全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺(2)185页PPT

a
预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如
何正确吊装以避免梁开裂？
吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。
梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。
弯矩的峰值出现在 C、D 截面。
M C1 2qL 1 2La1 2q1 2L281qLL4a
MD
1qa2 2
0 a L2
q
A
D
C
a
L
例 如图的混凝土梁单位长度的重
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值 结构的优化 张量的极值就是其主值
六、非线性问题
物理非线性 几何非线性 稳定问题
七、能量方法
基础性概念和基本方法 互等定理 温度荷载问题 非线性问题 动荷载问题
八、应变的测量
应变测试原理 常用测试方法
五、极值和优化问题
利用函数导数求极值
提示 利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值 结构的优化
提示 优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定
性都得到充分的利用。 在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构
件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。
q
A
L
D
C
a
La
例 如图的混凝土梁单位长度的重
a B
量为 q 。为了便于运输，可在梁上
梁的变形如图。先求支反力。 最大挠度必产生于 AC 之间。
将原结构视为两段悬臂梁。
wA14qL3xE3 I1q2E L3Ix
wB1 4qL (L3 Ex)I3
1qL2(Lx)2 4 2EI
1 4q2L (L E x)I1 4qL (L 2 E x)2I L1qE 2LIx33L2x2L3
qL / 4 q
8
yma xRsin 抗弯截面系数 WR348sisnin4
R
r
I1
1R4cossi3n
4
I28 1R4co ssin
圆台关于水平对称轴的惯性矩
I4 I1 I2 1 2R 4 c oss in 2 s2 in 1
1R44sin4
8
yma xRsin 抗弯截面系数 WR348sisnin4
R
A
wmax
qL2 / 4
B
ຫໍສະໝຸດ BaiduwA
qLx3 12EI
qL / 4
CL
Lx
w B1qE 2L x I33L2x 2L 3
由 wA wB 可解得 故有最大挠度
x 1 6L 3
wmax1q2ELI13
3
6L
6qL 4 54 EI
提示 简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬
臂梁来进行分析。
五、极值和优化问题
将原结构视为两段悬臂梁。
wA14qL3xE3 I1q2E L3Ix
wB1 4qL (L3 Ex)I3
1qL2(Lx)2 4 2EI
1 4q2L (L E x)I1 4qL (L 2 E x)2I L1qE 2LIx33L2x2L3
qL / 4 q
A
qL2 / 4
B
qL / 4
L
Lx
例 如图的简支梁中，BC 段 为刚体。AC 段的抗弯刚度为 EI ，求梁中的最大挠度。
函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。 一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极
值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极 值的性质。
由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应 注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。
如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间 的两个端点处。
提示 函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为
零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。
qL / 4 q
A
C qL2 / 4
qL / 4
L
C
x
=0 Lx
LL
B 3qL / 4
例 如图的简支梁中，BC 段 为刚体。AC 段的抗弯刚度为 EI ，求梁中的最大挠度。
梁的变形如图。先求支反力。 最大挠度必产生于 AC 之间。
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩 I1
b
直角三角形对于过形心的 C 轴的惯性矩。
h
C K
IK
1 bh3 24
KC 1 h 6
IC
1 bh3 36
I1
1bh31bh2h2 36 2 3
1 4
bh
3
1R4cossin3
4
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
训练内容
一、简化问题
模型简化
数学简化
物理事实简化
对称结构简化
二、平衡与叠加
整体平衡
局部平衡
叠加原理及其应用
三、结构的失效
构件的失效 危险截面和危险点
组合结构的失效
四、变动荷载问题
变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置 利用极值性质确定最不利位置 临界点、临界线以及它们所界定的区域
五、极值和优化问题
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有
R
r
可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系
数为最大的角度 。
圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇 形对水平对称轴惯性矩的和。
三角形对水平对称轴的惯性矩
I1
1R4cossi3n
抗弯截面系数 WR348sisnin4
d dW d d R348 sisn i n 4 0
4 1 c s o i 4 s n s 4 i c n 0 o 4 s 78o
W0.79R13 未切前抗弯截面系数
W1πD31πR3 0.78R53 32 4
五、极值和优化问题
利用函数导数求极值 利用极值出现处的性质和特点求极值
4
扇形对水平对称轴的惯性矩
R
R
I2 y2dA r2si2nrdrd r3dr sin2d
A
00
0
0
1R4cosin
8
R
r
I1
1R4cossi3n
4
I28 1R4co ssin
圆台关于水平对称轴的惯性矩
I4 I1 I2 1 2R 4 c oss in 2 s2 in 1
1R44sin4
B 量为 q 。为了便于运输，可在梁上
a
预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如
何正确吊装以避免梁开裂？
吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。
梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。
弯矩的峰值出现在 C、D 截面。