求重叠部分的面积

怎样求重叠部分的面积

冒建中

例1. 如图1，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？

图1

解：由正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30度，至正方形

设，则，根据勾股定理，

变题：如图2，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形，求旋转前后两个正方形重叠部分的面积？

图2

分析：将原题中的30°变成60°后，原来的解题方法已经不能再用了，那就要另外想办法了。

仍然要连结AE，，只要求出，问题就解决了。所以，本题的关键就是求出的长。

解：连结AE，作EF∥AD

∵正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60度，至正方形

∵EF∥AD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2

∴EF＝AF

设，则

根据勾股定理，

即

例2. 如图3，正方形ABCD的面积为S，对角线相交于点O，点O是正方形

的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点O转动时，

图3

（1）求两个正方形重叠部分的面积。

（2）如果正方形的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积等于多少？与上述结论是否一致？

（3）将正方形改为，只要满足什么条件，重叠部分的面积不变？

（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，问扇形应满足什么条件？并且说明你的理由。

（1）解：∵ABCD为正方形

∴OA＝OB，AC⊥BD

∠1＝∠2＝45°

∠3＋∠BOE＝90°

∵是正方形

∴∠BOE＋∠4＝90°

∴∠3＝∠4

∴△AOE≌△BOF

∴两个正方形重叠部分的面积

（2）如果正方形的边长大于正方形ABCD的边长，则重叠部分的面积仍然等于与上述结论一致。因为求解的过程没有任何改变。

（3）将正方形变为，只要满足，并且与正方形ABCD没有交点，那么求重叠部分的面积的方法与上面的方法一样，所以重叠部分的面积不改变。

（4）如果把正方形ABCD改为等边△ABC，O为等边△ABC的中心，以O为顶点的扇形绕点O无论怎样转动，要使它与等边△ABC的重叠部分的面积总保持不变，扇形应满足的条件是：

，且

类似上面的方法，容易证明△BOE≌△COF（如图4）。

所以重叠部分的面积，而且保持不变。

图4