2017-2018学年湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、一中、曾都一中)联考高三上期中数学试卷(理科)

2017-2018学年湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、一中、曾都一中）联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0≤0，使得”的否定是（）A．∀x＞0，x2＜0 B．C．∀x≤0，x2＜0 D．2．（5分）设命题p：∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（¬q）B．（¬p）∧q C．p∧q D．（¬p）∨q3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=ln|x﹣1|B．y=x2﹣|x|C． D．y=e x+e﹣x4．（5分）函数y=a x（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）=f'（1）x2+x+2，则（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}中，已知|a7|=|a12|且公差d＞0，则其前n项的和S n取得最小值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）已知g（x）=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是函数的零点，则g（x0）等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．设，则等于（）A． B．C．D．9．（5分）“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，f（x）的图象与x轴切于N点，则下列选项判断错误的是（）A．B．C．D．|MN|=π11．（5分）设f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，则下列说法错误的是（）A．f（x）有最小值而无最大值B．当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值C．当|a|＜|c|时，g（x）有最小值而无最大值D．当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值12．（5分）如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=f（x）﹣ax，则下列判断正确的是（）A．h（x）只有一个极值点B．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2D．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B=．14．（5分）已知向量，且，则=．15．（5分）若函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的取值范围为．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a=2，则△ABC的面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x ∈R，使不等式a＞e2x﹣e x成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a2=﹣2，S6=6．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列{|a n|}的前n项和为T n．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（α）=﹣1，且，求的值．20．（12分）已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2．（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．求实数a的值；（2）对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2且x1＜x2，都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．试求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且．（1）试判断△ABC的形状；（2）若，求的取值范围．22．（12分）设f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且．2017-2018学年湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、一中、曾都一中）联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0≤0，使得”的否定是（）A．∀x＞0，x2＜0 B．C．∀x≤0，x2＜0 D．【解答】解：∵命题“∃x0≤0，使得”是一个特称命题∴命题“∃x0≤0，使得”的否定是“∀x≤0，x2＜0”故选C．2．（5分）设命题p：∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（¬q）B．（¬p）∧q C．p∧q D．（¬p）∨q【解答】解：由m﹣1=1，解得：m=2，故f（x）=，在（0，+∞）上单调递减；故命题p是真命题；令x=4，则x2=2x；故命题q是假命题；故p∧（￢q）是真命题，故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=ln|x﹣1|B．y=x2﹣|x|C． D．y=e x+e﹣x【解答】解：函数y=ln|x﹣1|是非奇非偶函数，不满足条件；函数y=x2﹣|x|是偶函数，在（0，]是单调递减，在[，+∞）上单调递增，不满足条件；函数是偶函数，在（0，+∞）上，≥0不恒成立，故不满足条件；函数y=e x+e﹣x是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，满足条件，故选：D4．（5分）函数y=a x（a＞0且a≠1）与函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若0＜a＜1，则指数函数y=a x是减函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向下，对称轴为x=＜0，排除D；若a＞1，则指数函数y=a x是增函数，二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1开口向上，对称轴为x=＞0，排除B；又二次函数y=（a﹣1）x2﹣2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），排除A；故选C．5．（5分）已知函数f（x）=f'（1）x2+x+2，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=f'（1）x2+x+2，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+2，∴=═（﹣x3+x2+2x）=，故选B．6．（5分）等差数列{a n}中，已知|a7|=|a12|且公差d＞0，则其前n项的和S n取得最小值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵等差数列{a n}中，|a7|=|a12|且公差d＞0，∴|a1+6d|=|a1+12d|，∴a1=﹣9d＜0，∴S n=na1+==（n﹣）2﹣．∴其前n项的和S n取得最小值时n的值为9．故选：C．7．（5分）已知g（x）=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是函数的零点，则g（x0）等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，则x0是（2，3）上的一个值，∴g（x0）=[x0]=2故选B．8．（5分）点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．设，则等于（）A． B．C．D．【解答】解：如图所示：点G为△ABC的重心（三边中线的交点）．则：，设，则：，，=．故选：B．，9．（5分）“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀∈（0，+∞），ax+”⇔“∀∈（0，+∞），a≥”⇔“a≥2”，故“a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，f（x）的图象与x轴切于N点，则下列选项判断错误的是（）A．B．C．D．|MN|=π【解答】解：由函数的部分图象知，1+ω=2，解得ω=1，∴f（x）=cos（x﹣）+1；当x=时，f（x）=2，为最大值，∴f（x）的图象关于直线x=对称，有f（﹣x）=f（+x），∴A正确；由于f（x）+f（﹣x）=cos（x﹣）+1+[cos（﹣x﹣）+1]=2+cos（x﹣）+sinx=2+cosx+sinx=2+sin（x+）≠2，∴B错误；由于f（）=cos（﹣）+1=cos+1=1，∴C正确；由于|MN|=T=×2π=π，∴D正确．故选：B．11．（5分）设f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，则下列说法错误的是（）A．f（x）有最小值而无最大值B．当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值C．当|a|＜|c|时，g（x）有最小值而无最大值D．当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值【解答】解：∵f（x）=|ax+b|+|cx+d|（x∈R），g（x）=|ax+b|﹣|cx+d|（x∈R）且都满足，不妨令a，b均为正，则由ax+b=0得：x=﹣，由cx+d=0得：x=﹣，则当x=﹣，或x=﹣时，函数f（x）有最小值而无最大值，故A正确；当|a|＞|c|时，g（x）有最小值而无最大值，故B正确；当|a|＜|c|时，g（x）有最大值而无最小值，故C错误；当|a|=|c|时，g（x）既有最小值又有最大值，故D正确；故选：C．12．（5分）如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=f（x）﹣ax，则下列判断正确的是（）A．h（x）只有一个极值点B．h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点C．g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为﹣2D．g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2【解答】解：∵直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，∴ax+2=f（x）有两个解，设f（x）的极大值点为m，∴f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a．g（x）=f（x）﹣ax，g′（x）=f′（x）﹣a，∴g′（m）=f′（m）﹣m，∴g′（m）=0，x＞m，g′（x）＜0，x＜m，g′（x）＞0，∴x=m是函数的极大值点，且g（m）=f（m）﹣am=2，同理g（x）有极小值，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B={﹣1，，1} ．【解答】解：由A∩B={}得，2a=⇒a=﹣1，b=，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}故答案为：{﹣1，，1}．14．（5分）已知向量，且，则=．【解答】解：向量，且，∴6m=﹣2×3，解得m=﹣1，∴﹣=（6，﹣2）﹣（3，﹣1）=（3，﹣1），∴|﹣|=，故答案为：．15．（5分）若函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，则实数a的取值范围为[0，1+ln2）．【解答】解：当x≤0时，y=x2﹣a≥﹣a，函数是减函数，x＞0时，y=x﹣a+lnx是增函数，函数在区间（﹣2，2）上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得a∈[0，1+ln2）．故答案为：[0，1+ln2）．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a=2，则△ABC的面积的最大值为+1．【解答】解：△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，利用正弦定理：，即：，所以：，且a=2．则：sinA=cosA．解得：A=．利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，，整理得：bc，=，故三角形面积的最大值为：．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题P：函数的定义域为R；命题q：∃x ∈R，使不等式a＞e2x﹣e x成立；命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若命题p为真命题，则在x∈R恒成立，当a=0时显然不成立，当a≠0时，；若命题q为真命题，则，由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，综上所述，．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a2=﹣2，S6=6．（1）求数列{a n}的通项；（2）求数列{|a n|}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知得：，∴a n=﹣4+（n﹣1）×2=2n﹣6；（2），当n＜3时，a n＜0，此时，当n≥3时，a n≥0，此时T n=﹣a1﹣a2+a3+a4+…+a n=，综上：．19．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若f（α）=﹣1，且，求的值．【解答】解：（1）∵，∴f（x）的最小正周期为．由，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为；（2）由，得，∵，∴，∴．∴==．20．（12分）已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2．（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．求实数a的值；（2）对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2且x1＜x2，都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），，∴x=1，f'（1）=2a，切点为（1，a），∴切线方程为y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，又联立，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，∴a=1；（2）由条件可知：f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）（x1＜x2），设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，∵，∴a≤1，又由条件知a＞0，0＜a≤1从而即为所求．21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且．（1）试判断△ABC的形状；（2）若，求的取值范围．【解答】解：（1）由条件及正弦定理，得：（sinC﹣sin2A）sinB=（sinC﹣sinB）sin2A，即sinCsinB﹣sin2AsinB=sinCsin2A﹣sinBsin2A，∴sinCsinB=sinCsin2A，又sinC≠0，∴sinB=sin2A，∴B=2A，或B+2A=π，①当B=2A时，∵，∴B+A=3A＞π导出矛盾，则B=2A应舍去．②当B+2A=π时，又A+B+C=π，∴A=C合理，综上判断△ABC为等腰三角形；（2）在等腰△ABC中，取AC的中点D，由得|BD|=3，又由（1）知，则=．22．（12分）设f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）且f（x）≥0恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且．【解答】（1）解：f（x）=e x（e x﹣ax﹣1）≥0，因为e x＞0，所以e x﹣ax﹣1≥0恒成立，令φ（x）=e x﹣ax﹣1，x∈R，问题等价φ（x）≥0恒成立，∴φ'（x）=e x﹣a，当a≤0时，φ（x）在x∈R单调递增，又φ（0）=0当x∈（﹣∞，0）时，φ（x）＜0矛盾，当a＞0时，φ（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴φ（x）≥0恒成立，等价为φ（lna）=e lna﹣alna﹣1≥0，即a﹣alna﹣1≥0，又令g（a）=a﹣alna﹣1，（a＞0），g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，∴g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，而g（1）=0，所以不等式a﹣alna﹣1≥0的解为a=1，综上a=1．（2）证明：f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1，所以h（x）在单调递减，在单调递增，∵由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在有唯一根，设为x0且，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由得，∴取等不成立，所以得证，又∵在（﹣∞，x0）单调递增所以得证，从而且成立．。