二次函数和三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y）

x 1x 2

x

2

(1) 线段对称轴是直线

(2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2

中点公式：已知两点P x

1

, y

1

x1

x

2 ,

y

1y2

,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。

Q

P G

O

2 、两直线的解析式为y k

1

x b

1 与y k

2 x b2

如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21

3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2

（1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2

（2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交

（3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直

二、三角形的存在性问题探究：

三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形

（一）三角形的性质和判定：

1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形

性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形

性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定：

具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三

角形

性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等

边三角形。

总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求

的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上

（2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。

（二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同，

1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图

上找出存在点的个数，只找不求。

2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构

成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分

顶点进行讨论，

如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形

解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度，

第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB

第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标

第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。

如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形

解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度，

第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC

（2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC

（3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB

第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标

第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。

（三）关于直角三角形找点和求点的方法

1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图

上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分

别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知

边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。

2、具体方法

（ 1） k1 k21；

（2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °）

（3）三角形相似；经常利用一线三等角模型

（4）勾股定理；

当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二

次函数的应用：

1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：

这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小）值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次

函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。

2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:

3、应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；

四、等腰三角形的例题解析

例题 1、（扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（-1 ，0）、 B（ 3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△ PAC的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线 l 上是否存在点 M，使△ MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的

点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将 A（ -1 ，0）、 B（ 3， 0）、C（0，3）代入抛物线 y=ax2+bx+c 中，得到抛物线的解析式： y=-x 2+2x+3．

（2）∵点 A、B 关于直线 l 对称，连接 BC，直线 BC与直线 l 的交点为 P；p 点即为所求的点。

设直线 BC的解析式为 y=kx+b（k≠0），将 B（3，0），C（0， 3）代入上式，得：

直线 BC的函数关系式 y=-x+3 ；当 x=1 时， y=2，即 P 的坐标（ 1， 2）．

（3）抛物线的对称轴为： x=1，设 M（1，m），已知 A（ -1 ，0）、 C（ 0， 3），则：

22

=（m -3222

MA=m2+4， MC） +1=m-6m+10， AC =10；

2222

（1）MA=MC，则 MA=MC，得： m +4=m-6m+10，得： m=1；

222

②若 MA=AC，则 MA=AC，得： m+4=10，得： m=±√ 6；

222

③若 MC=AC，则 MC=AC，得： m-6m+10=10，得： m1=0，m2=6；

设直线 AC的解析式为 y=k1x+b1（k≠0），将 A（ -1 ，0），C（ 0， 3）代入上式，得

Y=3x+3，与直线 x=1 的交点坐标为（ 1,6 ），所以：

当m=6时， M、 A、 C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的 M点，且坐标为 M（1，1），（1，- √6 ），（1，√ 6），（ 1， 0）．易错点及方法总结：当以 C 为顶点的两条腰相等时，求出的点 M有可能与 AC共线，所以要进行检验，这一点非常关键。以其它两点为顶点的两条腰相等时，不可能存在共线问题，所以不用

检验。

五、直角三角形存在性问题汇总

例1、如图： A(0，1) B(4 ， 3) 是直线 y=1/2x+1 上的两点，点 p 是 x 轴上一点，若△ ABP是直角三角形，则点 p 的坐标是多少？