =2，当x ≤1时，-x -1 -x -3 =2，解得x =1；当x ≥3时，x -1 +x -3 =2，解得x =3；当1<x <3时x -1 -x -3 =2，即2=2恒成立，所以1<x <3；综上可得1≤x ≤3，即x x -1 +x -3 =2 =x |1≤x ≤3 ，令a =b =1，c =3，显然a +b <c ，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项C 错误；对于D ：因为log 2(3x -2)，所以3x -2>0，解得x >23，所以x y =log 23x -2 =x x >23，令a =b =1，c =3，显然a +b <c ，不满足a ，b ，c 为某一三角形的三边长，故选项D 错误.故选：B 二、多选题17.(2022·广东·盐田高中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x -ax ，则( )A.当a ≤0或a =1e 时，f x 有且仅有一个零点B.当a ≤0或a =12时，f x 有且仅有一个极值点C.若f x 为单调递减函数，则a >12D.若f x 与x 轴相切，则a =1e 【答案】AD【解析】令f x =0可得x ln x -ax =0，化简可得ln xx=a ，设h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x >e ，h (x )<0，函数h (x )在e ,+∞ 单调递减，当0<x <e ，h (x )>0，函数h (x )在0，e 单调递增，又h (1)=0，h (e )=1e ，由此可得函数h (x )=ln xx 图像如下：所以当a ≤0或a =1e 时，ln xx =a 有且仅有一个零点所以当a ≤0或a =1e时，f x 有且仅有一个零点，A 对，函数f x =x ln x -ax 的定义域为0，+∞ ，f x =ln x -2ax +1，若f x 与x 轴相切，设f x 与x 轴相切相切与点(x 0,0)，则f x 0 =0，f x 0 =0，所以ln x 0-ax 0=0，ln x 0-2ax 0+1=0所以x 0=e ，a =1e，故D 正确；若f x 为单调递减函数，则f x ≤0在0，+∞ 上恒成立，所以ln x +12x≤a 在0，+∞ 上恒成立，设g (x )=ln x +12x ，则g (x )=-ln x2x 2，当x >1时，g (x )<0，函数g (x )=ln x +12x单调递减，当0<x <1时，g (x )>0，函数g (x )=ln x +12x单调递增，且g (1)=12，g 1e =0，当x >1e时，g (x )>0，由此可得函数g (x )=ln x +12x的图像如下：所以若f x 为单调递减函数，则a ≥12，C 错，所以当a =12时，函数f (x )在0，+∞ 上没有极值点，B 错，故选：AD .18.(2022·广东·盐田高中高三阶段练习)设函数f x =2sin ωx +π3，ω>0，下列说法正确的是( )A.当ω=2时，f x 的图象关于直线x =π12对称B.当ω=π时，f x 的图象关于点-43,0 成中心对称C.当ω=12时，f x 在0,π2 上单调递增D.若f x 在0,π 上的最小值为-2，则ω的取值范围为ω≥76【答案】ABD【解析】当ω=2时，f x =2sin 2x +π3 ，2×π12+π3=π2，所以f x 的图象关于直线x =π12对称，A 选项正确；当ω=π时，f x =2sin πx +π3 ，2sin π×-43 +π3 =0，所以f x 的图象关于点-43,0 成中心对称，B 选项正确；当ω=12时，f x =2sin 12x +π3 ，当x ∈0,π2 时，12x +π3∈π3,7π12，y =sin x 在π3,7π12 上不单调递增，C 选项错误；若f x 在0,π 上的最小值为-2，由x ∈0,π ，得ωx +π3∈π3,ω+13 π ，sin ωx +π3可取得-1，所以ω+13 π≥32π，解得ω≥76，D 选项正确．故选：ABD .19.(2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习)已知过点A a ,0 作曲线y =1+x e x 的切线有且仅有1条，则a 的可能取值为( )A.-5 B.-3 C.-1 D.1【答案】AC【解析】由已知得y =2+x e x ，则切线斜率k =2+x 0 e x 0，切线方程为y -1+x 0 e x 0=2+x 0 e x0x -x 0 ，直线过点A a ,0 ，则-1+x 0 e x 0=2+x 0 e x 0a -x 0 ，化简得x 20+1-a x 0-2a -1=0，切线有且仅有1条，即Δ=a -1 2+42a +1 =0，化简得a 2+6a +5=0，即a +1 a +5 =0，解得a =-1或a =-5.故选：AC .20.(2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习)定义：μ=cos 2θ1-θ0 +cos 2θ2-θ0 +⋯+cos 2θn -θ0 n为集合A =θ1,θ2,⋯,θn 相对常数θ0的“余弦方差”.若θ∈0,π2 ，则集合A =π3,0相对θ的“余弦方差”的取值可能为( )A.38B.12C.34D.45【答案】ABC【解析】依题意μ=cos 2π3-θ0 +cos 20-θ02=cos π3cos θ0+sin π3sin θ0 2+cos 2θ02=12cos θ0+32sin θ0 2+cos 2θ02=14cos 2θ0+32cos θ0sin θ0+34sin 2θ0+cos 2θ2=12cos 2θ0+32cos θ0sin θ0+342=14cos2θ0+34sin2θ0+12=1412cos2θ0+32sin2θ0 +12=14sin 2θ0+π6 +12，因为θ0∈0,π2 ，所以2θ0+π6∈π6,7π6 ，所以sin 2θ0+π6 ∈-12,1 ，所以μ∈38,34；故选：ABC21.(2022·湖南长沙同升湖实验学校高三阶段练习)已知函数f x =sin cos x +cos sin x ，其中x 表示不超过实数x 的最大整数，下列关于f x 结论正确的是A.f π2=cos1 B.f x 的一个周期是2πC.f x 在0,π 上单调递减 D.f x 的最大值大于2【答案】ABD【解析】由f x =sin cos x +cos sin x ，对于A ，f π2=sin0+cos1=cos1，故A 正确；对于B ，因为f x +2π =sin cos x +2π +cos sin x +2π=sin cos x +cos sin x =f x ，所以f x 的一个周期是2π，故B 正确；对于C ，当x ∈0,π2时，0<sin x <1，0<cos x <1，所以sin x =cos x =0，所以f x =sin cos x +cos sin x =sin0+cos0=1，故C 错误；对于D ，f 0 =sin cos0 +cos sin0=sin1+cos0=sin1+1>22+1>2，故D 正确；故选：ABD22.(2022·湖南长沙同升湖实验学校高三阶段练习)已知函数f (x )=x +2a ,x <0x 2-ax ,x ≥0,若关于x 的方程f (f (x ))=0有8个不同的实根，则a 的值可能为.A.-6 B.8C.9D.12【答案】CD【解析】当a ≤0时, f (x )=0仅x =0一根,故f (f (x ))=0有8个不同的实根不可能成立.当a >0时, 画出图象,当f (f (x ))=0时, f 1(x )=-2a ,f 2(x )=0,f 3(x )=a又f (f (x ))=0有8个不同的实根,故f 1(x )=-2a 有三根,且y =x 2-ax =x -a 2 2-a 24.故-2a >-a24⇒a >8.又f 2(x )=0有三根, f 3(x )=a 有两根,且满足a <2a ⇒a >0.综上可知,a >8.故选：CD23.(2022·湖南·周南中学高三阶段练习)若函数f x =ln x +a x 2-2x +1 (a ∈R )存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ，则( )A.函数f x 至少有一个零点B.a <0或a >2C.0<x 1<12 D.f x 1 +f x 2 >1-2ln2【答案】ACD【解析】对于A ，f x =ln x +a x 2-2x +1 =ln x +a (x -1)2f (1)=ln1+a (1-1)2=0 ，∴x =1 是f (x ) 的一个零点，故A 正确对于B ，f(x )=1x +a (2x -2)=2ax 2-2ax +1x∵f (x ) 存在两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2) ，∴2ax 2-2ax +1=0 有两个不相等的实数根，即f (x ) 有两个变号零点x 1>0,x 2>0∴Δ>0 ，即(-2a )2-4×2a ×1=4a 2-8a =4a (a -2)>0 ，∴a >2或a <0又x 1>0,x 2>0，∴x 1+x 2=1>0x 1x 2=12a>0，解得a >0综上，a >2 ，故B 错误对于C ，由B 选项可得，x 1+x 2=1 ，∴x 2=1-x 1 ，∴1-x 1>x 1 ，∴0<x 1<12故C 正确对于D ，f (x 1)+f (x 2)=ln x 1+a (x 21-2x 1+1)+ln x 2+a (x 22-2x 2+1)=ln x 1x 2+a [x 21+x 22-2(x 1+x 2)+2]将x 1+x 2=1,x 1x 2=12a 代入上式f (x 1)+f (x 2)=ln 12a +a 12-2×12a -2×1+2 =-ln2a +a 1-1a =-ln2-ln a +a -1=a -ln a -ln2-1令h (a )=a -ln a -ln2-1(a >2)h (a )=1-1a =a -1a>0有h (a ) 在(2,+∞) 上单调递增，∴h (a )>h (2)=2-ln2-ln2-1=1-2ln2 ，故D 正确故选：ACD24.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)设定义在R 上的函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )和g (x )，若g (x )-f (3-x )=2，f (x )=g (x -1)，且g (x +2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.函数g (x )的图象关于x =1对称 B.f (2)+f (4)=4C.2023k =1g (k )=0D.2023k =1f (k )=-4046【答案】AC【解析】因为f (x )=g (x -1), 则f (x )+a =g (x -1)+b ,因为 g (x )-f (3-x )=2，所以g (x )=f (3-x )+2,用3-x 去替x ，所以有f (x )=g (3-x )-2，所以有g (3-x )-2+a =g (x -1)+b ,取 x =2 代入得到 g (1)-2+a =g (1)+b 则 a -2=b ，故g (3-x )=g (x -1)，用x +1换x ，可得g (2-x )=g (x )，函数g (x )的图象关于x =1对称,故A 正确；g (x +2)在R 上为奇函数, 则 g (x +2)过(0,0), 图像向右移动两个单位得到g (x )过(2,0)，故g (x )图像关于(2,0)对称，g (2)=0;g (x +2)=-g (-x +2)，而g (2-x )=g (x )，所以有g (x +2)=-g (x )，则 g (x ) 的周期 T =4;又因为g (x )图像关于(2,0)对称，g (2)=0;函数g (x )的图象关于x =1对称,，故g (1)=-g (3),g (2)=g (4)=0,2023k =1g (k )=g (1)+g (2)+⋯+g (2023)=g (1)+g (2)+g (3)=0,故C 正确.f (x )=g (3-x )-2, 是由 g (x ) 的图像移动变化而来, 故 f (x ) 周期也为 4 ,因为 g (1)=-g (3),g (2)=g (4)=0,所以 f (2)=g (1)-2，f (4)=g (-1)-2=g (-1+4)-2=g (3)-2,所以f (2)+f (4)=g (1)-2+g (3)-2=-4，故B 错误；f (x )=g (3-x )-2，f (x )周期为 4 , f (1)=g (2)-2=-2，f (2)=g (1)-2,f (3)=g (0)-2=-2,f (4)=g (-1)-2=g (-1+4)-2=g (3)-2故2023k =1f (k )=f (1)+f (2)+⋯+f (2023)=505×(-8)+f (1)+f (2)+f (3)=-4046+g (1)，由于g (1)的值未知，g (1)不一定为0，所以无法判断2023k =1f (k )的值为-4046，故D 错误;故选:AC .25.(2022·湖南岳阳·高三阶段练习)在直四棱柱中ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60∘,AB =AD =AA 1=2,P 为CC 1中点，点Q 满足DQ =λDC +μDD 1,λ∈0,1,μ∈ 0,1 .下列结论正确的是( )A.若λ+μ=1，则四面体A1BPQ 的体积为定值.B.若AQ ∥平面A 1BP ，则AQ 的最小值为 5.C.若△A 1BQ 的外心为M ，则A 1B ⋅A 1M为定值2.D.若A 1Q =7，则点Q 的轨迹长度为23π.【答案】ABD【解析】对于A ，因为DQ =λDC +μDD 1 ,λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，λ+μ=1，所以Q ,C ,D 1三点共线，所以点Q 在CD 1，因为CD 1∥A 1B ，CD 1⊄平面A 1BP ，A 1B ⊂平面A 1BP ，所以CD 1∥平面A 1BP ，所以点Q 到平面A 1BP 的距离为定值，因为△A 1BP 的面积为定值，所以四面体A 1BPQ 的体积为定值，所以A 正确，对于B ，取DD 1,DC 的中点分别为M ,N ，连接AM ,MN ,AN ，则AM ∥BP ，因为AM ⊄平面A 1BP ，BP ⊂平面A1BP ，所以AM ∥平面A 1BP ，因为MN ∥CD 1，A 1B ∥CD 1，所以MN ∥A 1B ，因为MN ⊄平面A 1BP ，A 1B ⊂平面A 1BP ，MN ∥平面A 1BP ，因为MN ∩AM =M ，MN ,AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ∥平面A 1BP ，因为AQ ⊂平面AMN ，所以AQ 平面A 1BP ，所以当AQ ⊥MN 时，AQ 最小，因为∠BAD =60∘,AB =AD =AA 1=2，所以AM =5,MN =2，AN =AD 2+DN 2-2AD ⋅DN cos120°=4+1-2×2×1×-12=7，所以AM 2+MN 2=AN 2，所以Q ,M 重合，所以AQ 的最小值为5，所以B 正确，对于C ，若△A 1BQ 的外心为M ，过M 作MH ⊥A 1B 于H ，因为A 1B =22+22=22，所以A 1B ⋅A 1M =12A 1B 2=4，所以C 错误，对于D ，过A 1作A 1O ⊥C 1D 1于点O ，因为则可得DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1O ，因为C 1D 1∩DD 1=D 1，C 1D 1,DD 1⊂平面DD 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面DD 1C 1C ，OD 1=A1D 1cos π3=1，在DD 1,D 1C 1上取点A 3,A 2，使得D 1A 3=3,D 1A 2=1，则A 1A 3=A 1A 2=7,OA 3=OA 2=7-3=2，所以若A 1Q =7，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧A 2A 3上运动，因为D 1O =1,D 1A 3=3，所以∠A 3OA 2=π3，则圆弧A 2A 3等于2π3，所以D 正确，故选：ABD26.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f x =3x 2-1 2-8x 3-a ，则( )A.f x 的极大值为1-aB.f x 的最小值为-5-aC.当f x 的零点个数最多时，a 的取值范围为2027,1D.不等式f x ≤-a 的解的最大值与最小值之差小于1.2【答案】ACD【解析】因为f x =3x 2-1 2-8x 3-a ，所以f x =23x 2-1 ×6x -24x 2=12x x -1 3x +1 .当-13<x <0或x >1时，f x >0；当x <-13或0<x <1时，f x <0.即f x 在-∞,-13 和0,1 上单调递减，在-13,0 和1,+∞ 上单调递增，所以函数在x =-13取得极小值，在x =0处取得极大值，在x =1处取得极小值，又f -13 =2027-a ，f 1 =-4-a <f -13，故f x 的极大值为f 0 =1-a ，f x 的最小值为f 1 =-4-a ，故A 正确，B 错误.所以f x 零点个数最多为4，此时f -13 =2027-a <0，f 0 =1-a >0，解得a ∈2027,1 ，C 正确.不等式f x ≤-a ，即3x 2-1 2-8x 3≤0，令g x =3x 2-1 2-8x 3，则g x =23x 2-1 ×6x -24x 2=12x x -1 3x +1 .当-13<x <0或x >1时，g x >0；当x <-13或0<x <1时，g x <0.即g x 在-∞,-13 和0,1 上单调递减，在-13,0 和1,+∞ 上单调递增，所以g x 的函数图象如下所示：因为g 0.2 =0.882-1.6×0.04>0，g 1.4 =4.882-8×1.43>0，则g x ≤0的解的最大值与最小值之差小于1.4-0.2=1.2，即不等式f x ≤-a 的解的最大值与最小值之差小于1.4-0.2=1.2，D 正确.故选：ACD27.(2022·湖北·高三阶段练习)若由函数f x 构造的数列a n 满足a n =f n ,∀n ∈N *,0<a 1+a 2+⋯+a n<1，则称f x 为单位收敛函数.下列四个函数中，为单位收敛函数的是( )A.f x =25x B.f x =2(x +2)2C.f x =13 x +14 xD.f x =lg 1+1x 【答案】BC 【解析】若f x =25x ，则a n =25n，则a 1+a 2+⋯+a 7+a 8=251+12+13+14+15+16+17+18 >251+12+14+14+18+18+18+18=1，故f x =25x 不是单位收敛函数.若f x =2(x +2)2，则a n =2(n +2)2<2n +1 n +2=21n +1-1n +2 ,0<a 1+a 2+⋯+a n =212-13+13-14+⋯+1n +1-1n +2 =212-1n +2<1，故f x =2(x +2)2为单位收敛函数.若f x =13 x +14 x ，则a n =13 n +14n，0<a 1+a 2+⋯+a n =131-131-13n +141-141-14n =121-13n +131-14n <12+13<1，故f x =13 x +14x为单位收敛函数.若f x =lg 1+1x ，则a n =lg 1+1n =lg n +1n=lg n +1 -lg n >0，0<a 1+a 2+⋯+a n =lg2-lg1+lg3-lg2+⋯+lg n +1 -lg n =lg n +1 ，当n >9时，lg n +1 >1，故f x =lg 1+1x不是单位收敛函数.故选：BC .28.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f x =cos x -2sin x ，以下结论不正确的是( )A.π是函数f x 的一个周期B.函数f x 在0,2π3上单调递减C.函数f x 的值域为-5,1D.函数f x 在-2π,2π 内有6个零点【答案】ABD【解析】对于A：因为f x =cos|x|-2|sin x|，所以f0 =cos0-2|sin0|=1，fπ =cosπ-2sinπ=-1，因为fπ ≠f0 ，所以π不是函数f x 的一个周期，即选项A错误；对于B：当0≤x≤2π3时，f x =cos x-2sin x=555cos x-255sin x=5cos(x+φ)，其中cosφ=55，sinφ=255，不妨设φ为锐角，则π3<φ<π2，因为0≤x≤2π3，所以φ≤x+φ≤2π3+φ，因为2π3+φ>π，所以函数f x 在0,2π3无单调性，即选项B错误；对于C：因为2π是函数f(x)的一个周期，可取一个周期[-π,π]上研究值域，当x∈0,π，f(x)=cos x-2sin x=5cos(x+φ)，其中cosφ=55，sinφ=255，不妨设φ为锐角，则π3<φ<π2，则φ≤x+φ≤π+φ<3π2，所以5cosπ≤f x ≤5cosφ，即f(x)∈[-5,1]；又因为f(x)是偶函数，所以当x∈[-π,0]时，f(x)∈[-5,1]，故函数f(x)在R上的值域为[-5,1]，故选项C正确；对于D：当x∈[0,π]，令f(x)=0，得cos x=2sin x，即tan x=12，只有1个解；当x∈π,2π，令f(x)=0，得cos x=-2sin x，即tan x=-12，只有1个解；所以f(x)在[0,2π]上有2个零点，又因为函数f(x)为偶函数，所以在区间-2π,2π内有4个零点，即选项D错误.故选：ABD．29.(2022·湖北·高三阶段练习)函数f(x)=e kx⋅ln x(k为常数)的图象可能是( )A. B.C.D.【答案】ABC【解析】显然f (x )有唯一零点x =1，故D 错误；f(x )=e kx x(kx ln x +1)，(x ln x ) =ln x +1，∴y =x ln x 在0,1e 上单减，1e,+∞ 上单增，∴x ln x ∈-1e ,+∞ ，且x →0时x ln x →0，x →+∞时x ln x →+∞，故当0≤k ≤e 时，f (x )≥0，f (x )单增，选项A 可能；当k >e 时，f (x )存在两个零点0<x 1<1e<x 2<1，f (x )在0,x 1 和x 2,+∞ 上单增，x 1,x 2 上单减，选项B 可能；当k <0时，f (x )存在唯一零点x 0>1，f (x )在0,x 0 上单增，在x 0,+∞ 上单减，选项C 可能．故选:ABC .30.(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】对于选项A ：f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，又f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72=f -32 =-f -12 =-34，故选项A 正确；对于选项B ：因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，故选项B 正确；对于选项C ：f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ：根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，故选项D 正确.故选：ABD31.(2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习)已知函数f x =2x +1+2-1-x -2,x ≤0log 2x ,x >0，若f x 1 =f x 2 =f x 3 =f x 4 ，且x 1<x 2<x 3<x 4，则( )A.x 1+x 2=-1B.x 3x 4=1C.22≤x 3<1<x 4≤2D.0<x 1+x 2+x 3+x 4≤322-2【答案】BCD【解析】当x ≤0时，f x =2x +1+2-1-x -2.设函数g x =2x +2-x -2，则有g -x =g x ，g 0 =0，g x =2x +2-x -2≥22x ×2-x -2=0，故g x 是偶函数，且最小值为0.当x >0时，g x =2x ln2-2-x ln2=2x -2-x ln2>0，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，又g x 是偶函数，所以g x 在-∞,0 上单调递减.把g x =2x +2-x -2的图象向左平移一个单位长度，得到函数y =21+x +2-1-x -2的图象，故函数y =21+x +2-1-x -2的图象关于直线x =-1对称，故可得到函数f x 在-∞,0 上的图象.作出函数f x 的大致图象，如图所示.又f 0 =12，故函数f x 的图象与y 轴的交点为0,12.作平行于x 轴的直线y =a ，当0<a ≤12时，直线y =a 与函数f x 的图象有四个交点.数形结合可知x 1+x 2=-2，故A 错误；由f x 3 =f x 4 ，得log 2x 3 =log 2x 4 ，又根据题意知x 3<1<x 4，所以-log 2x 3=log 2x 4，即log 2x 4+log 2x 3=0，即log 2x 3x 4 =0，所以x 3x 4=1，故B 正确；令log 2x 3 =log 2x 4 =12，则log 2x 3=-12，log 2x 4=12，得x 3=22，x 4=2，因此22≤x 3<1<x 4≤2，故C 正确；又1<x 4≤2时，x 1+x 2+x 3+x 4=-2+x 4+1x 4，且函数y =-2+x +1x在1,2 上单调递增，所以0<x 1+x 2+x 3+x 4≤322-2，故D 正确.故选：BCD32.(2022·湖北·高三阶段练习)已知曲线y =ae x 与y =ln x -ln a 的两条公切线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，l 1，l 2交于点Q ，且l 1，l 2的夹角为θ0<θ≤π2，则下列说法正确的是( )A.sin α=cos βB.tan α+tan β≥2C.若tan θ=34，则a 3=2e 3D.点Q 可能在第三象限【答案】ABC【解析】如图，因为y =ae x 与y =ln x -ln a 互为反函数，故两函数的图象关于直线y =x 对称，则l 1，l 2关于y =x 对称，故α+β=π2，sin α=sin π2-β =cos β，故A 正确；由题意，α，β均为锐角，tan α>0，tan β>0，tan α+tan β=tan α+tan π2-α =tan α+1tan α≥2，当且仅当tan α=1，即α=β=π4时取等号，故B 正确；设l 1与两个函数图象分别切于M ，N 两点，∠OQN =θ2，则tan θ=34，即2tan θ21-tan 2θ2=34，解得tan θ2=13或-3(舍去)，故k MN =tan θ2+45° =1+131-13=2，对于y =e x ，则y =e x ，令y=e x =2，解得x =ln2，所以切点为ln2,2 ，所以曲线y =e x 的斜率为2的切线方程为y =2x -2ln2+2，故曲线y =ae x =e x +ln a 的斜率为2的切线方程为y =2(x +ln a )-2ln2+2，同理可得y =ln x 的斜率为2的切线方程为y =2x -ln2-1，故曲线y =ln x -ln a 的斜率为2的切线方程为y =2x -ln2-1-ln a ，所以-ln2-1-ln a =2ln a -2ln2+2，则ln a 3=ln2-3，则a 3=2e3，故C 正确；由图可知点Q 必在第一象限，故D 错误.故选：ABC .33.(2022·湖北·高三阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +a cos ωx (a >0,ω>0)，f π3=3，且f (x )≤f π6 ，则( )A.tan πω6=33B.a =3C.ω≥1D.f (x )在0,π6上单调递增【答案】AC【解析】f (x )=sin ωx +a cos ωx =a 2+1sin (ωx +φ)，sin φ=a a 2+1，cos φ=1a 2+1，因为f (x )在x =π6处取得最大值，所以πω6+φ=2k π+π2，k ∈Z ，即φ=2k π+π2-πω6，k ∈Z ，所以tan φ=tan 2k π+π2-πω6 =tan π2-πω6 =1tan πω6=a ，所以tan πω6 =1a ，因为f π3 =3，所以a 2+1sin πω3+φ =3，即sin πω3+φ =3a 2+1，所以sin πω3+φ =sin πω3+2k π+π2-πω6 =sin π2+πω6 =cos πω6 =3a 2+1，所以sin πω6 =tan πω6 ×cos πω6 =1a 3a 2+1，又sin 2πω6 +cos 2πω6 =1a 3a 2+1 2+3a 2+12=1，解得a 2=3，又a >0，所以a =3，所以sin πω6 =12，tan πω6 =33，故A 正确，B 错误；所以πω6=2k π+π6，k ∈Z ，解得ω=12k +1，k ∈Z ，又ω>0，所以ω≥1，故C 正确；当ω=13时，因为0<x <π6，所以φ<13x +φ<13π6+φ，所以f (x )在0,π6上不单调，故D 错误，故选：AC .三、填空题34.(2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习)函数f x =sin x +sin x +cos x +cos x 的最大值为______.【答案】22【解析】因为f x 的定义域为R ，f -x =sin -x +sin -x +cos -x +cos -x =sin x +sin x +cos x +cos x =f x 所以f x 为偶函数，当x ≥0时，f x =sin x +sin x +cos x +cos x=22sin x +π4 ,x ∈2k π,π2+2k π 2sin x ,x ∈π2+2k π,π+2k π0,x ∈π+2k π,3π2+2k π 2cos x ,x ∈3π2+2k π,2π+2k π，k ∈Z ，所以当x =π4+2k π,k ∈Z 时，函数取得最大值f π4=22，综上可知函数的最大值22，故答案为：2235.(2022·湖南长沙同升湖实验学校高三阶段练习)已知函数f (x )=ax 2+bx +c (0<2a <b )对任意x ∈R 恒。

高考数学专题《与过定点的直线相关的最值》填选压轴题及答案

专题41 与过定点的直线相关的最值【方法点拨】1. 选择直线方程的适当形式，若设为截距式，实质是引入了双元；若设为斜截式，则是引入了单元.无论那种形式，都有注意参数的范围.2. 当求线段被定点分成两条线段之积的最值时，转化为向量的数量积的坐标形式求解较简单，也可引入角为变量，建立关于角的目标函数，利用三角函数的有界性求解.【典型题示例】例1 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点，则OA OB +取得最小值时直线l 的方程为 . 【答案】240x y -+= 【解析一】设直线l 的方程为1x ya b +=（其中0,0a b <>） ∵直线l 过点()2,1P -，∴211a b-+= ∵||||OA OB b a +=-，∴()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2a =，1b =+l 的方程为20x ++=. 【解析二】设直线l 的方程为1(2)y k x -=+（其中0k >）令0x =，21y k =+；令0y =，12x k=--∵11||||212233OA OB k k k k+=++--=++≥+∴当且仅当12k k=，即k 时取等号，所以直线l 的方程为20x -++=.例 2 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B ，则PA PB ⋅取得最小值时直线l 的方程为 .【答案】30x y -+=【解析一】（截距式+向量+基本不等式中的“1”的代换）设直线l 的方程为1x ya b+=（其中0,0a b <>）∵直线l 过点()2,1P -，∴211a b-+=， ∵A ，P ，B 三点共线，∴()()2,12,125PA PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+-()212222254154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭，当且仅当3a =-，3b =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=．【解析二】（斜截式+向量+基本不等式）设直线l 的方程为1(2)y k x -=+（其中0k >）令0x =，21y k =+；令0y =，12x k=-- ∴1,1PA k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,2PB k = ∵A ，P ，B 三点共线， ∴()12,12,224PA PB PA PB k k k k ⎛⎫⋅=-⋅=---⋅=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当22k k=，即1k =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=．【解析三】（作垂线，利用直角三角形边角关系，三角函数有界性）过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，设BAO α∠=（其中02πα<<）则1sin PA α=，2cos PB α= ∴244sin cos sin 2PA PB ααα==≥当且仅当sin21α=，即4πα=时取等号，此时直线的斜率为1∴直线l 的方程为30x y -+=．例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，则直线l 的方程是．【答案】x ＋2y －4＝0【解析一】设直线l 的方程为y －1＝k (x －2) （其中k ＜0）则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【解析二】设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.【解析三】过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是C D 、设BAO α∠=（其中02πα<<）则1tan PC α=，2tan PD α=∴122tan 2242tan AOBPBD PACSS Sαα=++=++≥=当且仅当12tan 2tan αα=，即1tan 2α=时取等号，此时直线的斜率为12-∴直线l 的方程是x ＋2y －4＝0.例4 已知直线:(2)3l y k x =-+，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．若使AOB ∆的面积为m 的直线l 共有四条，则正实数m 的取值范围是．【答案】12m >【分析】由于直线:(2)3l y k x =-+过定点（2,3），故直线l 与第二、四象限围成的AOB ∆的面积可以取任意实数，换言之，当m 给定一正实数时，直线l 与第二、四围成的面积为m 的直线有且仅有两条，故只需考虑l 与第一象限围成的AOB ∆的面积为m 的直线有两条即可，由于l 与第一象限围成的AOB ∆的面积有最小值，根据对称性，大于该最小值的直线有两条，故问题转化为求l 与第一象限围成的AOB ∆的面积的最小值. 【解析一】∵直线(2)3y k x =-+与x 轴，y 轴交点的坐标分别是3(2A k-，0)，(0,32)B k -． ∴2131(23)|2||32|22||k S k k k -=⨯-⨯-=⨯．当0k >时，21412919(412)22k k S k k k-+=⨯=⨯+-，9424912k k+⨯=，当且仅当32k =时取等号．∴当0S m =>时，在0k >时，k 有两值；当0k <时，221(23)1412919[(4)12]2||22k k k S k k k k--+=⨯=⨯=⨯-++--，9424912k k -+⨯=-．当且仅当32k =-时取等号． ∴当0m =时，仅有一条直线使AOB ∆的面积为m ；当012m <<时，仅有两条直线使AOB ∆的面积为m ；当12m =时，仅有三条直线使AOB ∆的面积为m ；当12m >时，仅有四条直线使AOB ∆的面积为m ．故答案是：12m >．【解析二】直线:(2)3l y k x =-+过定点（2,3），先求直线l 与第一象限围成的AOB ∆的面积的最小值，则所求m 大于该最小值时，满足题意 ∵3(2A k-，0)，(0,32)B k -（0k >） ∴2131(23)191|2||32|(412)(2412)1222||22k S k k k k k -=⨯-⨯-=⨯=⨯+-⨯= 当且仅当94k k =，即32k =时取等号 ∴当12m >时，仅有四条直线使AOB ∆的面积为m ．故答案是：12m >．【巩固训练】1. 直线（且不同时为0）经过定点_________．2.过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_________条．3.已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|MA →|·|MB →|取得最小值时，直线l 的方程为________．4.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )，若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，则S 取得最小值时直线l 的方程是．5. 一直线过点(2,2)A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则||||||OB OC BC +-的最大值为．()()220m n x m n y m n ++--+=,m n R ∈,m n6.已知直线(21)(1)3(1)0m x m y m ++--+=，1(,1)2m ∈-与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当OAB ∆的面积取最小值时(O 为坐标原点），则m 的值为 A ．13B ．13-C ．15-D ．157.（多选题）已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是2【答案或提示】1. 【答案】【解析】直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含的项与含的项分别归为一组，可得：，若要让“失去作用”，则，解得，即定点为 .2.【分析一】直接设点斜式或截距式求出.【解析一】设过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0，2k ＋3)、N ⎝⎛⎭⎫－2－3k ，0．再由12＝12OM ·ON ＝12|2k ＋3|×|－2－3k |，可得|4k ＋9k ＋12|＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k ＋12＝－24．解得k ＝32或k ＝－9－622或k ＝－9＋622，故满足条件的直线有3条．【分析二】求出与x 轴负方向、y 轴正方向所围成三角形面积的最小值，若大于12，满足条件的直线有二条；若小于12，满足条件的直线有四条；若大于12，满足条件的直线有三条. 3.【答案】x ＋y －3＝0【解析】设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.()1,1-m n ()()2120m x y n x y +-+-+=,m n 21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,1-4.【答案】x －2y ＋4＝0【解析】由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 5. 【答案】842-【解析】设(,0)B b ，C (0,)c ，0b >，0c >，则直线方程的截距式为1x yb c+=，由(2,2)A 在直线上可得：221b c+=，即22bc c b =+，因为22412b c bc=+，所以24bc ，当且仅当4b =，6c =时取等号，所以22||||||OB OC BC b c b c +-=+-+222222()()b c b c b c b c b c b c++++-+=+++22()2bcb c b c bc=+++-22()224bc bc bc bc =+-24()8bc bc bc bc=+-448428111112bc==-+-+-．故答案为：842-． 6.【答案】C【解析】由直线(21)(1)3(1)0m x m y m ++--+=，1(,1)2m ∈-，可得3(1)(,0)21m A m ++，3(1)(0,)1m B m+-． ∴当OAB ∆的面积2213(1)3(1)9122211221m m m m S m m m m ++++=⨯⨯=⨯+--++，令131(,)22m t +=∈，222991159225222()48t S t t t ∴=⨯=⨯-+---+，∴当45t =，即15m =-时，S 取得最小值．故选C ． 7.【答案】 ABD【解析】对于A ，a ×1＋()－1×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1，所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确.故选ABD.。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(八)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(八)一、单选题1.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知a =65ln1.2，b =0.2e 0.2，c =13，则( )A.a 1e时，f x >0，所以函数f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增，令g x =e x -x -1，则g x =e x-1，当x <0时，g x <0，当x >0时，g x >0，所以函数g x 在-∞,0 上递减，在0,+∞ 上递增，所以g 0.2 >g 0 =0，即e 0.2>1+0.2=1.2>1e，所以f e 0.2 >f 1.2 ，即e 0.2ln e 0.2>1.2ln1.2，所以b >a ，由b =0.2e 0.2，得ln b =ln 0.2e 0.2 =15+ln 15，由c =13，得ln c =ln 13，ln c -ln b =ln 13-ln 15-15=ln 53-15，因为53 5=625×5243>10>e ，所以53>e 15，所以ln 53>15，所以ln c -ln b >0，即ln c >ln b ，所以c >b ，综上所述a <b <c .故选：A .2.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f x =x ,x <0,13x 3-12a +1 x 2+ax ,x ≥0,若方程f x=ax -148恰有3个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,2 B.-12,1 C.-12,2 D.12,1 【答案】B【解析】由题，当x <0时，令g x =f x -ax +148=x -ax +148=1-a x +148，根据一次函数性质可得1-a >0⇒a <1，此时有一个根，1-a <0⇒a >1，此时无根；当x ≥0时，令g x =13x 3-12a +1 x 2+ax -ax +148=13x 3-12a +1 x 2+148，求导g x =x 2-a +1 x =x x -a +1 ，令g x =0⇒x 1=0或x 2=a +1，当a +1≤0时，g x 在0，+∞ 上单调递增，故无零点，不满足题意；当a +1>0时，g x 在0,a +1 单调递减，在a +1,+∞ 单调递增，由题，函数f x 恰有3个零点，则说明在当x <0时，有1个零点，在x ≥0时有两个零点，故可知a <1且g a +1 <0，所以g a +1 =13a +1 3-12a +1 a +1 2+148=-16a +1 3+148<0，解得a >-12；综上可得-12<a <1故选：B3.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，有以下四个命题：甲：tan α+β =-12；乙：tan αtan β=7:3；丙：sin α+β cos α-β =54；丁：tan αtan βtan α+β -tan α+β =5:3.如果其中只有一个假命题，则该命题是( )A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】因为tan α,tan β是方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根，所以tan α+tan β=-ba,tan α⋅tan β=c a，则甲：tan α+β =tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-b a1-c a=b c -a =-12；丙：sin α+β cos α-β =sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=-b a1+ca=-b c +a =54.若乙､丁都是真命题，则tan α+tan β=-53,tan α⋅tan β=73，所以tan α+β =tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-b a 1-c a =-531-73=54，sin α+β cos α-β =sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=-b a 1+c a =-531+73=-12，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得a -c =2b ,-5a +c =4b ，所以2a -c =-5a +c ，即7a +3c =0，所以c :a =-7:3，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得7a +3c =0，又a -c =2b ，所以3b =5a ，即b :a =5:3与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B ．4.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知函数f x =ax ln x -x 2+3-a x +1a ∈R ，若f x 存在两个试卷第2页，共42页极值点x1，x2x1<x2，当x2x1取得最小值时，实数a的值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】由题意可知，f (x)=a ln x-2x+3有两个变号零点，即f (x)=0有两个不同的正根x1，x2x1<x2，不妨令g(x)=f (x)，则g (x)=ax-2，当a≤0时，g (x)=ax-2<0，故f (x)=a ln x-2x+3在(0,+∞)上单调递减，此时f (x)最多只有一个零点，不合题意；当a>0时，g (x)>0⇒0<x<a2；g (x)<0⇒x>a2，故f (x)在0,a 2上单调递增，在a2,+∞单调递减，因为f e-3a=a ln e-3a-2e-3a+3=--2e-3a<0，f (1)=1>0，且由对数函数性质可知，当x足够大时，f (x)=a ln x-2x+3<0，所以由零点存在基本定理可知，0<x1<1<x2，因为a ln x1-2x1+3=0，a ln x2-2x2+3=0，所以a=2x1-3ln x1=2x2-3ln x2=2(x1-x2)ln x1x2=2x1x2x1-1ln x2x1，不妨令t=x2x1，由x2>x1>0⇒t>1，从而2x1-32x1ln x1=x2x1-1ln x2x1=t-1ln t=h(t)，因为h (t)=ln t+1t-1ln2t，令y=ln t+1t-1，则y =1t-1t2=t-1t2>0，从而y=ln t+1t-1在(1,+∞)单调递增，且y|t=1=0，故对于∀t>1，h (t)>0，即h(t)在(1,+∞)单调递增，从而当t=x2x1取得最小值是，h(t)也取得最小值，即2x1-32x1ln x1取得最小值，不妨令F(x)=2x-32x ln x，x∈(0,1)，则F (x)=3ln x-2x+32x2ln2x，令φ(x)=3ln x-2x+3，则φ (x)=3-2xx>0对于x∈(0,1)恒成立，故φ(x)=3ln x-2x+3在(0,1)上单调递增，因为φ(1)=1>0，φ1e =-2e<0，所以存在唯一的x0∈1e,1，使得φ(x0)=3ln x0-2x0+3=0⇔2x0-3ln x0=3，故F (x)<0⇒0<x<x0；F (x)>0⇒x>x0，从而F(x)=2x-32x ln x在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)单调递增，故F (x )min =F (x 0)=2x 1-32x 1ln x 1min，此时h (t )也取得最小值，即x 0=x 1，故a =2x 0-3ln x 0=2x 1-3ln x 1=3.故选：D .5.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知f (x +2)是偶函数，f (x )在-∞,2 上单调递减，f (0)=0，则f (2-3x )>0的解集是( )A.-∞,23 ∪2,+∞ B.23,2C.-23,23D.-∞,-23 ∪23,+∞ 【答案】D【解析】根据题意，f (x +2)是偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x =2对称，又由f (x )在-∞,2 上单调递减，则f (x )在2,+∞ 上递增，又由f (0)=0，则f (2-3x )>0⇒f (2-3x )>f (0)⇒|3x |>2，解可得：x <-23或x >23，即不等式的解集为-∞,-23 ∪23,+∞ ；故选：D ．6.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是( )A.c <b <a B.b <a <c C.a <c <b D.a <b <c【答案】C【解析】a =log 52<log 55=12=log 822<log 83=b ，即a <c π0=1，sin π4<sin1<sin π3⇒22<c <32，则a <c <b .故选：D .8.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知f x =2x x 2+1,x ≥0-1x ,x <0 ，若函数g x =f x -t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，则-1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是( )A.3,+∞B.2,+∞C.52,+∞D.1,+∞【答案】A试卷第2页，共42页【解析】函数f x =2x x 2+1,x ≥0-1x ,x <0 的图象如图所示，函数g x =f x -t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，即方程f x =t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，由图知t >0，当x >0时，f x =2x x 2+1=2x +1x，∵x +1x≥2x >0 ，∴f x ≤1，当且仅当x =1时取得最大值，当y =1时，x 1=-1，x 2=x 3=1，此时-1x 1+1x 2+1x 3=3，由2x +1x=t 0<t <1 ，可得x 2-2x t +1=0，∴x 2+x 3=2t，x 2x 3=1，∴1x 2+1x 3=2t >2，∴-1x 1+1x 2+1x 3=t +2t，∵0<t <1，∴-1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是3,+∞ .故选：A .9.(2022·山东·高密三中高三阶段练习)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2C.2D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．10.(2022·福建师大附中高三阶段练习)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD 中，AB =BD =23，将△ABD 沿BD 进行翻折，使得AC =26．按张衡的结论，三棱锥A -BCD 外接球的表面积约为( )A.72 B.2410C.2810D.3210【答案】B【解析】如图1，取BD 的中点M ，连接AM ，CM ．由AB =AD =BD =23，可得△ABD 为正三角形，且AM =CM =23×32=3，所以cos ∠AMC =32+32-(26)22×3×3=-13，则sin ∠AMC =1--13 2=223，以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则C (3,0,0)， A (-1，0，22)．设O 为三棱锥A -BCD 的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为△BCD 的外心，则设O (1，0，h )．由R 2=|OA |2=|OC |2可得22+02+(22-h )2=22+02+h 2，解得h =2，所以R 2=|OC |2=6．由张衡的结论，π216≈58，所以π≈10，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为4πR 2≈2410，故选：B ．11.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)若函数f x =kx -ln x 在区间1,+∞ 上单调递增，则实数k 的取值范围是A.-∞,-2 B.-∞,-1C.2,+∞D.1,+∞【答案】D 【解析】f x =k -1x，∵函数f x =kx -ln x 在区间1,+∞ 单调递增，∴f x ≥0在区间1,+∞ 上恒成立．∴k ≥1x ，而y =1x在区间1,+∞ 上单调递减，∴k ≥1∴k 的取值范围是1,+∞ ．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性.12.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P -ABE 外接球的表面积为( )A.2516π B.254π C.52π D.5π【答案】B【解析】由题，由圆的性质，△ABE 为直角三角形，∠E =90°，如图所示，设外接球半径为R ，底面圆心为Q ，外接球球心为O ，由外接球的定义，OP =OA =OB =OE =R ，易得O 在线段PQ 上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ =BQ =1，∵PQ ⊥AQ ，则OA 2=OQ 2+AQ 2⇒R 2=2-R 2+12，解得R =54，试卷第2页，共42页∴外接球表面积为4πR 2=25π4.故选：B ．13.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)若a =sin1+tan1，b =2，c =ln4+12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c c ，令g x =sin x +tan x -2x ，x ∈0,π2 ，则g x =cos x +1cos 2x -2=cos 3x -2cos 2x +1cos 2x ，因为x ∈0,π2 ，所以cos x ∈0,1 ，令h x =x 3-2x 2+1，x ∈0,1 ，则h x =3x 2-4x =x 3x -4 <0，即h x 在0,1 上单调递减，所以h x >h 1 =0，所以g x >0，即g x 在0,π2上单调递增，所以g 1 >g 0 =0，即sin1+tan1-2>0，即sin1+tan1>2，即a >b ，综上可得a >b >c ；故选：A 14.(2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试)已知a >0，且a ≠1，函数f (x )=5a x +3a x +1+ln (1+4x 2-2x )(-1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则( )A.M +N =8B.M +N =10C.M -N =8D.M -N =10【答案】A 【解析】f (x )=5a x +3a x+1+ln (1+4x 2-2x )(-1≤x ≤1)，令g (x )=ln (1+4x 2-2x )，x ∈[-1，1]，由g (-x )=ln (1+4x 2+2x )=ln11+4x 2-2x=-ln (1+4x 2-2x )=-g (x )，可知g (-x )=-g (x )，故g (x )函数的图象关于原点对称，设g (x )的最大值是a ，则g (x )的最小值是-a ，由5a x +3a x +1=5-2a x +1，令h (x )=-2a x +1，当0<a <1时，h (x )在[-1，1]递减，所以h (x )的最小值是h (-1)=-2a a +1，h (x )的最大值是h 1 =-2a +1，故h -1 +h 1 =-2，∴f (x )的最大值与最小值的和是10-2=8，当a >1时，h (x )在[-1，1]单调递增，所以h (x )的最大值是h (-1)=-2a a +1，h (x )的最小值是h 1 =-2a +1，故h -1 +h 1 =-2，故函数f (x )的最大值与最小值之和为8，综上：函数f (x )的最大值与最小值之和为8，故选：A ．15.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)不等式ae ax >ln x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.12e ,+∞B.1e ,+∞C.(1,+∞)D.(e ,+∞)【答案】B【解析】当a ≤0时，不等式ae ax >ln x 在(0,+∞)上恒成立不会成立，故a >0 ，当x ∈(0,1] 时，ln x ≤0 ，此时不等式ae ax >ln x 恒成立；不等式ae ax >ln x 在(1,+∞)上恒成立,即axe ax >x ln x 在(1,+∞)上恒成立,而axe ax >x ln x 即axe ax >ln x ⋅e ln x ，设g (x )=xe x ,g (x )=(x +1)e x ，当x >-1 时，g (x )=(x +1)e x >0，故g (x )=xe x ,(x >-1)是增函数，则axe ax >ln x ⋅e ln x 即g (ax )>g (ln x )，故ax >ln x ,a >ln xx，设h (x )=ln x x ,(x >1),h (x )=1-ln xx 2，当1<x <e 时，h (x )=1-ln xx 2>0， h (x )递增，当x >e 时，h (x )=1-ln xx 2<0， h (x )递减，故h (x )≤h (e )=1e ，则a >1e，综合以上，实数a 的取值范围是a >1e，故选：B 16.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，且△PAB 为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.283π B.1123π C.32πD.2563π【答案】B【解析】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，取侧面△PAB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ，则四边形O 1EO 2O 为矩形，在等边△PAB 中，可得PE =23，则O 1E =233，即OO 2=233，在正方形ABCD 中，因为AB =4，可得O 2D =22，在直角△OO 2D 中，可得OD 2=OO 22+O 2D 2，即R 2=OO 22+O 2D 2=283，所以四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为S =4πR 2=112π3.故选：B .试卷第2页，共42页17.(2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 的导函数f x ，且f x <f x<0，则( )A.ef 2 >f 1 ，f 2 >ef 1B.ef 2 >f 1 ，f 2 <ef 1C.ef 2 <f 1 ，f 2 <ef 1D.ef 2 <f 1 ，f 2 >ef 1【答案】D【解析】构造函数g (x )=f (x )e x ⇒g(x )=f (x )-f (x )ex，因为f x <f x ，所以g (x )>0，因此函数g (x )是增函数，于是有g (2)>g (1)⇒f (2)e2>f (1)e ⇒f (2)>ef (1)，构造函数h (x )=f (x )⋅e x ⇒h (x )=e x [f (x )+f (x )]，因为f x <f x <0，所以h (x )<0，因此h (x )是单调递减函数，于是有h (2)<h (1)⇒e 2f (2)<ef (1)⇒ef (2)<f (1)，故选：D18.(2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习)已知函数f (x )=e x -x -1,x ≤0,-f (-x ),x >0, 则使不等式f (ln x )>-1e 成立的实数x 的取值范围为( )A.0,1eB.1e ,+∞C.(0,e )D.(e ,+∞)【答案】C【解析】因为f (0)=0，x >0时，f (x )=-f (-x )，因此x <0时也有f (x )=-f (-x )，即函数f (x )是奇函数，x ≤0时，f (x )=e x -x -1，f (x )=e x -1≤0，所以f (x )是减函数，所以奇函数f (x )在R 上是减函数，又f (-1)=1e ，所以f (1)=-f (-1)=-1e，不等式f (ln x )>-1e为f (ln x )>f (1)，所以ln x <1，0<x <e ，故选：C ．19.(2022·江苏·沭阳县潼阳中学高三阶段练习)已知实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，则2ab +3c 的最大值为( )A.3 B.134C.2D.5【答案】A【解析】因为1-c 2=a 2+b 2≥2ab ，所以，2ab +3c ≤-c 2+3c +1=-c -32 2+134，因为1-c 2≥0，可得-1≤c ≤1，故当a =b =0c =1 时，2ab +3c 取最大值3.故选：A .二、多选题20.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f x =x ln x -ax ，则( )A.当a ≤0或a =1e 时，f x 有且仅有一个零点B.当a ≤0或a =12时，f x 有且仅有一个极值点C.若f x 为单调递减函数，则a >12D.若f x 与x 轴相切，则a =1e【答案】AD【解析】令f x =0可得x ln x -ax =0，化简可得ln xx=a ，设h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x >e ，h (x )<0，函数h (x )在e ,+∞ 单调递减，当0<x <e ，h (x )>0，函数h (x )在0，e 单调递增，又h (1)=0，h (e )=1e ，由此可得函数h (x )=ln xx 图像如下：所以当a ≤0或a =1e 时，ln xx =a 有且仅有一个零点所以当a ≤0或a =1e时，f x 有且仅有一个零点，A 对，函数f x =x ln x -ax 的定义域为0，+∞ ，f x =ln x -2ax +1，若f x 与x 轴相切，设f x 与x 轴相切相切与点(x 0,0)，则f x 0 =0，f x 0 =0，所以ln x 0-ax 0=0，ln x 0-2ax 0+1=0所以x 0=e ，a =1e，故D 正确；若f x 为单调递减函数，则f x ≤0在0，+∞ 上恒成立，所以ln x +12x≤a 在0，+∞ 上恒成立，设g (x )=ln x +12x ，则g (x )=-ln x2x 2，当x >1时，g (x )<0，函数g (x )=ln x +12x单调递减，当0<x <1时，g (x )>0，函数g (x )=ln x +12x单调递增，且g (1)=12，g 1e =0，当x >1e时，g (x )>0，由此可得函数g (x )=ln x +12x的图像如下：所以若f x 为单调递减函数，则a ≥12，C 错，所以当a =12时，函数f (x )在0，+∞ 上没有极值点，B 错，故选：AD .21.(2022·湖南·永兴县童星学校高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2+2x +1,x <0ln x -2 ,x >0，若方程f (x )=k (k ∈R )有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x 1,x 2,x 3,x 4，则( )A.0<k <1 B.x 1+x 2=-1C.e <x 3<e 2D.0<x 1x 2x 3x 4<e 4【答案】ACD【解析】画出函数f (x )与函数y =k 的图像如下：f (x )在-∞,-1 单调递减，值域0,+∞ ；在-1,0 单调递增，值域0,1 ；在0,e 2 单调递减，值域0,+∞ ；在e 2,+∞ 单调递增，值域0,+∞ .试卷第2页，共42页则有x1+x 2=-2，ln x 3-2+ln x 4-2=0，即x 3x 4=e 4.选项B 判断错误；方程f (x )=k (k ∈R )有四个不同的实数解，则有0<k <1.选项A 判断正确；由f (x )在0,e 2 单调递减，值域0,+∞ ，f (e )=ln e -2 =1，f (e 2)=ln e2-2 =0，可知e <x 3<e 2.选项C 判断正确；由x 1<x 2<0<x 3<x 4，可知x 1x 2x 3x 4>0又x 1x 2x 3x 4=e 4x 1x 2=e 4-x 1 -x 2 <e 4-x 1 +-x 2 22=e 4.则有0<x 1x 2x 3x 4<e 4.故选项D 判断正确.故选：ACD22.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知函数f x =2sin x 2+π6，若将函数f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位长度，得到函数g x 的图象，则( )A.函数g x =2sin 2x -π6 B.函数f x 的周期为4πC.函数g x 在区间π,4π3 上单调递增D.函数f x 的图象的一条对称轴是直线x =-π3【答案】ABC【解析】由题意可知，函数f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14后，其解析式为y =2sin 2x +π6 ，y =2sin 2x +π6 向右平移π6个单位长度后，得到g (x )=2sin 2x -π6 +π6 =2sin 2x -π6 ，故A 正确；由周期公式可知，函数f x 的周期为T =2π12=4π，故B 正确；由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π⇒-π6+k π≤x ≤π3+k π，k ∈Z ，故g (x )的单调递增区间为-π6+k π,π3+k π ，k ∈Z ，从而函数g x 在区间π,4π3上单调递增，故C 正确；因为f -π3=2sin0=0≠±2，故D 错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·荆州中学高三阶段练习)已知奇函数f x 在R 上可导，其导函数为f ′x ，且f 1-x -f 1+x +2x =0恒成立，若f x 在0,1 单调递增，则( )A.f x 在1,2 上单调递减 B.f 0 =0C.f 2022 =2022 D.f 2023 =1【答案】BCD 【解析】方法一：对于A ，若f x =x ，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数f x 在R 上可导，所以f 0 =0，故正确，对于C 和D ，设g x =f x -x ，则g x 为R 上可导的奇函数，g 0 =0，由题意f 1-x +x -1=f 1+x -1-x ，得g 1-x =g 1+x ，g x 关于直线x =1对称，易得奇函数g x 的一个周期为4，g 2022 =g 2 =g 0 =0，故C 正确，由对称性可知，g x 关于直线x =-1对称，进而可得g -1 =0，(其证明过程见备注)且g x 的一个周期为4，所以g ′2023 =g ′-1 =0，故D 正确．备注：g 1-x =g 1+x ，即-g 1-x =-g 1+x ，所以g -1+x =g -1-x ，等式两边对x 求导得，g ′-1+x =-g ′-1-x ，令x =0，得g ′-1 =-g ′-1 ，所以g -1 =0．方法二：对于A ，若f x =x ，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数f x 在R 上可导，所以f 0 =0，故正确，对于C ，将f 1-x -f 1+x +2x =0中的x 代换为x +1，得f -x -f 2+x +2x +2=0，所以f x +2 +f x =2x +2，可得f x +4 +f x +2 =2x +6，两式相减得，f x +4 -f x =4，则f 6 -f 2 =4，f 10 -f 6 =4，⋯，f 2022 -f 2018 =4，叠加得f 2022 -f 2 =2020，又由f x +2 +f x =2x +2，得f 2 =-f 0 +2=2，所以f 2022 =f 2 +2020=2022，故正确，对于D ，将f 1-x -f 1+x +2x =0的两边对x 求导，得-f 1-x -f 1+x +2=0，令x =0得，f 1 =1，将-f -x =f x 的两边对x 求导，得f ′-x =f ′x ，所以f -1 =1，将f x +4 -f x =4的两边对x 求导，得f x +4 =f x ，所以f 2023 =f 2019 =⋅⋅⋅=f -1 =1，故正确．故选：BCD24.(2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x 2+1+x +x 5+3，函数g x 满足g -x +g x =6.则( )A.f lg7 +f lg17=6B.函数g x 的图象关于点3,0 对称C.若实数a 、b 满足f a +f b >6，则a +b >0D.若函数f x 与g x 图象的交点为x 1,y 1 、x 2,y 2 、x 3,y 3 ，则x 1+y 1+x 2+y 2+x 3+y 3=6【答案】AC【解析】对于A 选项，对任意的x ∈R ，x 2+1+x >x +x ≥0，所以，函数f x =ln x 2+1+x +x 5+3的定义域为R ，f -x +f x =ln x 2+1-x +-x 5+3 +ln x 2+1+x +x 5+3=ln x 2+1-x 2 +6=6，所以，f lg7 +f lg 17=f lg7 +f -lg7 =6，A 对；对于B 选项，因为函数g x 满足g -x +g x =6，故函数g x 的图象关于点0,3 对称，B 错；对于C 选项，对于函数h x =ln x 2+1+x ，该函数的定义域为R ，h -x +h x =ln x 2+1-x +ln x 2+1+x =ln x 2+1-x 2 =0，即h -x =-h x ，所以，函数h x 为奇函数，当x ≥0时，内层函数u =x 2+1+x 为增函数，外层函数y =ln u 为增函数，试卷第2页，共42页所以，函数h x 在0,+∞上为增函数，故函数h x 在-∞,0上也为增函数，因为函数h x 在R上连续，故函数h x 在R上为增函数，又因为函数y=x5+3在R上为增函数，故函数f x 在R上为增函数，因为实数a、b满足f a +f b >6，则f a >6-f b =f-b，可得a>-b，即a+b>0，C对；对于D选项，由上可知，函数f x 与g x 图象都关于点0,3对称，由于函数f x 与g x 图象的交点为x1,y1、x2,y2、x3,y3，不妨设x1<x2<x3，若x2≠0，则函数f x 与g x 图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，所以，x2=0，则y2=3，由函数的对称性可知，点x1,y1、x3,y3关于点0,3对称，则x1+x3=0，y1+y3=6，故x1+y1+x2+y2+x3+y3=9，D错.故选：AC.25.(2022·山东·栖霞市第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2sinωx+π4(ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若函数f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线x=π8对称B.若函数f x 的最小正周期为π，则其图象关于点π8,0对称C.若函数f x 在区间0,π8上单调递增，则ω的最大值为2D.若函数f x 在0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是198≤ω<238【答案】ACD【解析】A选项：∵f x 的最小正周期为π∴ω=2∴fπ8 =2sin2⋅π8+π4=2sinπ2=2，故A正确；B选项：∵f x 的最小正周期为π∴ω=2∴fπ8 =2sin2⋅π8+π4=2sinπ2=2≠0，故B错误；C选项：∵0<x<π8∴π4<ωx+π4<π8ω+π4又函数f x 在0,π8上单调递增∴π8ω+π4≤π2∴ω≤2，故C正确；D选项：∵x∈0,2π∴ωx+π4∈π4,2πω+π4又f x 在0,2π有且仅有5个零点，则5π≤2πω+π4<6π,∴198≤ω<238，故D正确.故选：ACD26.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知函数f x =ln x-x+1x-1，下列结论成立的是( )A.函数f x 在定义域内无极值B.函数f x 在点A2,f2处的切线方程为y=52x+ln2-8C.函数f x 在定义域内有且仅有一个零点D.函数f x 在定义域内有两个零点x 1，x 2，且x 1⋅x 2=1【答案】ABD【解析】A ，函数f x =ln x -x +1x -1定义域为0,1 ∪1,+∞ ，f x =1x -x -1-x +1 x -1 2=1x +2x -12>0，∴f x 在0,1 和1,+∞ 上单调递增，则函数f x 在定义域内无极值，故A 正确；B ，由f x =1x +2x -1 2，则f 2 =12+22-12=52，又f 2 =ln2-2+12-1=-3+ln2，∴函数f x 在点A 2,f 2 处的切线方程为y +3-ln2=52x -2即y =52x +ln2-8，故B 正确；C ，∵f x 在1,+∞ 上单调递增，又f e =ln e -e +1e -1=1-e +1e -1=-2e -1<0，f e 2 =ln e 2-e 2+1e 2-1=2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1>0，所以函数f x 在e ,e 2 存在x 0，使f x 0 =ln x 0-x 0+1x 0-1=0，又1e2<1x 0<1e ，即0<1x 0<1，且f 1x 0 =ln 1x 0-1x 0+11x 0-1=-ln x 0-x 0+1x 0-1=-f x 0 =0，即1x 0为函数f x 的一个零点，所以函数f x 在定义域内有两个零点,故C 错误.D ，由选项C 可得x 1=x 0,x 2=1x 0，所以x 1⋅x 2=1，故D 正确.故选：ABD27.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 对任意实数x 满足f 2+x =f x ，f 2-x =f x ，且x ∈0,1 时，f x =x 2+1，则下列说法中，正确的是( )A.2是f x 的周期 B.x =-1不是f x 图象的对称轴C. f 2021 =2D.方程f (x )=12x 只有4个实根【答案】AC【解析】A 选项：因为定义在R 上的函数f x 对任意实数x 满足f 2+x =f x ，所以函数f x 是以2为周期的周期函数，故A 选项正确；B 选项：因为f 2-x =f x ，所以函数f x 关于直线x =1对称，又f x 是周期为2周期函数，所以函数f x 关于直线x =-1对称，故B 选项错误；C 选项： f 2021 =f 1 =12+1=2，C 选项正确；D 选项：在同一直角坐标系中分别作出函数y =f x 与y =12x 的图象，如图所示：试卷第2页，共42页由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f (x )=12x 有6个实根，故D 选项错误；故选：AC .28.(2022·山东·高密三中高三阶段练习)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：P A B =P A P B AP B.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为59D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为49【答案】AC【解析】设A 1:第一天去甲餐厅，A 2:第二天去甲餐厅，B 1:第一天去乙餐厅，B 2:第二天去乙餐厅，所以P A 1 =0.4，P B 1 =0.6，P A 2A 1 =0.6,P A 2B 1 =0.5，因为P A 2A 1 =P (A 2)P A 1A 2 P (A 1)=0.6,P A 2B 1 =P (A 2)P B 1A 2P (B 1)=0.5，所以P (A 2)P A 1A 2 =0.24,P (A 2)P B 1A 2 =0.3，所以有P A 2 =P A 1 P A 2A 1 +P B 1 P A 2B 1 =0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,因此选项A 正确, P B 2 =1-P A 2 =0.46，因此选项B 不正确；因为P B 1A 2 =0.3P A 2=59，所以选项C 正确；P A 1B 2 =P (A 1)P B 2A 1) P (B 2)=P (A 1)[1-P A 2A 1)] P (B 2)=0.4×(1-0.6)0.46=823，所以选项D 不正确，故选：AC29.(2022·福建师大附中高三阶段练习)已知⊙O 1:x 2+y 2-2mx +2y =0,⊙O 2:x 2+y 2-2x -4my +1=0．则下列说法中，正确的有( )A.若(1,-1)在⊙O 1内，则m ≥0B.当m =1时，⊙O 1与⊙O 2共有两条公切线C.若⊙O 1与⊙O 2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点13,16D.∃m ∈R ，使得⊙O 1与⊙O 2公共弦的斜率为12【答案】BC【解析】因为⊙O 1:x 2+y 2-2mx +2y =0,⊙O 2:x 2+y 2-2x -4my +1=0，所以⊙O 1：(x -m )2+(y +1)2=m 2+1，⊙O 2：(x -1)2+(y -2m )2=4m 2，则O 1(m ，-1)，r 1=m 2+1，O 2(1，2m )，r 2=2|m |，则m ≠0，由(1，-1)在⊙O 1内，可得12+(-1)2-2m -2<0，即m >0，A 错误；当m =1时，O 1(1，-1)，r 1=2，O 2(1，2)，r 2=2，所以|O 1O 2|=3∈(2-2，2+2)，所以两圆相交，共两条公切线，B 正确；⊙O 1-⊙O 2，得(-2m +2)x +(2+4m )y -1=0，即m (-2x +4y )+(2x +2y -1)=0，令-2x +4y =0，2x +2y -1=0，解得x =13，y =16，所以定点为13，16 ，C 正确；公共弦所在直线的斜率为2m -22+4m ，令2m -22+4m =12，无解，所以D 错误，故选：BC ．30.(2022·福建师大附中高三阶段练习)函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示，则下列说法中，正确的有( )A.f (x )的最小正周期T 为πB.f (x )向左平移3π8个单位后得到的新函数是偶函数C.若方程f (x )=1在(0,m )上共有6个根，则这6个根的和为33π8D.f (x )x ∈0,5π4图像上的动点M 到直线2x -y +4=0的距离最小时，M 的横坐标为π4【答案】ABD【解析】因为f (x )经过点5π8，0，所以f 5π8 =2sin 5ωπ8+φ =0，又5π8在f (x )的单调递减区间内，所以5ωπ8+φ=π+2k π(k ∈Z )①；又因为f (x )经过点5π4，1 ，所以f 5π4 =2sin 5ωπ4+φ =1，sin 5ωπ4+φ =22，又x =5π4是f (x )=1在x >5π8时最小的解，所以5ωπ4+φ=9π4+2k π(k ∈Z )②．联立①、②，可得5ωπ8=5π4，即ω=2，代入①，可得φ=-π4+2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ=-π4，则f(x )=2sin 2x -π4 ．f (x )的最小正周期为2π2=π，A 正确．f (x )向左平移3π8个单位后得到的新函数是f (x )=2sin 2x +3π8 -π4 =2sin 2x +π2 =2cos2x ，为偶函数，B 正确．设f (x )=1在(0，m )上的6个根从小到大依次为x 1，x 2，⋯，x 6．令2x -π4=π2，则x =3π8，根据f (x )的对称性，可得x 1+x 22=3π8，则由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8，x 5+x 62=3π8+2T =19π8，所以6i =1x i =2 3π8+11π8+19π8 =33π4，C 错误．作与l ：2x -y +4=0平行的直线，使其与f (x )x ∈0，5π4有公共点，则在运动的过程中，只有当直线与f (x )x ∈0，5π4相切时，直线与l 存在最小距离，也是点M 到直线2x -y +4=0的最小距离，试卷第2页，共42页令f (x )=22cos 2x -π4 =2，则2x -π4=±π4+2k π(k ∈Z )，解得x =k π(k ∈Z )或x =π4+k π(k ∈Z )，又x ∈0，5π4 ，所以x =0，π4，5π4(舍去)，又f (0)=-1，令M 1(0，-1)，f π4 =1，M 2π4，1 ，则由|1+4|5>π2-1+4 5可得M 1到直线l 的距离大于M 2到直线l 的距离，所以M 到直线2x -y +4=0的距离最小时，M 的横坐标为π4，D 正确故选：ABD ．31.(2022·福建师大附中高三阶段练习)公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个顶点为A ，与A 不在y 轴同侧的焦点为F ，E 的一个虚轴端点为B ，PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M 为PQ 中点．设双曲线E 的离心率为e ，则下列说法中，正确的有( )A.e =5+12B.|OA ||OF |=|OB |2C.k OM ⋅k PQ =eD.若OP ⊥OQ ，则1|OP |2+1|OQ |2=e 恒成立【答案】ABC【解析】由E 为黄金分割双曲线可得a c =ca +c，即a 2+ac =c 2(*)，对(*)两边同除以a 2可得e 2-e -1=0，则e =5+12，A 正确；对(*)继续变形得ac =c 2-a 2=b 2，∴|AB |2+|BF |2=a 2+b 2+c 2+b 2=a 2+c 2+2(c 2-a 2)=3c 2-a 2，|AF |2=(a +c )2=a 2+2ac +c 2=3c 2-a 2，∴AB ⊥BF ，所以∠ABF =90∘，又∠AOB =90∘，所以∠BAO =∠FBO ，∠ABO =∠BFO ，所以△AOB ∼△BOF ，所以OA OB =OBOF，所以|OA ||OF |=|OB |2， B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，将P ，Q 坐标代入双曲线方程可得，x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，作差后整理可得y 2-y 1x 2-x 1∙y 2+y 1x 2+x 1=b 2a 2，即y 2-y 1x 2-x 1∙y 0x 0=b 2a 2所以k PQ ∙k OM =c 2-a 2a2=e 2-1=5+12，故C 正确；设直线OP ：y =kx ，则直线OQ ：y =-1kx ，将y =kx 代入双曲线方程b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2，可得x 2=a 2b 2b 2-a 2k 2，则y 2=a 2b 2k 2b 2-a 2k 2，∴|OP |2=x 2+y 2=a 2b 2(k 2+1)b 2-a 2k 2，将k 换成-1k 即得|OQ |2=a 2b 2(k 2+1)b 2k 2-a 2，则1|OP |2+1|OQ |2=(b 2-a 2)(k 2+1)a 2b 2(k 2+1)=b 2-a 2a 2b 2=1a 2-1b 2与a ，b 的值有关，故D 错误，故选：ABC ．32.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)知函数f (x )=sin 2x -π3，则下列说法正确的是( )A.函数f x 的最小正周期是π2B.函数f x 增区间是k π2+π6,k π2+5π12(k ∈Z )C.函数f x 是奇函数 D.函数图象关于直线x =2π3对称【答案】ABD【解析】函数y =sin x 的图象如下图：由图可知，函数y =sin x 的最小正周期为π，单调递增区间是k π,k π+π2k ∈Z ，对称轴是x =k π2k ∈Z .f x =sin 2x -π3 ，f (x )的最小正周期是π2，故A 正确；令k π≤2x -π3≤k π+π2得k π2+π6≤x ≤k π2+5π12，所以f (x )的增区间是k π2+π6,k π2+5π12(k ∈Z )，故B 正确；因为f (0)≠0，所以f (x )不是奇函数，故C 错误；令2x -π3=k π2得x =k π4+π6(k ∈Z )，取k =2得对称轴方程为x =2π3，故D 正确.故选：ABD .33.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是棱A 1D 1、AB 的中点，则下列选项中正确的是( ).A.MC ⊥DNB.A 1C 1⎳平面MNCC.异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为15D.平面MNC 截正方体所得的截面是五边形【答案】AD 【解析】以点D 为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则M 1,0,2 ,C 0,2,0 ,N 2,1,0 ,D 0,0,0 ,A 2,0,0因为MC =-1,2,-2 ，DN =2,1,0 ，MC ⋅DN =-2+2=0，所以MC ⊥DN ，故A 正确；因为MC =-1,2,-2 ，MN =1,1,-2 ，设平面MNC 的法向量为n =x ,y ,z所以由MC ⋅n =0，MN ⋅n =0可得-x +2y -2z =0x +y -2z =0，所以可取n=2,4,3 ，因为AC =-2,2,0 ，AC ⋅n =-4+8=8≠0，所以A 1C 1不与平面MNC 平行，故B 错误；因为DM=1,0,2 ，NC =-2,1,0试卷第2页，共42页所以cos DM ,NC=-25⋅5=-25所以异面直线MD 与NC 所成的角的余弦值为25，故C 错误；连接CN ，在D 1C 1上取靠近D 1的四等分点为Q ，则MQ ⎳CN 连接CQ ，在AA 1上取靠近A 1的三等分点为P ，则NP ⎳CQ 所以平面MNC 截正方体所得的截面是五边形CQMPN ，故D 正确故选：AD34.(2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习)已知函数f x =3x -2x ，x ∈R ，则( )A.f x 在0，+∞ 上单调递增B.存在a ∈R ，使得函数y =f xa x为奇函数C.函数g x =f x +x 有且仅有2个零点 D.任意x ∈R ，f x >-1【答案】ABD【解析】A ：f x =3x ln3-2x ln2=2x 32xln3-ln2 因为x ∈0，+∞ ，所以2x >1，32 x >1，因此32 xln3>ln3>ln2，故f x >0，所以f x 在0，+∞ 上单调递增，故A 正确；B ：令a =6，则y =62 x -26 x ，令g x =62 x -26x，定义域为R ，关于原点对称，且g -x=62-x -26 -x =26 x -62 x=-g x ，故g x 为奇函数，B 正确C ： x =0时，g x =0，x >0时，g x =2x 32 x -1 >0，x <0时，g x =2x 32 x -1<0，所以g x 只有1个零点，C 错误；D ：x >0时，f x >0；x =0时，f x =0；x <0时，f x >-2x >-1；D 正确；故选：ABD35.(2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1a n =a n +1a n，则( )A.a n +1≥2a nB.a n +1a n是递增数列C.{a n +1-4a n }是递增数列 D.a n ≥n 2-2n +2【答案】ABD【解析】对于A ，因为a n +1=a 2n +1≥1，故a n +1a n =a n +1a n≥2a n ⋅1a n =2，所以a n +1≥2a n ，当且仅当a n =1时取等号，故A 正确；对于B ，由A 可得{a n }为正数数列，且a n +1≥2a n ，则a n +1>a n ，故a n 为递增数列，且a 1=1，根据对勾函数的单调性，a n +1a n =a n +1a n为递增数列，故B 正确；对于C ，由a n +1-4a n =a n -2 2-3，由题意a 1=1，a 2a 1=a 1+1a 1，即a 2=2可知a n +1-4a n 不是递增数列；对于D ，因为a n >1，所以a n +1-a 2n =1<a n +1-a n ，所以a n +1≥n +1,a n ≥n ，所以a n +1=a 2n +1≥n 2+1，即a n ≥(n -1)2+1=n 2-2n +2.故选：ABD36.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)设正实数a ，b 满足a +b =1，则下列结论正确的是( )A.1a +1b 有最小值4 B.ab 有最小值12C.a +b 有最大值2D.a 2+b 2有最小值12【答案】ACD【解析】A ：由题设，1a +1b =1a +1b (a +b )=2+b a +a b≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；B ：由a ,b >0，则a +b =1≥2ab ，即ab ≤12，当且仅当a =b =12时等号成立，故ab 的最大值为12，错误；C ：由a ,b >0，则a +b =1≥(a +b )22，即a +b ≤2，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；D ：a 2+b 2≥(a +b )22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；故选：ACD .37.(2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=a n2+3a n n ∈N + ，则( )A.1a n +3 为等比数列 B.a n 的通项公式为a n =12n -1-3C.a n 为递增数列D.1a n的前n 项和T n =2n +2-3n -4【答案】AD 【解析】因为1a n +1=2+3a n a n =2a n +3，所以1a n +1+3=21a n+3 ，又1a 1+3=4≠0，所以1a n +3 是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n +3=4×2n -1，所以1a n =2n +1-3，所以a n =12n +1-3，所以a n 为递减数列，1a n 的前n 项和T n =22-3 +23-3 +⋅⋅⋅+2n +1-3 =221+22+⋅⋅⋅+2n -3n =2×2×1-2n 1-2-3n =2n +2-3n -4．故选：AD ．38.(2022·江苏·淮安市钦工中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x ,x <1e x x 3,x ≥1，函数g (x )=xf (x )，下列选项正确的是( )A.点(0，0)是函数f (x )的零点B.∃x 1∈0,1 ,x 2∈(1，3)，使f (x 1)>f (x 2)C.函数f (x )的值域为[-e -1,+∞)D.若关于x 的方程[g (x )]2-2ag (x )=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是2e 2,e 28∪e2,+∞【答案】BC【解析】对于选项A ，0是函数f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误；试卷第2页，共42页对于选项B ，当x <1时，f x =x +1 e x ，则当x <-1时，f x <0，f x 单调递减，当-1<x <1时，f x >0，f x 单调递增，所以，当0<x <1时，0<f x <e ；当x >1时，fx =e x x -3 x 4，则当1<x <3时，f x <0，f x 单调递减，当x >3时，f x >0，f x 单调递增，所以，当1<x <3时，e 327<f x <e ．综上可得，选项B 正确．对于选项C ，f x min =f -1 =-1e，选项C 正确．结合函数f x 的单调性及图像可得：函数f x 有且只有一个零点0，则g x =xf x 也有且只有一个零点0；所以对于选项D ，关于x 的方程g x 2-2ag x =0有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程g x g x -2a =0有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程g x -2a =0有一个非零的实数根⇔函数y =g x 的图象与直线y =2a 有一个交点，且x ≠0，则g x =x 2e x ,x <1,e xx 2,x ≥1.当x <1时，g x =e x x x +2 ，当x 变化时，g x ，g x 的变化情况如下：x x <-2-2-2<x <000<x <1g x +0-0+g x增极大值减极小值增极大值g -2 =4e 2，极小值g 0 =0；当x ≥1时，gx =e x x -2 x 3，当x 变化时，g x ，g x 的变化情况如下：x 11<x <22x >2g x -e -0+g xe减极小值增。

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1.选择题人调整人中抽2人后排8人，现摄影师要从后排81.（安徽）12名同学合影，站成了前排4 ）到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（22222622ACAAACCC B．．．D ．CA58863688BDCD?ABABCD PP作垂直于平在正方体的对角线上．过点（北京）如图，动点2.11111DBBD)(xy?fMN?y xP?BM，N则函数，，的直线，与正方体表面相交于．设面11）的图象大致是（D1 Cyyyy1A1B1 NP DC OOOOx xxxMB．DA．．C．AB的图象可能是=g(x)x)的导函数的图象如图，那么y=f(x)，y（福建）已知函数3.y=f(x)，y=g( ）（y?)g(xy??)y?fx( yyyy)xf(y?)(xy?f)?g(yyx?g(xx OOOOOxxxxxC OD，EOABCDACAEBD的延交于点4.（广东）在平行四边形是线段中，与的中点，b??aBDAC?AF CDF交于点）．若长线与，则，（21111121b?ba?baa?b?a．B．A．D C．3324343267的在该几何体的正视图中，5.（宁夏）这条棱的投影是长为某几何体的一条棱长为，b+b的线段，则a线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和）的最大值为（5223224 D．C．．A．B P变“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点湖北）6.（如图所示，PF点第二次变轨进入轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在FPF为圆心的仍以点第三次变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在a2c2a2c2分别表示和和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用若用圆形轨道Ⅲ绕月飞行，2121P椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：FⅢⅡⅠ．cc21cc?a?cca?a?ac?a?ca??；②；③．①；④212121112212aa21）其中正确式子的序号是（．②④D C．①④A．①③B．②③5??????*1?2?x2N n?x，）的最大整数（如7.（湖南）设，．对于给定的表示不超过??4??定义1)]?[n?1)(n?xn(3????xx?C，x?3C?x?，∞1，则当，时，函数）的值域是（??nn21)]?(x?[x(x?1)x??2816161628????????????，，，2828456，456，28，．B．A．．D C?????????? 33333??????????21x??2(4?m)f(x)?2mxx)()?mxxfg(x，，，8．（江西）已知函数若对于任一实数m)xg(）与的取值范围是（的值至少有一个为正数，则实数0)，((2，8)??(0，2)(0，8)．A．B．C．D3?x??ff(x)?)xff(x)(则满足x9.（辽宁）设>0时是单调函数，是连续的偶函数，且当??4?x??）的所有x之和为（8?338? C．D．A．B．D，C，A，B种不同的花供选种，要求四块，现有410．（全国1）如图，一环形花坛分成）种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（在每块里种1 A D A．96 B．84 C．60 D．48C B11．（全国2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）32D．C．2A．1 B．≥?0，y?19x?2?≥0，?8x?yM，使函数12．(山东)设二元一次不等式组所表示的平面区域为??≤0?142x?y?x(a?0，ay?a?1)a M的取值范围是（的）的图象过区域[2，10]9]，10[，，[13]9][2．D ．C ．B ．A（陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据13．haaa，haaaa}，?{012，，i?01）组成传输信息．设定原信息为，传输信息为（，其中110102i20ah?，h?ah?a?01?11?1?11?0??0?0?00?，，，，运算规则为：，211000．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信，则传输信息为01111例如原信息为111 ）息出错，则下列接收信息一定有误的是（00011 D．．10111 B．01100 CA．11010?轴的正半轴分别相y是一个与x14.（上海）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴、、)x,y、C、D是该圆的四等分点，若点P(切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B)'',y P'(x?? Q满足：不存在P'，如果中中的点x'且y≥y'，则称P优于满足x≤yA ·）Q组成的集合是劣弧（的其它点优于Q，那么所有这样的点︵︵︵︵．DA CD D B．BC C． A．AB ? D ·· B·C Ox2C：y?8xx CAKF上且轴的交点为在的焦点为，点15．（四川）已知抛物线，准线与|AK|?2|AF|△AFK的面积为（，则）A．4 B．8 C．16 D．3216．（天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）．．A．1344种B．1248种C．1056种D．960种??△ABPPAAB使得如图，在平面是平面若点的斜线段，内运动，为斜足，（浙江）17．．．．P 的轨迹是（）的面积为定值，则动点A．圆B．椭圆 B C．一条直线D．两条平行直线A P ?（第10题）sinx?1≤≤2π(0f(x)?)x的值域是（．18（重庆）函数）3?2cosx?2sinx??20][?2，0]，3?[?，01?，0][．D ．C ．A．B ??2??填空题2.，＝6⊥CD，若AB，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BCC1.（安徽）已知点A，B，213，AD＝8，则B，C两点间的球面距离是AC ＝．k棵树．（北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第2≥1y?)x?1P(x，y2k时，，处，其中种植在点，当1kkk1??k?1k?2?????x?x?1?5T?T，???????1k?k55????????k?1k?2?????．?y?y?TT?????1kk?55?????aT(2.6)?2Ta)(0.2)?0T(．表示非负实数，的整数部分，例如按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．a，b?Pa?ba?b，，都有，3．（福建）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a?P b?ab0）??Q b?b2a，F?a?也（除数Q，是数域；数集，则称P是一个数域．例如有理数集b是数域．有下列命题：M?Q④存在③数域必为无限集；，①整数集是数域；②若有理数集则数集M必为数域；无穷多个数域．（把你认为正确的命题的序号都填上）．其中正确的命题的序号是)xxf(?(sinx?cosx)sinf(x)R x?期则周最，小正已4．（广东）知函数的，．是5．（湖北）观察下列等式：n11?2?，i?nn221i?n111?232，nn??in?6321i?n111?3423，?ni?n?n4421i?n1111?4354，n?ni?n?n?303521?in1151?26455n?n?n?ni?，6212121?in11111?65376?in??n，nnn??4227261?i ……………………………………n?kk?1kk?1k?2?????an?an?ann?an?ai，a?0?k1kkk?1?211i?11≥*N?2kk，a?，aa??）时，可以推测，当，（1?kkk?1k?12a?．2k?n(n≥4)个元素的总体｛1，2，36．（湖南）对有，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个m是给定的正整数，且2≤m（≤n-2)，再m｝和｛m+1，m+2，…，n｝，…，子总体｛1，2P ij同时出现在样本中的概表示元素从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用和ij(1≤i?j≤n)P?P；所有．的和等于率，则ifm1??????3xf1x?1x?,1f?x?ax?3a对于．≥7.（江苏）0 成立，则总有=8．（江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形a P．如果将容器倒置，升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点实心装饰块，容器内盛有P（图2）水面也恰好过点．PP2图1图有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半P B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点C a升水，则容器恰好能装满D．若往容器内再注入（写出所有真命题的代号）其中真命题的代号是：???????????????，f?(，?xf()?sinx?0)f)f(x有9．，且（辽宁）已知在区间????????36336????????? __________最小值，无最大值，则．＝D?CABC?ABABABDE的余，二面角与正方形．（全国1）等边三角形有一公共边103NA，BC，NAC，EMM等弦，的中点则的余值成所值弦为，别分是角3．于）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，2（全国．11．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：；充要条件①．充要条件②（写出你认为正确的两个充要条件）4b?3x?32，1，12．的解集中的整数有且仅有，（山东）若不等式b．则的取值范围为名火炬手完成．如果6．13（陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则．种．（用数字作答）不同的传递方案共有12的图像交点的横＝的图像与函数xy+21+2x＝0的解可视为函数y14.（上海）方程x＝－x44）,ki＝1,2,…4)所对应的点(x,)（坐标，若x，…，+ax4＝0的各个实根x，xx (k≤－i 12k x i a的取值范围是y＝x的同侧，则实数均在直线15S≤≥10，SaS{a}n的最大值，若项和为．（四川）设等差数列的前，则15544nn．为??2??ax?2a，c1?aaa，y?满使得对于任意的，都有16．（天津）设，若仅有一个常数??c?logylogx?a．，这时的取值的集合为足方程aa≥?，0x?≤≥≥≥1byax?0，ab0，y0ba，为坐标，且当（浙江）若17．时，恒有，则以??≤1x?y?)b(a，P．的点所形成的平面区域的面积等于，要在4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）（重庆）某人有18．CABC，，，B，C，ABA上各装一个灯泡，6个点如题（16）图所示的111C1要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个AB11（用数字作答）种．的安装方法共有）图18题（。

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