A ．)1,23[e -
B ．)43,23[e -
C ．)43,23[e
D ．)1,23[e
2. （2016·课标全国II 卷理）若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1）的切线，则b = ．
3.（2016·北京理）（本小题13分）
设函数f (x)=x a x e -+bx ，曲线y =f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e －1)x +4，
（I ）求a ,b 的值；
(II) 求f (x)的单调区间．
4.（2017·全国III 卷文）（12分）
已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a
≤-
-．
5. （2016•四川卷文）（本小题满分14分）
设函数f (x)=ax 2－a －ln x ，g (x )=1x －e e x ，其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f (x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g (x )＞0；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f (x)＞g (x )在区间（1，+∞）内恒成立.
6.（2016•课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）
已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
7.（2017·天津文）（本小题满分14分）
设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图像在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，
（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.
8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f （x ）=a x +b x （a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1）．
（1）设a =2，b =12
．
①求方程f （x ）=2的根；
②若对于任意x ∈R ，不等式f （2x ）≥mf （x ）－6恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若0＜a ＜1，b ＞1，函数g （x ）=f （x ）－2有且只有1个零点，求ab 的值．
9. （2016·山东理） (本小题满分13分)
已知()221()ln ,x f x a x x a R x
-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +
＞对于任意的[]1,2x ∈成立.
10. (2017·江苏文)（本小题满分16分）
已知函数()3210f x =x ax bx (a ,b R)+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：b ²>3a ;
(3)若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于7-
2
，求a 的取值范围.
构造函数解决高考导数问题答案
1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1A ．)1,23[e -
B ．)43,23[e -
C ．)43,23[e
D ．)1,23[e
【答案】D
【解析】由题意，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0，即存在唯一的整数x 0，使0x e (2x 0－1)＜a (x 0－1)．
设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝a (x －1)．g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)，
从而当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时，g (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞时，g (x )单调递增． 又h (x )＝a (x －1)必过点(1，0)，g (0)＝－1，当g (0)＝h (0)时，a ＝0－（－1）1－0
＝1. 而g (－1)＝－3e ，当g (－1)＝h (－1)时，a ＝0－⎝⎛⎭
⎫－3e 1－（－1）＝32e
， 要满足题意，则32e
≤a ＜1，选D. 【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)＜0”转化为“若存在唯一的整数x 0，使得0x e (2x 0－1)＜a (x 0－1)”．
测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想．
2.（2016·课标全国II 卷理）若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +１)的切线，则b = ．
【答案】1－ln 2
【解析】设y ＝kx ＋b 切y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，切y ＝ln (x ＋1)的切点为(x 2，y 2)．由导
数的几何意义和切点的特征可知⎩⎪⎨⎪⎧kx 1
＋b ＝ln x 1＋2＝y 1，k ＝1x 1，① ⎩⎪⎨⎪⎧kx 2＋b ＝ln （x 2＋1）＝y 2，k ＝1x 2＋1
.② 由①消去x 1，y 1整理可得b ＝1－ln k ，③
由②消去x 2，y 2整理可得b ＝－ln k ＋k －1.④
联立③④可得1－ln k ＝－ln k ＋k －1，∴k ＝2，∴b ＝1－ln k ＝1－ln 2.
【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达
