数值线性代数大作业报告

数值线性代数实验

大报告

指导老师：赵国忠

姓名：1108300001 刘帅

1108300004 王敏

1108300032 郭蒙

一、实验名称：16题P75上机习题

二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务

三、实验内容与要求：

P75上机习题

先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程

序完成下面两个计算任务：

（1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。

（2） 设A n = 1

1...111...

..........

...

1-1 (01)

-- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A

n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧

x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。

四、 实验原理：

（1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for

循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。

（2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n

，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。

五、 实验过程：

(1)程序：

clear

for n=5:20

for i=1:n

for j=1:n

a(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

c=cond(a);

f=norm(c,inf);

fprintf('n=%3.0f\nnorm(c,inf)%e\n',n,f) end

运行结果：

n= 5

norm(c,inf)4.766073e+005

n= 6

norm(c,inf)1.495106e+007

n= 7

norm(c,inf)4.753674e+008

n= 8

norm(c,inf)1.525758e+010

n= 9

norm(c,inf)4.931542e+011

n= 10

norm(c,inf)1.602467e+013

n= 11

norm(c,inf)5.224376e+014

n= 12

norm(c,inf)1.698855e+016

n= 13

norm(c,inf)3.459404e+017

n= 14

norm(c,inf)4.696757e+017

n= 15

norm(c,inf)2.569881e+017

n= 16

norm(c,inf)7.356249e+017

n= 17

norm(c,inf)4.362844e+017

n= 18

norm(c,inf)1.229633e+018

n= 19

norm(c,inf)9.759023e+017

n= 20

norm(c,inf)1.644051e+018

（2）程序：

M文件：matrix1.m

function [a,b,x1]=matrix1(n) format long

A1=-1*ones(n,n)

A2=tril(A1)

for i=1:n

A2(i,i)=1

end

A2(:,n)=1

a=A2

x1=rand(n,1)

b=A2*x1

end

运行结果：

>> A1 =

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

-1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

1 0 0 0 0

-1 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1

A2 =

1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1 1

A2 =

1 0 0 0 1 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1

a =

-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1

x1 =

0.814723686393179

0.905791937075619

0.126986816293506

0.913375856139019

0.632359246225410

b =

1.447082932618589

0.723427496907850

-0.961169560949882

-0.301767337397875

-2.128519049675914

a =

1 0 0 0 1 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1

b =

1.447082932618589

0.723427496907850

-0.961169560949882

-0.301767337397875

-2.128519049675914

x1 =