全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺(2)185页PPT
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工程力学竞赛辅导-材料力学拓展与提高PPT课件
d
32ml
3G (d2
d1 )
1 ( d13
1
d
3 2
)
思考:两端直径分别为d1、d2的圆锥形杆，受分布力 偶m的作用，如何求杆的总扭转角。
d T (x) dx
GI p ( x)
㈡超静定问题的变形协调条件
如图所示，一实心圆杆1在其外表面紧套空心圆管2。设杆的 拉压刚度分别为E1A1和E2A2 。此组合杆承受轴向拉力F，试求 其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动）
解： (1) 对节点C进行受力分析
2
3
列平衡方程 (2) 根据胡克定律，列出各杆的绝对变形
，
1
300
C 1000
F
FN2
FN3
FN1
C
F C
(3) 变形协调条件 l3 l2 sin 300 (l2 cos 300 l1)ctg300
简化后得：
△l3
△l1 C1
300
△l2
C2
1杆实际受压，2杆和3杆受拉。
解: 由平衡条件
F
2 1
F
l
变形协调条件
最后得到 l FN1l
Fl
E1 A1 E1 A1 E2 A2
㈡超静定问题的变形协调条件
设有一实心钢管，在其外表面紧套一铜管。材料的弹性模量和
线膨胀系数分别为E1，E2和αl1 ，αl2.且αl2 ＞ αl1 。两管的横截
面面积均为A。如果两者紧套的程度不会发生相互滑动，试证
桩的总的缩短量∆l，以P、l、E、A表示。
P
y
f ky2
l
f
dy dy
y (a)
y f
0 (b)
全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺2
R
抗弯截面系数 WR34sin4
8sin
d dW d d R348 sisn i n 4 0
4 1 c s o i 4 s n s 4 i c n 0 o 4 s 78o
W0.79R13 未切前抗弯截面系数
I1
1bh31bh2h2 36 2 3
1 4
bh
3
1R4cossin3
4
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
R
r
I1
MD
qL2 8
L4 MD
B a
L2 a
a1 21L0.20L7
2
提示 当某个参量同时决定两个
函数，且这两个函数处于此长彼 消的态势时，这两个函数值的交 点往往就是极值点。
为了避免产生附加的弯矩， 在吊装时可考虑采用辅助吊杆。
分析和讨论
q
A
B
60
30 L
梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承 载能力为最大？
1qL2(Lx)2 4 2EI
材料力学性能第2章PPT课件
定义为试件断裂前所能承受的最大工程应力，以前 称为强度极限。取拉伸图上的最大载荷，即对应于b点的 载荷除以试件的原始截面积，即得抗拉强度之值，记为 σb
σb = Pmax／A0 延伸率：
材料的塑性常用延伸率表示。测定方法如下：拉伸 试验前测定试件的标距L0，拉伸断裂后测得标距为Lk， 然而按下式算出延伸率
2、拉伸性能的作用、用途：
a.在工程应用中，拉伸性能是结构静强度设计的主要依 据之一。
b.提供预测材料的其它力学性能的参量，如抗疲劳、断 裂性能。
（研究新材料，或合理使用现有材料和改善其力学性能
时，都要测定材料的拉伸性能）
27
3、本章内容
➢ 实验条件： 光滑试件 室温大气介质 单向单调
拉伸载荷
➢ 研究内容： 测定不同变形和硬化特性的材料的应
发生断裂时的真应变
f l1 n ( ) l1 n 0 ( .6) 4 1 .02
20
21
22
23
24
25
不同材料，其应力－应变曲线不同，如：
26
1.1 前言 1、拉伸性能:
通过拉伸试验可测材料的弹性、强度、延性、应变 硬化和韧度等重要的力学性能指标，它是材料的基本力 学性能。
19
2、某圆柱形金属拉伸试样的直径为10mm，标距为 50mm。拉伸试验后，试样颈缩区的直径是6mm。 计算其断面收缩率和发生断裂时的真应变。
解： 断面收缩率
A 0A 0 A K 1% 0 d 0 0 2 d 0 2 d K 2 1% 0 1 0 1 2 0 2 6 0 2 1% 0 0 0 .6
第二章 材料在拉伸载荷下
的力学行为
1
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
前言
σb = Pmax／A0 延伸率：
材料的塑性常用延伸率表示。测定方法如下：拉伸 试验前测定试件的标距L0，拉伸断裂后测得标距为Lk， 然而按下式算出延伸率
2、拉伸性能的作用、用途：
a.在工程应用中，拉伸性能是结构静强度设计的主要依 据之一。
b.提供预测材料的其它力学性能的参量，如抗疲劳、断 裂性能。
（研究新材料，或合理使用现有材料和改善其力学性能
时，都要测定材料的拉伸性能）
27
3、本章内容
➢ 实验条件： 光滑试件 室温大气介质 单向单调
拉伸载荷
➢ 研究内容： 测定不同变形和硬化特性的材料的应
发生断裂时的真应变
f l1 n ( ) l1 n 0 ( .6) 4 1 .02
20
21
22
23
24
25
不同材料，其应力－应变曲线不同，如：
26
1.1 前言 1、拉伸性能:
通过拉伸试验可测材料的弹性、强度、延性、应变 硬化和韧度等重要的力学性能指标，它是材料的基本力 学性能。
19
2、某圆柱形金属拉伸试样的直径为10mm，标距为 50mm。拉伸试验后，试样颈缩区的直径是6mm。 计算其断面收缩率和发生断裂时的真应变。
解： 断面收缩率
A 0A 0 A K 1% 0 d 0 0 2 d 0 2 d K 2 1% 0 1 0 1 2 0 2 6 0 2 1% 0 0 0 .6
第二章 材料在拉伸载荷下
的力学行为
1
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前言
全国大学生力学竞赛-材料力学部分
一、简化问题
模型简化 抓住变形和内力的主要特征 注意各类约束的特点
建立有附加条件的计算模型
数学简化 物理事实简化
充分利用小变形条件，适时舍去高阶小量
平截面假定 薄壁杆件中的切应力分布简化
扭转切应力
开口薄壁杆件的切应 力沿壁厚的分布状况
闭口薄壁杆件的切应 力沿壁厚的分布状况
在闭口薄壁杆件中，沿厚度方向上的扭转切应力均 匀分布，并形成切应力流 。
1 2 1 4 cos x 1 x x 2! 4! 1 1 sin x x x 3 x 5 3! 5!
1 x 1
x
例
为了在图示 A 与 B 两个固定点之间产生张力，人们常在这
两点之间绷上绳子，然后从中点 C 绞紧。现设绳子的横截面为 圆形，其半径为 r ，绳子材料的弹性模量为 E 。假定在绞紧过
B
K
C
例 如图的直角等腰三角形发生均匀 变形，其直角边的应变为 (1) ，斜边的 应变为 (2)，求： ① 斜边上的高的应 变 ；② 直角的变化量 。
记直角边长为 a，则有
AB a(1 (1) )
在 △ A B K 中，
BC 2a(1 ( 2 ) )
份具有与刚性面相同
的曲率。
附加条件：转角为零
F
EI A B
例
如图的均匀长梁放臵在刚性平
台上，梁单位长度重量为 q ，端头
B 处有 F qa 的力向上提，求 B 处 的挠度 与长度 a 的函数关系。
q A B L F
梁的力学模型可简化为左端固
定且弯矩为零的悬臂梁。
设平台上梁抬起的长度为 L， 由 A 处 M 0 可得：
材料力学2ppt课件
[ N ] B C [] B A B C C 1 1 6 6 3 0 0 1 0 6 0 4 .8 KN P
（2）确定许可载荷 取节点B为研究对象
y
N AB
N BC
X0 N Bc Co s N Ac Bo s 0
x
Y0
N Bs Ci n N As Bi n P 0
P
c o 0 s .6 ,s in 0 .8
得： NBC0.16P9
NAB0.95P2
cos12,sin5
当 NAB [N]A时 B 0.95 [P]2A5.0KN得 [P]AB 5.0K 4 N13
13
当 NBC[N]BC 时0.61 [P]9A4.8KN得 [P]BC8.08 KN
一、失效
失效：构件发生断裂或出现塑性变形。
失效条件
P A
u
bs
塑性材料 脆性材料
极限应力
二、安全系数和许用应力
s
[ ] u
n
nsb
nb
塑性材料ns 1.4~1.7 n：称之为安全系数。 脆性材料nb 2.5~3.0 [σ]：称之为许用应力。
安全系数n 的确定
2l
1Pl P2l
2
2O l1
l
P
l d(l1)
变形能：U W P2l 2EA
变形比能：
uU P2l 1
V 2EA Al 2
2 1E2
2E 2
§2.8 材料拉伸时的力学性能
一、低碳钢拉伸时的力学性能
碳钢的分类
标准试件
低碳钢：含碳量<0.25%的结构钢 中碳钢: 含碳量 0.25~0.55%的结构钢 高碳钢: 含碳量 0.55~2.0%的结构钢
（2）确定许可载荷 取节点B为研究对象
y
N AB
N BC
X0 N Bc Co s N Ac Bo s 0
x
Y0
N Bs Ci n N As Bi n P 0
P
c o 0 s .6 ,s in 0 .8
得： NBC0.16P9
NAB0.95P2
cos12,sin5
当 NAB [N]A时 B 0.95 [P]2A5.0KN得 [P]AB 5.0K 4 N13
13
当 NBC[N]BC 时0.61 [P]9A4.8KN得 [P]BC8.08 KN
一、失效
失效：构件发生断裂或出现塑性变形。
失效条件
P A
u
bs
塑性材料 脆性材料
极限应力
二、安全系数和许用应力
s
[ ] u
n
nsb
nb
塑性材料ns 1.4~1.7 n：称之为安全系数。 脆性材料nb 2.5~3.0 [σ]：称之为许用应力。
安全系数n 的确定
2l
1Pl P2l
2
2O l1
l
P
l d(l1)
变形能：U W P2l 2EA
变形比能：
uU P2l 1
V 2EA Al 2
2 1E2
2E 2
§2.8 材料拉伸时的力学性能
一、低碳钢拉伸时的力学性能
碳钢的分类
标准试件
低碳钢：含碳量<0.25%的结构钢 中碳钢: 含碳量 0.25~0.55%的结构钢 高碳钢: 含碳量 0.55~2.0%的结构钢
2019力学竞赛材料力学辅导(冲击)
全国周培源大学生力学竞赛辅导材料力学
——冲击应力分析
•冲击应力分析
第三届力学竞赛题6
第四届力学竞赛题3
第五届力学竞赛题6
第七力学竞赛题4
注意在冲击过程中的能量转化
冲击物的能量（动能或势能）转化为被冲击物的变形能
第七届竞赛题4例题5-冲击
冲击称载荷作用下外伸梁
F
l a st h K d Δ++=211冲击动载荷系数：
m EI
l Fa EI Fa st 03146.03323=+=Δ静位移利用叠加法（逐段刚
化法）求：
2565.7211=Δ++=st h K d MPa W
a F K W M d d d 02.78**===σ将运动员视为弹性体，最大
动应力减少。
力学模型：
m
图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为，在自由端两者有一间隙，今有一重物P 从高度落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。
EI Δ
h 练习题。
全国大学生力学竞赛—材料力学专题
拉压 扭转 弯曲
组合 变形
Tension or compression :
(x) N(x)
A( x) N N(x)
N ( x)
l l EA d x
max
N(x) [ ]
A(x) max
l [l]
Equilibrium of forces Harmunious equations Physical equations
yx xy
zy
x
x
z
zx xz
x xy xz
T yx
y
yz
zx zy z
单元体微分面上的应力实际上就是 A 点处三 个相互垂直平面上的应力情况.
虎克定律
E G
y
yz
yx xy
zy
拉压 ( tension & compression ) 扭转 ( torsion )
弯曲 ( bending )
剪切 ( shearing )
组合变形 (combined deformations)
P
3. 材料力学的基本概念
强度 刚度 稳定性 内力 应力 应变 单元体 虎克定律
内力: 是材料力学问题的出发点.
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
材料力学
理论体系
1. 材料力学的主要任务
材料力学的研究对象
以杆件和杆件结构系统为研究对象
材料力学的任务
组合 变形
Tension or compression :
(x) N(x)
A( x) N N(x)
N ( x)
l l EA d x
max
N(x) [ ]
A(x) max
l [l]
Equilibrium of forces Harmunious equations Physical equations
yx xy
zy
x
x
z
zx xz
x xy xz
T yx
y
yz
zx zy z
单元体微分面上的应力实际上就是 A 点处三 个相互垂直平面上的应力情况.
虎克定律
E G
y
yz
yx xy
zy
拉压 ( tension & compression ) 扭转 ( torsion )
弯曲 ( bending )
剪切 ( shearing )
组合变形 (combined deformations)
P
3. 材料力学的基本概念
强度 刚度 稳定性 内力 应力 应变 单元体 虎克定律
内力: 是材料力学问题的出发点.
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
H
H v
F
F v
P/ 2 P/ 2 a
L
材料力学
理论体系
1. 材料力学的主要任务
材料力学的研究对象
以杆件和杆件结构系统为研究对象
材料力学的任务
材料力学2复习ppt课件
(4-3) (4-5) (4-4)
m ax
Wp
T Wp
Ip R
6
实心圆截面
πd 4 Ip 32
(A-8)
πd 3 Wp 16
空心圆截面
(4-6)
4 π D 4 Ip 1 (A-9) 3 2
3 π D 4 (4-7) W 1 p 1 6
d D
max
3 FS (6-11) 2 A
工字形截面： §6-4 梁的强度条件
FS S z ( ) I z
M max max [] (6-17) W z
§6-5 梁的合理强度设计 §6-6 双对称截面梁的非对称弯曲
Mz My max W W z y
(6-24) 16
第七章 弯曲变形
§A-2 极惯性矩
实心圆截面: 空心圆截面:
πd 4 Ip 32
(A-8) (A-9) 12
4 d πD 4 Ip 1 , D 32
§A-3 惯性矩 矩形截面:
实心圆形截面: 空心圆截面:
bh3 Iz 12 πd 4 Iz 64
(A-13a) (A-14)
4 d πD 4 (A-15) Iz 1 , D 64
对于等截面圆轴
[ ] (4-20) max
T m ax [ ] G Ip
(4-21)
9
第五章 弯曲内力
§5-3 剪力与弯矩 剪力顺时针为正，弯矩上压下拉为正。 §5-4 弯矩方程 §5-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 1. F（包括约束力）两侧M相等。 2. F（包括约束力）两侧FS不等，FS之差等于F。 3. 自由端无F，FS等于0。
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B 量为 q 。为了便于运输，可在梁上
a
预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如
何正确吊装以避免梁开裂？
吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。
梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。
弯矩的峰值出现在 C、D 截面。
梁的变形如图。先求支反力。 最大挠度必产生于 AC 之间。
将原结构视为两段悬臂梁。
wA14qL3xE3 I1q2E L3Ix
wB1 4qL (L3 Ex)I3
1qL2(Lx)2 4 2EI
1 4q2L (L E x)I1 4qL (L 2 E x)2I L1qE 2LIx33L2x2L3
qL / 4 q
函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。 一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极
值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极 值的性质。
由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应 注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。
如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间 的两个端点处。
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
训练内容
一、简化问题
模型简化
数学简化
物理事实简化
对称结构简化
二、平衡与叠加
整体平衡
局部平衡
叠加原理及其应用
三、结构的失效
构件的失效 危险截面和危险点
组合结构的失效
四、变动荷载问题
变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置 利用极值性质确定最不利位置 临界点、临界线以及它们所界定的区域
五、极值和优化问题
A
wmax
qL2 / 4
B
wA
qLx3 12EI
qL / 4
CL
Lx
w B1qE 2L x I33L2x 2L 3
由 wA wB 可解得 故有最大挠度
x 1 6L 3
wmax1q2ELI13
3
6L
6qL 4 54 EI
提示 简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬
臂梁来进行分析。
五、极值和优化问题
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩 I1
b
直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。
h
C K
IK
1 bh3 24
KC 1 h 6
IC
1 bh3 36
a
预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如
何正确吊装以避免梁开裂？
吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。
梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。
弯矩的峰值出现在 C、D 截面。
M C1 2qL 1 2La1 2q1 2L281qLL4a
MD
1qa2 2
0 a L2
q
A
D
C
a
L
例 如图的混凝土梁单位长度的重
8
yma xRsin 抗弯截面系数 WR348sisnin4
R
r
I1
1R4cossi3n
4
I28 1R4co ssin
圆台关于水平对称轴的惯性矩
I4 I1 I2 1 2R 4 c oss in 2 s2 in 1
1R44sin4
8
yma xRsin 抗弯截面系数 WR348sisnin4
R
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值 结构的优化
提示 优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定
性都得到充分的利用。 在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构
件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。
q
A
L
D
C
a
La
例 如图的混凝土梁单位长度的重
a B
量为 q 。为了便于运输，可在梁上
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值 结构的优化 张量的极值就是其主值
六、非线性问题
物理非线性 几何非线性 稳定问题
七、能量方法
基础性概念和基本方法 互等定理 温度荷载问题 非线性问题 动荷载问题
八、应变的测量
应变测试原理 常用测试方法
五、极值和优化问题
利用函数导数求极值
提示 利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
R
r
I1
1R4cossi3n
4
I28 1R4co ssin
圆台关于水平对称轴的惯性矩
I4 I1 I2 1 2R 4 c oss in 2 s2 in 1
1R44sin4
提示 函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为
零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。
qL / 4 q
A
C qL2 / 4
qL / 4
L
C
x
=0 Lx
LL
B 3qL / 4
例 如图的简支梁中，BC 段 为刚体。AC 段的抗弯刚度为 EI ，求梁中的最大挠度。
梁的变形如图。先求支反力。 最大挠度必产生于 AC 之间。
抗弯截面系数 WR348sisnin4
d dW d d R348 sisn i n 4 0
4 1 c s o i 4 s n s 4 i c n 0 o 4 s 78o
W0.79R13 未切前抗弯截面系数
W1πD31值和优化问题
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值
I1
1bh31bh2h2 36 2 3
1 4
bh
3
1R4cossin3
4
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
将原结构视为两段悬臂梁。
wA14qL3xE3 I1q2E L3Ix
wB1 4qL (L3 Ex)I3
1qL2(Lx)2 4 2EI
1 4q2L (L E x)I1 4qL (L 2 E x)2I L1qE 2LIx33L2x2L3
qL / 4 q
A
qL2 / 4
B
qL / 4
L
Lx
例 如图的简支梁中，BC 段 为刚体。AC 段的抗弯刚度为 EI ，求梁中的最大挠度。