三级火箭发射卫星数学模型
发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭.
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
数学建模十六组
再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
发射卫星为什么用三级火箭
u
ln
m0 m(t
)
(1.9)
m0 是火箭初始质量， v0 是 t = 0 时的速度，
(1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素：
（1）喷出的气体相对于火箭的速度 u（已 假定为常数）；
（2）t 时刻火箭质量 m(t) 和 t=0 时刻火箭 质量 m0 之比。
这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正 确的方向：
(1.19)
v u
ln
mP
m3
m0 m3 m2
mP m3 m2
mP m3
mP m3
现在的问题是如何选择m1、m2、m3使mP最 大。由于(1.16)式复杂，问题棘手，但当引入 新变数以后，问题就变简单了。
v ≈7km/s
前面(1.5)式推出卫星要进入圆形轨道，火箭 末速度为7.6km/s，而刚才推导的火箭速度是在假 定忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况 下，最大速度才7km/s。由此得出，单级火箭是 不能用于发射卫星的。
由以上分析还可以发现，该火箭模型的缺 点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底， 但是当燃料耗尽时，发动机加速的仅仅是一个 空的燃料仓，作了许多无用功。因此，有待改 进火箭的设计。
令mi为第i级质量（燃料+结构），
mi
为结构质量，
(1 )mi 为燃料质量。
为简单起见，设所有各级火箭λ值是一样的， 喷气相对速度 u 在各级也相同。
先分析三级火箭的入轨过程，初始质量为
m0 mP m3 m2 m1
当第一级燃料用完时，剩余质量为 mP m3 m2 m1
三、火箭系统质量的计算 火箭系统质量由下列部分组成：
三级火箭发射卫星数学模型(课堂PPT)
要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质
量，这要从结构上想办法。
13
3. 一级火箭末速度上限 火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有
效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外壳、
燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主
要是受目前技术条件的限制。
ms 1
1) 模型假设
28
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
maxmp
S.T.
vulnmm11mm22
mnmp mnmp
m2
m2
mnmp mnmp
m1m2 mnmp m0,
mi 0,
u,v,m0均为常数.
mnmp
mnmp
,
29
3) 模型求解 令
ai m im im 1i 1m nm nm pmp
7
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
8
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1m nm p a i
m im i 1m nm p 1(a i 1 )
a1 a2
an
m0 mp
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
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五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
20
八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
2023/5/17
21
ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
2023/5/17
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我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
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五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
三级火箭发射卫星数学模型
火箭达到一定的速度和高度后，有效载荷与 火箭分离，进入预定轨道。
加速爬升
随着火箭推进剂的消耗和重量的减轻，火箭 逐渐加速爬升。
进入轨道
有效载荷依靠惯性继续前进，达到轨道速度 后进入预定轨道。
02
数学模型建立
火箭推进力与重力平衡模型
总结词
描述火箭推进力与重力之间的平衡关 系，用于确定火箭起飞时的加速度和 速度。
05
未来展望
火箭技术发展趋势
01
02
03
绿色环保
随着环保意识的提高，未 来火箭技术将更加注重环 保，减少发射过程中对环 境的影响。
可重复使用
降低火箭发射成本是未来 的重要趋势，可重复使用 火箭技术将得到更广泛的 应用。
多任务适应性
未来火箭将具备更强的任 务适应性，能够适应不同 重量、轨道和任务的发射 需求。
失败案例分析
印度PSLV火箭
印度PSLV火箭是一种四级火箭，在发射过 程中曾多次出现失败。其中，2017年的一 次发射失败导致卫星损失，对印度航天事业 产生了较大的影响。
俄罗斯Proton-M火箭
俄罗斯Proton-M火箭是一种五级火箭，在 发射过程中也曾多次出现失败。其中，
2013年的一次发射失败导致卫星损失，对 俄罗斯航天事业产生了较大的影响。
SpaceX猎鹰9号
猎鹰9号是SpaceX公司研发的一种两级火箭，通过一级和二级火箭的多次点火，将卫星送入预定轨道。该火箭已 经成功发射了数百颗卫星。
欧洲阿丽亚娜5型火箭
阿丽亚娜5型火箭是一种三级火箭，由欧洲航天局研制。该火箭具有较高的可靠性和精度，已经成功发射了数十 颗卫星。
中国典型火箭发射案例
总结词
通过数学模型和优化算法，可以设计出最优的卫星轨道，以提高卫星的运行效率和寿命。
三级火箭发射人造卫星分析
三级火箭发射人造卫星分析
三级火箭发射人造卫星是一项复杂的任务，它涉及到许多技术和工程领域的知识。
以下是对三级火箭发射人造卫星的分析：
1. 火箭设计和制造：三级火箭需要经过精确的设计和制造，以确保它具有足够的推力和稳定性来将人造卫星送入太空。
这涉及到航天器的结构设计、推进系统、导航和控制系统等。
2. 燃料和推进系统：三级火箭通常使用液体燃料和氧化剂作为推进剂。
这些燃料在燃烧过程中产生巨大的推力，将火箭推向太空。
燃料的选择和推进系统的设计对火箭的性能至关重要。
3. 载荷适配器：在发射过程中，人造卫星需要被安装在火箭的载荷适配器上。
这个适配器必须能够固定卫星并确保其正常运行。
它还需要考虑到卫星的重量和尺寸，以便在发射过程中保持平衡。
4. 发射场和发射控制：发射火箭需要一个专门的发射场，以确保安全和有效地进行发射。
发射控制系统负责监测和控制火箭的各个方面，包括点火、加速、航向控制等。
5. 轨道计算和导航：在发射过程中，火箭需要根据预先设定的轨道参数进行定位和导航。
这涉及到对地球引力、气动力和其他因素的计算和调整。
6. 数据收集和分析：发射过程中需要对火箭以及人造卫星的各项参数进行实时监测和数据收集。
这些数据将用于分析火箭发射的性能和效果，并进行后续改进和优化。
三级火箭发射人造卫星是一项非常复杂的任务，需要多个专业领域的知识和技术的综合运用。
多级火箭建模概要
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
(完整版)数学建模期末考试题
班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。
通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。
举例：牛顿定律。
假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。
(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。
令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。
2.应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。
举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：(1)直圆管，粗细一致。
(2)带子无弹性等宽。
(3)带宽小于圆管截面周长。
(4)包扎时不剪断带子且不重叠。
设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。
则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。
举例：如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。
（2） 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。
（4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。
（5） 按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。
为什么要用三级火箭来发射人造卫星
100Байду номын сангаас
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0（常数），7.80
v由动量守恒定理：
400
7.69
m-dm
m(t
)υ
(t
)
=
m(t
+
∆t
)υ
(t
+
∆t
)
−
⎛ ⎜⎝
dm dt
∆t
+
O6(0∆0 t
2
)
⎞ ⎟⎠
⋅
(υ
(t
)
−7u.)58
故： m dυ = −u dm
dm
dt
dt
由此解得：υ
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系 1、为统什？么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结 构质量，（1-λ）mi为燃料质量。
（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不
变，并记比值为k。
该假设有点强加
考虑二级火箭：
的味道，先权作
讨论的方便吧
由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
υ2
=
u ln
故又有: F = mυ 2
r
从而: υ = R g
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
tsiolkovsky火箭方程
tsiolkovsky火箭方程TSIOLKOVSKY 火箭方程：从理论到实践在科学技术发展史上，火箭技术一直被视为突破人类物理限制的终极力量。
在20世纪初期，俄罗斯数学家 Tsiolkovsky 提出了著名的“火箭方程”，这极大地推动了火箭技术的发展，成为人类探索宇宙的重要工具。
本文将介绍 Tsiolkovsky 火箭方程的原理和应用，并探讨其对现代化工、化学等学科和领域的贡献。
一、Tsiolkovsky 火箭方程的原理Tsiolkovsky 火箭方程是一种描述火箭推进的数学模型，基于牛顿第二定律，可以计算火箭在任何速度下的推力和燃料的消耗量。
其公式如下：Δv = Ve * ln(m0/mf)其中，Δv 表示火箭增加的速度，Ve 表示排放速度，即火箭燃料和氧化剂喷射出去的速度，m0 表示火箭的起始质量，mf 表示火箭的最终质量。
这个方程表明，火箭的速度增加与燃料消耗量成反比，与燃料排放速度成正比，与火箭的质量和重力场有关。
该方程的核心思想是利用能量守恒定律，将燃料的化学能转化为动能，使火箭得以脱离地球引力并前进。
由于火箭在离开地球后受到的阻力很小，因此可以使用Tsiolkovsky 火箭方程来计算火箭的加速度、速度、燃料消耗量和残余质量等重要参数。
二、Tsiolkovsky 火箭方程在航空航天领域的应用Tsiolkovsky 火箭方程的提出极大地推动了航空航天技术的发展。
它被广泛应用于载人或无人探测火箭、导弹、卫星等方面。
例如，宇航员发射前往火星的火箭必须使用该公式计算出燃料和火箭的质量、燃料消耗量和速度要求，才能确保飞行的准确性和安全性。
此外，Tsiolkovsky 火箭方程还可以用来优化火箭设计，比如选择更轻的材料、更适合的引擎和燃料等，以最大程度地提高火箭的运载能力和速度。
这种优化不仅在航空航天领域有应用，同样在军事、工业和民用领域也得到广泛使用。
三、Tsiolkovsky 火箭方程在现代化工、化学等领域的应用Tsiolkovsky 火箭方程也是化学工程、化学科学和燃料技术的重要工具。
航天模型概念、作用及分类
航天模型概念、作⽤及分类
航天模型全部是⽕箭，应该还有卫星，下⾯只是讲到了⽕箭的内容，也只是简单总结。
概念：模仿各种航天器⽽设计、制作的可以发射升空的模型航天器。
作⽤：通过群众性的研制、放飞航天模型活动，可以使参加者学到有关航天知识，掌握制作和控制航天模型的技能，培养对航天事业的兴趣，有益于⾝⼼健康和综合素质的培养。
航天模型分类
S1⾼度模型⽕箭
S2载重模型⽕箭
S3伞降模型⽕箭
S4⽕箭推进模型滑翔机
S5仿真⾼度⽕箭
S6带降模型⽕箭
S7仿真模型⽕箭
S8⽕箭助推遥控滑翔机
S9⾃旋转翼⽕箭
S10⽕箭推进柔性翼模型飞机
/2:1/2药量
/3:1/3药量
⽐赛的科⽬有 : 升⾼、滞空时间、外观仿真度和模拟发射仿真度等。
火箭发射最高高度的积分解法
火箭发射最高高度的积分解法火箭发射最高高度是一个经典的物理问题，涉及到力学和积分的知识。
本文将从积分的角度来解析火箭发射最高高度的问题。
我们需要了解火箭发射的基本原理。
火箭发射是利用燃料的燃烧产生的高温高压气体喷出，通过喷射反作用力推动火箭向上运动。
火箭的运动可以看作是质点的运动，忽略空气阻力的影响。
为了求解火箭发射最高高度，我们可以建立一个数学模型。
假设火箭的质量为m，燃料的质量随时间变化为dm/dt，燃料的燃烧速率为v，火箭的速度为v(t)，高度为h(t)。
根据牛顿第二定律和质量守恒定律，可以得到以下方程：m * dv/dt = -v * dm/dt - g * mdm/dt = -v * v其中，g是重力加速度。
接下来，我们将以上方程进行积分求解。
首先，对第二个方程进行积分，得到：∫dm/dt = ∫-v * vm = ∫-v * v dt然后，将第一个方程中的dm/dt代入，得到：m * dv/dt = -v * (-v * v) - g * mm * dv/dt = v * v * v - g * m再对上述方程进行积分，得到：∫m * dv/dt = ∫(v * v * v - g * m) dt∫m * dv = ∫(v * v * v - g * m) dt对左边进行积分，得到：∫m * dv = ∫v * dv = 1/2 * v * v对右边进行积分，得到：∫(v * v * v - g * m) dt = 1/4 * v * v * v - g * m * t将上述结果代入原方程，得到：1/2 * v * v = 1/4 * v * v * v - g * m * t整理化简，得到：1/2 * v * v * v - 1/2 * v * v - g * m * t = 0这是一个关于速度v的方程。
我们可以通过求解这个方程，得到火箭发射最高高度时的速度。
接下来，我们可以继续进行积分，求解火箭发射最高高度。
火箭数学公式
火箭数学公式
火箭数学公式是数学中的一个重要定理，它可以运用在航天飞行、火箭发射等方面。
火箭数学公式主要用来计算飞行器在空气中穿越大气层时所受阻力的大小。
在数学上，火箭数学公式被定义为：F=1/2*ρ*ν²*
C*A，其中F是空气阻力，ρ是空气密度，ν是速度，C是形状系数，A 是横截面积。
换句话说，火箭数学公式告诉我们，空气阻力与速度的平方成正比，与横截面积和空气密度成正比。
这个公式在航天飞行、导弹制导、汽车和飞机设计、空气动力学等领域都有非常重要的应用。
通过火箭数学公式的应用，我们可以计算出在不同速度、高度和气压下，飞行器所受到的阻力大小。
这对于控制飞行器的轨迹和速度有着非常重要的意义。
总之，火箭数学公式是数学中的一个重要公式，它在航天飞行、火箭发射、航空航天产业等方面都有着重要的应用，对于控制飞行器的轨迹和速度能够起到非常关键的作用。
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根据动量守恒定律，有
m (t)v (t) m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)] v (t) ( 1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
m(t
t)v(t
t)
dm tv(t)
dt
(1)dmt(v(t)u)o(t)
dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
1 v0 u ln
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有
引力定律可知其引力大小为
2. 各级火箭质量的分配 1) 问题背景 如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这 也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，气体喷射的
速度为u，结构比为 ；对于给定的初始质量
m 0 m 1 m 2 L m n m p
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
v(0) 0
m
(0)
m0
v(t)(1)uln m0
m(t)
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便
只剩下卫星质量mp，从而最终速度的数学模型为
v(t) (1)uln m0
m0
v
e (1 )u
mp
mp
当m0足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任
意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使
m (t)v(t)v(t)d m tud m to ( t)
d t
d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t o ( t) d t d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t o ( t)
v=10.5km/s才行,如果取u=3km/s, β=0.1,则可推出m0/mp =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭卫星系统
理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到 最佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到,但它 确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级 火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭 是从末级开始，逐级燃烧,当第i级燃料烧尽时,第i+1级 火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解 火箭的初始质量为
m 0 m 1 m 2 L m n m p
数学建模
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为
m 1 m 2 L m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 L L m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2Lm nm p
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
二、理想火箭模型
上面我们对问题分析可以看出：火 箭推进力自始至终在加速着整个火箭， 然而随着燃料的不断消耗，所出现的无 用结构质量也在随之不断加速，作了无 用功，效益低，浪费大。所谓理想火箭， 就是能够随着燃料的 燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
1）模型假设
在[t, t+Δt] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以β
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1 Lm nm p a i
m im i 1 Lm nm p 1(a i 1 )
a1
a2
L
an
m0 mp
那末将问题可以转化为另一个优化问题
mina1a2Lan
S.T. ln1a (a111)1a (a221)L1a (ann1)u v,
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u ) o ( t)
d t
d t
m (tt)v(tt)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t o ( t)
d t
d t
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
d t
d t
m (tt)m (t)dmto(t) dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t o ( t) v (t) u
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t o ( t) v (t) u
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需 要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
v(tt)v(t)dvto(t) dt
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
v2v1ulnm m 22 L L m m nn m m pp
那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为
vvn1
uln mnmp
mnmp
n级火箭的速度
v u ln m m 1 1 m m 2 2 L L m m n n m m p p m m 2 2 L L m m n n m m p p L m m n n m m p p