利用《几何画板》探究图形性质
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质作者：顾桂新来源：《教师·下》2016年第10期在二次函数的教学中，二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是学生难以理解也很容易错的知识点。
而二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象与性质的关系更是学生容易混淆、难以掌握的知识点。
文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k是如何产生的，动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的，从中梳理二次函数的图象和性质。
一、二次函数y=ax2的图象与性质在二次函数的图象和性质的教学中，我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次函数的图象和性质的。
二次函数y=ax2中只含有一个系数a，我们利用几何画板改变a的取值观看y=ax2的图象的变化。
从图1、图2发现：a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上；a利用几何画板，把二次函数y=ax2的左侧抛物线翻折到右侧（如图3、图4所示），可以发现：二次函数y=ax2不管a的正负，其对称轴都是y轴（即直线x=0）；顶点坐标是（0，0）。
当a>0时，图象有最低点，即有最小值0；当a在二次函数y=ax2上取一点Q，通过移动点Q。
如图5所示：当a>0时，在y轴左侧（即x0），y随x的增大而增大。
如图6所示：当a0），y随x的增大而变小。
二、二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的动态形成在函数的学习中，先学习最简单函数。
从简单到复杂，从特殊到一般。
二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。
1.二次函数y=a（x+h）2可以看作y=ax2左右移动得到如图7所示：y=0.4（x+4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。
y=0.4（x-4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。
利用几何画板讲一次函数的图象与性质
教学·策略利用几何画板讲一次函数的图象与性质文|宗迎峰一次函数是学生首次学习，由于具有高度抽象性，给学生的学习带来一定难度。
一次函数探索过程中的数形结合思想，为学生以后学习二次函数、反比例函数以及其他函数提供了可以类比的研究途径。
在教学过程中若单纯使用传统教学手段，学生很难完全理解一次函数的图象与性质。
而利用几何画板不仅可以方便地画出一次函数的图象，学生还能通过动手操作体验到函数图象与性质随函数解析式变化而做出的相应改变，进一步提升信息素养。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对一次函数提出的学业要求是会根据一次函数的图象和表达式y=kx垣b（k≠0）探索并理解k值的变化对函数图象的影响，同时还提出，数学课堂上要利用数学专用软件开展数学实验。
一次函数的图象与性质取决于k值和b值，只从解析式角度去分析，显然不够直观，学生难以完全理解和掌握。
在正比例函数的基础上探索一次函数图象的平移变化，尽管学生也可以用描点法画出图象进行研究，但描出的点比较有限，图象不够精确。
同时，如果画出的图象数量过少，缺乏普遍意义，学生难以观察归纳出本质特征；如果画出的图象太多，又比较耗时。
而运用几何画板（5.06版）这一工具，通过演示对比正比例函数与一次函数，学生能够更好地体验数形结合的思想，并且在学习过程中感受“从特殊到一般”这一重要数学研究方法。
一、一次函数图象平移一次函数图象初中阶段只涉及上下平移，选择函数y=2x和函数y=2x+3进行研究，这两个函数解析式比较简单，便于计算和描点。
（一）从“数”的角度分析研究学生观察解析式的异同，思考：函数y=2x+3和函数y=2x相比，多了常数项3，当自变量取相同数值时，函数值会有什么差异？学生列表求值，x取一些特殊数值，计算两个函数对应的函数值，并对函数值进行对比，观察规律。
思考：当x取相同数值时，y=2x+3的函数值比y=2x多3，这在图象上会有什么样的表现？猜想函数y=2x和函数y=2x+3图象的关系。
几何画板在初中数学课堂教学中的应用
几何画板在初中数学课堂教学中的应用摘要：《几何画板》软件即插即用，在教学中可随时使用，操作方便。
其图形变化功能，强大的计算功能，对于几何教学中图形性质的探究，动态几何过程的理解，图形变换性质的探究，函数及图象性质的探究，都有很好的作用。
在教学中尝试利用几何画板辅助教学，既能提高学生的学习热情，便于学生理解，还能提高教学效率，提高教学效果。
关键词：几何画板；探究；性质；图形变换；函数图象；课堂；教学效果新课标下初中数学课堂教学，对信息技术与初中数学课堂教学进行整合也提出了一定的要求。
《几何画板》软件中的绘图功能，图形变化功能，强大的计算功能，对于几何教学中图形性质的探究，动态几何过程的理解，图形变换性质的探究，函数及图象性质的探究，都有很好的作用。
一、利用《画板》探究图形性质从义务教育数学课程标准看，“空间与图形”是四块教学内容中的重要一块，它是培养学生的空间观念和逻辑推理能力的重要一环。
在应用多媒体技术辅助数学教学的诸多软件中，《几何画板》软件具有制图方便，准确灵活，具有强大的计算功能等优点。
这也是新的沪科版数学教材编排信息技术应用的原因之一。
以下是笔者结合实际教学，举的几个利用《几何画板》探究图形性质的例子。
1．利用《几何画板》探究对顶角、平行线的性质在传统的教学中，对于“对顶角相等”这一性质的获得，是利用量角器测量获得的。
几何画板也能完成这一功能，它还有更优秀之处，那就是它可以在转动某一条线，使两线相交的夹角发生改变时，两对对顶角在动态变化中相等这一特性不变，使学生对这一性质深信不疑。
同样在对平行线性质的探究时，学生绘图或教师在黑板上制图，难免有偏差，不准确的现象。
借助几何画板的计算功能和图形变化功能验证学生的探究结论，则能做到准确无误，动静结合。
如下图，在几何画板中绘平行线AB平行于CD，作一直线EF与之相交，测出同位角，内错角，同旁内角的度数。
在EF旋转变换中观察同位角，内错角，同旁内角的关系。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
初中数学几何画板教学的案例研究中期汇报
初中数学几何画板教学的案例研究中期汇报一、引言在目前的数学教学中，画板已经成为一种重要的教学工具，特别是在几何学教学中。
通过使用画板，学生可以更好地理解几何概念和图形性质，并能够更好地解决几何问题。
本研究旨在探究初中数学几何画板教学对学生学习兴趣和成绩的影响，以提出有效的教学模式。
二、研究目标本研究的主要目标是通过使用画板教学法，提高学生对几何学的学习兴趣和成绩。
具体的研究问题包括：1）使用画板教学法是否能够提高学生对几何学的学习兴趣？2）使用画板教学法是否能够提高学生的几何学习成绩？三、研究方法本研究采用了实验研究方法。
首先，我们选择了两个初中数学班级作为研究对象，一个班级作为实验组，另一个班级作为对照组。
实验组在几何学教学中使用画板教学法，对照组则使用传统的教学方法。
其次，我们设计了一套几何学知识测试题，测试学生的几何学习成绩。
最后，我们采用问卷调查法收集学生的学习兴趣数据。
四、实施过程在实验组中，我们使用画板进行几何学的教学。
例如，在学习平行线的性质时，我们先利用画板在黑板上绘制两条平行线，并让学生观察它们之间的关系。
然后，我们引导学生发现它们的性质，并进行讨论。
接下来，我们让学生利用画板练习绘制平行线和测量角度。
五、结果与分析通过对学生学习兴趣的问卷调查和几何学习成绩的分析，我们得出了以下结论：1）实验组学生的学习兴趣明显高于对照组学生，画板教学法能够激发学生的学习兴趣，使他们更主动地参与到课堂活动中。
2）实验组学生的几何学习成绩显著高于对照组学生，画板教学法能够提高学生的几何学习效果，使他们更好地理解几何概念和图形性质。
3）学生们对画板教学法表示了较高的满意度，认为它能够帮助他们更好地学习几何学。
六、讨论与建议虽然本研究显示画板教学法在初中几何学教学中的有效性，但还存在一些问题和不足之处。
首先，画板教学法在初中数学教学中的应用还比较有限，需要进行更多的实践和探索。
其次，画板教学法的实施需要一定的教师专业知识和技巧，需要提供更多的培训和支持。
几何画板在初中数学教学中的应用
几何画板在初中数学教学中的应用几何画板是一种教学工具，它由一个平面白板和一些几何学工具组成，如尺子、圆规、直尺等。
它在初中数学教学中起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
下面，就几何画板在初中数学教学中的应用进行详细介绍。
1.几何画板可以帮助学生进行几何图形的绘制和测量。
在初中数学中，学生需要学习和掌握各种几何图形的性质和特点，如直线、线段、角、矩形、正方形等。
通过几何画板，学生可以用尺子和直尺绘制出这些几何图形，并进行测量，从而更加直观地了解它们的性质。
2.几何画板可以帮助学生进行几何证明。
在初中数学中，几何证明是一个重要的内容，对于学生来说也是一个较为困难的部分。
几何画板可以帮助学生更加直观地理解和展示证明的步骤和思路。
学生可以使用几何工具在几何画板上绘制出几何图形，然后根据已知条件和证明目标，运用几何知识进行推理和演绎，最后得到证明结论。
3.几何画板可以帮助学生进行几何变换的学习。
几何变换是初中数学的重要内容之一，包括平移、旋转、翻转和相似等变换。
几何画板可以帮助学生更加直观地了解和掌握这些变换的定义和性质。
学生可以在几何画板上绘制出几何图形，然后通过移动、旋转和翻转几何工具，观察和记录图形的变化，从而更好地理解几何变换的概念和特点。
5.几何画板可以促进学生的几何思维和空间想象力的发展。
几何学习对于发展学生的几何思维和空间想象力非常重要。
几何画板提供了一个可视化和操作性强的平台，可以帮助学生进行几何图形的观察、分析和变换，从而培养学生的几何思维和空间想象力。
几何画板在初中数学教学中具有很大的应用价值。
它可以帮助学生进行几何图形的绘制和测量，进行几何证明，学习几何变换，解决几何问题，并促进学生的几何思维和空间想象力的发展。
在初中数学教学中，应该充分发挥几何画板的作用，提高教学效果，培养学生对几何学科的兴趣和理解。
探究抛物线的焦点弦性质——一堂利用《几何画板》进行课堂整合的案例
即 x2-2xy+y2=x2+2xy+y2+( ),故( )内应填-4xy.“类比”是数学学科在教学中比较常用的教学策略,它不但可以帮助学生理解概念,掌握规律,寻求正确的解题方法,而且还能培养学生分析问题、解决问题的能力,希望同学们在学习中要有意识的去应用.探究抛物线的焦点弦性质———一堂利用《几何画板》进行课堂整合的案例陈 荣(浙江师范大学数理学院,金华 321004) 探究导入 今天我们利用《几何画板》一起来探索抛物线焦点弦的相关性质.请各位同学打开各自电脑桌面上的“抛物线.gs p”文件,已知抛物线y2=2px(p>0),怎样作一条过焦点F的任意弦AB?学生动手操作:在抛物线上任取一点A,作过A、F两点的直线,同时选取直线和抛物线,然后打开“作图”,执行“交点”命令,但是“交点”命令是灰色,操作没有成功.教师:《几何画板》给我们学习带来了很多帮助,但是有时《几何画板》也会有脾气,不听话,今天她就跟我们开了一个玩笑,不让我们通过“交点”命令来找到点B.下面请大家思考,怎样才能描出点B呢?学生1:度量出A、F两点的坐标,然后求出直线A F的方程,联立抛物线方程,通过解方程组求出点B的具体坐标,就可以作出点B了.教师:这种方法可以找到点B,但是有两个方面的不足:一是解方程比较烦琐;二是当点A变化一下,点B的坐标又得重新计算.针对学生1方案存在的问题,能否找到解决的办法?学生2:可以找出A、B两点的坐标关系.设A(xA ,yA)、B(xB,yB),lA F:y=k(x-p2),然后联立抛物线方程消去y,由韦达定理可以找到点A、B的坐标关系.教师:我们在前面的课中强调过,设直线的点斜式方程时,要注意讨论斜率k不存在的情况.在这个问题中,直线AB的倾斜角θ的范围为0°<θ<180°,所以我们应该分θ是否等于90°两种情况来分析,那么怎样设直线的方程就能避免讨论呢?大部分学生:设lA F ∶m y=x-p2.学生2:(继续)由y2=2px,m y=x-p2,消去x得y2-2p m y-p2=0.①则yAyB=-p2,推出yB=-p2y A,而x B=y2B2p=p42py2A=p44p2xA=p24xA,则点B坐标为(p24xA,-p2y A),这样就可以方便找出点B.学生动手操作:先度量出点A的坐标,利用《几何画板》的计算器得到点B的坐标,然后描出点B,拖动点A,发现点B始终在抛物线上,问题终于得到解决.(学生对这个问题的探究性学习已经首获成果,高兴之余兴趣大增)教师:从学生2刚才找到点B的方法中,不知不觉地发现了有关A、B两点坐标之间的一个性质:性质1 xAxB=p24;yAyB=-p2.评 几何画板给学生提供了好的探究工具,但是有时看似简单的作图,几何画板却无能为力.本堂课就是利用《几何画板》的“弱点”来展开探究活动,通过运用数学知识来解决《几何画板》中有些作图方面的不足之处,在解决问题的过程中发现了新的性质,同时也为后面的探究活动构建好了软件平台.图1探究问题1 在图1中,拖动点A,观察弦AB的长度的变化情况,能否找到什么结论呢?并在作业纸上进行推理论证.活动情景:教师在教室巡视,对个别学生提供软件技术帮助和探究指导;学生在电脑上开始实验:先度量出弦AB 的长度,再拖动点A (或B ),发现当AB ⊥x 轴时,|AB |长度最短,很多学生还发现|AB |的最小值刚好是2p (课堂上一些性格外向型学生,马上就大声说出来了);然后学生在纸上进行论证,大部分学生都从找AB 的弦长公式出发,利用|AB |=1+1k2|y A -y B |来求弦长,有个别学生利用了抛物线的定义来求弦长.活动结束后请学生3和4在投影仪上讲解自己的论证方法.学生3:由①知y A +y B =2p m ,|AB |=1+1k2|y A -y B |=1+m24p 2m 2+4p 2=2(1+m 2)p ≥2p,当且仅当m =0,即AB ⊥x 轴时,等号成立.图2学生4:还可以利用焦点弦公式.过点A 、B 分别作AC 、BD 垂直准线于C 、D (如图2),则根据抛物线的定义有:|A F |=|AC |,|B F |=|BD |,则|AB |=|A F |+|B F |=|AC |+|BD |=x A +p2+x B +p2=x A +x B +p=m (y A +y B )+p +p =2p m 2+2p =2p (1+m 2).教师:学生3和4从不同的方面都很好地证明了“当AB ⊥x 轴时,|AB |取得最小值2p ”这一结论,并且也推导出|AB |的表达式.如果设直线AB 的倾斜角为θ,则m =cot θ,|AB |=2(1+cot 2θ)p =2psin 2θ,这样也可以说明当AB ⊥x 轴时,|AB |长度最短.刚才大家的探究活动都很成功,我们通过“实验———猜想———论证”的探究途径,得出了焦点弦AB 的弦长公式,同时也发现了通径是过抛物线焦点所有弦中最短的弦.性质2 |AB |=2psin 2θ(当AB ⊥x 轴时,|AB |取得最小值2p ).评 从比较简单的问题(求弦长)开始探究,目的是使每位学生都积极投入到探究活动中去,同时让学生熟悉“实验———猜想———论证”的探究方法.探究活动不是将数学结论直接告诉学生,而是让学生通过各式各样的探究活动,自己得出数学结论,使他们参与并体验数学知识的获得过程,建构起对数学的新认识.探究问题2 在图2的基础上连接线段AO 、DO 、BO 和CO,采用刚才的探究方法,大家来研究图2.活动情景:学生在电脑上又开始了新的实验和探索,利用《几何画板》反复做实验,发现结论马上写在作业纸上,再进行严密的推理论证.有的学生找到好几个结论,并且平时考试成绩不好的学生,发现结论的速度和多少并不比其他同学差(教室一片热火朝天的景象).活动结束后请一部分学生向大家展示和讲解自己的发现.学生5 ∵k OA =y A x A=2p y A,k OD=y Dx D =y B-p /2=-p 2/y A -p /2=2py A,∴k OA =k OD .性质3 A 、O 、D 三点共线;B 、O 、C 三点共线;∠AOB =∠COD.教师:我们知道证明三点共线还有很多方法,大家课后再试试其他方法;利用性质3我们还可以解决本堂课开始“怎样作出一条过焦点F 的弦AB ”这一问题:作直线OA,找出与准线的交点D,过D 作直线垂直于准线交直线A F 于点B ,这样就可以不通过计算B 的坐标,而轻松找到点B ,真可谓:“性质来源于实践,又反作用于实践.”(学生再次兴奋,乐了)学生6:∠AOB 为钝角,且当AB ⊥x 轴时,∠AOB 最大.在△AOB 中,由余弦定理有cos ∠AOB =|OA |2+|OB |2-|AB |22|OA ||OB |=x 2A +y 2A +x 2B +y 2B -(x A -x B )2-(y A -y B )22x 2A +y 2Ax 2B +y 2B=(x A x B +y A y B )x 2A +2px Ax 2B +2px B =p24-p2x 2A x 2B +2px A x B (x A +x B )+4p 2x A x B=-34p2p416+2p・p24[m(yA+yB)+p]+p4=-34p217p416+p32(2p m2+p)=-325+16cot2θ.学生7:采用OA与OB的数量积要简单一些,直接就有cos∠AOB=(xAx B+y A y B)x2A+2px A x2B+2px B.学生8:∠AOB就是直线OB到直线OA所成角,则 tan∠AOB=kOA-kOB1+kOAk OB=y AxA-y BxB1+y Ax Ay Bx B=2py A-2py B1-4=2p・yB-yAy A y B-3=-23p|yB-yA|=-23p(yA+yB)2-4yAy B=-43sinθ.(学生各自说出自己的活动过程和成果,不仅是思维的展现,也是思维的碰撞及求知欲的感染)性质4 cos∠AOB=-325+16cot2θ;tan∠AOB=-43sinθ;∠AOB为钝角,且当AB⊥x轴时,∠AOB取到最大值π-arccos 3 5 .教师:刚才3位同学从不同的方面出色地证明了性质4,这三种方法是我们解决有关角问题的常用方法.(教师适时对学生的探究活动进行鼓励和表扬,同时对数学方法进行归纳总结)学生9:我发现S△ABD =S△CBD(同底等高),都减去S△BOD,得到S△AOB=S△COD,|OA|・|OB|=|OC|・|OD|.学生10:我采用的是把这两个三角形都一分为二,然后来求它们的面积,这样可以推导出面积公式,并且当AB⊥x轴时,△AOB的面积最小.∵S△AOB =S△AO F+S△BO F=12|O F|・|CD|,S△COD=S△CO E+S△DO E=12|O E|・|CD|,|O E|=|O F|,∴S△AOB=S△COD,而 S△AOB=12|O F|・|CD|=12・p2|yA-yB|=p44p2m2+4p2=p22sinθ.性质5 |OA|・|OB|=|OC|・|OD|,S△AOB= S△COD=p22sinθ(当AB⊥x轴时,△AOB的面积最小).评 学生利用《几何画板》来进行数学实验,不断发现新的性质,并通过大家的努力把新性质都进行了数学论证,取得了令我和学生意想不到的效果和收获.教师:今天这堂课我们利用《几何画板》,找到了5个性质(学生都发出惊叹之声),还有同学发现了其它性质,由于时间关系课堂上来不及听他们讲解,同学们下课后再去仔细论证,并把我们这堂课发现的结论,整理在作业纸上;大家还可以利用《几何画板》类比探究椭圆和双曲线的焦点弦的有关性质.教后体会 新的课程标准特别提倡学生动手实践、自主探究与合作交流等学习方式,提倡实现信息技术与课程内容的有机整合,鼓励学生运用计算机进行探索和发现.在本堂课中,学生利用《几何画板》来探究抛物线的焦点弦的有关性质,我体会最深的三点:(1)学生在课堂上积极讨论、合作交流、主动探究,学习兴趣和积极性都很高.学生利用《几何画板》强大的图形变换功能和动态的计算功能,在课堂上亲自动手进行数学实验,使数学教学变得形象生动,学生的探究学习积极性高,发言也比较踊跃,探究学习的过程既轻松又充实,课后还有不少学生自觉地去探究椭圆和双曲线的焦点弦的有关性质.(2)学生的学习模式与传统的学习模式有比较大的不同.这堂课中,学生把《几何画板》作为构建知识的工具,利用《几何画板》进行数学实验,学生根据自己的直觉或判断,然后再进行合理猜想,或者说是“大胆而冒险”的猜想,最后对猜想给予严格的证明.在这个学习过程中,利用《几何画板》这一有效的学习工具,不断地提出和检验自己的猜想,使自己的猜想一个一个变成了事实,同时也排除了错误猜想,最后通过论证获得新的知识.这种“实验———猜想———验证———论证”的探究学习模式,让学生获得了知识建构的亲身体验,而且比我预期要讲授的知识更多(其中有些性质我自己上课之前也没有注意到,很难想象在上课的时候,我能启发学生找到这些性质),更重要的是获得了探究这类问题的方法.在课堂上还有一个新现象,平时学习成绩处于中下等的同学,在做数学实验和提出猜想方面,并不比优等生差,有的甚至还要好.如果采用传统的“结论———证明”的学习模式,很难启发他们找到这么多性质,更主要的是,学生应有的观察、实验、发现、猜想等实践部分,就被教师滔滔不绝的讲解所潜代,学生在很大程度上失去了知识主动建构的机会.(3)信息技术与课程整合,不是把信息技术仅仅作为辅助教或辅助学的工具,而是强调要把信息技术作为促进学生自主学习的认知工具和情感激励工具,利用信息技术所提供的自主探索、多重交互、合作学习、资源共享等学习环境,把学生的主动性、积极性充分调动起来,使学生的创新思维与实践能力在整合过程中得到有效的锻炼,这正是创新人才培养所需要的.我想利用《几何画板》进行数学教学的课堂整合,只要选材适当,运用恰当,一定会收到比较好的效果. (作者单位:浙江省宁波中学,邮编:315100)例说函数图像在解高考题中的运用孙建明(江苏省无锡市堰桥中学 214174) 函数是高中数学中基础而又重要的内容,也是高考重点考查对象.在考题中,函数更多的是用来解决问题的工具,但如何使用好这个工具,特别是如何灵活地运用函数的图像去解决一些特殊的问题,还没有引起师生足够的重视,尽管我们一直提倡数形结合的思想方法.这个工具如果运用得恰当,或可使问题解决的思路变得明朗,或可使问题解决的过程显得直观、流畅、通俗易懂,同时也能体会到解题的快乐.因此,本篇例谈函数图像在解决近几年高考题中的运用,供广大同行在教学中参考.1 运用函数图像解方程或确定方程解的个数例1 (2004年广西卷)解方程:4x +|1-2x |=11.图1解 令t =2x (t >0),则原方程化为|1-t |=11-t 2.在同一直角坐标系中画出函数y =|1-t |、y =11-t 2的图像,如图1所示.由t>0求得两图像的交点为A (3,2),所以2x =3,则x =l og 23.评注 本题也可从分类讨论和脱去绝对值的角度去解,虽然用两个函数图像的交点去解并不显得简单,但这样做有助于培养学生运用数形结合的思想方法去解决实际问题的意识.例2 (2006年湖北卷)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k =0,给出下列四个命题:(1)存在实数k,使方程恰有2个不同的实数根;(2)存在实数k,使方程恰有4个不同的实数根;(3)存在实数k,使方程恰有5个不同的实数根;(4)存在实数k,使方程恰有8个不同的实数根.其中假命题的个数是( ).(A )0 (B )1 (C )2 (D )3.解 设函数f (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|,易知它是偶函数,考虑函数在y 轴右边的图像.当0≤x ≤1时,f (x )=(x 2-1)2-(1-x 2)=x 4-x 2.由f ′(x )=0得x =22,易知22是极小值点.同理,62是f (x )在(1,+∞)上的极小值点.再由图像的对称性和函数的零点,易得函数f (x )的图像,如图2所示.考虑直线y =-k,观察它们的交点的情形,知应选A .。
用几何画板探究一次函数的图象和性质
用几何画板探究一次函数的图象和性质资料编号:202310050906一次函数是最简单的基本初等函数,是学生们学习的第一类具体的函数,主要学习的是一次函数的定义、图象及其性质、性质的应用等.作为初学者,函数的知识是比较抽象的,抽象就意味着难懂、不易理解,为了降低学习的难度,提高学生们对函数知识的理解水平,引导学生们动手触摸数学,通过实验进行探究是行之有效的方法.借助于几何画板,学生们可以很好的探究一次函数图象的形状、升降性（即函数值的变化规律）、与坐标轴的交点等,并在探究的过程中形成对知识的深刻印象,有利于培养学生们的“四基”和“四能”,从而促进学生们数学综合素养的发展.探究一一次函数图象的形状用描点法画函数的图象时,给出几个具体的一次函数,老师会让学生们描出比较多的点,以画出比较精确的图象.通过画出所给函数的图象,得出一次函数的图象是一条直线的结论.然而问题是,一次函数自变量的取值范围是全体实数,学生们描出的点再多,与整个函数的图象比起来,都是微不足道的,是否会描出一些点,它们不是呈直线分布的呢?这个问题对于爱思考爱较真的学生们而言还是很有思考价值的.借助于几何画板,可以很好的解决上面的问题.【探究步骤】y的图象为例.=x以画一次函数2-1. 打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”.2. 单击“点工具”,移动鼠标指针到x轴上（此时x轴为红色的粗实线）单击释放,即可在x轴上画出一个自由点.3. 单击“文字工具”,然后双击画出的点,在弹出的对话框中设置“标签”为A.4. 单击“移动箭头工具”,左单击选中点A（在鼠标箭头为水平状态时左单x的值.如下页图1所击）,再依次单击“度量”、“横坐标（X）”,这时显示出A示.x的值”,再依次5. 依次单击“数据”、“计算”,在弹出的对话框中,先单击“A输入“-”、“2”,单击“确定”.如图2所示,得到“2-A x ”的值.6. 依次单击“绘图”、“绘制点”,在弹出的对话框中保持选择“直角坐标系”,单击“A x 的值”作为点的横坐标,单击“2-A x 的值”作为点的纵坐标,单击“绘制”、“完成”.如图3所示.7. 设置绘制的点的标签为P .8. 单击选中点P ,依次单击“显示”、“追踪绘制的点”.9. 单击选中“A x 的值”、“2-A x 的值”,依次单击“显示”、“隐藏度量值”,隐藏“A x 的值”和“2-A x 的值”.10. 在x轴上来回拖动点A,可得到许多不同位置的点P,如图4所示.提出问题y图象上的=x（1）由作图可知,点P________（填“是”或“不是”）一次函数2-点.（2）在拖动点A的过程中,点P的位置也随之改变,这些点P很明显是呈y的图象是一条_________.=x-_________分布的,于是我们大胆猜想,一次函数2为了验证我们的合情猜想,继续进行下面的探究:11. 先后单击选中点A和点P,依次单击“构造”、“轨迹”,得到一条直线,这条y的图象.如图5所示.=x-直线就是一次函数212. 依次单击“显示”、“檫除追踪踪迹”;选中点P,依次单击“显示”、“追踪绘制的点”,此时解除对点P的追踪.经过第12步,可以肯定我们的猜想是正确的.这时再来回拖动点A,可以发现点y上移动.如图6所示.=x-P在直线2按照上面介绍的探究方法,我们可以探究其它一次函数图象的形状.探究二一次函数图象的性质在前面探究的基础之上,我们可以继续探究下面的问题:y=x （1）既然一次函数的图象是一条直线,是不是所有的一次函数都和函数2-一样,它们的图象从左到右都是上升的?如果不是,其图象的升降取决于什么呢?（2）一次函数的图象与y 轴的交点有什么规律吗?（3）如果几个一次函数的图象是上升的直线,那么这些直线的倾斜程度是否一样?倾斜程度取决于什么?一次函数的关系式为()0≠+=k b kx y ,不同的一次函数是k 或b 不同而已,于是我们有理由相信:一次函数的图象和性质取决于k 和b .至于是取决于k 和b 的符号还是它们的值,以及k 和b 是怎样影响一次函数的图象的,则是我们要展开探究的内容.【探究步骤】我们的探究思路和方法是这样的:分别控制k 和b 的值（包括符号）在一定范围内变化,观察一次函数图象的变化,从而得出一次函数的图象和性质与b k ,的关系.1. 打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”.2. 单击“点工具”,移动鼠标箭头至y 轴上（此时y 轴为红色的粗实线）,单击释放,即可在y 轴上绘制出一个自由点.3. 单击选中自由点和y 轴,依次单击“构造”、“垂线”.4. 单击“点工具”,分别在垂线位于y 轴两侧的部分各绘制一个自由点,分别为点A 和点B .5. 选中点A 和点B ,依次单击“构造”、“线段”,画出线段AB ,此时垂线变成虚线.6. 选中垂线和y 轴上的自由点,依次单击“显示”、“隐藏对象”.7. 按照同样的方法画出线段CD .8. 单击“点工具”,分别在线段AB 和CD 上各绘制一个自由点,标签分别为E 、F .9. 单击“移动箭头工具”,分别选中点E 和点F ,依次单击“度量”、“横坐标”,得到E x 的值和F x 的值.如图1所示.10. 选中“E x 的值”右单击,从弹出的列表中选择“度量值的标签”,在弹出的对话框中设置标签为k .用同样的方法设置“F x 的值”为b 的值.如图2所示.11. 依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“k的值”、“*”、“x”、“+”、“b的值”,如图3所示,单击“确定”.=,单击“显示”,修改“线型”为“中等”.y+12. 单击选中直线bkx13. 选中点E和点F,单击“显示”,修改点的颜色为“浅蓝色”,表示这是两个可以拖动的点.如图4所示.问题探究=,依次单击“显示”、y+kx先来探究k对一次函数图象的影响: 单击选中直线b“追踪函数图象”.（1）拖动点E在线段AB位于y轴左侧的部分上移动,可以发现在拖动的过程中, k的值为_________（填“正”或“负”）,函数的图象都是_________（填“上升”或“下降”）的.如图5所示;（2）拖动点E到线段AB位于y轴右侧的部分上,依次单击“显示”、“檫除追踪踪迹”.在右侧拖动点E,可以发现在拖动的过程中,k的值为_________（填“正”或“负”）,函数的图象都是_________（填“上升”或“下降”）的.如图6所示;于是得到下面的结论:k,当0结论1对于一次函数b≠=()0kxy+k时,其图象从左到右是________的,>表明y随x的增大而_________;当0k时,其图象从左到右是_________的,表明<y随x的增大而_________.（3）重新探究图5的过程,可以发现,当0k时,k的值越小,直线越_________<（填“陡”或“缓”）;重新探究图6的过程,可以发现,当0k时,k的值越大,直线越>_________（填“陡”或“缓”）.于是得到下面的结论:≠=()0k,k越_________（填“大”或“小”）,其图象kx结论2对于一次函数by+越陡,即越靠近于y轴.y+=和y轴,依次单击“构kx接着来探究b对一次函数图象的影响:选中直线b=和y轴的交点G.y+kx造”、“交点”,得到直线b选中点G,依次单击“度量”、“坐标”,得到点G的坐标.拖动点F在线段CD上移动,如图7所示,可以发现:（4）当0b时,> b时,点G在y轴的_________（填“正半轴”或负半轴）上,当0<点G在y轴的_________（填“正半轴”或负半轴）上.（5）点G的纵坐标与b值的关系是_________.（6）追踪函数图象所得的直线都是平行的.于是得到下面的结论:=()0≠k,其图象与y轴的交点为_________.y+结论3对于一次函数bkx结论4两个一次函数的图象互相平行的条件是k值_________,b值_________.总结通过上面的探究我们可以发现,借助于几何画板,能为我们的教学和学生的学习带来很好的效果,但是,也要看到,在探究的过程中,几何画板提供的是几何直观,我们通过观察得到的结果,还必须经过严格的证明才能被人们所信服.。
几何画板_精品文档
几何画板摘要：本文介绍了关于几何画板的基本概念、功能和应用。
几何画板是一种用于绘制和分析几何图形的交互式工具。
它可以帮助学生更好地理解几何概念，并提供了各种功能，如绘制直线、曲线、角度、圆、多边形等。
此外，几何画板还可以用于解决几何问题、进行几何推理和证明，以及进行几何变换等。
本文将详细介绍几何画板的功能和使用方法，并探讨其在学习和教学中的应用。
1. 引言几何画板是一种用于绘制和分析几何图形的工具。
它结合了计算机科学和数学，为学生和教师提供了一个交互式的环境，帮助他们更好地理解和应用几何概念。
几何画板主要是基于计算机软件或应用程序的形式存在，因此它具有许多强大的功能和特点。
2. 几何画板的功能几何画板具有丰富的功能，包括但不限于以下几个方面：2.1 绘制几何图形几何画板可以帮助用户绘制各种几何图形，如直线、曲线、角度、圆、多边形等。
用户可以通过选择不同的工具和操作方式来绘制所需的几何图形，并且可以根据需要对其进行编辑和变换。
2.2 几何推理和证明几何画板提供了一些功能，可以帮助学生进行几何推理和证明。
例如，用户可以使用画板上的工具和命令来证明两条线平行、计算一个三角形的面积、验证一个四边形是否是矩形等。
这些功能可以提供更多的实践机会，让学生在学习中获得更丰富和深入的体验。
2.3 几何问题求解几何画板还可以用于解决各种几何问题。
用户可以输入问题的几何条件，并利用画板提供的工具和功能来求解问题。
例如，用户可以通过构造几何图形或使用几何变换来解决给定的几何问题。
这种求解方法可以提供给学生一个更直观和动态的学习体验，同时帮助他们培养解决问题的能力。
2.4 几何变换几何画板提供了一些基本的几何变换工具，如平移、旋转、镜像和缩放等。
用户可以使用这些工具来进行几何图形的变换，并观察变换后的效果。
这可以帮助学生更好地理解几何变换的概念和性质，并加深对几何图形的认识。
3. 几何画板的应用几何画板在学习和教学中有着广泛的应用。
几何画板实验报告
选中线段BC和点A构造垂线，垂足为H，同理得到垂足L、K，三条垂线的交点为M；
选中点A和M构造线段，再选中线段AM构造中点O，同理得到点N、P；
选中点E、P、O构造过三点的弧，选中点O、D、E构造过三点的弧；
4、作出两圆的内外公切线。
外公切线步骤：
构造两圆C、D，圆心分别为C、D（注：圆C的半径大于圆D的半径）；
S移至点P处，并设置动画按钮。
③同理作出点V在圆O的另一半弧上，标记角度QOV，分别使三角形KBL绕点K、三角形MEN绕点M，按标记角度旋转，并设置点V的动画按钮。
4、（1）用轨迹功能绘出球面，
（2）运用缩放、平移、轨迹功能绘出球冠。
实验步骤：
作一个圆A，过点A作一平行的直线交圆A于点C，取圆上一点D，选中点D、直线
选中点C、D，构造直线CD；
在圆D上任意取一点F，连接构造线段DF；
选中点C、线段DF，构造平行线交圆C于点G、P
选中点G、F，再构造直线GF交直线CD于点H；
选中点D、H，构造线段DH，再构造线段DH的中点M；
依次选中M、D（H），接着“构造”—“以圆心和圆周上的点作圆”—“生成一个圆M交圆D于点O和N；
作一圆o用直线连接点op交圆于点q依次选中点opq作过三点的弧作弧上一点s用虚线段连接点os依次选中点sop标记角度双击点i选中三角形ijc的三边和顶点jc按标记角度旋转得到三角形ijc将点s移至点p处并设置动画按钮
实验一数学教学软件基本操作
一、实验目的：
二、实验内容：
1、作出三角形的垂心。
2、作出三角形的外接圆与内切圆。
分别构造出直线OH和直线NH，即为所求的外公切线。
用几何画板探究反比例函数与一次函数的图像性质
用几何画板探究反比例函数与一次函数的图像性质
一、反比例函数
1.定义坐标系。
2.在X轴上绘一个点A，度量其横坐标（变量Xa）。
3.绘函数图像。
4.输入。
5..移动A点，观察函数图象的变化。
附：动画
在X轴上绘一个点B,选中A、B。
出现按钮，点击观察函数图象的自动变化。
二、一次函数
同反比例函数，在X轴上做A、B两个点，分别度量其横坐标（变量Xa,Xb）绘制一次函数：
.移动A、B点，观察函数图象的变化。
作出函数与Y轴交点D，度量D的坐标。
移动B点，观察D的坐标的变化。
附：动画
在X轴上绘一个点C,分别选中AC、BC。
出现按钮。
再设置一个“同时动”按钮：。
点击或者观察函数图象的自动变化及D的坐标的变化。
此方法较方便，不需要再新建参数。
附：“新建参数”法：
定义坐标系
新建参数，定为K
在X轴上取一点A，度量其横坐标。
选中K和Xa:
“数据——计算”
输入
点击和Xa，绘制点B。
选中A、B，构造——轨迹。
增加或减小K的值，观察函数图象的变化。
b
=同上。
kx
y+
总结：
一次函数：k控制斜率，b控制截距。
K大于0，函数呈上升趋势，k 小于0，函数成下降趋势。
函数y=k x向上/下平移k后得
=。
y+
b
kx
反比例函数：K大于零，函数在一、三象限，K越大函数离原点越“远”。
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例发布时间：2022-10-21T08:14:42.870Z 来源：《教育学》2022年8月总第293期作者：潘荣义[导读] 探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
上林县白圩中学广西南宁530507摘要：探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
本文试以几何画板为辅助的二次函数的图象和性质的教学，谈谈学生探究能力的培养。
关键词：几何画板探究能力二次函数 “品质教育，学在南宁”提出：要全面落实国家“双减政策”，通过提升学生的学习品质提高课堂教学质量。
老师们也都知道“授人以鱼不如授人以渔”，培养学生的学习能力要比知识输灌重要得多，而探究能力是一种重要的学习能力。
因此在教学中，教师要注意发挥学生作为教学活动的主体地位，充分调动学生的学习主动性，培养学生的探究能力。
下面本人就以初中数学第二十二章《二次函数》(新人教版)的教学为例，谈谈学生探究能力的培养。
因为本人是借助几何画板来调动学生的学习兴趣，培养学生的探究能力，所以本人先简单介绍几何画板的功能。
几何画板是一款由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教学软件，它具有动态图形功能、简便的动画功能、有趣的变换功能、方便的计算功能、独特的自定义工具、丰富的图象功能、及时的帮助功能等七大常用功能。
可以说，几何画板既是一个优秀的演示工具，能准确、动态地表达以及演示数学问题；也是一个有力的探索工具，可以用它去发现、探索、表现、总结数学规律。
二次函数是初中数学中学生感到最难学、老师感到最难教的一章，究其原因主要是：一是二次函数与一元二次方程关系紧密；二是二次函数的解析式有四种形式，它们之间的关系及转化理不清；三是二次函数手工画图象花费时间多，且精确度不高。
要学习这一章，学习好第一单元《二次函数的图象和性质》是关键。
浅谈初中数学教学中几何画板的应用 (2)
浅谈初中数学教学中几何画板的应用随着教学技术的不断发展，数学教学的手段也在不断地更新与改进，其中，数学画板技术的应用已逐渐成为数学教学中不可缺少的一部分。
数学画板可以模拟实际几何图形，并允许教师和学生进行一系列的操作，从而使学生更加深入地理解几何知识。
本文将从以下几个方面探讨初中数学教学中几何画板的应用。
一、几何画板的定义和基本功能几何画板是一款计算机软件，可允许用户在虚拟的画板上绘制几何图形，还可以进行相关的计算和操作。
几何画板的基本功能包括以下几点：1.绘制基本几何图形：包括点、直线、线段、射线、角、三角形、四边形、圆等。
2.进行几何变换：包括平移、旋转、翻转、缩放等。
3.计算相关几何量：包括面积、周长、角度、直线长度等。
4.绘制函数图像。
5.解方程、画函数等。
二、几何画板在数学教学中的应用1.绘制几何图形在几何学习中，学生需要通过图形来理解几何知识，几何画板可以实现对多种几何图形的绘制。
例如：学生通过几何画板绘制平行线、垂线等几何图形，可以直观地理解各种几何概念。
2.进行几何变换几何变换是初中数学中比较难学的一个知识点，通过几何画板的变换功能，学生可以方便地进行操作，从而更好地掌握几何变换的相关知识。
例如：学生可以通过几何画板模拟实际物体的平移、旋转、翻转等变换，帮助他们理解几何变换的本质，加深对几何知识的理解。
3.计算相关几何量几何画板不仅可以绘制几何图形，还可以进行相关的计算和操作，例如计算图形的面积、周长等。
这对初中数学教学非常有帮助，特别是在几何部分的教学中，学生可以通过几何画板方便地计算各种几何量，从而更好地理解几何知识的本质。
4.解方程、画函数等在数学学习中，解方程、画函数也是比较重要的部分，几何画板提供了非常方便的工具，可以帮助学生更好地完成这些任务。
例如：学生可以通过几何画板绘制各种函数图像，加深对函数知识的理解和掌握。
三、几何画板在数学教学中的优点1.提高学生的学习兴趣几何画板以其生动的视觉效果和灵活的操作方式吸引了许多学生的注意和兴趣，从而提高了学生的学习积极性和主动性。
利用几何画板探究指数函数的性质
利用几何画板探究指数函数的性质随县一中 周平新人教版数学必修一第二章第一节研究指数函数的性质时，借助具体的函数图像来探究，充分体现了新教改学习新知识“由具体到抽象”的精神。
但手绘图形往往较粗糙，不易准确发现当a 在（0，1)和（1，+∞）变化时函数的变化规律，于是想到了《几何画板》能把较为抽象的图像形象化、动态化这一特色功能，最终利用它不但很容易地画出了含参的指数函数x a y =的图像，而且还通过动画演示，比较直观的发现了指数函数xa y =的图像的变化情况。
为了让读者也能利用《几何画板》去画出它的图像，并且能通过演示直观感受它的变化情况，下面就以上指数函数图像的制作过程和演示结果介绍如下：图像制作：1、 打开《几何画板》后，选择“文件”→“新建画板”命令，建立新的画板。
2、选择“直尺工具”按钮 ，在“工作区”内的恰当位置，单击后按住“shift ”拖动鼠标绘制一条水平的射线。
3、单击“文本工具”按钮 ，鼠标指针变为手形，指向刚刚绘制射线的端点，单击鼠标，显示该点的标签为“A ”4、单击“点工具”按钮 ，在射线上绘制一个点，重复步骤3，显示此点的标签为“B ”5、单击“选择箭头工具”按钮 ，选中射线及射线上的一个控制点，选择“显示”→“隐藏对象”命令，隐藏该射线和点。
6、选中“A ”点和“B ”点，选择“构造”→“线段”命令，构造线段AB ，并选择“度量”→“长度”，计算出线段AB 的长度“ =AB m ”7、S8 鼠标右键单击“ =AB m ” →“属性”，打开“度量结果#3的属性”对话框，选择“标签”，则标签栏中输入“a ”，单击“确定”按钮，出现“a=…”的参数标签，如图１所示。
8、选择“图表”→“绘制新函数”，打开“新建函数”对话框（如图２），依次单击工作区中的“a=…”，新建函数对话框上的“^”，“x ”，单击“确定”按钮，绘制出函数f(x)=a x的图像。
选择“图表”→“隐藏网格”。
《几何画板》在探究圆锥曲线光学性质中的辅助作用
（ 边 第 一 Ｉ学校 ， ‘ 延 Ｉ Ｉ 林 延古 １３ ０ ） ０ ０ ３
摘要：（ 《 几何画板 是一种较 为普及的计算机 软件 ，一种适合 中学数 学教 师和 中学生进行数 学教与
学 的工 具 性 软件 运 用 《 何 画 板 》的动 态 演 示 功 能 能启发 教 师和 学生 的思 维 进 而获得 全 新 几
体验 。它 町 以调 动 学 生 极 参 与 ， 加 深埘 数 学 概 念 的深 从 理 解 ，移 累 宙 的 数 学 体 验 ， 拓 展数 学 ｛ 卜 能力， 这
平 帮助 辑 。 ¨
ｉ ｌ ｌ Ｊｌ ｆＪ 学 ， 锣 ｔ 阶段 已经 学 爿过 ，一ｉ 镜 的 轴 械 ＇Ｊ － ， ｌｆ ＋￣ ｌ
的 结 论 ：运 用 它 的轨 迹 追踪 功 能能 显 示 思 雏过 程 ， 进 教 学 的最 优 化 ； 运 用 它 的度 量 功 能 能 促
开展数学实验 ， 实现对猜测的验证， 达到避一 步探 究的 目的． 关键词：几何 画板 ；创设情境；数形结合；学 习兴趣；教学效果
中图 分 类 号 ：Ｇ６ ３６ ３． 文献标识码： 、 文章 编 号 ： １ ７ ４ ６ （｛ ００ ０４ 一０ ６ ３～ ５ ４２） ）６— ｌ２ ・４ １
选 一 Ｆ ｔ 做 ｌ笑 ｊ原 点 的对 称 ｓ Ｋ 点 ， ｉ ｆ ． ｔ ，过 ｘ做 ｘ ， ／ ．
‘ 过 ｌ教 卿 Ｉ 成 为 学 生 的 指 Ｉ Ｊ ｃＩ Ｉ
通 ｉ 改 协境 ， ｉ 学 乍 观 察 、猜 想 、验 证 、 、 ￡ 发
概扪 、☆ Ｊｒ Ｊ心川 ，实现学 刈知 的建构 。 Ｉ 《！ ｜ ｌ ｌ
形 ＿抛 物 线 ，将 物 理 学 明 ，学 ｛ Ｊ－ ｒ解 ，作 为 教师 也 彳 ｔｆ ｔ ｂ ｌ
利用几何画板探究函数的图像及其性质——以反比例函数为例
教 学 导航
控制按钮 ， 修改其标签为“ 描点” ． 单击 “ 描点” 按钮即可动态
描出除已有的点 （ 一 ８ ， 一 １ ） 以外 的其余 １ ６ ＋点， 包含（ ０ ， ＋ ∞） ．
说明： 通 过 设 置 系列按 钮 可 以使 这 １ ７ 个 点 依 次 出现 ．
ｔ ｒ ｕｎｃ
这里用几何 画板的迭代功 能制作动态迭代表格 ． 操作 步骤 ： ①构 造一点Ａ， 过点Ａ构造 两条互相 垂直
的直线 ， 在两直线 上各取 一点曰 与ｃ ， 隐藏直 线 ， 构造线段 Ａ Ｂ 与Ａ ｃ， 如 图１ 所示．
说 明 ：线段 Ａ 曰 与Ａ Ｃ 的 作 用是 控 制 表 格 的 行 高 和 列 宽， 通 过 拖 动 点Ｂ 与 点Ｃ ． 可控 制 所 制 表 以Ｄ、 Ｅ 为 中心 ， 按１ ： ２ 缩放日、 ， ，得到两个 点Ｋ、 ． 选 雪 中点 Ｋ 与（ ｔ ＋ １ ） 一 １ ， 合 并文 本 到 点； 选 中点 与 ， 合 并 图３
、
利 用 几 何 画 板 动 态 演 示 画 出 反 比 例 函 数
的 图像 的三个 基本 步骤 ： 列表 、 描点 、 连线
（ ） 的 值 图 ４ 所 示
Ｉ ‘
— — — — — —
Ｍ Ｊ
Ｐ
Ａ
Ｃ
－
８ ． ０ Ｈ ０ —７ ． ０ ０ —６ ． Ｏ ０ －５ ． ０ Ｏ － ４． ０ ０ － ３ ． Ｏ Ｏ 一 ２ ． ０ ０ —１ ． ０ Ｏ
ｙ 一１ ． ００ —１ ． ４ ４ —１ ＿ ３ ３ —１ ． ６ Ｏ － ２． Ｏ ０ — ２ ． ６ ７ － ４ ． Ｏ Ｏ － ８ ． Ｏ ０
变式——实验——探究——利用几何画板探究椭圆性质的一个案例
结论 １ 已知椭 圆 ｘ 十 Ｚ ２ ｙ．
＝
１。＞６ ） （ ＞０，
椭圆上 的任意一点， 直线Ｐ ＰＢ分别与 Ｘ 、 轴交
Ａ Ｂ和Ｃ Ｄ是椭圆的过定点Ｎ（ ０ （ ｔ＜ａ ｔ ）０＜１ ， Ｉ ）
且关于 ｘ 轴对称的两条 弦， 则直线 Ａ Ｃ和 ＢＤ 的
于点 Ｍ 、 则 Ｘ ・ Ｎ＝ ａ ． Ⅳ， Ｍ Ｘ 这是 ２ １ 学年第 ００
直线 ＢＤ ： ｘ ｏ ｂ ｓ ｃ
：
＋。 ｎ
２上 的交 点在直线 ： ａ ＿
．
．
曲 ｃｓ 。
．
当点Ａ、 Ｃ和 、 Ｄ分别重合时， Ｃ、 Ａ ＢＤ变
两 条 盲 线 交 ． 的槽 坐 标 为 点
ｃ 。ｓ
ｆ ）
为椭 圆的切线， 于是有
ｆ ）
ｎｓ ｎ ｉ
ｂ ｃｓ ｘ ｏ
．
ｓ ｉ ｎ
当其中的一条弦变为椭圆的长轴时， 们有 我 结论 ２ 已知椭 圆 Ｘ ２ ． ２ ２＋ ｙ １（ 。＞６＞ ０ Ｄ
：
０ 的左、 ） 右顶点分别为 、 ＣＤ是椭 圆过定点 Ｂ，
Ｎ（ ０ （ ｔ＜ａ 一条弦， ｔ ） ０＜Ｉ ， Ｉ ） 则直线 Ｃ 、ＢＤ
一
学期徐汇区高三年级诊 断试题． 信 息技术 的使用为我 们更深入探究数学 问
交 为 点（ ，１ 点 定 ０．
特别地， 当定点 Ⅳ 变为椭 圆的焦点 Ｆ（ ０ ｃ） ，
题提供 了可能， 本文利用几何画板对该问题进行
变式、 实验、探究．
．
时直 和 Ｄ 交 为 点 等０ ，线 Ｂ 的 点 定 Ｍ（ ，． ）
参考文献 ［ １ ］黄东坡．数学培优竞赛新方案 （ 八年级） ［ Ｉ Ｍ１武汉： 湖北人民出版社， ０９ ２０． ［ 何淑平． １ ２ 】 ３ 届西班牙数学奥林匹克竞赛 ［ 安振平． ５ ］ 一道西班牙数学竞赛题的探究 ［． Ｊ 中学生数学，０８８： ６ ］ ２０ （） ２． ［ ６ ］张国治． 西班牙数学竞赛一题推广的另 证 ［． Ｊ 中学生数学，０９３： ６ ］ ２０ （） ２．
用几何画板探究幂函数的图像和性质
用几何画板探究幂函数的图像和性质
曹斌
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(0)2
【摘要】幂函数的图像和性质是中学数学教学中的一个难点,通过几何画板可以快速、精确地描绘出幂函数的图像,动态演示幂函数图像的变化规律,以便学生全面系统地掌握幂函数的图像和性质.
【总页数】1页(P146-146)
【作者】曹斌
【作者单位】江苏省南通技师学院,江苏南通226007
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用几何画板探究指数函数的图像与性质
2.用“几何画板”探究实验一次函数图像和性质
3.新课标下幂函数图像及性质学习方法探究
4.基于智慧教育背景下高中数学探究式教学策略——以“幂函数的图像及其性质”教学为例
5.基于智慧教育背景下高中数学探究式教学策略
——以"幂函数的图像及其性质"教学为例
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利用《几何画板》 探究图形性质
湖北省宜城市讴乐中学 姚卫华
摘要：教学改革的全面展开，信息技术生活的各个领域广泛应用，教育教学的课堂教学模式也发生了很大的变革。
新课标下初中数学课堂教学，对信息技术与初中数学课堂教学进行整合也提出了一定的要求。
《几何画板》软件中的绘图功能，图形变化功能，强大的计算功能，对于几何教学中图形性质的探究，动态几何过程的理解有很好的作用。
在教学法中尝试利用几何画板辅助教学既能提高学生的学习热情，便于学生理解，还能提高教学效率，提高教学效果。
从义务教育数学课程标准看，“空间与图形”是四块内容中的重要一块，它是培养学
生的空间观念和逻辑推理能力的重要一环。
图形的变换是“空间与图形”领域中一块重要的内容。
在应用多媒体技术辅助数学教学的诸多软件中，《几何画板》软件具有制图方便，灵活，具有强大的计算功能等优点，是数学教师制作几何课件，探究图形性质辅助教学的好帮手。
这也是新的人教版数学教材编排信息技术应用的原因之一。
下面是笔者结合实际教学举几个利用《几何画板》探究图形性质的例子，供老师们参考。
利用《几何画板》探究平移规律
人民教育出版社，七年级下册有《平移》一节课。
图形平移规律的探究，是今后学习图形变换的基础。
而图形平移的部分规律（新图形中的每一点，都有是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；对应点的连线平行且相等。
），光凭一支粉笔，一把尺子在黑板上演示是无法达到探究的效果。
运用信息技术工具，利用《几何画板》软件则能很方便地达到很好的效果。
我在这一节课的教学中先利用多媒体展示几幅图片（如下图所示），创设了一个问题情境
然后思考：（1）每一幅图案是怎样构成的？
（2）它们有什么共同的特点？
- 2 -
（3）能否根据其中的一部分绘制出整个图案。
学生通过观察，思考，讨论，尝试，交流，归纳。
了解基本方法，绘图，但图形不很美观。
在学生认识到不满意的情况下老师运用计算机，利用《几何画板》探究平移规律。
吸引了学生的注意力，激发了学生的探究欲望。
1老师再用多媒体展示复制，粘贴构造组合图形的方法。
先简单后复杂，先规则后造型各异。
（1）以正六边形为基本图形的构图
（2）小飞机图案
（3）引导学生归纳：新
图
形与原图形 的形状和大小完全相同 2、再利用《几何画板》探究平移规律
（1）平移小飞机（多媒体利用《几何画板》完成）
归纳：新图形中的每一点，都有是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
猜测：对应点的连线平行且相等。
从直观上来看，学生很容易猜测出这一性质，但如何验证，对于利用粉笔，直尺或纸板在黑板上演示的教学方法，及学生在练习薄上绘画都无法达到很好的效果。
因为在平移的过程中很难做到真正的“平移”，或多或少地有“旋转”的成份，也就无法测量验证对应点的连线平行且相等。
利用《几何画板》的绘图复制功能和计算功能则能很方便的完成这一任务。
（2）平移一个三角形（多媒体利用《几何画板》完成，显示对应点的连线AA 1 ，BB 1的长度，另画一直线与AA 1，BB 1相交，测量一组同位角的大小，验证猜想。
）
在《几何画板》中绘制三角形ABC ，平移后得到三角形A 1B 1C 1。
测量几组对应点的
连线长度，另作一线与对应点的连线相交，测量一组同位角的大小，即可判断对应点的连线
B
A
B 1
A 1
平行且相等。
归纳：对应点的连线平行且相等到。
在得出平移规律之后，应用规律绘图，图案设计就不是问题了。
同时可以鼓励学生用计算机绘图。
如：图案设计充分发挥你的想象力，以1至2个基本图形为基础，应用所学的平移知识，绘制一幅美丽的图案，张扬你的个性。
利用《几何画板》探究对顶角，平行线的性质
在传统的教学中，对于“对顶角相等”这一性质的获得，是利用量角器测量获得的，几何画板也能完成这一功能，它还有更优秀之处，那就是它可以在转动某一条线，使两线相交的夹角发生改变时，两对对顶角在动态变化中相等这一特性不变，使学生对这一性质深信不疑。
同样对平行线性质的探究，也可以借助几何画板的计算功能和图形变化功能。
如下图，在几何画板中绘平行线AB平行于CD，作一线EF与之相交，测出同位角，内错角，同旁内角的度数。
在EF旋转变换中观察同位角，内错角，同旁内角的关系。
化静为动，能很好的刺激学生的感观，对于性质的得出和学生的理解记忆有很好的效果。
利用《几何画板》探究特殊四边形的性质
及相互关系
平行四边形，菱形，长方形，正方形，
梯形，等腰梯形等几类四边形是初中数学的
一个重要章节，它们的性质及其相互关系是
了解掌握这部分内容的关键。
几何画板能动
态演示它们之间的关系，便于学生掌握。
如图，可以在几何画板中绘出平行四边形ABCD，通过拖动点与边，达到改变图形形状的目的。
同时显示边，角，对角线等的关系。
我们同样可以用这一软件，探究全等三角形的性质及判定方法。
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利用《几何画板》探究动态几何问题
动态几何是近几年中考的一个热点，在图形的动态变化中探究结论的问题，学生往往难
以理解变化的过程，难以寻找“变”中的“不变”，找到解题的突破口，甚至图形也画不出来。
在教学中，在代表例题的讲解中，如果能用几何画板动态演示其变化过程，帮助学生寻找“变”
中的“不变”，那么学生的困惑会迎刃而解。
象圆幂定理的相互关系，部分动态几何习题等。
几何画板在实际教学中还有许多人工无法替代的作用，在几何的教学探究中，它的测量计算功能和绘图，图形变化功能，能直观形象的展示变化规律，便于学生理解。
有这样一题：
某村有张、李、王、赵四家，四家所在的位置如图所示。
四家欲共打一口深井，修一
深井泵站，供四家用水。
你能帮忙确定打井的位置吗？（提示：水管长度和最小）
这一问题中，利用三角形的两边之和大于第
画板计算AH，BH，CH，DH的和，拖动点H，
寻找H点，观察，探究，猜测，验证，证明。
学
生很快能理解，找到解决办法。
时代在发展，信息技术与日常生活联系越来
越紧密，大力推进信息技术在数学教学中的普遍
使用，改进数学教材的呈现方式、学生的数学学习方
式，教师的教学方式是每一位教育工作者的责任和义
务。
- 4 -。