统计学原理第七章 抽样调查

第七章
抽样调查
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第一节 抽样调查的基本概念 及理论依据
一、估计量和估计值
二、全及总体和抽样总体
三、全及指标和样本指标
四、抽样方式和样本可能数目 五、抽样理论依据
2
一、估计量和估计值
► 1.
估计量：是指用于估计相关的总体参数的
统计量。样本均值、样本比例（样本成数） 和样本方差都是估计量，估计量是随机的。
二、全及指标的区间估计
31
一、全及指标的点估计
► （一）点估计的概念 ► 点估计又称定值估计，它是直接以样本
指标作为相应总体指标的估计量。
► 例如，以样本平均数直接估计总体平均
数，即：x=X。例如，某地区根据样本
资料计算的粮食亩产量为600公斤，就
以600公斤作为全地区粮食亩产水平的
估计值。
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（二）点估计的优缺点
优点：点估计能够提供总体指标的具 体数值，可以作为行动决策的数量依据。 例如，企业的市场部门对产品销量的预 测直接决定着生产部门和采购部门的作 业计划。 ► 2. 缺点：任何点估计的结果不是对就是 错，并不能提供误差情况和误差程度等 相关的信息。
► 1.
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（三）点估计量的评价标准
► 估计一个总体指标可以用多种样本统计
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第二节 抽样平均误差
一、抽样平均误差的概念
二、影响抽样平均误差的因素
三、抽样平均误差的意义
四、抽样平均误差的计算※
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一、抽样平均误差的概念
► （一）抽样误差
► 是指样本指标和总体指标之间在数量上的差
别，是随机性的代表性误差。是抽样推断的 依据，不包括登记误差和可能产生的偏差。 ► ※（二）抽样平均误差 ► 是指所有可能出现的样本指标的标准差，即 所有可能出现的样本指标和总体指标的平均 离差。抽样实际误差无法知道，而平均误差 是可能计算的。
► 1.
总体平均数：根据变量总体的标志值 计算的。 X
X N
5
2. 总体成数（总体比例）：常用“P”表示 ► 是指总体中具有某种标志的单位数在总体中 所占的比重。变量总体也可以计算成数。
总体 成数
N1 P N
具有某种属性的单位数 总体单位总数
不具有某种属性的单位数 不具有某种属 性的单位数所 占的比重
p(1 p) n (1 ) n N
抽样比例
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※解决未知的总体指标的4点办法：P263
► 1.
用过去调查所得到的资料。如果有几个
不同的总体方差，应该用数值较大的。
► 谨慎性要求。σ2越大，说明总体的离散程
度越高，要抽取更多的样本单位（n）才
具有代表性。
► 2.
► 3. ► 4.
用样本方差代替总体方差σ2（※）
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► 2.
► 3.
※ 四、抽样平均误差的计算
► （一）抽样平均数的抽样平均误差μx ► 是变量总体一系列抽样平均数对总体平均数
的标准差。其理论计算公式：
平均数 抽样平 均误差
x
( X x)
K
2
样本平均 数（随机 变量）
总体平均数（惟 一确定的，但通 常是未知的）
样本可能数目
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1. 重复抽样抽样平均数的抽样平均误差μx ► 根据数理统计理论，在重复抽样方式下，抽 样平均误差与全及总体的标准差成正比关系， 而与抽样总体单位数的平方根成反比关系， 重要 可推导出如下公式：
n0 q 1 p n
P Q 1 p q 1
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交替标志的平均数和标准差计算表P265
xf x f
p
1 p 0 q p p pq 1
样本 成数
( x x) 2 f
f

(1 p) 2 p (0 p) 2 q pq
q 2 p p 2q p pq
σ N n σ n μx ( ) μx (1 ) n N 1 n N
2 2
总体单位总数
样本单位总数
抽样比例
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（一）抽样成数的抽样平均误差μp ► 属性总体的标志值是用文字表示的，且标志 只有两个取值，非此即彼，故将属性总体的 标志称为“交替标志”或“是非标志”。 ► 交替标志也可以计算平均数（即成数）和标 准差。为了计算交替标志的平均数和标准差 必须将交替变异的标志过渡到数量标志。 ► 交替标志仍以x表示，设：x =1表示单位具有 某一标志， x = 0表示单位不具有某一标志。 具有某一标志的单位数用N1表示；
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合
计
x A 2 x A ( d ) f ( d )f d σ f f
2
256 72 σ 50 11504 50 53.63 200 200
2
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第三节 全及指标的推断
一、全及指标的点估计
► 2.
估计值：是指估计量的具体数值。根据具
体样本数据，按照估计量的计算公式，计算 出的样本均值、样本比例和样本方差的具体 数值就是估计值。是抽样推断的基础。
3
二、全及总体和抽样总体
► 1.
全及总体（总体）：是指所要认识对象的
全体，是同一性质的许多个体的集合体。有 变量总体与属性总体之分，全及总体是惟一 的、确定的但却是未知的，常用“N”表示。
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二、影响抽样平均误差的因素
► （一）总体标志的变动程度（σx ） ► 总体标志的变动程度与抽样平均误差μ成同
向变动关系。 ► （二）抽样单位数（n）的多少 ► 在其他条件不变的情况下，抽样单位数与抽 样平均误差μ成反向变动关系。 ► （三）抽样组织方式 ► 重复抽样方式的μ高于不重复抽样，分类抽 样的μ低于机械抽样或整群抽样。
N0 N N1 Q 1 P N N
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3. 总体标准差σ和总体方差σ2 ► 都是测量总体标志值分散程度的指标。

(X X )
N
2

2
(X X )
N
2
► （二）抽样指标 ► 是指根据抽样总体各个标志值或标志特征计
算的综合指标。与全及指标相对应也有抽样 平均数、抽样成数、样本标准差和样本方差 等估计量。抽样指标是随机的。
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► 2.
（二）中心极限定律 ► 1. 独立同分布中心极限定理：证明不论变量 总体服从何种分布，只要它的数学期望和方 差存在，从中抽取容量为n 的样本，则这个 样本的总和或平均数是个随机变量，当n 充 分大时，样本的总和或平均数趋于正态分布.
► 2.
德莫佛-拉普拉斯中心极限定理：证明属性 总体的样本成数和样本方差，在n足够大时， 同样趋于正态分布。
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2. 考虑顺序的重复抽样可能数目 ► 即可重复排列的可能样本数目。公式： ► BNn=Nn =105 =100000个可能样本数目 ► 3. 不考虑顺序的不重复抽样可能数目 ► 即不重复组合。计算公式：
N ( N 1)( N 2) ( N n 1) C n!
n N
10 9 8 7 6 30240 C 252 5 4 3 2 1 120
五、抽样理论依据
► 抽样调查的理论依据是概率论的大数定律。 ► （一）大数定律 ► 1.
独立同分布大数定律：证明当n足够大时， 平均数具有稳定性，为用样本平均数估计总 体平均数提供了理论依据。 贝努力大数定律：证明当n足够大时，频 率具有稳定性，为用频率代替概率提供了理 论依据。大数的重要意义P253
平均数 抽样平 均误差
σ σ μx n n
2
全及总体 的标准差 抽样单位数
1 抽样平均误差仅为全及总体标准差的 n 注意理解P259例题
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2. 不重复抽样抽样平均数的抽样平均误差μx ► 不重复抽样与重复抽样相比，样本可能数目 减少，且样本变量之间不是互相独立的。因 此，在重复抽样的基础上考虑一个修正系数 重要 重要 即可。证明过程见P261-262 总体标准差
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不具有某一标志的单位数用N0表示。 ► 总体成数和标准差与样本成数和标准差的计 算方法相同。只是总体指标用大写字母表示， 样本指标用小写字母表示。例如： ► 具有某一标志的单位数占总体的比重：
N1 P N
总体成数
n1 p n
样本成数
不具有某一标志的单位数占总体的比重：
N0 Q 1 P N
用小规模调查资料计算的方差代替σ2 用估计材料计算的方差代替σ2
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（三）抽样平均误差计算实例P266
使用时间 （小时） 900以下 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200以上 合 计 抽取灯泡个 组中值（x） 数（个） 2 4 11 71 84 18 7 3 200 875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225 —— x· f 1750 3700 10725 72775 90300 20250 8225 3675 211400
抽取灯泡 组中值 个数(个) （x）
2 4 11 71 84 18 7 3 200
875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225 ——
-8（-4） -12（-3） -22（-2） -71（-1） 0（0） 18（1） 14（2） 9（3） -72
32 36 44 71 0 18 28 27 256
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xf x f
样本平均数
211400 1057 200
200 17 183 灯泡合格率P 91.5% 200 200
样本成数
28
使用时间 （小时） 900以下 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200以上
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三、抽样平均误差的意义
► 抽样平均误差是一种标准差的概念，是所有
可能样本指标与总体指标之间离差平方的平 均数的平方根。它概括了一系列抽样可能结 果所产生的所有抽样误差。它有三点意义：
► 1.
μ是衡量抽样指标对于总体指标代表性程 度的一个尺度； μ是计算极限误差的依据；
μ是确定抽样单位数多少的计算依据之一
n N
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4. 不考虑顺序的重复抽样可能数目 ► 即可重复组合。计算公式： DNn=CnN+n-1
► 对于同一总体，采用四种不同的抽样组织形
式，其样本可能数目也是不同的。按样本可 能数目的多少排序依次是：考虑顺序的重复 抽样＞考虑顺序的不重复抽样＞不考虑顺序 的重复抽样＞不考虑顺序的不重复抽样
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► 2.
抽样总体（样本）：是从全及总体中随机
抽取出来一部分单位的集合体。有大样本和 小样本之分，以30个样本单位为划分依据。
► 样本总体是随机的、已知的，常用“n”表示。
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三、全及指标和样本指标
► （一）
全及指标
► 根据全体总体各个单位的标志值或标志
特征计算的、反映总体某种属性的综合 指标。全及指标也是惟一确定的，但也 是未知的。
pq(q p) 1
pq
p(1 p)
属性总体抽样平均误差的计算也有重复 抽样和不重复抽样之分：
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1. 重复抽样抽样成数的抽样平均误差
p
p(1 p) n
样本成数
样本单位数
2. 不重复抽样抽样成数的抽样平均误差
p
p(1 p) N n ( ) n N 1
总体单位总数
► 1.
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（二）样本可能数目 ► 是指从既定的总体中可以抽取多少个样本， 即样本总体的数量有多少。
► 1.
考虑顺序的不重复抽样可能数目
► 即不重复排列的可能样本数目。计算公式：
N! A N ( N 1)(N 2) ( N n 1) ( N n) !
n N
设：N=10，n=5，则： ANn =10×9×8×7×6=30240个可能样本数目
量，例如估计总体平均数，可以用样本 平均数，也可以用样本中位数、样本众 数等。具体应以哪一个统计量来估计总
体平均数才是最优的，就涉及估计量的
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1Βιβλιοθήκη Baidu 样本平均数：
2. 样本成数数：
x
x
n
n1 p n n0 n n1 q 1 p n n
2
3. 样本标准差 和样本方差：

( x x)
n

2
( x x)
n
2
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四、抽样方式和样本可能数目
► （一）抽样方式
重复抽样（放回抽样）：从总体N中随机 抽取n个单位，每次抽取均为独立试验。 ► 2. 不重复抽样（不放回抽样）：每次抽中的 单位不再放回总体中，为不独立试验。 ► 3. 考虑顺序抽样：即考虑总体单位的性质， 还考虑各单位排序的抽样。 ► 4. 不考虑顺序抽样：只考虑总体单位的性质 差异，而不考虑其排序的抽样。