高二数学几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理

几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析

1.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式： P （A ）=

积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A ；

3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

二 常见题型梳理 1.长度之比类型

例1. 小欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小等车时间不多于10分钟的概率．

例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形

的面积介于36cm 2

与81cm 2之间的概率．

2.面积、体积之比类型

例3. （08高考6）.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概

率为 。

3.角度之比型

例4.如图所示，在等腰直角ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率。

4.“会面”类型的几何概型

例5. 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

5.与其他章节知识综合类

例6.

已知两数m n ，是某事件发生的概率取值，则关于x 的一元二次方程2

0x m +=有实根的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 18 D. 1

16

经典例题：如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；

(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．

C A B

M D

当堂练习：

1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g）围的概率是（）

A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68 2．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（）

A．

3

10

B．

1

5

C．

2

5

D．

4

5

3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）

A．

1

B

．

2

16

C．

3

D．

1

4

4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为

A．3

4

B．

3

8

C．

1

4

D．

1

8

5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（）

A．1

3

B．

4

9

C．

5

9

D．

7

10

6如图，某人向圆投镖，如果他每次都投入圆，那么他投中正方形区域的概率为（）

A．2

π

B．

1

π

C．

2

3

D．

1

3

7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆投镖，如果某人每次都投入圆，那么他投中阴影部分的概率为（）

A．1

8

B．

1

4

C．

1

2

D．

3

4

8．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，抽到细菌的概率为( )

A．1

100B．1

20

C．1

10

D．

1

5

9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜可以进港的概率是（)

A．1

4B．

1

8C．

1

10D．

1

12

10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）

A．1

5B．

2

5C．

3

5D．

2

7

11．过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为( )

A．1

2B．

1

3C．

1

6D．

1

12

12．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，