复变函数实验课(一)
复变函数备课教案设计方案
复变函数备课教案设计方案教案标题：复变函数备课教案设计方案教学目标：1. 了解复变函数的定义和性质；2. 掌握复变函数的运算规则；3. 能够应用复变函数解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教学重点：1. 复变函数的定义和性质；2. 复变函数的运算规则。
教学难点：1. 复变函数的应用；2. 解决实际问题的能力培养。
教学准备：1. 教材：复变函数教材；2. 备课资料：复变函数的定义、性质和运算规则的总结；3. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一幅复变函数的图形，引发学生对复变函数的兴趣和好奇心；2. 提问：你们对复变函数有什么了解？是否听说过复变函数的应用？二、知识讲解（20分钟）1. 通过讲解复变函数的定义和性质，让学生对复变函数有一个初步的了解；2. 结合实例，讲解复变函数的运算规则，如加减乘除、复合函数等；3. 强调复变函数的特殊性，包括无穷远点、奇点等概念。
三、案例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，如电路问题、流体力学问题等，引导学生应用复变函数进行分析和解决；2. 分组讨论，让学生在小组内共同解决问题，并展示解题过程和答案；3. 教师给予指导和点评，引导学生思考和总结。
四、巩固练习（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成；2. 收集学生的答案，进行讲评，纠正错误，强化知识点。
五、拓展延伸（10分钟）1. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索；2. 鼓励学生自主学习和研究，提供相关参考资料。
六、总结反思（5分钟）1. 学生对本节课的学习进行总结和反思；2. 教师对学生的学习情况进行总结和评价；3. 预告下节课内容。
教学方式：1. 教师讲授；2. 学生讨论；3. 学生独立完成练习。
教学手段：1. 讲解；2. 提问；3. 分组讨论；4. 练习。
教学评价：1. 学生课堂表现；2. 学生练习成绩；3. 学生解决实际问题的能力。
复变函数课件第一章1-3节
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re
复变函数1
数学物理方法
特 殊 函 数 篇
数 学 物 理 方 程 篇
复 变 函 数 篇
第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换
柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
圆域内泰勒 级数 环 域内的 罗朗级数
《复变函数论》 主要内容
主要包括以下几方面的内容： 一、复变函数 二、复变函数的积分 三、幂级数展开 四、留数定理 五、傅里叶变换 六、拉普拉斯变换
x cos y sin
x2 y 2 y arctan x
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
0
y 虚轴
y
Z (x , y )
i (1 2 )
复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = +i 2 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
1 i ( e 2
1
2)
利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式 z1 z2 zn rr2 rn [cos(1 2 n ) isin(1 2 n )] 1
2. 复数的三角表示 (1).复数的辐角 定义 辐角 辐角的主值 复数 z x i y对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ，当
复变函数第三版课件第一章
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数应用报告报告(1)
（各种数学软件,或者各自专业利用到的软件,等等你所利用到的课本以外的知识）
三.主要内容
（内容不能太少,篇幅不限定。用到的数学公式使用公式编辑器,尽量多用图表,程序等,可以借助Matlab软件）
四.研究意义
（可以写通过这份报告你所得到的收获,也可以写你对复变函数课程的认识,等等均可）
五.参考文献与书目
（格式要求书名（文献名）作者出版单位年限）
河北联合大学轻工学院
《复变函数与积分变换》实验报告
课专 业: 级 班
姓 名:
学 号:
开课时间: 2012年下学期
**********
一.报告目的
（比如通过此报告最后证明了什么结论,得到了什么想法等等,相当于主要内容的总结。
注：括号内容最后都删除,所有字号均用小四）
《复变函数》教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《复变函数》是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要的专业限选课程，它是重要的基础课程。
本课程的任务是使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数相关知识的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求在学习本课程之前，学生已经学过数学分析。
本课程本质上是复分析的基本内容。
通过本课程的学习，使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
掌握：解析函数概念及几个与解析函数相关的等价命题、残数理论及其应用、最大模原理及其应用。
理解：复积分、复级数理论。
了解：复几何的基本思想。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学相结合的方法进行。
基本知识与重要内容如基本定理与重要定理从叙述到详细证明，应用等由教师讲授，其它由学生自学。
为了贯彻少而精的原则，本大纲在内容选取上注意突出基本理论与基本方法。
对与数学分析中平行的概念和结果，既指出其相似之处，更强调其不同之点。
对本课程所具有的新内容，包括其证明方法，在课程教学中教师都将给予较详尽的讲解。
有*号的内容，可视教学情况而取舍。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先行课程是数学分析，而本课程所讨论的内容和研究方法是其它许多数学理论的基础。
例如在微分几何、偏微分方程、动力系统、计算数学、近代物理、工程技术等理论中都有广泛的应用。
（五）教材与教学参考书教材：钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年第三版教学参考书：余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社，1988年第二版二课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数教学内容：复数及其表示、几何上的应用，复平面点集，复变函数，复球面与无穷远点重点：复平面点集，复变函数难点：复球面与无穷远点第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼条件、初等解析函数、初等多值函数重点：解析函数的概念与柯西-黎曼条件难点：支点的概念与初等多值函数第三章复变函数的积分教学内容：复积分的概念及其简单性质、柯西积分定理、柯西积分公式及其推论、解析函数与调和函数的关系、*平面向量场——解析函数的应用（一）重点：柯西积分定理、柯西积分公式及其推论难点：柯西积分公式及其推论第四章解析函数的幂级数表示法教学内容：复级数的基本性质、幂级数、解析函数的泰勒展式、解析函数零点的孤立性及唯一性定理重点：解析函数零点的孤立性及唯一性定理难点：解析函数的泰勒展式与唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学内容：解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、*平面向量场——解析函数的应用（二）重点：解析函数的罗朗展式难点：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质第六章残数理论及其应用教学内容：残数、用残数定理计算定积分、辐角原理及其应用重点：用残数定理计算定积分难点：辐角原理及其应用*第七章保形变换教学内容：解析变换的特性、线性变换、某些初等函数所构成的保形变换重点：线性变换难点：某些初等函数所构成的保形变换三建议学时分配。
复变函数课件 4.1级数和序列的基本性质(1)
注解：
注解1、对于一个复数序列 {zn}，我们可以作一 个复数项级数如下
z1 (z2 z1) (z3 z2) ... (zn zn1) ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
注解2、级数 zn 收敛于 的 N 定义可以
叙述为： 0,N 0,使得当n N时,有
n
| zk | k 1
注解：
注解3、如果级数 zn收敛，那么
lim
n
zn
lim (
n
n
n1)
0,
注解4、令
an Re zn , an Re zn ,bn Im zn , a Re ,b Im
我们有
n
n
n ak i bk
可 以 找 到 一 个 正 整 数 N ， 使 得 当 n>N ， p=1,2,3,…时
| zn1 zn2 ... zn p |
柯西收敛准则： 柯西收敛原理（复数序列）：序列 {zn} 收敛必要与充分条件是：任给 0,
可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，
| zn zm |
ak2 bk2 | ak | | bk |,
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
例：
注解2、若级数 zn 绝对收敛，则它一定收敛。
例、当 | | 1 时，
1 2 ... n ...
绝对收敛；并且有
1 2 ...
绝对收敛：
对于复数项级数
z，n 我们也引入绝对收敛
的概念：如果级数
| z1 | | z2 | ... | zn | ...
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案之巴公井开创作1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
(仅供参考)复变函数-第一章习题课
x2 + y2 x4
F ''(t) +
2y x3
F '(t)
=
0,
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1+ t 2 )F ''(t) + 2tF '(t) = 0.
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
Show@u, vD
12
2
1
0
−1
y= -1
−2
−3
−4
−2
0
2
4
6
x=2
红线: u(x,y)=c1, 兰线: v(x,y)=c2, 分别是在点(2, -1)处 相切于直线x=2和y=-1的圆族. 两个切线本身也包含
偏导数:
∂v ∂x
= F '(t) ∂t ∂x
=
−
y x2
F '(t),
∂v ∂y
= F '(t) ∂t ∂y
= 1 F '(t), x
(2a)
∂2v ∂x 2
=
−
y x2
2 F ''(t)
+
2y x3
F '(t),
∂2v ∂y 2
=
1 x
2
F ''(t).
(2b)
14
将Eq.(2b)代入Laplace方程, 得
=
−
1
ρ
∂ 2u
∂ϕ 2
,
(2b)
比较Eqs. (2a)和(2b),自然得到
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数--章节示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
分别称为双曲余弦,正弦和正切函数.
2.性质
2ki
chz和shz都是觉得 周期的函数, chz为偶函数, shz为
奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为:
(chz)'=shz, (shz)'=chz
不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny
及
ch(x iy) ch x cos y i sh x sin y, sh(x iy) sh x cos y i ch x sin y.
同样能够定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上环节, 能够得到它们的体现式:
Arcsinz iLn(iz 1 z2 ), Arctanz i Ln1 iz .
2 1 iz 2. 反双曲函数的定义 反双曲正弦 Arsinhz Ln(z z2 1), 反双曲余弦 Arcoshz Ln(z z2 1), 反双曲正切 Artanhz 1 Ln1 z .
而其它
各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.11)
体现. 对于每一种固定的k, (2.11)式为一单值函
数, 称为Ln z的一种分支.
特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变
数对数函数.
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们对应的主值. [解] 由于Ln 2=ln 2+2kpi, 因此它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 因此它 的主值是ln(-1)=pi. 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例阐明在复 数范畴内不再成立. 并且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函 数的拓广.
复变函数与积分变换课件1.1-复数
a2 b2 c2
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
15
无
理 传说学派成员希帕苏斯在考虑了一 数个问题：边长为1的正方形，其对角线 的长度是多少呢？
发 他发现这一长度既不能用整数或者
重 大
现分数表示，而只能用一个新数来表示.
突
破
—
16
第一次数学危机
希帕苏斯的发现导致了数学史上第 一个无理数 2 的诞生.后来，人们又陆 续发现了许多无理数.
工作经历： 中国矿业大学，物理实验教师 佛山市国星光电股份有限公司，LED研发工程师 湖北省宜昌市，公务员 佛山科学技术学院自动化学院，青年特聘研究员
获得荣誉：
2017年5月，获得第四届全国激光雷达大会青年优秀论文奖 2017年11月，获得 2017 年博士研究生国家奖学金 2018年5月，获得深圳大学优秀毕业研究生奖学金（全校10%） 2018年6月，获得广东省优秀学生（研究生阶段）荣誉称号（全省0.25%） 2018年8月，获得 “深创杯”国际大学生创新创业大赛 “突出双创项目奖”（指导老师）
复数领域的推广和发展 。
(虚数史话) 49
第 一
第一章 复数与复变函数
章
复 §1.1 复数
数 与
§1.2 复数的三角表示
复 变
§1.3 平面点集的一般概念
函 §1.4 无穷大与复球面
数
§1.5 复变函数
50
§1.1 复数
第 一
§1.1
复数
章 一、复数及其运算
复 数
二、共轭复数
与
复 变
函
数
51
§1.1 复数
复变函数
与积分变换
1
一、教学及考核方式
复变函数优秀课件
z1
z1
o
x
o
x
z1 z2
z2
6. 复数和差的模的性质
因z1为 z2表示 z1和 z2点 之间 ,故 的距
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z 1
(2 )z 1 z2z 1 z2.
o
z1
x
一对共轭复数z 和 z 在
y
复平面内的位置是关于 o
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 eico sisin , 欧拉介绍
复数可以表示成 zrei 复数的指数表示式
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ( 1 )z 1 2 i; (2 )z s i n ic o ; s
55
(3)z((cco o5 3 ss iissii5 3 n n ))2 3.
,
co5ssin25
sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
(3)z((cco o 5 3 ss iissii5 3n n ))2 3.
因 c5 o 为 is s5 i n e 5 i,
c 3 o i s3 s i c n ( 3 o ) i s s 3 i) n e3i, (
x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
xRz,e yIm z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
课01-第一章(复变函数1)
3
• 复变函数论不但在其他学科得到了广泛 的应用，而且在数学领域的许多分支也 都应用了它的理论。它已经深入到微分 方程、积分方程、概率论和数论等学科， 对它们的发展很有影响。
4
• 从柯西算起，复变函数论已有170多年的 历史了。它以其完美的理论与精湛的技 巧成为数学的一个重要组成部分。它曾 经推动过一些学科的发展，并且常常作 为一个有力的工具被应用在实际问题中， 它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数论中仍然有 不少尚待研究的课题，所以它将继续向 前发展，并将取得更多应用。
说明
任何一个复数 z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角
那么 z 的全部辐角为
如果 θ 1 是其中一个辐角,
Argz = θ 1 + 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z = 0 时, z = 0,
辐角不确定. 辐角不确定
28
辐角主值的定义: 辐角主值的定义
在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0 称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . arctan y , x > 0, z ≠ 0 辐角的主值 x π x = 0, y ≠ 0, ± 2, arg z = arctan y ± π , x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
6
第一章 复数与复变函数 1.1 复数
• 向量与复数
7
实数 x 复数｛ 复数｛ 纯虚数 yi 虚数 ｛ 非纯虚数 x+yi
x+yi （虚数似乎不可理解）
<=> 有序数组(x,y) <=> 平面上的点 <=> 矢量或向量
复变函数 课件1-2
单连通域
多连通域
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
临沂师范学院数学系
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
一 复平面点集的几个基本概念
4 有界集和无界集 有界集和无界集:
如果点集 E 可以被包含在一个以原点为中心 的圆里面, 即存在 M > 0, 使区域的每一个点都满 足 z < M , 则 称 E 为 有 界集 , 否则 称为 无界集.
二 区域与Jordan曲线
判断下列曲线是否为简单曲线?闭曲线 闭曲线? 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线 闭曲线 临沂师范学院数学系
答 案
简 单 闭
简 单 不 闭
不 简 单 闭
不 简 单 不 闭
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DEPARTMENTOFMATHEMATICS
二 区域与Jordan曲线
简单闭曲线的性质
定理1.1（Jordan定理） 定理1.1（Jordan定理）任意 1.1 定理 临沂师范学院数学系 一条简单闭曲线 C 将复平面 唯一地分成C,I(C),E(C) 三个 互不相交的点集. 互不相交的点集.满足：
边界
y
I(C)
. . .
E(C)
o
x
（1）I(C) 是一个有界区域 ） （称为C的内部）. 称为C的内部） 是一个无界区域（称为C的外部） （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. ） （3）C是I(C)，E(C) 的公共边界. ） 是 （4）若简单折线 的一个端点属于I(C)，另一个 ）若简单折线P的一个端点属于 必与C相交 端点属于E(C) ，则P必与 相交. 必与 相交.
复变函数课件1-1
比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论 文中已经得到这两个方程，有的教科书称这两个 方程为达朗贝尔——欧拉方程。
拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。
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十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家 Cauchy、德国数学家 Rieman和Weierstrass的巨大努 力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到 数学学科的许多分支。例如，著名的代数学基本定理：
把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入 14
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783）
• 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17岁取得硕
士学位，30岁右眼失明， 60岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个数 学分支，对后世影响深远。
复变函数的引入 15
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数 的关系，並写出以下公式：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。 用复变函数理论来证明是非常简洁的。 柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论
的奠基者。
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近几十年来，复变函数论又有了很大的进展 ，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法 国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作 ，开拓了复变函数更广阔的领域。
机械与电气工程学院 1 复变函数与积分变换
序言 2
• 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。 其中包括两大分支：
• 一是实变函数论（研究以实数作为自变量的 函数，高等数学研究的就是这一类函数）；
• 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的 函数）这门课就是介绍复变函数论。
复变函数教案第一章
复变函数教案课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法,对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用.通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力.章节名称:第一章复数与复变函数学时安排：10学时教学要求:使学生掌握复数的概念，理解复数的几何意义及熟悉平面点集系列概念。
教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根;平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。
教学难点：理解扩充复平面的相关概念。
教学手段：课堂讲授教学过程：一、引言复数的产生和复变函数理论的建立1，1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。
后来，数学家引进了虚数,这在当时是不可接受的。
这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。
2，1777年,瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论,发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位,也是Euler 首创的。
3，19世纪,法国数学家Cauchy 、德国数学家 Riemann 和Weierstrass 经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.4,20世纪以来,复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。
5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较。
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湖北民族学院理学院2014年春季学期数学与应用数学专业复变函数实验课（一）计算部分上课教师：汪海玲Matlab中复变函数命令集定义符号变量Syms虚单位z=Sqrt(-1)复数表示z=x+y*i指数表示z=r*exp(i*a)求实部Real(z)求虚部Imag(z)求共轭Conj(z)求模Abs(z)求幅角Angle(z)三角函数z=sin(z)z=cos(z)指数函数z=exp(z)对数函数z=log(z)幂函数z=z^a解方程expr=‘方程式’;Solve(expr)泰劳展开Taylor(e,z)求留数[r,p,k]=residue(p,q)傅立叶变换Fourier(e,z,w)逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z)拉普拉斯变换Laplace(e,w,t)逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)一复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real返回复数x的实部(x)(ximag返回复数x的虚部)2．共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj返回复数x的共轭复数(x)3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs复数x的模)(xangle复数x的辐角)(x上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1.4．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式)sprt返回复数x的平方根值(x6．复数的幂运算x^，结果返回复数x的n次幂。
复数的幂运算的形式为n上机操作：课本例题1.87．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x返回复数x的以e为底的指数值)log(x返回复数x的以e为底的对数值)上机操作：课本例题2.17、 2.188．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
(')solve equation上机操作：课本例题1.8比较6和9 所对应计算结果二复变函数的积分1 非闭合路径的积分非闭合路径的积分，用函数int求解，方法同微积分部分的积分。
例1 计算⎰-=iiz dzezππ321，⎰=0632izdzchzπ，⎰--=i z dzezz)1(3，⎰-+=i dzzzz12costan14（沿1到i的值线段）。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0908.m：z1=int('exp(2*z)','z',-pi*i,3*pi*i)syms zz2=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)z3=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)z4=int((1+tan(z))/cos(z)^2,z,1,i)运行结果为：z1 =z2 =-1/3*iz3 =-i*exp(-i)z4 =1/2*(2*i*cos(1)^2*sinh(1)*cosh(1)+cos(1)^2-2*cosh(1)^2*sin(1)*cos(1)-cosh(1)^2)/cosh(1)^2/cos(1)^2说明：在z1中定义表达式为符号；在z2、z3、z4中，先定义符号变量，再进行积分。
两种方法都可行，且结果一样。
上机操作：课后第三章习题（一）1题、6题2 沿闭合路径积分对沿闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值。
2.1 留数计算留数定义：设a 为f (z)的孤立奇点，C 为a 的充分小的邻域内一条包含a 点的闭路，积分⎰Cdzz f i )(21π称为f (z)在a 点的留数或残数，记作Res[f (z), a]。
在Matlab 中，可由函数residue 实现。
函数：residue %留数函数（部分分式展开） 格式：[R, P, K] = residue (B, A)说明：)()()()2()2()1()1()()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B z f +-++-+-==向量B 为f (z)的分子系数；（以s 降幂排列） 向量A 为f (z)的分母系数；（以s 降幂排列） 向量R 为留数；向量P 为极点；极点的数目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。
向量K 为直接项，如果length (B)<length (A)，则K = [ ]，即直接项系数为为空；否则length (K) = length (B) - length (A) +1。
如果存在m 重极点，即有P (j) = P (j+1) = … = P (j+m-1)，则展开项包括以下形式mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++-注意：Matlab 函数只能解决有理分式的留数问题。
格式：[B, A] = residue (R, P, K)说明：R 、P 、K 含义同上。
当输入R 、P 、K 后，可得f (z)的分子、分母系数向量。
例2 求下列函数在奇点处的留数：（1） z z z 212-+ （2）14-z z解：在Matlab 命令窗口键入： >> [r1,p1,k1]=residue([1,1],[1,-2,0]) r1 = 1.5000 -0.5000p1 =2k1 =[ ]>> [r2,p2,k2]=residue([1 0],[1 0 0 0 -1])r2 =0.25000.2500-0.2500 + 0.0000i-0.2500 - 0.0000ip2 =-1.00001.00000.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000ik2 =[ ]反之：>> [B,A]=residue([0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500],[-1 1 i -i],[])B =0 0 1 0A =1 0 0 0 -1上机操作：课后第五章习题（一）4题2.2 闭合路径积分留数定理：设函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则∑⎰=⋅=nk k Cz z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π。
闭合路径积分利用留数定理来计算。
例3 计算积分⎰-Cdz z z14其中C 为正向圆周| z | = 2。
解：在Matlab 编辑器中建立M 文件LX0910.m ： B=[1 0]; A=[1 0 0 0 -1];[r,p,k]=residue(B,A) %求被积函数的留数 I=2*pi*sum(r) %利用留数定理计算积分值 运行结果为： r =0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000i p =-1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000i k = [ ] I = 0上机操作：课后第三章习题（一）9题、课后第六章习题（一）3题三Taylor级数展开Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
函数：taylor %Taylor级数展开格式：taylor (f) %返回f函数的5次幂多项式近似taylor (f, n) %返回n-1次幂多项式近似taylor (f, a) %返回a点附近的幂多项式近似taylor (f, x) %对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开。
例求下列函数在指定点的Taylor级数展开式。
（1）1/z2，z0 = -1；（2）tan (z)，z0 = pi/4；（3）sinz/z，z0 = 0解：在Matlab中实现为：>> syms z>> taylor(1/z^2,-1)ans =3+2*z+3*(z+1)^2+4*(z+1)^3+5*(z+1)^4+6*(z+1)^5>> taylor(tan(z),pi/4)ans =1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)^2+8/3*(z-1/4*pi)^3+10/3*(z-1/4*pi)^4+64/15*(z-1/4*pi) ^5>> taylor(sin(z)/z,10)ans =1-1/6*z^2+1/120*z^4-1/5040*z^6+1/362880*z^8从（3）的展开式可知彼知已z = 0是sinz/z的可去奇点。
注意：taylor展开运算实质上是符号运算，因此在不久的将来Matlab中执行此命令前应先定义符号变量syms z，否则Matlab将给出出错信息！上机操作：课本例题例4.6 4.7 例4.13。