Bezier曲线B样条曲线
B样条曲线
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
Q3 Q4
6.5 Bézier曲面和B样条曲面
6.5.1 Bézier曲面
Bézier曲面及控制网格演示动画
曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只 反映曲面的凹凸程度。
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取
Bezier曲线和BSpline曲线的拟合问题
Bzeier曲线和BS pline曲线 目录一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。
二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。
r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。
r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。
2.3 三次Bezier曲线 .................... 错误！未定义书签。
2.3.1 三次r 算法错误！未定义书签。
2.3.2 三次r 算法.错误！未定义书签。
2.3.3 两种Bezier算法 ..... 错误！未定义书签。
r曲线 ............................... 错误！未定义书签。
三、n e曲线 和 ...................... 错误！未定义书签。
n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。
3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。
3.3 均匀B样条......................................... 错误！未定义书签。
3.4 三次B样条 算法.......................... 错误！未定义书签。
3.4 三次样条 算法错误！未定义书签。
3.5 两种BSpline .................... 错误！未定义书签。
四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。
1、 述算法 ........ 错误！未定义书签。
一、 重述 两 两 一 两 两 。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
Bezier曲线B样条曲线
5.1 曲线的参数表示
参数的含义： 时间，距离，角度，比例等等； 规范参数区间[0，1]：归一化； 矢量表示： 切矢量（导函数）： 例：已知直线段的端点坐标： 段的参数表达式为：
，则此直线
相应的x,y坐标分量为：
' ' 1 p ( t ) [ x ( t ) y (t )] [3 1] 切矢量为：
(1 t ) Bi ,n 1 ( t ) tBi 1,n 1 ( t )
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
性质6：导函数
i i t (1 t )ni 对参数t求导得： 因为将Bi ,n (t ) Cn
n! Bi, n ( t ) [ it i 1 (1 t )n i t i ( n i )(1 t )n i 1 ] i !( n i )! ( n 1)! n t i 1 (1 t )( n 1) ( i 1) ( i 1)![( n 1) ( i 1)]! ( n 1)! i 1 n t i (1 t )( n 1) i Cn 1 i ![( n 1) i ]! n[ Bi 1, n 1 ( t ) Bi , n 1 ( t )]
u1
Z
Y
0
p(u1)
u2
p( u2)
u
注：这里讨论的动点轨迹 是在三维空间中所表 示的曲线，平面轨迹 曲线只是一种特殊情 况
X
5.1 曲线的参数表示
向量P与时间t有关：P=P(t),就是说P是时间t的函数。用 坐标表示为 ：
x x(t ) y y( t ) z z(t )
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 5.2 5.3 曲线的参数表示 Bezier、B样条曲线的生成 曲面的参数表示
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
B样条曲线与曲面
四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。
若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
b样条曲线和bezier曲线区别
b样条曲线和bezier曲线区别他们的区别主要有以下4点：
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1。
B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关；
2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数，它是个多项式函数。
B样条曲线的基函数是多项式样条。
3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。
B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。
4、Bezier曲线缺乏局部性质，即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响。
B样条曲线具有性质，即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响。
nurbs曲线和贝塞尔曲线
NURBS曲线和贝塞尔曲线1. 引言在计算机图形学中，曲线是一种重要的数学工具，用于描述平面或空间中的形状。
NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线和贝塞尔（Bezier）曲线是两种常见的曲线表示方法。
它们在计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）、动画和游戏开发等领域中被广泛应用。
本文将介绍NURBS曲线和贝塞尔曲线的原理、特点以及应用。
2. NURBS曲线2.1 原理NURBS曲线是一种基于B样条（B-spline）的数学表示方法，它通过控制点和权重来描述一条平滑的曲线。
与贝塞尔曲线不同，NURBS曲线可以具有非均匀节点向量，这使得它更加灵活。
2.2 特点•控制点与权重: NURBS曲线由一系列控制点和对应的权重组成。
每个控制点都有一个权重值，用于调整其对整个曲线的影响程度。
•非均匀节点向量: 节点向量决定了参数空间中的曲线形状。
NURBS曲线允许节点向量非均匀，从而可以创建更加复杂的曲线形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得NURBS曲线具有较好的局部编辑性。
•数学精度: NURBS曲线可以通过增加控制点数量来提高其数学精度，从而更好地逼近所需的形状。
2.3 应用NURBS曲线在计算机图形学和CAD领域中得到广泛应用。
它们常用于描述和绘制复杂的二维和三维形状，如汽车外壳、船体、人体模型等。
此外，NURBS曲线还被用于动画和游戏开发中的角色建模、场景设计等方面。
3. 贝塞尔曲线3.1 原理贝塞尔曲线是一种基于贝塞尔多项式的数学表示方法。
它通过控制点来定义一条平滑的曲线。
贝塞尔曲线具有递归性质，即高阶贝塞尔曲线可以由低阶贝塞尔曲线递归计算得到。
3.2 特点•控制点: 贝塞尔曲线由一系列控制点组成，这些控制点决定了曲线的形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得贝塞尔曲线具有较好的局部编辑性。
Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类： 1. “点点通过”式 当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点。 曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们。 当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。 求相邻离散点之间若干数据点的问题称为插值问题。
P(t ) A0 A1t A2t
2
(0 t 1)
二次B样条曲线参数方程的矩阵形式为：
二次B样条曲线参数方程的矩阵形式：
P (t ) [t 2 1 2 t 1] 1 2 2 2 1 1 1 P0 0 P1 0 P2
P2
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行 光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？ 给出2个一般标准：
P1
P3
P2
P1
P3
P4
P5
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同 的切线），或者说一阶导数连续，即 pj 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续 在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即 p( ) p( ) 及 pj( ) pj( ) j j
§1 概述
2. “平均通过”式 当已知数据点有一定误差时，所 拟合的曲线不通过所有已知点，曲线 代表的是这些数据点的变化趋势。 要求：设计的曲线方程与 所有已知点的“距离”总和最 小。 即：曲线方程是对所有已 知点的“逼近”。 典型例子：地层孔隙度－ 深度变化曲线。 “点点通过”式也称为插 值曲线，“平均通过”式也称 为逼近曲线。
B样条曲线
08-09第二学期
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P(t) t
111
2 1
1 0
B0 B1 B2
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)
和 P’(t)，可得：
P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
P04 P14
P44
P03
P02 P01
P11 P21
P31
P41
P(0,v)
P20
P10
P30
Pn0 ，
P00
P(u,0) P40
赤峰学院计算机系
Bézier曲面的端点和边界线
计算机图形学
08-09第二学期
n m1
nm
P(u, v)
Bi,n (u)B j,m (u) pij
i0 j0
u, v [0,1]
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线
三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续
Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接
而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 ***
赤峰学院计算机系
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
P ( t ) A A t A t ( 0 t 1 ) 0 1
2 2
二次B样条曲线参数方程的矩阵形式为：
第三章 离散点绘制平面曲线
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier)曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线 本章小结
一、规则曲线与不规则曲线
§1 概述
平面曲线一般分规则和不规则曲线两类。 规则曲线是指可以用一个方程 y f (x )或 f(x ,y )0
p ( t ) [ x ( t ), y ( t )] t
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。 参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
2 x ( t ) a a t a t 0 1 2 ( 0 t 1 ) ① 2 y ( t ) b b t b t 0 1 2 a a a x ( t ) 0 1 2 P ( t ) ,A ,A ,A 0 1 2 y ( t ) b b b 0 1 2
设
上述参数方程可写为：
2 P ( t ) A A t A t 0 t 1 0 1 2
②
方程②称为曲线的参数矢量方程。 在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在 绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
a a a x ( t ) 2 0 1 2 P ( t ) t t y ( t ) b b b 0 1 2
P ( t ) B ( t ) P i , n i
i 0
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
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or Tt 3i j
直线斜率：
dy dy dt y ' (t ) 1 ' dx dx dt x (t ) 3
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
Bezier、B样条曲线的生成
Bezier曲线和B样条曲线都是一种自由曲线。自由曲线 是指一条无法用标准代数方程来描述的曲线。在实际中，自 由曲线应用十分广泛，比如轮船身外形放样时的样条曲线， 汽车、飞机及各种产品的外形曲线都可以看成是自由曲线。 计算机产生这种曲线的方法通常有两类： （1）插值的方法：要求生成的曲线通过每个数据点，即 型值点。曲线插值方法有多项式插值、分段多项式插值和 样条函数插值等。 （2）拟合的方法：要求生成曲线靠近每个数据点（型值 点），但不一定要求通过每个点。拟合的方法一般有最小 二乘法、 Bezier方法和B样条方法等。 下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲线和B样条曲线。
u1
Z
Y
0
p(u1)
u2
p( u2)
u
注：这里讨论的动点轨迹 是在三维空间中所表 示的曲线，平面轨迹 曲线只是一种特殊情 况
X
5.1 曲线的参数表示
向量P与时间t有关：P=P(t),就是说P是时间t的函数。用 坐标表示为 ：
x x(t ) y y( t ) z z(t )
若把参数t 换成一个普通意义的参数u，则曲线的参数形式 为：
P [ x ( u) y ( u) z ( u) ]
x 3u 例如： y u1 式。 z 2u 3
u [0,1] 是一条空间曲线的参数形
注：这是一条以点(0,1,3)为起点，(3,2,5)为终点的线段
(1) Bezier曲线的定义
Bezier曲线是由一组折线来定义的，且第一点和最后 一点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起 点和终点处的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形的 n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空间n+1个点的位置 矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标 的参数方程式(插值公式)是：
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
曲线的形状依赖于该多边形的形状，即由一组多边折线（该 多边折线称为特征多边形）的顶点唯一地定义出来，且只有 该多边形第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。 Bezier曲 线及其特征多边形如下图
三次Bezier曲线和特征多边形
注：上图是由四个控制点形成的三次Bezier曲线，曲线的形 状依附于该特征多边形的形状。且特征多边形的第一条边 线和最后一条边线分别表示曲线在第一个顶点和最后一个 顶点的切线方向
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 5.2 5.3 曲线的参数表示 Bezier、B样条曲线的生成 曲面的参数表示
5.4
Bezier、B样条曲面的生成
曲线与曲面的生成与计算
曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们 在实际工作中有着广泛的应用。例如： 实验、统计数据如何用曲线表示。 设计、分析、优化的结果如何用曲线、曲面表示。 汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计，才 能使之美观且物理性能最佳。 由于实际问题不断对曲线、曲面有许多新的要求，近二十 年来，有关曲线曲面的研究文章、专著层出不穷。在实际工 作中，人们常用曲线有Bezier、B样条、非均匀有理B样条 (Nurbs)、圆锥曲线、等距线、过度线等；常用的曲面有 Bezier曲面、 B样条曲面、Coons曲面等。
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
贝塞尔（Bezier）曲线
Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier于20世 纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表 示法，这种方法的特点是：控制点的输入与曲线输出之间 的关系明确，使设计人员比较直观地估计给定条件与设计 出的曲线之间的关系。当设计人员（用户）使用交互手段 改变输入控制点，就能很方便地在屏幕上改变拟合曲线的 形状与代表它的多项式的次数以迎合设计要求。 Bezier曲线是指用光滑参数曲线段逼近一折线多边形， 它不要求给出导数，只要给出数据点就可以构造曲线，而 且曲线次数严格依赖确定该段曲线的数据点个数。
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
Bezier曲线分为开放型和封闭型两类：首尾控制点不想同 为开放型，首尾控制点想同为封闭型。如下图所示：
p2 p2 p1 p 7 p4
p1 p4
开放型Bezier曲线
p3 p6
p3 p5
封闭型Bezier曲线
图 Bezier曲线的类型
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
曲线与曲面的生成与计算
在本章中，我们将主要介绍曲线曲面的参数表示,Bezier, B样条曲线以及Bezier、B样条曲面的概念和特征。 在具体讲述上面知识之前，有必要了解一下如下几个概 念的区别和联系。
1 曲线绘制：这类问题归结为已知曲线方程，要求画出曲线
2 曲线插值：由实验、观测或计算得到了若干个离散点组成的点列，要 求用光滑的曲线把这些离散点连结起来。 3 曲线逼近：在曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用一曲线逼近 这个折线轮廓，这类问题称为曲线逼近。
（注：曲线插值与曲线逼近的区别：逼近不要求曲线通过数据点）
4 曲线拟合：曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲
线、曲面达到某些设计要求。
6.1 曲线的参数表示
曲线的参数表示
曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，但从计算机 图形学和计算几何的角度来看，还是使用参数表示较好， 因为采用参数方法表示曲线和曲面，可以将其形状从特定 坐标系的依附性中解脱出来，很容易借助计算机得以实现。 一个动点的轨迹可以用位置向量P来描述，如下图所示：
5.1 曲线的参数表示
参数的含义： 时间，距离，角度，比例等等； 规范参数区间[0，1]：归一化； 矢量表示： 切矢量（导函数）： 例：已知直线段的端点坐标： 段的参数表达式为：
，则此直线
相应的x,y坐标分量为：
' ' 1 p ( t ) [ x ( t ) y (t )] [3 1] 切矢量为：