等波纹低通滤波器的设计及与其他滤波器的比较

燕山大学
课程设计说明书题目：等波纹低通滤波器的设计
学院（系）：里仁学院
年级专业：仪表10-2
学号：
学生姓名：
指导教师：
教师职称：
燕山大学课程设计（论文）任务书
院（系）：电气工程学院基层教学单位：自动化仪表系
2013年7月5日
摘要
等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。

用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。

这就是等波纹的含义。

最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。

与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。

阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。

实现FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB信号处理工具函数为remez和remezord。

Remez函数采用数值分析中的remez多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR数字滤波器的单位脉冲响应h（n）。

由于切比雪夫和雷米兹对解决该问题做出了贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法和雷米兹逼近法。

关键词：FIR数字滤波器 MATLAB remez函数 remezord函数等波纹
目录
摘要---------------------------- ----------------------------------------------------------------2 关键字------------------------------------------------------------------------------------------2 第一章第一章数字滤波器的基本概-------------------------------------------------4
1.1滤波的涵义----------------------------------------------------------------------4
1.2数字滤波器的概述-------------------------------------------------------------4
1.3数字滤波器的实现方法-------------------------------------------------------4
1.4 .数字滤波器的可实现性------------------------------------------------------5
1.5数字滤波器的分类-------------------------------------------------------------5
1.6 FIR滤波器简介及其优点----------------------------------------------------5- 第二章等波纹最佳逼近法的原理-------------------------------------------------------5
2.1等波纹最佳逼近法概述-------------------------------------------------------9
2.2.等波纹最佳逼近法基本思想-------------------------------------------------9
2.3等波纹滤波器的技术指标及其描述参数介绍---------------------------10
2.3.1滤波器的描述参数-----------------------------------------------------10
2.3.2设计要求-----------------------------------------------------------------10 第三章matlab程序------------------------------------------------------------------------11 第四章该型滤波器较其他低通滤波器的优势及特点--------------------12 第五章课程设计总结---------------------------------------------------------------------15 参考文献资料-------------------------------------------------------------------------------15
第一章数字滤波器的基本概念介绍
1.1滤波的涵义
a) 将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大;
b) 对信号进行检测;
c) 对参数估计;
1.2数字滤波器的概述
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

下图给出了一个具有模拟输入信号和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图。

这个带限模拟信号被周期地抽样，且转化成一系列数字X（n）（n=0,1,…）。

数字处理器依据滤波器的计算算法，执行滤波运算，把输入系列X（n）映射到输出系列Y（n）。

DAC 把数字滤波后的输出转化成模拟值，这些模拟值接着被模拟滤波器平滑，并且消去不想要的高频分量。

一个具有模拟输入和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图数字滤波器在数字信号处理中具有非常重要的地位。

在许多应用中（例如数据压缩，生物医学信号处理、语音处理、图象处理、数据传输、数字音频、电话回声对消，等等），数字滤波器和模拟滤波器比数字滤波器的有优势更加明显。

1.3数字滤波器的实现方法
a) 用软件在计算机上实现
b) 用专用的数字信号处理芯片
c) 用硬件
1.4 .数字滤波器的可实现性
a) 要求系统因果稳定，即所设计的系统极点全部集中在单位圆内。

b) 要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数，即系统的零极点必须共轭成
对出现，或者是实数。

1.5数字滤波器的分类
数字滤波器可以分为经典滤波器和现代滤波器。

经典滤波器按照滤波特性可以分为数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻等类型。

数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类可以分为无限长单位脉冲（IIR）和有限长单位脉冲（FIR）。

1. 6 FIR滤波器简介及其优点
1.6.1FIR滤波器即有限长单位脉冲响应滤波器，是数字信号处理中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位冲击响应是有限的，没有输入到输出的反馈，是稳定的系统。

因此，FIR滤波器在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。

1.6.2 FIR滤波器具有以下主要优点：
a) FIR滤波器具有准确的线性相位
b) FIR滤波器永远稳定
c) FIR滤波器设计方法一般是线性的
d)FIR滤波器在硬件上具有更高的运行效率
e)FIR滤波器启动传输时间只需要有限时间
1.6.3FIR滤波器的基本结构
FIR滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。

通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。

(a)FIR滤波器的横截型结构
表示系统输入输出关系的差分方程可写作：
10()()()N m y n hmx n m -==-∑ (2-3)
直接由差分方程得出的实现结构如图1所示：
图1 、横截型(直接型﹑卷积型)
若h (n )呈现对称特性，即此FIR 滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：
图2 、N 为奇数时线形相位FIR 滤波器实现结构 图3 、N 为偶数时线性相位FIR 滤波
器实现结构
(b)FIR 滤波器的级联型结构
将H (z )分解成实系数二阶因子的乘积形式：
[]121201201()()N N N k k k
N k H z h n z b b z bz ----====++∑∏ (2-4)
这时FIR 滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。

如下图所示
1.6.4线性相位FIR 数字滤波器：
对于长度为N 的h(n)，频率响应函数为
()∑-=-=1
)(N n j j e e n h H ωω H(e j ω)=Hg （ω）e j θ(ω)
式中，Hg （ω）称为幅度特性；θ（ω）称为相位特性。

这里Hg （ω）为ω的实函数，可能取负值。

线性相位FIR 滤波器指θ（ω）是ω的线性函数。

有两种情况：即θ（ω）=-τω和θ（ω）=θ0-τω。

第一种是第一类线性相位，第二种为第二类线性，通常取θ0=-π/2。

1.6.4.1线性相位FIR 滤波器的时域约束条件
线性相位FIR 滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对h(n)的约束条件。

为使滤波器对实信号信号的处理结果仍为实信号，要求h(n)是实系列。

线性相位FIR 滤波器的时域约束条件可分为以下几种情况：
第一类线性相位：
h(n)关于n=(N-1)/2点偶对称对，即h(n)=h(N-n-1)。

N 确定时，其线性特性是一明确的线性函数：θ（ω）=-ω（N-1）/2。

第二类线性相位：
h(n)关于n=(N-1)/2点奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)。

N 确定时，一般取其线性特性是一明确的线性函数：θ（ω）=-π/2-ω（N-1）/2。

1.6.4.2线性相位FIR 滤波器幅度特性Hg （ω）的特点:
实质上，，幅度特性的特点就是线性相位FIR 滤波器的频域约束条件。

结合时域约束条件)1()(--±=n N h n h ，引入两个参数τ=（N-1）/2，⎡⎤2/)1(-=N M 。

分四种情况讨论幅度特性特点。

情况1： )1()(--=n N h n h ；N 为奇数。

此时：∑-=-+=1
0)](cos[)(2)()(M n n n h h Hg τωτω
所以，Hg （ω）关于ω=0，π，2π对称。

因此情况1可以实现低通、高通、带通、带阻等各种滤波器。

情况2：
)1()(--=n N h n h ；N 为偶数。

此时：∑=-=M
n n n h Hg 0)](cos[)(2)(τωω
所以Hg （π）=0，Hg （ω）关于ω=π奇对称，关于ω=0和2π偶对称。

因此，情况2不能实现高通和带阻滤波器。

情况3：
)1()(---=n N h n h ；N 为奇数。

此时：∑-=-=1
0)](sin[)(2)(M n n n h Hg τωω
所以Hg （ω）关于ω=0，π,2π三点奇对称。

因此，情况3只能实现带通滤波器。

情况4：
)1()(---=n N h n h ；N 为偶数。

此时：∑=-=M
n n n h Hg 0)](sin[)(2)(τωω
所以Hg （ω）关于ω=0,2π两点奇对称。

因此，情况4不能实现低通和带阻滤波器。

线性相位FIR 数字滤波器的零极点分布特点：
将)1()(--±=n N h n h 代入-∑-==10)()(N n z
n h z H n 得到
)()(1
)1(z z H z H N ---±= 由上式可以得到，如果z z i =是零点，则z i 1-，*z i ，*)(1
z i -也必是其零点。

FIR 滤波器在z=0处为N 阶极点。

第二章等波纹最佳逼近法的原理说明
2.1等波纹最佳逼近法概述
等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。

用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。

这就是等波纹的含义。

最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。

与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。

阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。

实现FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB信号处理工具函数为remez和remezord。

Remez函数采用数值分析中的remez 多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR数字滤波器的单位脉冲响应h（n）。

由于切比雪夫和雷米兹对解决该问题做出了贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法和雷米兹逼近法。

2.2.等波纹最佳逼近法基本思想
用Hd(ω)表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,Hd(ω)必须满足线性相位约束条件。

用Hg（ω）表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。

定义加权误差函数E（ω）为
E（ω）=W(ω)[Hd(ω)-Hg（ω）]
式中，W(ω)成为误差加权函数，用来控制不同频段（一般指通带和阻带）的逼近精
度。

等波纹最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通带和阻带以
)
(
E
的最大值最小化为准则，
采用remez多重交换迭代算法求解滤波器系数h（n）。

所以W(ω)取值越大的频段，逼近精度越高，开始设计时应该根据精度要求确定W(ω)，在Remez多重交换迭代过程中W(ω)是确知函数。

等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近区域”和“无关区域”。

逼近区域一般指通带和阻带，无关区域一般指过渡带。

设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。

应当注意，无关区域不能为零，即Hd(ω)不能是理想滤波特性。

利用等波纹最佳逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器数字模型的建立及其求解算法的推导复杂，求解计算必须借助计算机，可借助MA TLAB信号处理工具箱函数remeezord和remez，简单调用这两个函数就可以完成线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近设计。

2.3等波纹滤波器的技术指标及其描述参数介绍
2.3.1滤波器的描述参数
一般情况下，用损耗参数ωp,αp,ωs,αs.描述在工程实际中，通常取ωp=π/2,αp=2dB,ωs=11π/20,αs=20dB.
但是在等波纹最佳逼近设计法求滤波器阶数N 和误差加权函数W （ω）时，要求给出的滤波器通带和阻带的震荡波纹δ1和δ2。

这是等波纹法设计滤波器时常使用的描述方法。

两种参数的转换关系：
1
11101020
/20
/+-=p p ααδ
10
20
/2s α
δ-=
2.3.2设计要求
滤波器的设计指标要求为：
（1）通带截止频率：4KHz,
（2）阻带截止频率：5 KHz ；
（3）阻带至少衰减40dB 采样截止频率20kHz
（4）采样截止频率20kHz
第三章matlab程序
clc
f=[4000,5000]; %边界频率为模拟频率(hz)
Fs=20000; %对模拟信号的采样频率为20Khz
m=[0,1];
rp=1;rs=40;
dat1=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1);
dat2=10^(-rs/20);
rip=[dat1,dat2];
[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs); %边界为模拟频率(Hz)时必须加入采样频%率FS
hn=remez(M,fo,mo,w);
subplot(1,2,1);
n=0:M;
stem(n,hn);
xlabel('n');ylabel('h(n)');
axis=([0,30,-0.1,0.4]);
[hf,f]=freqz(hn,1,1024,Fs);
subplot(1,2,2);plot(f/1000,20*log10(abs(hf)));grid on
title('等波纹低通滤波器');
xlabel('f/Khz');ylabel('幅度(dB)');
)
第四章该型滤波器较其他低通滤波器优势及特点
常用的低通滤波器有巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔和椭圆函数四种类型。

巴特沃斯低通滤波器程序代码：
wp=2*pi*4000;ws=2*pi*5000;Rp=2;As=40;%设置滤波器参数
[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');%计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc [B,A]=butter(N,wc,'s');%计算滤波器系统函数分子和分母多项式系数
k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs(B,A,wk);%计算滤波器的频率响应
subplot(1,1,1);
plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk))); grid on;%以dB表示频率响应的幅度
title('巴特沃斯低通滤波器');
xlabel('频率(kHz)');ylabel('幅度(dB)'); axis([0,14,-40,5]);
巴特沃斯滤波器，通带内没有任何的纹波，因而也被称为最大平坦度滤波器；但是其幅度响应曲线在截止频率处也较为平缓。

也就是说巴特沃斯滤波器的矩形系数较低，等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。

用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。

最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。

与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。

阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。

巴特沃斯滤波器具有最平坦的通带，但过渡带不够陡峭。

契比雪夫滤波器带内有起伏，但过渡带比较陡峭。

贝塞尔滤波器过渡带宽而不陡，但具有线性相频特性。

椭圆滤波器不仅通带内有起伏，阻带内也有起伏，而且过渡带陡峭。

切比雪夫滤波器，最大的优点是滤波器在通带外拥有陡峭的衰减曲线，有较高的矩形系数；缺点是通带内有纹波，并且，通带内纹波越大，通带到阻带的过渡就越陡峭，矩形系数就越高。

另外，对于无线通信来说，线性的相位响应要比陡峭的衰减重要的多，并且，线性相移和陡峭的幅度变化是相互冲突的。

第五章课程设计总结
通过本次设计，让我学到了一些在课堂学不到的知识和能力，如查找资料、筛选信息并将有用信息运用到实际中，很好的锻炼了理论联系实际，与具体项目、课题相结合开发的能力。

同时也让我们学会了怎样更好的发现问题，解决问题，积累了一些解决问题的经验。

既让我们懂得了怎样把理论应用于实际，又让我们懂得了在实践中遇到的问题怎样用理论去解决。

更让我们学会了一些实际的知识和技能，使我在数字信号处理方面学到了更深的知识，并在滤波器设计及MA TLAB软件应用方面有了比较大的提高，培养了自己的自学能力，这些进步对在以后的工作学习中起了很好的帮助。

总而言之通过这次课设我受益匪浅，希望这样的机会能更多一些！
参考文献资料：
1、《数字信号处理》西安电子科技大学出版社高西全丁玉美2008
2、《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》电子工业出版社陈怀琛，2004
3、《详解MATLAB数字信号处理》电子工业出版社张德丰2010
燕山大学课程设计评审意见表。