《函数列一致连续和一致收敛及等度连续的关系》一文的反例
关于一致收敛
关于一致收敛，我提出了一些自然应该产生的问题，主要看定义和提出的问题，希望可以看完定义和从这个定义出发的许多问题，这里大部分比较简单，尤其是根据定义验证性质的希望可以验证一下，根据定义便可以得出的，其他的了解一下，可以等寒假或者以后再想。
尤其举反例部分不用着急想，比如weierstrass 函数的反例和最后的一段比较难，不用浪费精力去着急想，了解一下即可，但心里要装着这些问题，不要放弃。
1一致收敛的定义：关键是共同的N （与x 无关），任意号与存在号的选择与排序问题，比如有四个空，每个空填写任意与存在，一共有2^4种可能，另外还可以对这些做排序（4！），就有2^4*4！=384种不同的结果，但其中只有一种是可以描述一致收敛的定义，因而这样的话，定义的准确性就显得很是必要了，这里仅仅有一种正确刻画了一致收敛0,,,.n Given any there exists a capital N such that f f whenever n N εε-＞＜＞0ε∀（任给，对任意固定的，对每个给定的）＞，N ∃（存在找得到）正整数， n N ∀使得对一切的(当……时)（或者用符号）＞，,.(,)()()n x E s t such that f x f x ε∀∈-对一切的（）＜（一致性体现在，有共同的N 不依赖于x ，试若把x E ∀∈对一切的（）放在，N ∃（存在找得到）正整数前，则是逐点收敛的定义（N 依赖于x ），从逻辑上完全不是同一句话）注：n x ε∀（从“对一切的（）”开始的部分等价于用上确界范数的描述＜）2对定义的提问：1 well-defined ？（是不是恰到好处的）比如对集合E 要有什么要求？如果说函数列分别按照逐点收敛和按照一致所得的极限函数存在的话，这个极限函数唯一吗？2如果是well-defined ，那么它的否定的正面描述是什么？并且举出一致收敛和不一致收敛的例子来体会定义（好例子的标准：1简洁（而并非去整自己去找很难的例子）2能反映一些重要性质体会到为什么一致收敛，为什么不一致收敛）既要有正面例子，又要有反面的例子3一致收敛于逐点收敛的区别及其蕴含关系是什么？4每一种收敛方式都对应于一个基本列的表述方式，对比于n 维实空间，连续函数空间也是一个距离空间，那么它的基本列是什么定义，基本列与收敛列之间的关系呢？即它完备吗？注意到在考虑函数空间时候，我们考虑的是把函数作为一个“元素”放到整个函数空间中去看，因此我们在函数空间中引入了一致收敛的概念，注意力集中到函数作为一个元素上去，因而一致收敛的时候要求N 与x 要无关5类似地可以问，连续函数空间中的子集有界是什么意思？也就有了一致有界的概念（感觉上应该这个界也和x 无关） 类似有开球的概念(;){:,,0}E E B f g C f C f g δδδ=∈∈-＜＞特别连续函数列是一致有界的如果它能包含在一个球里为了强调这里的有界和x 无关，称其一致有界，可以证明函数列一致有界的定义的等价叙述如下：.n M s t f M x E f M ∈存在一正数，对一切的正整数，＜（即对一切的，＜）类似的拓扑的语言都合适地可以移到连续函数空间上来，如什么是开集，什么是闭集，什么是紧集（这个时候的有界[指的是一致有界]闭集是否还是紧致（等价于列紧[可以证明一般的距离空间中的紧致和列紧是一回事]）的呢？），什么是内点，孤立点，极限点，边界点，闭包为了简便和具体些，下面函数列定义在一个实数的子集合I 上6可以问一致收敛是否是一致有界的？如果回答否定还可以问：有界函数列（对每个固定的n ，存在一个大M ，使得对一切()n x E f x M ∈，＜，这里是一致有界的意思吗？一致有界和普通的函数有界有什么区别？）一致收敛的话，极限函数有界吗，这些函数列在集合I 上一致有界吗？进而如果在I 上考虑的函数列一致收敛，且它的极限函数有界，这个函数列是否一致有界呢？如果不是的话，这个函数列是否会从某项开始一致有界呢？7可以考虑逐点收敛和一致收敛的函数列的代数性质（无论命题成立与否都要有一些适当的例子放在心里）两个函数列逐点收敛，他们的和函数列与积函数列逐点收敛吗？两个函数列一致收敛，他们的和函数列与积函数列一致收敛吗？两个对了，那么有限个应该也对，为什么？8一致有界函数列的和与积是否一致有界呢？9设函数列定义在一个闭区间I （一般定义在一个紧致集合上）上逐点收敛意义下的函数列与极限函数之间的关系有下面的问题可以问函数列连续，极限函数连续吗？函数列可导，极限函数也可导？如果可导的话，先对函数列求导，再求极限函数，与先求极限函数再求极限函数的导数是一回事吗？类似的可积应该也有与可导的问题，这样已经有5个问题了10如果收敛方式改为一致收敛呢？就得到10个问题了（其中会遇到一个问题，例子不大好举，即是否有可导函数列一致收敛，它的极限函数处处连续，但是不可导，如果存在的话，不可导点是有限的，可数的，不可数，甚至处处不可导的例子又能否举出来？即weierstrass 函数，这样的函数有些病态，那么可以考察一些常见的病态函数（如黎曼函数R （x ），狄利克雷函数D(x)，n ()()()lim ()(),n n n n f x f x f x f x f x a →∞=逐点收敛到，记为且是一个收敛到0的数列，）的基本的解析性质，如连续性，可导性，可积性。
数学分析课程中的几个反例-FudanUniversity
数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。
也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。
但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。
Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：(0()sin n n n )f x a b ∞==∑x ，b a <<<10， 。
1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的。
设(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕϕϕ(x ) = 0.33。
显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且。
2/1)(≤ϕx 注意 当y x ,21,[+∈k k 或]1,21[++k k 时，成立|||)()(|y x y x −=−ϕϕ。
Van Der Waerden 给出的例子是：)(x f = ∑∞=ϕ010)10(n nn x 。
由n n x 10)10(ϕ≤n1021⋅，及∑∞=⋅01021n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞−∞∈x 一致收敛。
所以在连续。
)(x f ),(+∞−∞现考虑在任意一点x 的可导性。
由于的周期性，不妨设，并将x 表示成无限小数)(x f )(x f 10<≤x x = 0.a 1a 2…a n …。
若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。
浅析数学分析一致连续
一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
数学分析 函数列与函数项级数 10.1-10.2一致收敛
1 1 1 而 n sup f n ( x ) f ( x ) f n ( ) 0 , n 11 2 x( 0 ,1 )
0,
故在(0,1)上不一致收敛.
定理2. (Cauchy收敛原理)
设 f n 定义于I ,
f n 在I上一致收敛
0, N ( ),当n N ( )时, x I , p N * ,
都有 f n p ( x ) f n ( x ) .
证明:
设f n在I上一致收敛于f ,
0, N ( ),当n N ( )时, 对x I , p N * ,
f n ( x ) f ( x ) , f n p ( x ) f ( x ) . 2 2
n
转化为函数列 S n ( x )的三个等价问题 :
可导 可积
反例见P392.
可导? 可积?
§10.2
一致收敛
一、函数列的一致收敛
⒈ f n 定义于[a , b], x0 [a , b], f n ( x0 )收敛
称 f n 在[a , b]上收敛或逐点收敛.
⒉ 设f n在[a , b]逐点收敛于f ,
即lim f n ( x0 ) f ( x0 ), x0 [a , b].
n
0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时,
f n ( x0 ) f ( x0 )
是否有公共的N , n N时对一切x0 [a , b],
都有 f n ( x0 ) f ( x0 ) ?
有公共的N ( ),与x无关.
⒊一致收敛
定义： f n 在点集I上逐点收敛于f , 若 0, 设
一致连续与连续的关系
一致连续与连续的关系我们知道，f(x)在区间I上一致连续，自然f(x)在I上连续，反之不一定．若I为有限闭区间，据Cantor定理，f在[a，b]上连续等价于f在[a，b]上一致连续．现在让我们来讨论开区间以及无穷区间的情况．例1设f(x)在有限开区间(a，b)上连续，试证f(x)在(a，b)上一致连续的充要证1°(必要性)已知∀ε＞0，∃δ＞0，当x′，x″∈(a，b)，|x′－x″|＜δ时，有|f(x′)－f(x″)|＜ε．故∀x′，x″∈(a，b)，a＜x′＜a＋δ，a＜x″＜a＋δ时，有|f(x′)－f(x″)|＜ε．Cantor定理，f(x)在[a，b]上一致连续．从而原f在(a，b)上一致连续．注(1)此例表明：在有限开区间上连续函数是否一致连续，取决于函数在端点(2)由此例还可看出，f(x)在(a，b)上一致连续，则f在(a，b)上有界．然而，在(3)当(a，b)改为无穷区间时，该例的必要性不再成立．如f(x)=x，g(x)=sinx在(－∞，＋∞)上一致连续，但在端点±∞无极限．对于无穷区间，充分性仍是对的．请看：上一致连续．|f(x′)－f(x″)|＜ε(1)(Cauchy准则之“必要性”)．2°由Cantor定理，f在[a，Δ＋1]上一致连续，故对此ε＞0，∃δ1＞0，当x′，x″∈[a，Δ＋1]，|x′－x″|＜δ1时，有|f(x′)－f(x″)|＜ε．(2)3°令δ=min{1，δ1}，则x′，x″＞a，|x′－x″|＜δ时，x′，x″要么同属于[a，Δ＋1]，要么同属于(Δ，＋∞)．从而由(1)、(2)知|f(x′)－f(x″)|＜ε．即f在[a，＋∞)上一致连续．注如下的证明是错误的：首先利用以上证明的1°，得结论“f在[Δ，＋∞)上一致连续”，然后利用Cantor定理，f在[a，Δ]上一致连续，从而f在[a，＋∞)上一致连续．其错误在于1°中Δ与ε有关，由1°得不出f在[Δ，＋∞)上一致连续．=0．证明：ϕ(x)在[a，＋∞)上一致连续．2°利用Cantor定理，可知ϕ(x)在[a，Δ＋1]上一致连续，所以对此ε＞0，∃δ2＞0，当x′，x″∈[a，Δ＋1]|x′－x″|＜δ2时，有|ϕ (x′)－ϕ(x″)|＜ε．3°取δ=min{1，δ1，δ2]时，则x′，x″∈[a，＋∞)|x′－x″|＜δ时，有|ϕ (x′)－ϕ(x″)|＜ε．证毕．我们知道，y=x在(－∞，＋∞)内一致连续，但y=x2在(－∞，＋∞)内非一致连续．我们要问：在无穷区间上一致连续的函数，当x→±∞时，阶次有何估计．例4设f(x)在(－∞，＋∞)上一致连续，则存在非负实数a与b，使对一切x∈(－∞，＋∞)，都有|f(x)|≤a|x|＋b．试证明之．证因为f(x)一致连续，所以∀ε＞0，∃δ＞0，当|x′－x″|≤δ时，有|f(x′)－f(x″)|＜ε．现将ε＞0，δ＞0固定．由于∀x∈(－∞，＋∞)，∃n∈Z(整数集)，使得x=nδ＋x0，其中x0∈(－δ，δ)．注意到f(x)在[－δ，δ]上有界，即∃M＞0，使得|f(x)|≤M(∀ x∈[－δ，δ])．因此，≤|n|ε＋M．|f(x)|≤a|x|＋b (∀ x∈(－∞，＋∞))．此例说明，若f(x)在(－∞，＋∞)内一致连续，则x→∞时，f(x)=O(x)．下面我们来看一个使用一致连续性的例子．应∃N x＞0，n＞N x时|f(x＋n)|＜ε．可惜这么找得的N x(x∈[0，1])共有无穷多个．无相应∃N i＞0，使得n＞N i时，|f(x i＋n)|＜ε．令N=max{N1，…，N k}则n＞N时，有|f(x i＋n)|＜ε(i=1，2，…，k)．如此我们虽未找到所需的Δ＞0，但至少在[N，＋∞)内的每个格点x i＋n(i=1，2，…，k，n=N＋1，N＋2，…)上，有|f(x i＋n)|＜ε．注意到f(x)在[0，＋∞)上一致连续，因此把分划取得足够细，使得格点足够密，可使二格点之间的函数值，与格点的函数值，相差任意小．证1°因f(x)在[0，＋∞)上一致连续，所以∀ε＞0，∃δ＞0，当|x′－x″|＜δ(x′，x″＞0)时，有(1)(2)4°取Δ=N＞0，来证x＞Δ时|f(x)|＜ε．事实上，∀x＞N，记n≡[x]≥N，因x －n∈[0，1)，故∃i∈{1，2，…，k}，使得|(x－n)－x i|＜δ，即|x－(n＋x i)||f(x)|≤|f(x)－f(n＋x i)|＋|f(n＋x i)|。
函数列一致连续和一致收敛及等度连续的关系
285
N (ε) , 使得当时 n > N 时 , 对一切 x ∈ I, 都有 fn ( x ) - f ( x )
是有界区间 , 所以 fn ( a + 0 ) , fn ( b - 0 ) , f ( a + 0 ) ,
f ( b - 0 ) 存在且有限 , fn ( x ) , f ( x ) 在 I 上连续
fn ( x ) - f ( x ) ≤ fn ( x ) - fn ( ai ) fn ( ai ) - f ( ai )
<ε
证毕 . 反之不一定成立 . 2 2 2 例如 { fn ( x ) } = { x / ( x + ( 1 = nx ) ) } , f ( x ) = - 0, 显然 lim fn ( x ) = f ( x ) ( x ∈ [ 0, 1 ] )
fn ( x ) - f ( x ) ≤ fn ( x ) - fn ( x λ) fn ( x λ) - f(x λ)
ε ε ε + + =ε 3 3 3 对剩下的 f1 ( x ) , …, fN ( x ) , 由一致连续性 , 每 个 fi ( x ) ( i = 1, 2, …, N ) , 都存在正数 δ , x″ i , 当 x′ ∈ I, x ′ - x ″ <δ i 时 ,有 ε ) - fi ( x ″ ) < fi ( x ′ 3 这时取 δ = m in {δ , x″ 0 ,δ 1 , …, δ N } , 则对任意的 x ′ ∈ I, 当 x ′ - x ″ <δ 时 , 对一切 n, 恒有
[1]
<ε
.
则称函数列 { fn ( x ) }在 I上一致收敛于 f ( x ) , 记作 fn ( x ) ] f ( x ) ( n →∞) ; x ∈ I 定义 4 设函数列 { fn ( x ) }定义在区间 I上 , 若对任意正数 ε, 存在正数 δ=δ(ε) , 使得当 x1 , x2 ∈ I且 x1 - x2 <δ 时 , 对一切的 n 有 fn ( x1 ) - fn ( x2 ) <ε
一致收敛函数列函数项级数的性质定理
确界极限
lim sup |
n xD
fn (x)
f
(x) | 0
命题 设fn(x)C[a, b], 且 fn x 在(a, b)内一致收敛, 则 fn x 在[a, b]上一致收敛.
Weierst(x) | Mn, 且 M n 收敛 un (x) 一致收敛
lim
n
b a
fn
x dx
b a
lim
n
fn x
dx
b
f (x)dx
a
注 用到连续性定理: f C[a, b], 从而f R[a, b]！
推论 (逐项可积性) 设un(x)C[a, b], 且 un (x) n1
在[a, b]上一致收敛, 则
若 fn x D f x, 则D1 D: fn x D 1 f x 若 fn x D f x, 则 fn (x) D f (x), 反之不然.
f n(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:
f (x), 0 0,N N, nN N, xN D : | fnN (xN ) f (xN ) | 0.
n1
n1
AD判别法(函数项级数)
二、不一致收敛判别法 结论
不点态收敛 不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则
n N , p N, xn D : | fn p (xn ) fn (xn ) | 0
点列极限
xn D :| fn (xn ) f (xn ) | 0 (n )
| fn p (x) fn (x) | .
思考 un (x) 在D上一致收敛的Cauchy准则？ n 1
数学分析判断题36个经典反例
数学分析判断题36个经典反例本文介绍了数学分析中的36个经典反例，这些反例可以帮助读者更好地理解和掌握分析性数学的相关概念和方法。
反例一：可导不连续函数在某点可导不一定在该点连续，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处可导，但在该点不连续。
反例二：微积分基本公式不成立微积分基本公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$在一些情况下不成立，例如函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$[0,1]$上积分不满足基本公式。
反例三：连续不可导函数在某点连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但在该点不可导。
反例四：一致连续性函数一致连续和点连续不等价，有些点连续的函数不一定一致连续，例如函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续但不一致连续。
反例五：级数收敛性与函数可积性不等价级数收敛的函数不一定可积，例如函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$[0,\infty)$上级数收敛但不可积。
反例六：积分换序对于一些函数，交换积分次序会导致结果错误，例如函数$f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$，交换积分次序后结果不同。
反例七：泰勒级数不收敛某些函数在某点的泰勒级数不收敛，例如函数$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$在$x=0$处泰勒级数不收敛。
反例八：函数可导与偏导数存在不等价当函数的偏导数存在且连续时，函数不一定可导，例如函数$f(x,y)=xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$在原点处偏导数存在但不可导。
反例九：连续与闭集不等价一个连续函数的原像不一定为闭集，例如函数$f(x)=\arctanx$在$(-\infty,\infty)$上连续但原像不是闭集。
反例十：一致收敛不保持函数类如果$f_n(x)$是$[0,1]$上的可积函数，$f_n(x)$在$[0,1]$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$不一定可积。
浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异
摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergenceKeyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence目录1 引言 (4)2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4)2.1 函数列收敛 (5)2.2函数列的一致收敛 (5)3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5)4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9)4.1从定理的角度阐述 (10)4.2从集合的角度阐述 (11)结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)1引言收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。
特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的理解这个概念。
而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。
所以本文为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立建立2 函数列收敛与一致收敛的定义2.1函数列收敛：设,2,1f f …,,nf … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。
函数列收敛和一致收敛的区别和联系
函数列收敛和一致收敛的区别和联系
函数列收敛和一致收敛是指函数序列的收敛性质，它们可以用来分析某个函数序列是否收敛。
函数列收敛是指函数序列中的每一个函数都收敛到某一点，即每一个函数都朝着某一个点收敛。
一致收敛是指当函数序列中的每一个函数收敛到同一个点时，函数序列就是一致收敛的。
虽然函数列收敛和一致收敛之间有联系，但也有区别。
函数列收敛是指函数序列中的每一个函数都收敛到某一点，而一致收敛是指当函数序列中的每一个函数收敛到同一个点时，函数序列就是一致收敛的。
因此，可以说，函数列收敛是一致收敛的前提条件，而一致收敛是一种更强的收敛性质。
另外，函数列收敛和一致收敛之间也有联系。
当函数序列中的每一个函数都收敛到同一个点时，这个函数序列就是一致收敛的，因此它也是函数列收敛的。
因此，可以说，一致收敛是函数列收敛的特例。
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不
一致连续与一致收敛的关系
一致连续与一致收敛的关系由于函数项级数的收敛等价于函数序列的收敛，为简单起见，下面只对函数序列作讨论。
定理 如果函数序列 )(x F n ， ,3,2,1=n 中的每一个函数都在区间 I 上一致连续，当 ∞→n 时，)(x F n 区间 I 上一致收敛于函数 )(x F ，那么 )(x F 也在区间 I 上一致连续。
证 任意给定一个 0>ε 。
因为 )(x F n 区间 I 上一致收敛于函数 )(x F ，所以对于给定的 03>ε，必有一个与 x 无关的正整数 N ，使得当 N n ≥ 时，对任何 I x x ∈21,，有 3)()(11ε<-x F x F n ，3)()(22ε<-x F x F n 。
现在取定 N n = ，因为 )(x F N 在区间 I 上一致连续，所以对于给定的 03>ε，必有一个与 x 无关的正数 0>δ ，使得对任何 I x x ∈21,，只要有 δ<-21x x ，就一定有 3)()(21ε<-x F x F N N 。
所以，对于给定的 0>ε ，可以找到与 x 无关的正整数 N 和正数 0>δ ，使得对任何 I x x ∈21,，只要有 δ<-21x x ，就一定有)()([)]()([)]()([)()(22211121x F x F x F x F x F x F x F x F N N N N -+-+-=- )()()()()()(222111x F x F x F x F x F x F N N N N -+-+-≤εεεε=++<333 。
由此可见，)(x F 在区间 I 上一致连续。
如果将上述定理的条件减弱一点，结论就不一定成立了。
（一）如果函数序列 )(x F n ， ,3,2,1=n 中的每一个函数都在区间 I 上连续（但不是一致连续），当 ∞→n 时，)(x F n 区间 I 上一致收敛于函数 )(x F ，这时 )(x F 不一定在区间 I 上一致连续。
函数列的收敛与一致收敛
函数列的收敛与一致收敛函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。
但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。
本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。
实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。
下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。
一、收敛的几个定义实数列的收敛性定义定义1：设xn是实数序列，a是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数N，使得当nN时，恒有xn-a？着，则称实数列xn收敛于a，记为limxn→∞=a，或简记为xn→a（n→∞）。
几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点a的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。
但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有极限ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是x的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：定义2：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若？坌x∈E，函数列fn（x）收敛于f（x），则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数。
定义2也可以用“？着-N”语言描述：设函数列fn（x）每一项fn （x）及函数f（x）均在数集E上有定义，对？坌x∈E，？坌？着0存在正数N，使得当nN时，总有fn（x）-f（x）？着，则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数，记为limf（x）→∞=f（x）。
函数的连续性和函数级数的收敛性(1)
函数2010级数学与应用数学四班 徐邦摘 要 ：函数的连续性和函数级数的收敛性是数学分析中一块重要的内容。
因此，理解连续性和收敛性之间的关系至关重要，包括连续与一致连续，收敛与一致收敛，绝对收敛与一致收敛，收敛与绝对收敛等等之间的关系。
本文针对它们的关系，给出了相应的证明和反例来理清他们之间的必然与非必然的联系。
最后还给出猜想，给出一定的条件，并利用常微分学中的知识，给出了相应的证明，证明猜想是成立并存在的。
关键字：连续 一致连续 收敛 一致收敛 绝对收敛 条件收敛引言：函数的连续性和函数级数的一致收敛性在数学学习中起着重要的作用。
本文较详细地介绍了他们之间所有的关系，并给出相应的证明和反例，使读者在巩固这类知识点中，达到事半功倍的效果。
一 连续与一致连续首先给出函数()f x 在点 0x 处连续的定义[1]：对任给的ε>0, ,0>∃∂,当∂<-||o x x 时，有|)()(|0x f x f -<ε函数f(x)在区间I 上一致连续的定义[1]：任给ε>0, 0∃∂>,对,,,x x ∀，当∣,,,x x -∣<∂时，有 |)()(|0x f x f -<ε可看出函数f(x)的连续性和一致连续性最根本的区别是在于连续是针对某个点而研究的，而一致连续是定义在区间上的。
1） 若()f x 在区间I 上一致连续，则对任意0x ∈I ，f （x ）在点0x 处连续。
证明：对任给的ε>0, 0∃∂>,对∀x ’,x ”，当∣,,,x x -∣<∂时，有<-|)"(x f |'x f ）（ε 取x ’=x,x ” =0x 则对上述的ε>0 当∣,,,x x -∣<∂时，有|)()(|0x f x f -<ε.即f(x)在点0x 连续。
2） 但f （x ）在任给x ∈ I 上连续，f(x)不一定在I 上一致连续。
一致收敛的函数列与
一致收敛的函数列)}({x fn与极限函数)(x f 性质讨论胡海燕华中师范大学 数学与统计学学院 武汉430079摘要：本文主要研究若)}({x f n一致收敛于)(x f ，则)(x f n与)(x f 将共有哪些性质。
在《数学分析》中已研究连续性、可积性、微分与极限互换定理。
此外本文讨论了一致连续性、周期性为)(x fn与)(x f 共有；当条件加强时，单调性、驻点等性质可平移到)(x f 上；用反例说明若)}({x f n一致收敛于)(x f ，但 {)('x fn}不一致收敛于)('x f .Abstacts: Main research in this text if fn( x)s are refrainedfrom rash action consistently in f( x), then fn( x) with which kinds will f( x) have totally.At 《 mathematics analysis 》 inside has studied the continuous, can accumulate the sex, differential calculus to change the axioms with extreme limit with each other.In addition this text discussed the consistent consecution,The periodic is to have with f( x) totally;When the term enhances, monotonous, halt to order to wait the kind even move to f( x)top;Say with the versa example Clear if fn( x) is refrained from rash action consistently in f( x), but f ‵n( x) inconformity is refrained from rash action in f ‵( x)关键词 ：收敛 一致收敛 连续性 可积 可微 闭区间 单调性 驻点 一致连续 周期性 复合函数Key words:Refrain from rash action Refrain from rashaction consistently Can accumulate Tiny Shut the zone Monotonous Halt to order Consistent consecution Week Period Reunite the function引言： 在《数学分析》中我们学习了函数列的收敛性与一致收敛性。
关于一致收敛
关于一致收敛，我提出了一些自然应该产生的问题，主要看定义和提出的问题，希望可以看完定义和从这个定义出发的许多问题，这里大部分比较简单，尤其是根据定义验证性质的希望可以验证一下，根据定义便可以得出的，其他的了解一下，可以等寒假或者以后再想。
尤其举反例部分不用着急想，比如weierstrass 函数的反例和最后的一段比较难，不用浪费精力去着急想，了解一下即可，但心里要装着这些问题，不要放弃。
1一致收敛的定义：关键是共同的N （与x 无关），任意号与存在号的选择与排序问题，比如有四个空，每个空填写任意与存在，一共有2^4种可能，另外还可以对这些做排序（4！），就有2^4*4！=384种不同的结果，但其中只有一种是可以描述一致收敛的定义，因而这样的话，定义的准确性就显得很是必要了，这里仅仅有一种正确刻画了一致收敛0,,,.n Given any there exists a capital N such that f f whenever n N εε-＞＜＞0ε∀（任给，对任意固定的，对每个给定的）＞，N ∃（存在找得到）正整数， n N ∀使得对一切的(当……时)（或者用符号）＞，,.(,)()()n x E s t such that f x f x ε∀∈-对一切的（）＜（一致性体现在，有共同的N 不依赖于x ，试若把x E ∀∈对一切的（）放在，N ∃（存在找得到）正整数前，则是逐点收敛的定义（N 依赖于x ），从逻辑上完全不是同一句话）注：n x ε∀（从“对一切的（）”开始的部分等价于用上确界范数的描述＜）2对定义的提问：1 well-defined ？（是不是恰到好处的）比如对集合E 要有什么要求？如果说函数列分别按照逐点收敛和按照一致所得的极限函数存在的话，这个极限函数唯一吗？2如果是well-defined ，那么它的否定的正面描述是什么？并且举出一致收敛和不一致收敛的例子来体会定义（好例子的标准：1简洁（而并非去整自己去找很难的例子）2能反映一些重要性质体会到为什么一致收敛，为什么不一致收敛）既要有正面例子，又要有反面的例子3一致收敛于逐点收敛的区别及其蕴含关系是什么？4每一种收敛方式都对应于一个基本列的表述方式，对比于n 维实空间，连续函数空间也是一个距离空间，那么它的基本列是什么定义，基本列与收敛列之间的关系呢？即它完备吗？注意到在考虑函数空间时候，我们考虑的是把函数作为一个“元素”放到整个函数空间中去看，因此我们在函数空间中引入了一致收敛的概念，注意力集中到函数作为一个元素上去，因而一致收敛的时候要求N 与x 要无关5类似地可以问，连续函数空间中的子集有界是什么意思？也就有了一致有界的概念（感觉上应该这个界也和x 无关） 类似有开球的概念(;){:,,0}E E B f g C f C f g δδδ=∈∈-＜＞特别连续函数列是一致有界的如果它能包含在一个球里为了强调这里的有界和x 无关，称其一致有界，可以证明函数列一致有界的定义的等价叙述如下：.n M s t f M x E f M ∈存在一正数，对一切的正整数，＜（即对一切的，＜）类似的拓扑的语言都合适地可以移到连续函数空间上来，如什么是开集，什么是闭集，什么是紧集（这个时候的有界[指的是一致有界]闭集是否还是紧致（等价于列紧[可以证明一般的距离空间中的紧致和列紧是一回事]）的呢？），什么是内点，孤立点，极限点，边界点，闭包为了简便和具体些，下面函数列定义在一个实数的子集合I 上6可以问一致收敛是否是一致有界的？如果回答否定还可以问：有界函数列（对每个固定的n ，存在一个大M ，使得对一切()n x E f x M ∈，＜，这里是一致有界的意思吗？一致有界和普通的函数有界有什么区别？）一致收敛的话，极限函数有界吗，这些函数列在集合I 上一致有界吗？进而如果在I 上考虑的函数列一致收敛，且它的极限函数有界，这个函数列是否一致有界呢？如果不是的话，这个函数列是否会从某项开始一致有界呢？7可以考虑逐点收敛和一致收敛的函数列的代数性质（无论命题成立与否都要有一些适当的例子放在心里）两个函数列逐点收敛，他们的和函数列与积函数列逐点收敛吗？两个函数列一致收敛，他们的和函数列与积函数列一致收敛吗？两个对了，那么有限个应该也对，为什么？8一致有界函数列的和与积是否一致有界呢？9设函数列定义在一个闭区间I （一般定义在一个紧致集合上）上逐点收敛意义下的函数列与极限函数之间的关系有下面的问题可以问函数列连续，极限函数连续吗？函数列可导，极限函数也可导？如果可导的话，先对函数列求导，再求极限函数，与先求极限函数再求极限函数的导数是一回事吗？类似的可积应该也有与可导的问题，这样已经有5个问题了10如果收敛方式改为一致收敛呢？就得到10个问题了（其中会遇到一个问题，例子不大好举，即是否有可导函数列一致收敛，它的极限函数处处连续，但是不可导，如果存在的话，不可导点是有限的，可数的，不可数，甚至处处不可导的例子又能否举出来？即weierstrass 函数，这样的函数有些病态，那么可以考察一些常见的病态函数（如黎曼函数R （x ），狄利克雷函数D(x)，n ()()()lim ()(),n n n n f x f x f x f x f x a →∞=逐点收敛到，记为且是一个收敛到0的数列，）的基本的解析性质，如连续性，可导性，可积性。
连续函数与一致收敛
连续函数与一致收敛是数学分析中重要的概念和定理，它们在分析学、微积分以及实际问题的求解中都起着重要的作用。
本文将介绍连续函数和一致收敛的概念，并讨论它们之间的关系。
首先，我们来看连续函数的概念。
在数学中，函数是一种描述两个集合之间对应关系的规则。
连续函数是指在定义域上的每一个点上都具有连续性质的函数。
具体而言，在数学中，如果函数f的定义域内的任意一点x₀上，对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得当∣x−x₀∣<δ时有∣f(x)−f(x₀)∣<ε成立，那么我们就称函数f是在点x₀上连续的。
如果在f的定义域内的每一个点上都连续，则可以称函数f是一个连续函数。
连续函数的概念是微积分学中的基本概念之一。
在微积分学中，我们经常要研究函数在某个区间上的性质。
如果函数在区间上连续，我们可以得到很多有用的结论，比如介值定理、零点定理等。
因此，连续函数是微积分学中的重要工具和概念。
接下来，我们来看一致收敛的概念。
在数学分析中，我们常常要研究函数列的性质。
如果一个函数列{f_n}在给定区间上的每个点处极限都存在，并且极限函数与被极限函数列的元素函数在区间上的收敛性质一致，那么我们称该函数列一致收敛于极限函数。
换句话说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个自然数N，使得当n>N时，对于区间上的任意一点x，都有∣f(x)−f_n(x)∣<ε，那么我们称函数列{f_n}一致收敛于函数f。
一致收敛的概念是函数列的重要性质之一。
它保证了极限函数与函数列的每个元素函数在定义域上的收敛性质相似，从而在研究函数列的性质时更为方便。
一致收敛的函数列在微积分学中也有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解函数列的性质。
连续函数和一致收敛之间有着紧密的联系。
事实上，连续函数是一致收敛函数列的极限函数。
具体而言，如果一个函数列{f_n}一致收敛于函数f，而每个函数f_n都是连续的，那么极限函数f也是连续的。
函数一致连续性的定义与性质文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学函数一致连续性的定义与性质一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数()f x 在一点0x 处连续，包含着以下三层意思：（1）()f x 在0x 处有定义，即()0f x 是一个确定的常数；（2）()f x 在0x 处有极限，即()0lim x x f x →存在； （3）()f x 在0x 处的函数值与极限值相等，即()()00lim x x f x f x →=. 如果以上任何一个条件被破坏，()f x 在点0x 处就不连续了，这时0x 叫做()f x 的间断点.这就是说：如果函数()f x 在点0x 及其附近有定义，而且()()00lim x x f x f x →=，就说()f x 在点0x 处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数()f x 在区间I 上连续，则对于事先任意给定的正数ε，就I上的每一点0x 来说，都可以分别找到相应的正数δ，使得对于I 上的点，只要0x x δ-p ，就有()()0f x f x ε-p .其中δ的大小不仅与给定的ε有关,而且与点0x 的位置有关.对于同一个ε，当0x 在I 上变动时，一般来说δ的大小也将随着改变，即δ是依赖于0x 的.如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，也即是说，对于给定的正数ε，存在这样一个正数δ，它适用于区间I 上所有的点0x ，那么这时()f x 就在I 上一致连续.定义2 函数()f x 定义在区间I 上，如果对于事先任意给定的正数ε，总可以找到这样一个正数δ，对I 上任意两点1x ，2x ，只要12x x δ-p ，就有()()12f x f x ε-p ，那么就说函数()f x 在区间I 上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要I 上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的接近程度.因此，它从整体上反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述. 二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a 、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行坐标轴；b 、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当x 趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当x 趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法. 文献[6]的主要结论可总结如下：定理1 若函数()f x 在区间I （I 可开、半开、有限或无限.下同）可导，且()f x '在I 有界.则函数()f x 在I 一致连续.定理2 若函数()f x 在区闻[,)a +∞（或(,]b -∞）可导.且()lim x f x →+∞'=∞（或 ()lim x f x →-∞'=∞），则()f x 在[,)a +∞（或(,]b -∞）非一致连续.定理3 若函数()f x 与()g x 在区间I 可导，且()()0f x g x ''≥f ，则（1） 当()f x 在I 一致连续时，()g x 在I 一致连续；（2） 当()g x 在I 非一致连续时，()f x 在I 非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor 定理)函数()f x 在区间[],a b 一致连续当且仅当()f x 在区间[],a b 连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5 在有界实数集E 上定义的函数()f x 在E 上一致连续的充要条件是E 内任意 的收敛数列{}n x 其对应的函数值数列()n f x 也是收敛的.定理6 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对任给的正数ε，及x '，x I ''∈， 总存在正整数N ，使得当()()f x f x N x x '''-'''-f 时，有()()f x f x ε'''-p . 定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上满足()lim 0n n n x y →∞-=的任意两数列{}n x ,{}n y 总有()()()lim 0n n n f x f y →∞-=. 文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8 设f 是区间I 上的函数，那么f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：存在0r f 及定义在[]0,r 上满足()0lim 0h g h →+=的函数g ，使得对任意的[]0,h r ∈和x I ∈，只要x h I +∈，就有()()()f x h f x g h +-≤.由上面定理的证明，作者得出了一个推论，结论是：f 是区间I 上的函数，若()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠，则f 在区间I 上不一致连续.事实上，同样容易证明：如果f 在区间I 上不一致连续，则()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠.这个推论是证明函数非一致连续的一种有效方法.文献[10]中，作者给出了函数()f x 在某集上不一致连续的一种规范证明方法. 证明1 ()2f x x =在()r -∞∞p p 上不一致连续. 证明2 ()1f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明3 ()21f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明4 ()1sin f x x =在2(0,]π上不一致连续. 文献[11]中，作者研究了函数的一致连续性问题，提出判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理：定理9 函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，若满足()()()lim x f x Ag x B →+∞-=成立（其中A 为非零定值，B 为定值）.则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.文章给出证明，随后作者又给出了四个相关的命题定理，并对这些定理一一证明其正确性.定理10 设函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，()f x ，()g x 满足：（1）()()lim lim x x f x g x →+∞→+∞==∞， （2）()f x ，()g x 在I 上可导，且()0g x '≠，（3）()()lim x f x g x →∞''存在，若()()lim x f x A g x →∞=，（A 为非零定值），则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.在这个定理的引申下，文章再次给出了五个相关的结论，都为判定函数一致连续提供了理论依据，更方便的函数一致连续的判定.对于函数的一致连续性问题，作者提出并证明了判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法，从而大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.文献[12]中，作者研究得到了函数一致连续的几个充分条件. 文献[12]的主要结论可总结如下：定理11 若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在、有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.在此基础上作者给出两个推论，一个是：若函数()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.另一个是：若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上，满足一定的条件，就可以得到函数是一致连续的.文章对得出的定理给出了详细证明.文献[13]中，作者给出函数在无限区间上一致连续的三个判别条件，并对文献[14]的两个判别定理进行了改进. 文献[13]的主要结论可总结如下：定理12 若函数()f x 是可微函数，且()f x '在区间I （I 可开、半开、有限或无限）上有界，则()f x 在I 上一致连续.定理13 若函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x φ在[,)a +∞上连续，且()()lim 0x f x x φ→+∞-=⎡⎤⎣⎦则函数()x φ在[,)a +∞上一致连续（以上两个定理的证明参考文献[15]）.定理14 实函数()f x 在[0,)+∞上连续，在[0,)+∞内处处可导，且()lim x f x A →+∞'=存在，则当且仅当A +∞p 时，()f x 在[0,)+∞上一致连续.定理15 设存在0L f ，使对任意x '，x I ''∈，都有：()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-成立，而()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上一致连续.定理16 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且x →+∞时，()f x 有渐近线y ax b =+.则()f x 在[,)a +∞上一致连续.定理17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()lim 0x bx f x →+∞-=⎡⎤⎣⎦，其中b 是非零常数，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产和学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．函数一致连续性近几年在自然界和生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于函数一致连续性的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对函数一致连续性做了深入的研究，并且已经取得很多重要的有益的结论，并且这些结论在函数一致连续性的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对函数一致连续性的性质、定义以及定理、应用进行了研究，然而以上有关函数一致连续性的定义与性质的文献总结都是在一元函数的框架下，而二元函数的研究显得很微弱，所以将一元函数的相关定理推广到二元函数中是很有必要的.这就是说函数一致连续性还尚存在很多不明确的问题，多元函数一致连续性还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信多元函数一致连续性的研究应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析(上册第三版)[M]·北京：高等教育出版社，2001[2] T.M ·Apostol.Mathematical Analysis[M]·Addison-Welsey Publishing Compony,inc.,1974[3] 菲赫金哥尔茨·微积分学教程[M]·北京：人民教育出版社，1959[4] 王孚和·连续与一致连续[J]·江西教育学院，教学参考资料：41─43[5] 袁南桥·一致连续的判别及分布[J]·四川文理学院学报，2007，17(2)：6─7[6] 鞠正云·用导数判别函数的一致连续性[J]·工科数学，1999, 15(1):127─129[7] 赵向会·函数一致连续性的几个充要条件[J]·张家口职业技术学院学报，2007, 20(4):75─77[8] 裴礼文·数学分析中的典型问题与方法[M] 北京：高等教育出版社，1993[9] 成波，李延兴·函数一致连续的一种新证法[J]·安康师专学报，2006，18(4)：71─72f x在某集上的一致连续性[J]·内江师范高等专科学校学[10] 黄崇智·关于()报，2000，15(2)：14─17[11] 杨小远·关于函数一致连续的判别方法研究[J]·北京航空航天大学[12] 邱德华，李水田·函数一致连续的几个充分条件[J]·大学数学，2006，22(3)：136─138[13] 陈惠汝，何春羚·再探函数在无穷远处的一致连续性[J]·宜春学院学报，2006，28(2) ：45 ─46[14] 杨中南·函数在无穷远处的一致连续性[J]·集美大学报，1997，2(1)：70─75[15] 陈慧汝·函数一致连续判别法的再研究[J]·数学教学研究，2005，(1)：57─58。