2015年研数值分析A卷
2015研究生试题 (1)数值分析
五、（本题满分 15 分）对常微分方程初值问题： dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0
确定下列显式单步法
yn+1
=
yn
+
h[λ1K1
+
λ2K2 ]
K1 K2
= =
f f
(tn , yn ) (tn + ph,
yn
+
phK1 )
中的参数 λ1，λ2，p 使其为二阶方法。
第 5页 共 6 页
六、（本题满分 10 分）（从下列两题中选择一道题完成）
1、定义内积：
( f , g) = ∫1 f (x)g(x)dx 0
在φ = span{1, x 2}中求 f (x ) = x 在[0,1]上的最佳平方逼近多项式 p (x ) 。
2、设数据（-1,0），（0,2）（1,3）（2,1）的最小二乘拟合为 y = a + bx2 ，求 a,b 的
值。
第 6页 共 6 页
15
作第 1 列的消元后所得的第 2、3 个方程分别为
。
5、设
A
=
1 2
−31 ，则 Cond F ( A) = ______.
6、利用初等旋转变换将向量a = (1, 2,3)T 化为与 e2 = (0,1, 0)T 平行的向量，则所对应
的初等旋转矩阵 H = I - 2v ⋅ vT 中的单位向量 v=_________。
10、n+1 个求积节点的 Gauss 型求积公式的代数精度为_______________。
第 1页 共 6 页
二、（本题满分 15 分）分别写出求解下列两个方程的收敛的迭代公式，并说明理由。 （1） x = cos x + sin x ，（2） x = 4 − 2x 3
数学分析2015年南京航空航天大学硕士研究生考试真题
南京航空航天大学2015年硕士研究生入学考试初试试题A 卷 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1. 计算下列极限(每题6分，共12分) .(1) 112lim (0)p p pp n n p n+→∞++>"); (2) 3333lim )x x x x x x →∞+−). 2. 计算下列积分(每题6分，共12分) .(1) 45cos dx x+∫ ; (2) 214011x dx x ++∫. 3. 已知arctan ,y x =求(0).n y （）(提示：可以利用Leibniz 公式)。
（12分）4. 下面的推理过程是否正确，为什么？（判断3分，理由10分）对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理得， 2111sin (2sin cos ),(0,)x x x x ξξξξ=−∈ 即 111cos 2sin sin ,(0,)x x x ξξξξ=−∈ 因为(0,)x ξ∈，所以当0x →时有0ξ→，于是由上式得01cos l m 0i x ξ→=，即01cos l m 0i ξξ→=.5. 设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立|()|1|"()|2f x f x ≤≤，，证明在[0,1]上成立|'()| 3.f x ≤（13分）6. 半径为r 的球恰好没于水中，球的密度为ρ，现在要将其吊出水面，最少要做多少功？（设水的密度为0ρ，重力加速度为g ）（13分）7. 证明函数)(x f =∑∞=+021cos n n nx 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 2 , 0 π 内连续, 且有连续的导函数. （13分） 8. 设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数. 在极坐标θcos r x =,θsin r y =变换下, 求+∂∂22x f 22yf ∂∂关于极坐标的表达式.（12分） 9. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=+)0,0(),(,0)0,0(),(,1),(22)(22y x y x y x e y x f y x x , 求),(y x f 在)0,0(点的4阶泰勒多项式，并求出)0,0(2yx f ∂∂∂，)0,0(44x f ∂∂. （12分） 10. 计算二重积分dxdy y x D∫∫+) (, 其中D 是由坐标轴及抛物线1=+y x所围区域. （13分）11. 计算曲面积分 ∫∫Σ++ zdxdy ydzdx xdydz , 其中Σ为上半球面222y x R z −−= 的上侧. （12分）12. 设函数)(x f 在] 1 , 0 [上连续, 且0)(>x f . 研究函数 ∫+=10 22)()(dx y x x yf y I 的连续性.（13分）。
2014_2015学年第一学期末数值分析考试试题A
中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。
（2）试题类别指A卷或B卷。
2014/2015 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称 数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有 位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为 ；用ˆπˆe u= 作为πe u =的近似值 具有 位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是 。
5. 取权函数()x ρ=[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的内积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有 次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。
数值分析期末试卷A卷
数值分析期末试卷A卷第 1 页共 6 页西北农林科技⼤学本科课程考试试题（卷）2015—2016学年第⼆学期《数值分析》课程A 卷专业班级：命题教师：审题教师：学⽣姓名：学号：考试成绩：⼀、填空题（每空2分，共20分）得分：分1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有位有效数字.3. 误差有多种来源，数值分析主要研究误差和误差.4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前⾯的系数为 .5. 计算积分?15.0d x x , 计算结果取4位有效数字. ⽤梯形公式计算的近似值为，⽤Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为，Simpson 公式的代数精度为. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ?∈是Householder 矩阵，n v R ∈是⼀个n 维向量，则Hv = .⼆、选择题（每⼩题 2分，共20分）得分：分1. ⽤13x+所产⽣的误差是误差.A. 舍⼊B. 观测C. 模型D. 截断2.1.732≈，计算)41x =，下列⽅法中最好的是 .A.28-B. (24-C. ()2164+D. ()4161 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应⽤中，当时的Newton-Cotes 求积公式不使⽤.第 2 页共 6 页A. 8n ≥B. 7n ≥C. 5n ≥D. 6n ≥4. 解⽅程组Ax =b 的简单迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充要条件是 .A. ()1A ρ<B. ()1B ρ<C. ()1A ρ>D. ()1B ρ>5. 已知⽅程3250x x --=在x =2附近有根，下列迭代格式中在02x =附近不收敛的是 .A. 1k x +=B.1k x +=C.315k kk x x x +=-- D.3122532k k k x x x ++=- 6. 设--=700150322A ，则)(A ρ为． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 37. 三点的⾼斯求积公式的代数精度为 .A ． 2B ．5C ． 3D ． 48. ⽤列主元消去法解线性⽅程组??-=+--=-+-=+-134092143321321321x x x x x x x x x ，第1次消元时，选择的主元为 .A.－4B. 3C.4D.－99. 假设cond (A )表⽰⾮奇异矩阵A 的条件数，则下列结论中错误的是 .A.()()1cond A cond A -=B.()(),cond A cond A R λλλ=∈C. ()1cond A ≥D.()1cond A A A -=?10. 设)(x f 可微, 求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是 .A. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-B. 1()1()k k k k k x f x x x f x ++=+'+C. 1()()k k k k f x x x f x +=-'D. 1()()k k k k f x x x f x +=+'三、简答题（每⼩题5分，共20分）得分：分1. 什么是数值算法的稳定性？如何判断算法是否稳定？为什么不稳定的算法不能使⽤？2. 埃尔⽶特插值与⼀般函数插值有什么不同？3. 简述⼆分法的优缺点.4. 什么是矩阵的条件数？如何判断线性⽅法组是病态的？第 3 页共 6 页第 4 页共 6 页四、计算题（每⼩题8分，共32分）得分：分1. 已知下列函数表(1) 写出相应的3次(2) 作均差表，写出相应的3次Newton 插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。
数值分析试卷A及参考答案参考资料
中南林业科技大学课程考试卷课程名称：数值分析 编号：A 考试时间：120分钟一、单项选择题(每小题4分，共20分)1. 用3.1415作为π的近似值时具有( B )位有效数字。
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62. 下列条件中，不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( )。
(A) P(x) 在各节点处可导 (B) P(x) 在 [a ，b] 上连续 (C) P(x) 在各子区间上是线性函数 (D) P(x k )=y k ,(k=0,1, … ,n)3. n 阶差商递推定义为：01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- ，设差商表如下：那么差商f [1，3，4]＝( )。
A. (15－0)/(4－1)＝5B. (13－1)/(4－3)=12C. 4D. －5/44. 分别改写方程042=-+x x 为42+-=xx 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是：( )(A) 前者收敛，后者发散 (B) 前者发散，后者收敛 (C) 两者均收敛发散 (D) 两者均发散5. 区间[a ，b]上的三次样条插值函数是( )。
A. 在[a ，b]上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式B. 在区间[a ，b]上连续的函数C. 在区间[a ，b]上每点可微的函数D. 在每个子区间上可微的多项式二、填空题(每小题4分，共20分)1. 欧拉法的局部截断误差的阶为 ；改进欧拉法的局部截断误差的阶为 ；2. 求解非线性方程01=-x xe 的牛顿迭代公式是 ；3. 已知数据对),(k k y x (k ＝1，2，…，n)，用直线y ＝a ＋bx 拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是 ；4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20302a a a a A 给出使追赶法数值稳定地求解方程组3,R b b Ax ∈=的a 的取值范围（最大取值区间）是 ； 5. 求积公式)43(32)21(31)41(32)(10f f f dx x f +-≈⎰具有 次代数精度。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
湘潭大学数值分析2015年研究生考试试卷(A)
( x) 6. 求导数的中心差商公式为 f
。
得 分
, ln 0. 6 0 . 510826 二、 （ 11 分） 已知 ln 0 .5 0 .693147 ，用线性插值计算
ln 0.54 的近似值，要求写出插值多项式并估计插值误差。
（第 1 页 共 4 页）
得 分
三、 （12 分）取初始向量 x
……………………………………………………………装…………………… 订……………………线…………………………………………………………………
： 制卷人签名： 制卷日期： 审核人签名： 审核日期： …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
湘潭大学 2015 年下学期 研究生《数值分析》课程考试试卷
适用专业 考试形式
学院 学号
题 号 得 分 ……………………………………………………………………………………………………………… 一 二 三 四
非数学类各专业 适用年级 2015 闭卷 试卷类别 A 考试时间 120 分钟
专业 姓名
五 六 七 总分 阅卷 教师
班级
得 分
一、 （20 分）填空题（每空 2 分）
1．数值计算中误差按来源可分为如下几种： 2. 梯形求积公式 f ( x)dx
a b
。 。 ， f ( x ) 的二次
，其截断误差 E1 ( f )
3．已知 f (0) 0, f (1) 16, f (2) 46, 则差商 f [0,1, 2] 牛顿插值多项式为 。
Gauss-Seidel 迭代格式; 2)讨论 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性。
宁波大学2015年考研真题【007理学院】671数学分析A卷
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业:
数学分析 基础数学、 应用数学
科目代码： 671
一.填空题（每题 5 分，共 15 分）
1.
lim(cos
x
x2
1
) x2
=
;
x0
2
2.
cos xsin 1 cos2
3x dx
x
(2)当为何值时,级数条件收敛?证明之.
(3)证明该级数在(0,+)内闭一致收敛.
4(10分).设函数列{ fn (x)}n1在[a,b]上连续,且fn (x)在[a,b]上一致收敛于f (x), 若对任意的x [a,b], f (x) 0. 证明: 存在N, 0,使得对任意的x [a,b], n N,有fn (x) .
x y
4.求曲面积分 f (x, y, z)dS,其中 x y z1
1 x2 y2 z2 , x2 y2 z2 1
f (x, y, z)
0,
其它
5.求f
(
x)
arctan
2x 1 x2
在x
0处的幂级数展开式,并求
n0
(1)n 的值. 2n 1
四.证明题（共 50 分）
1(15分)设实数a是方程x2 x 1 0的正根,已知数列如下定义:
第2页共2页
第1页共2页
宁波大学 2015 年攻读硕士学位研究生
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业:
数学分析 基础数学、 应用数学
科目代码： 671
3.设是可微函数,证明由(cx az, cy bz) 0所确定的隐函数 z f (x, y)满足方程 : a z b z c.
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题数值分析模拟卷A一、填空（共30分，每空3分）1 设-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则?=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为方程的根）；（2）取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分）设有常微分方程的初值问题=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组b Ax ＝，其中= ??=21,13.021b A ，（1）试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷B填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知???? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：?-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈?是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
2015-同济大学数值分析-参考答案
1
1
ex
2
1
1 x
2
dx
34 0 34 e e e 5.481
3
将 f ( x) =x 代入，左边 = 将 f ( x) =x 4 代入， 左边 =
1
1
3 3 3 3 3 dx sin d 0 0 2 右边 3 2 1 x2 2
(10 分)
l1 0 0 y1 5 Ly = 1 l2 0 y2 = 3.25 0 2.5 l y -29 3 3
追：
l1 4 l2 5.25 1 u1 5 l3 10.5 2.5 u2 10
x
y
0
2
2
1
1
3 2
2 (10 分)
基函数： 0 ( x) 1, 1 ( x) cos x, 2 ( x) sin x
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a (0 , f ) 法方程： (1 , 1 ) (1 , 2 ) b (0 , f ) sym (2 , 2 ) c (0 , f )
xk
4.5 4.766 4 4.789 6 4.790 6 4.790 6
3/4
k 0 1 2 3 4
4.5
Ans Ans cos( Ans) Ans 1 cos( Ans) Ans sin( Ans) 1
= = =
2014-2015 数值分析试卷
维基解密
x3
2
3
2015年桂林电子科技大学811数学分析(2015-A)考研真题
1 dx sin (2 x)
2
4.
0
sin 4 x cos 4 x d x
三、计算题（每小题9分，共36分） xdy ydx 1. 求 2 ，其中 L 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. L x y2 2. 求在两个曲面 x 2 xy y 2 z 2 1 与 x 2 y 2 1 交线上到原点最近的点. 3. 设 z f ( x 2 y 2 , ) , 且 f 具有2阶连续偏导数, 计算
4. 将累次积分 0 d x x f ( x, y ) d y 交换积分次序后表示为_________.
2
1
x
二、计算下列极限与积分（每小题8分，共32分） 1. lim(cos n 1 cos n )
n
2. lim
x 0
1 x sin x cos x x sin x
3.
五、证明题（每小题9分，共36分） 1. 叙述数集E的上确界的定义. 并证明: 对任意有界数列 xn ,yn , 总有
sup xn yn sup xn sup yn .
2. 设 lim f ( x) a 0 , 用 定义证明 lim
x x0
x x0
第2页共2页
y x
z 2 z , . x xy
4. 设 为曲面 z x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z 2 之间部分的下侧, 计算(1) d S , (2)
d x d y .
四、分析解答题（每小题10分，共30分） 1. 叙述函数项级数 un ( x) 在数集D上一致收敛的定义, 并证明: f ( x)
2 e x 1, x 0, 2. 设函数 f ( x) 在 x 0 处连续, 则 k ______________. sin x k , x 0 f ( a 2h) f ( a 2h) __________. 3. 若函数 f ( x) 在 x a 处可导, 则 lim h 0 h
2015年 研究生数值分析试题A卷
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
8,2⎤⎦为( A )（C ）、1；,)n 是n 个互异节点,)n 的拉格朗日
插值基函数，则下列选项中正确的是（ C ）； ）、(0
n
i i i x l =∑
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。
精编版-2015年广西民族大学数学分析考研真题A卷
2015年广西民族大学数学分析考研真题A 卷考生须知1． 答案必须写在答题纸上，写在试题上无效。
2． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。
3． 交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。
否则，产生的一切后果由考生自负。
一、求下列极限（每小题10分，共20分）（1）21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n n n n 12111ln 1lim．二、（10分）．求b a ,使下列函数在0=x 处可导:2,0,()1,0.ax b x f x x x +≥⎧=⎨+<⎩三、（15分）设平面3=++z y x 截三坐标轴于A,B,C 三点,O 为坐标原点,),,(z y x P 为三角形ABC 上一点,以OP 为对角线, 三坐标平面为三面作一长方体, 求最大体积．四、（15分）证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在, 但偏导数在)0,0(不连续,而f 在原点)0,0(可微.五、（15分）用“εδ-”语言证明1(2)(1)lim 03x x x x →--=-.六、计算下列积分（每小题10分，共30分）（1）32sin cos 1sin x x dx x+⎰；（2）⎰20][dx e x （注 [ 。
]表取整函数）；（3）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )(222，其中Ω：1222222≤++c z b y a x ．七、（15分）计算积分⎰+1031x dx 的值, 并证明它也等于数项级数∑∞=+-013)1(n nn 的和.八、（15分）已知0>n a ,级数∑∞=11n n a 发散,求证级数∑∞=+111n n a 也发散.九、（15分）设函数列)}({x f n 满足下列条件：1）n ∀，)(x f n 在],[b a 连续且有)()(1x f x f n n +≤（],[b a x ∈），2）)}({x f n 处处收敛于],[b a 上的连续函数)(x s ．证明：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x s .。
昆明理工大学2015年硕士研究生招生入学考试数学分析试题(A卷)
昆明理工大学2015年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码：617 考试科目名称：数学分析
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
21
n ++2).
|t dy dx π=求
昆明理工大学2015年硕士研究生招生入学考试试题 22S x dydz y +⎰⎰与平面h z =所围空间区域分）试用致密性定理证明：若函数f 在闭区间。
2015年 研究生数值分析试题A卷
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，1试题__2016_年~__2017__年第1学期课程名称： 数值计算方法 专业年级： 2016级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。
一、选择题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1、设设()849310f x x x =++，则0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦L 为( )。
（A ）、9； （B ）、8； （C ）、1； (D ）、0。
2、设()(0,1,2,,)i l x i n =L 是1n +个互异节点(0,1,2,,)i x i n =L 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（ ）。
（A ）、()230ni ii x l x x ==∑； (B ）、()20ni i j i x l x x ==∑；（C ）、()01ni i l x ==∑； （D ）、()20ni i i x l x x ==∑。
3、设矩阵A=1002-⎛⎫⎪⎝⎭, 则Cond(A)∞为( )。
(A)、-2； (B)、1； (C)、0； (D)、2。
4、下列说法不正确的是（ ）。
(A)、2(31)/2x -是2次Legendre 多项式； (B)、()[()()]2bab af x dx f a f b -=+⎰余项为3(2)()()12b a f η--；注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。
数值分析课程考试试卷(A)及答案
《 数值分析 》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。
2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
2015研究生试题 (1)数值分析
太原科技大学硕士研究生2015/2016学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空3分，共30分）1、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤+=20,b 4201-,)(233x x x x x x x x s 是以-1,0,2为节点三次样条函数，则b= 。
2、方程x x 23=的牛顿迭代格式为____________.3、已知数x 的近似值0.937具有2位有效数字，则x 的相对误差限是______。
4、用列主元高斯消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++426x 151142x 11-35x -321321321x x x x x x作第1列的消元后所得的第2、3个方程分别为 。
5、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211A ，则=)(A Cond F ______.6、利用初等旋转变换将向量(1,2,3)T a =化为与2e (0,1,0)T =平行的向量，则所对应的初等旋转矩阵T v I H ⋅=v 2-中的单位向量v=_________。
7、为求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++426x 151142x 11-35x -321321321x x x x x x ，试写出一个必收敛的迭代公式：_________。
8、已知3阶矩阵A 的特征值分别为2,-5,-9，则矩阵A 的谱半径是___________.9、满足插值条件(0)1,(1)2,(2)4f f f ===的二次Lagrange 插值多项式为______。
10、n+1个求积节点的Gauss 型求积公式的代数精度为_______________。
二、（本题满分15分）分别写出求解下列两个方程的收敛的迭代公式，并说明理由。
（1）cos sin3x xx+=，（2）42xx=-三、（本题满分15分）构造过节点(2,21),( 1.5,23),(0.5,22),(1,21)--的牛顿差商表，并选取合适的节点分别构造二次、三次牛顿插值多项式)(),(32x P x P 以计算2(0.8)P 和3(0.8)p 的近似值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武 汉 大 学
2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b Î时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。
二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中
211625608A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 226768b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
三、（14分）设方程组
123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌
其中a 为常数。
（1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；
（2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
2
1
320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。
六、（12
求形如 y bx x
=+ 的拟合曲线。
七、（14分）（1）对初值问题
00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ìïï=
ïÎíïï=ïî
验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的；
（2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）：
(0)1
dy dt y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑⎰=≈n
k k k b
a x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式，
并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω
（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？
（2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=b
a n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>。