2015年研数值分析A卷

武 汉 大 学

2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）

科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：

一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b Î时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。

二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中

211625608A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 226768b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

三、（14分）设方程组

123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌

其中a 为常数。 （1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；

（2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。

四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：

求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。

五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分

2

1

320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。

六、（12

求形如 y bx x

=+ 的拟合曲线。

七、（14分）（1）对初值问题

00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ìïï=

ïÎíïï=ïî

验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的；

（2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）：

(0)1

dy dt y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑⎰=≈n

k k k b

a x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式，

并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω

（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？

（2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=b

a n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>