2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点22 简单多面体与球

从而 DC
（
2,0,0）， DE （
2 ,-1, 2
2 2
），故
x2
0
2
2 x2
y2
2 2
z2
0
，所以
x2
0，
z2
可取
y2
1 ，则
n2
（0，1，2），从而 cos
n1, n2
n1n2
n1 n2
3
.
3
2 y2 ，
【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.
【规范解答】设球的半径为 r ，则圆柱形容器的高为 6 r ，容积为 r2 6r 6 r3 ，高度为 8cm 的水的体
积为 8 r2 ，3 个球的体积和为 3 4 r3 4 r3 ，由题意 6 r3 - 8 r2 = 4 r3 解得 r 4 . 3
【答案】4
4. （2010·江西高考文科·Ｔ１６CD ，且 PA 8 ，则该四棱锥的体积是
．
【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题．
【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解．
【规范解答】
V四棱锥P ABCD
1 3
S底
h
1 3 S正方形ABCD
PA
1 6 68 96 . 3
【答案】 96.
7. （2010·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，
【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理 等，考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论 证能力、运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、化归 与转化的能力. 【思路点拨】（1）把直线到平面的距离转化为点到平面的距离， 寻找过此点与平面垂直的直线；（2）做出二面角的平面角， 再根据三角函数、余弦定理等求解.
9. （ 2010 · 重 庆 高 考 理 科 · Ｔ １ 9 ） 如 题 （ 19 ） 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ，
PA 底面ABCD ， PA AB 6 ，点 E 是棱 PB 的中点.
（I）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；
（II）若 AD 3 ，求二面角 A EC D 的平面角的余弦值.
所以，当
r
2
2.4 (3
)
0.4 时
S
有最大值．
最大值为 2.4 0.4 3 (0.4)2 1.51 （平方米）
（2）由（1） r 0.3 时， h 0.6 其正视图与侧视图均为边长是 0.6 的正方形，俯视图是半径为 0.6 的
圆．如图：
8. （2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， PA 底面ABCD ， PA AB 2 ， 点 E 是棱 PB 的中点. （I）证明： AE 平面PBC ； （II）若 AD 1 ，求二面角 B EC D 的平面角的余弦值.
AOB ,将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、（B）、C、D、O 为顶点的四面体的体积
为
．
【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法．
【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积．
【规范解答】折叠后的图形如图所示,
∵ BO OC, AO OD ，∴ A(B)O 平面COD . ∴ AO 为四面体 A(B) COD 的高，
25 （C） 1 R
3
18 （B） R arccos
25 （D） 4 R
15
【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，
考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.
【思路点拨】欲求 M 、 N 两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求 MON 的弧度数，进而转化为 求线段 MN 的长度.∵题目中所给条件多大集中在 BCD 内， 故探求 MN 与 CD 的数量关系.
22 所以在 RtDAE 中， DE AE2 AD2 2 .在 RtCBE 中， CE BE2 BC2 2 ，
，又 CD 2 ，所以所以 CDE 为等边三角形.取 CE 的中点 F ,连结 DF ,则 DF CE . 因 BE BC 1 ，且 BC BE ，则 EBC 为等腰直角三角形，连接 BF ，则 BF CE ，
考点 22 简单多面体与球
1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于 平面 ，垂足为 B ， BCD 是平面 内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M ， N ，那么 M 、 N 两点间的球面
距离是（ ）.
17 （A） R arccos
【思路点拨】（1）建立 S 关于 r 的函数，根据函数的性质求最值；
（2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图．
【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为 h ，则 4(4r 2h) 9.6 ，所以 h 1.2 2r
所以 S S底 S侧 r2 2 rh r2 2 r(.2 2r) 2.4 r 3 r2 (0 r 0.6) ．
的 半 径 与 圆 柱 的 底 面 半 径 相 同 ） 后 ， 水 恰 好 淹 没 最 上 面 的 球 （ 如 图 所 示 ）， 则 球 的 半 径 是
____cm. 【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．
【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为 8cm 的水的体积即为 3 个球的体积和。
【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，
考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证 能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函数、 余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函 数值.
∴ MN ∥ CD .∴ MN
AM
4
,
即 MN
4 CD
4R.
CD AC 5
5
5
在三角形 MON 中, OM OM R , MN 4 R 利用余弦定理可得： 5
cos MON = OM 2 ON 2 MN 2 17 ， ∴ MON arccos 17 .
2OM ON
25
25
2. （2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面 体 ABCD 的体积的最大值为（ ）.
（II）设平面 BEC 的法向量为 n1 ，由（Ⅰ）知， AE 平面BEC ，故可取 n1 EA （
2 ，0， 2 ）.设 22
uur uuur uur uuur
平面 DEC 的法向量 n2 （x2 , y2 , z2），则 n2 DC 0, n2 DF 0 ，，由 AD 1 ，得 D（0,1,0），G（ 2,1,0），
∴V体体体
A-CDO
1 3
S OCD
AO
1 3
1 2
OD OC
AO
112
22
22
28
2
．
32
3
82
【答案】 .
3
【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不
变，跨过折线的量要改变．
6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 底面
3
（方法二）（I）以 A 为坐标原点，
射线 AB, AD, AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 A xyz .如图所示.
设 设 D(0, a, 0) ， 则 B ( 2,0,0)， C ( 2, a, 0) ， P (0,0, 2)， E
2
2
( ,0, )。
于
A
均在同一个球面上， AB AA1 1 ， BC 2 ，则 A ， B 两点间
B
的球面距离为
.
A1
【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接 B 1
D C
D1 C1
问题，考查球面距离问题，考查空间想象力．
【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离.
【规范解答】选 A . 连结 BM ，∵ AB 为球 O 的直径，∴ BM AC ，
在 RtABC 中， AB 2R, BC R, AC AB2 BC2 5R
由射影定理可得 BC2 CM CA CM BC2 5 R .则 AM AC CM 4 5 R .
CA 5
5
同理，联结 BN ,则 ABM ABN ,则 AN AM ,又 AC AD ,
四面体 ABCD 的体积最大，分别取 AB 与 CD 的中点 E 、 F ， 连结
EF ， 此 时 球 心 O 为 线 段 EF 的 中 点 ， 则
EF 2 OA2 AE2 2 22 1 2 3 .
VA BCD
1 3 SECD
AB
1 122 32
32 4
3
.
3
3．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球
23
(A)
3
43
(B)
3
(C) 2 3
83
(D)
3
【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考
生的空间想象能力及推理运算能力.