三级火箭发射卫星数学模型

v=10.5km/s才行,如果取u=3km/s, β=0.1,则可推出m0/mp =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭卫星系统
理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到 最佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到,但它 确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级 火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭 是从末级开始，逐级燃烧,当第i级燃料烧尽时,第i+1级 火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。
v(tt)v(t)dvto(t) dt
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小于
所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设相
对火箭的喷气速度u=3km/s.
3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
2）建模与求解
因为升空火箭的最终(燃料已耗尽)质量为mp+ms。然后 将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式(1)及假设
(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
ai 1.
再令
xi
1 (，ai 那1么)
ai
1 ai xi .
显然
(1 )n a 1a 2L a n(x 1)(x 2)L (x n)
再将问题转化为下面的优化问题
(1 )n
min
( x1 ) ( x2 ) L ( xn )
1 1
1 v
S
.T
.
ln
x1
x2
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1 Lm nm p a i
m im i 1 Lm nm p 1(a i 1 )
a1
a2
L
an
m0 mp
那末将问题可以转化为另一个优化问题
mina1a2Lan
S.T. ln1a (a111)1a (a221)L1a (ann1)u v,
v2v1ulnm m 22 L L m m nn m m pp
那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为
vvn1
uln mnmp
mnmp
n级火箭的速度
v u ln m m 1 1 m m 2 2 L L m m n n m m p p m m 2 2 L L m m n n m m p p L m m n n m m p p
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
m (tt)m (t)dmto(t) dt
dv v(tt)v(t) to(t)
dt
即 m (tt)m (t)dmto(t) dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
m (tt)v(tt)
m (t)d d m t t o ( t) v(t)d d v t t o ( t)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t o ( t)
2. 各级火箭质量的分配 1) 问题背景 如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这 也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，气体喷射的
速度为u，结构比为 ；对于给定的初始质量
m 0 m 1 m 2 L m n m p
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为
m 1 m 2 L m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 L L m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2Lm nm p
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
根据动量守恒定律，有
m (t)v (t) m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)] v (t) ( 1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
m(t
t)v(t
t)
dm tv(t)
dt
(1)dmt(v(t)u)o(t)
dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有
引力定律可知其引力大小为
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解 火箭的初始质量为
m 0 m 1 m 2 L m n m p
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
1 v0 u ln
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
二、理想火箭模型
上面我们对问题分析可以看出：火 箭推进力自始至终在加速着整个火箭， 然而随着燃料的不断消耗，所出现的无 用结构质量也在随之不断加速，作了无 用功，效益低，浪费大。所谓理想火箭， 就是能够随着燃料的 燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
1）模型假设
在[t, t+Δt] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以β
Mm
F G r2
(1)
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
mg
G
Mm R2
F
m
g
R r
2
mg
R r
2
mv2 r
vR g r
v7.6km/s
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机和 一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量 气体从火箭末端喷出，给火箭一个向 前的推力。火箭飞行要受地球引力、 空气阻力、地球自转与公转等的影响 ，使火箭升空后作曲线运动。
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
maxmp
S.T.
vulnmm11mm22LLmmnnmmppgmm22LLmmnnmmppgLgmmnnmmpp
,
m1m2Lmnmp m0,
mi 0,
u,v,m0均为常数.
3) 模型求解
令
ai m im im 1i 1L L m nm nm pmp
m (t)v(t)v(t)d m tud m to ( t)
d t
d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t o ( t) d t d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t o ( t)
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u ) o ( t)
d t
d t
m (tt)v(tt)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t o ( t)
d t
d t
v(0) 0
m
(0)
m0
v(t)(1)uln m0
m(t)
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便
只剩下卫星质量mp，从而最终速度的数学模型为
v(t) (1)uln m0
m0
v
e (1 )u
mp
mp
当m0足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任
意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使
数学建模
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
d t
d t
m (tt)m (t)dmto(t) dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t o ( t) v (t) u
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t o ( t) v (t) u
3. 一级火箭末速度上限
火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有
效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外壳、
燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主
要是受目前技术条件的限制。
ms 1
1) 模型假设
mF ms 9
3.1 一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的比
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需 要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
L
xn
, u
Fra Baidu bibliotekxi
1.
maxf (x1)(x2 )L(xn)
S.T.x1
x2
L
xn
v
e u,
xi 1.
maxlnf ln[(x1)(x2)L(xn)]
S.T.ln(x1
x2L
v xn)u,
xi 1.
令
F (x 1,x2,L,xn,)ln [(x 1)(x2)L(xn)] [ln (x 1x2Lxn)u v]